\documentclass[12pt]{article}

% version 1.0, 07.02.2014 

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   11.02.2014}
\newcommand{\firstdate}{14.03.2014}


\addtolength{\topmargin}{-7mm}
\addtolength{\textheight}{15mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-7mm}
\addtolength{\textwidth}{15mm}

\input{defs-listki.tex}

\begin{document}

\listok{5}{Комплексная алгебраическая геометрия,\\ листок 5:
теория Ходжа}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 5}

{\scriptsize
{\бф Правила:} 
Если сдано больше 1/3 задач, студент получает
$4t$ баллов, если больше 2/3 задач, $10t$ баллов, если 
все, кроме одной -- $15t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}



\определение
Левоинвариантная
форма на группе Ли есть форма, инвариантная относительно левых сдвигов;
биинвариантная - инвариантная относительно левых и
относительно правых сдвигов.
\ео

\задача
Пусть $G$ -- компактная группа Ли, снабженная
левоинвариантной метрикой.
\енум 
\итем Докажите, что
любая гармоническая форма на $G$ левоинвариантна.
\итем Предположим, что метрика на $G$ биинвариантна.
Докажите, что любая биинвариантная форма на $G$
гармонична.
\ее
\ез

%\задача
%Биинвариантные формы на группе Ли суть формы,
%инвариантные относительно левых и правых сдвигов.
%Пусть $G$ -- компактная группа Ли, снабженная
%биинвариантной метрикой. Докажите, что
%все биинвариантные дифференциальные формы гармоничны.
%\ез


%\задача
%Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие,
%$d$ -- дифференциал де Рама, а $d=\bigoplus_{p+q=1}d^{p,q}$
%его разложение Ходжа. 
%\енум
%\итем Докажите, что $d^{p,q}=0$ для
%$p>2$. Докажите, что оператор $d^{2,-1}$ -- 
%$C^\infty M$-линейный.
%\итем
%Пусть $x, y\in T^{1,0}M$ - (1,0) векторные поля,
%а $\theta$ -- (0,1)-форма. Докажите, что 
%$\theta (N(x,y))=d^{2,-1}(\theta)(x,y)$.
%\ее
%\ез

%\задача
%Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие.
%Докажите, что $(d^{1,0})^2=0$ $\Leftrightarrow$ 
%$I$ интегрируемо.
%\ез

%\указание
%Воспользуйтесь предыдущей задачей.
%\еу

\задача
Постройте бесконечномерное, неприводимое представление
$\goth{sl}(2)$. 
\ез

\задача
Пусть $V$ -- конечномерное
неприводимое вещественное представление
$SU(2)$, снабженное $SU(2)$-инвариантным,
невырожденным скалярным произведением $g$.
Докажите, что $g$ знакоопределено. Верно ли 
то же самое для группы $SL(2, \R)$?
\ез

\задача
Пусть $V$ -- четномерное неприводимое 
вещественное представление группы $SO(3)$.
Докажите, что $\dim V$ делится на 4, или
найдите контрпример.
\ез

\задача
Пусть $\eta$ есть параллельная 1-форма
на римановом многообразии, а $\eta'$ -- гармоническая
форма. Докажите, что $\eta\wedge \eta'$ гармонична.
\ез

\задача
Пусть $f$ -- функция на двумерной сфере $S^2 \subset \R^3$,
удовлетворяющая $\Delta f=c f$, где $c$ -- вещественная
константа. Пользуясь эллиптической регулярностью и 
спектральной теоремой для оператора Лапласа, докажите, что $f$ -- полином.
\ез


\задача
Пусть $f$ -- гармоническая функция на $\R^n$ с плоской
метрикой. Докажите, что для любого шара с центром в $x$,
среднее $f$ по этому шару равно $f(x)$.
\ез






\end{document}