\documentclass[12pt]{article}

% version 1.0, 07.02.2014 
% version 1.1, 20.03.2014 dve oshibki (v zadachakh 1 i 3)

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   30.03.2014}
\newcommand{\firstdate}{28.02.2014}


\addtolength{\topmargin}{-7mm}
\addtolength{\textheight}{15mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-7mm}
%\addtolength{\textwidth}{15mm}

\input{defs-listki.tex}

\begin{document}

\listok{3}{Комплексная алгебраическая геометрия,\\ листок 3:
почти комплексные многообразия и связности без кручения}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 3}

{\scriptsize
{\бф Правила:} 
Если сдано больше 1/3 задач, студент получает
$4t$ баллов, если больше 2/3 задач, $10t$ баллов, если 
все, кроме одной -- $15t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


\задача
Пусть на многообразии $М$ задано расслоение $B$ и 
бивектор $R\in B^{\otimes 2}$,
причем стабилизатор $St(R)$ в $\End(B)$ локально
тривиален, то есть задает подрасслоение. 
Докажите, что найдется связность $\nabla$ на $B$
такая, что $\nabla(R)=0$.
\ез

\задача
Пусть $(M, \omega)$ -- симплектическое многообразие.
Найдите связность без кручения на $M$ такую,
что $\nabla(\omega)=0$.
\ез

%\задача
%Для любого заданного $n>0$,
%найдите комплексное многообразие размерности
%$n$, с $b_2\neq 0$, не допускающее симплектической структуры.
%\ез


%\задача
%Найдите комплексное
%многообразие размерности
%2, с $b_2>1$, не допускающее симплектической структуры.
%\ез

\задача
Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие 
комплексной размерности $n>2$, а
$N:\; \Lambda ^2 T^{1,0}M\arrow T^{0,1}M$ -- его тензор Ниейхойса.
Предположим, что для каждого вектора $x\in T^{1,0}M$
найдется $y\in T^{1,0}M$ такой, что $N(x,y)\neq 0$.
Докажите, что любая голоморфная функция на $(M,I)$ 
постоянна, а любое сюрьективное голоморфное отображение
$(M,I) \arrow (N,I)$ удовлетворяет $\dim N=\dim M$, 
$\dim N=\dim M-1$, либо $\dim N=0$.
\ез


\задача
Найдите комплексное
многообразие вещественной размерности
6, не допускающее симплектической структуры.
\ез

%\замечание
%Нет ни одного примера почти комплексного многообразия
%вещественной размерности 6, не допускающего
%комплексной структуры. Яу предполaгает, что
%таких нет ("гипотеза Яу").
%\еза

\задача
Постройте комплексную структуру на $SU(3)$.
Может ли оно быть кэлерово?
\ез


\задача
Постройте комплексную структуру на $S^3 \times S^3$.
Может ли оно быть кэлерово?
\ез

\задача
Постройте почти комплексное, компактное многообразие
с заданной наперед конечно-порожденной фундаментальной группой.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- грассманово многообразие двумерных плоскостей
в $\R^n$. Постройте на $M$ комплексную структуру.
\ез


%\задача
%{\бф Алгебраическая размерность} комплексного многообразия
%есть степень трансцендентности его поля  мероморфных
%функций над $\C$. Найдите алгебраическую размерность
%{\бф поверхности Хопфа} $\C^2 \backslash 0/(x\sim 2x)$.
%\ез


\end{document}