\documentclass[12pt]{article}

% version 1.0, 07.02.2014 
% version 1.1, 07.03.2014, добавил замечание про 
% формальную интегрируемость 

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   07.03.2014}
\newcommand{\firstdate}{21.02.2014}


\addtolength{\topmargin}{-7mm}
\addtolength{\textheight}{15mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-12mm}
\addtolength{\textwidth}{24mm}

\input{defs-listki.tex}

\begin{document}

\listok{2}{Комплексная алгебраическая геометрия,\\ листок 2:
теорема Ньюлендера-Ниренберга}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 2}

{\scriptsize
{\бф Правила:} 
Если сдано больше 1/3 задач, студент получает
$4t$ баллов, если больше 2/3 задач, $10t$ баллов, если 
все, кроме одной -- $15t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}

\замечание
В этом листочке, под интегрируемостью комплексной
структуры понимается формальная интегрируемость,
то есть зануление тензора Ниенхойса.
\еза 

\задача
Пусть $(M, I)$ -- однородное почти комплексное многообразие,
то есть снабженное транзитивным действием группы Ли $G$, 
сохраняющей почти комплексную структуру.
Предположим, что у точки $x\in M$
задан стабилизатор $g\in G$.

\енум
\итем Пусть $g\restrict{T_xM}=-1$ (в таком случае
$M$ называется {\бф симметрическое многообразие}).
Всегда ли $(M,I)$ интегрируемо?

\итем  Пусть $g\restrict{T_xM}=2$.
Всегда ли $(M,I)$ интегрируемо?

\итем Пусть все собственные
значения $g\restrict{T_xM}$ не равны 1.
Всегда ли $(M,I)$ интегрируемо?
\ее
\ез

\задача
Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное
многообразие, снабженное связностью $\nabla$ без кручения,
причем $\nabla(I)=0$. Докажите, что оно интегрируемо.
\ез

%\задача
%Приведите пример почти комплексного многообразия $(M,I)$, $\dim_\R M=6$,
%на котором росток любой голоморфной функции -- нулевой.
%\ез


\определение
Пусть $M$ -- почти комплексное многообразие, 
$A:\; \Lambda^* M\arrow \Lambda^*M$ -- эндоморфизм пространства
дифференциальных форм. {\бф Компоненты Ходжа} $A$
суть операторы $A^{p,q}$ такие, что $A=\sum_{p,q}A^{p,q}$,
а $A^{p,q}(\Lambda^{i,j}(M))\subset \Lambda^{i+p,j+q}(M)$.
\ео

\задача
Пусть $d^{1,0}:\; \Lambda^{i,j}(M)\arrow \Lambda^{i+1,j}(M)$ --
ходжева компонента дифференциала де Рама на комплексном многообразии.
Докажите, что $(d^{1,0})^2=0$ следует из интегрируемости
почти комплексной структуры.
\ез

\задача
Докажите, что из $(d^{1,0})^2=0$ следует интегрируемость.
\ез

%\задача
%Многообразие, снабженное распределением $B\subset TM$ коразмерности 1,
%таким, что форма Фробениуса $[B,B] \arrow TM/B$ невырождена, называется
%{\бф контактным}. Постройте контактную структуру на нечетномерной сфере.
%Постройте однородное компактное контактное
%многообразие, не диффеоморфное сфере.
%\ез

%\задача
%Пусть $(M,B)$ -- контактное многообразие.
%Докажите, что любые две точки можно соединить
%кусочно гладким путем, касательным к $B$
%в каждой точке.
%\ез

\задача
Пусть $G$ -- конечная группа, действующая на многообразии $M$,
а $Z\subset M$ -- связная компонента множества неподвижных точек $G$.
Докажите, что $Z$ гладко.
\ез

\задача
Пусть $\tau:\; M \arrow M$ -- инволюция почти комплексного многообразия
$(M,I)$, $\tau^*I=-I$, а $M^\tau$ -- множество
неподвижных точек $\tau$. Докажите, что $\dim_\R M^\tau=\frac{1}{2} \dim_\R M$.
\ез


%\задача
%Пусть $M$ --  многобразие, снабженное транзитивным
%действием группы $G$, а $B\subset TM$ -- 
%$G$-инвариантное распределение. Предположим, что у точки $x\in M$
%задан стабилизатор $g\in G$, причем $g\restrict{T_xM}=-1$.
%Всегда ли $B$ интегрируемо?
%\ез




\end{document}