\documentclass[12pt]{article}

% version 1.0, 07.02.2014 

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   11.02.2014}
\newcommand{\firstdate}{07.03.2014}


\addtolength{\topmargin}{-7mm}
\addtolength{\textheight}{15mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-7mm}
%\addtolength{\textwidth}{15mm}

\input{defs-listki.tex}

\begin{document}

\listok{4}{Комплексная алгебраическая геометрия,\\ листок 4:
 кручение связности}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 4}

{\scriptsize
{\бф Правила:} 
Если сдано больше 1/3 задач, студент получает
$4t$ баллов, если больше 2/3 задач, $10t$ баллов, если 
все, кроме одной -- $15t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


%\задача
%Пусть $\Psi:\; A \arrow A'$ -- отображение
%аффинных пространств, причем $\dim A >1$.
%Предположим, что $\Psi$ переводит прямые в
%прямые. Следует ли из этого, что $\Psi$ аффинно?
%\ез

%\задача
%Пусть $М$ -- контактное многообразие.
%Постройте связность без кручения, сохраняющую
%контактную структуру (то есть
%удовлетворяющую $\nabla B\subset B\otimes \Lambda^1 M$,
%где $B\subset TM$ -- контактное подрасслоение),
%или докажите, что ее не бывает.
%\ез


\задача
Пусть $(M, \Omega)$ -- вещественное многообразие
с заданной на нем нигде не зануляющейся формой объема $\Omega$.
Докажите, что существует связность без кручения, которая
сохраняет $\Omega$.
\ез


\задача
Пусть $(M, \omega)$ -- симплектическое многообразие.
Постройте связность без кручения, сохраняющую симплектическую
форму.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- комплексное многообразие.
Постройте связность без кручения, сохраняющую
комплексную структуру (то есть $\nabla I =0$).
\ез

%\задача
%Пусть $(M,I, \omega)$ -- почти комплексное
%эрмитово многообразие. Всегда
%ли найдется связность $\nabla$ с тотально антисимметричным
%кручением, такая, что $\nabla(I)=\nabla(\omega)=0$?
%\ез

\задача
Пусть $H$ -- 3-форма на римановом многообразии $M$.
Постройте ортогональную связность $\nabla$, кручение которой тотально
антисимметрично и равно $H$. Докажите, что 
$\nabla(H)=0$, если $M$ -- 3-сфера с обычной метрикой,
а $H$ -- ее форма объема.
\ез


%\задача
%Пусть $(M, x, \Omega)$ -- вещественное многообразие
%с заданной на нем формой объема $\Omega$ и нигде
%не зануляющимся векторным полем $x$, причем
%$\Lie_x \Omega=0$. Всегда
%ли найдется связность $\nabla$ без кручения, такая,
%что $\nabla(x)=\nabla(\Omega)=0$?
%\ез


\задача
Пусть $\omega$ -- невырожденная 2-форма на четномерном
римановом многообразии $M$, причем $\nabla(\omega)=0$,
где $\nabla$ -- связность Леви-Чивита. Докажите, что
$M$ допускает комплексную структуру $I$, такую, что
$\nabla(I)=0$.
\ез

\задача
Пусть $I, g$ -- левоинвариантная комплексная
эрмитова структура на группе Ли, причем 
метрика $g$ инвариантна как справа, так 
и слева. Обозначим за $T$ кручение 
связности Бисмута (связности, которая
сохраняет комплексную структуру и метрику,
и кручение которой целиком антисимметрично). 
Докажите, что $T(x,y)= [x,y]$ для любой пары 
левоинвариантных векторных полей $x,y$.
\ез

\задача
Постройте левоинвариантную комплексную структуру
на группе Ли $SU(2)\times SU(2)$.
\ез


%\задача
%Пусть $G$ -- компактная группа Ли с левоинвариантной
%комплексной структурой и левоинвариантной 
%кэлеровой метрикой. Докажите, что $G$ коммутативна.
%\ез




\end{document}