\documentclass[10pt]{article}

% version 1.0, 07.02.2014 
% version 1.1, 11.02.2014 баллы поменял
% version 1.2, 18.02.2014, две задачи с ошибками поправил

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   18.02.2014}
\newcommand{\firstdate}{07.02.2014}

\addtolength{\topmargin}{-7mm}
\addtolength{\textheight}{15mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-7mm}
%\addtolength{\textwidth}{15mm}

\input{defs-listki.tex}

\begin{document}

\listok{0}{Комплексная алгебраическая геометрия\\ листок 0:
комплексные структуры.}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 0}

{\scriptsize
{\бф Правила:} 
Если сдано больше 1/3 задач, студент получает
$4t$ баллов, если больше 2/3 задач, $10t$ баллов, если 
все, кроме одной -- $15t$ баллов.
Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.
Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.
Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


\задача
Пусть $I,J,K:\; V \arrow V$ -- линейные операторы
на вещественном векторном пространстве $V$,
удовлетворяющие кватернионным соотношениям
$I^2=J^2=K^2=IJK=-\Id$, ортогональные относительно
евклидовой метрики $g$. Группа ортогональных 
автоморфизмов $V$, сохраняющих $I,J,K$, называется
$Sp(n)$, где $4n=\dim_\R V$. Группа унитарных
автоморфизмов комплексного векторного пространства,
сохраняющих комплексный детерминант, обозначается
$SU(n)$.
\енум
\итем Пусть $\omega_J(x,y)=g(x,Jy)$, $\omega_K(x,y)=g(x,Ky)$.
Докажите, что форма $\Omega:= \omega_J + \1 \omega_K$
имеет тип (2,0) относительно $I$.
\итем Докажите, что группа $Sp(1)$ изоморфна $SU(2)$ и 
диффеоморфна трехмерной сфере.
\итем Докажите, что $Sp(2)/\pm 1$ изоморфна $SO(5)$.
\ее
\ез

\задача
Пусть $V$ -- четырехмерное вещественное пространство,
снабженное евклидовой метрикой. Постройте естественный
диффеоморфизм между $S^2 \coprod S^2$ и пространством всех
ортогональных комплексных структур на $V$.
\ез

\задача
Пусть $(V,\omega)$ -- четырехмерное вещественное пространство,
снабженное симплектической формой. Пусть $Z$ - пространство
всех двумерных подпространств $W\subset V$, на которых 
зануляется $\omega$.\footnote{Такие подпространства
называются {\бф лагранжевыми}, а $Z$ -- {\бф лагранжев Грассманиан}.}
Докажите, что $Z$ расслоено над $S^1$ со слоем $S^2$.
\ез

\задача
Пусть $\rho$ -- 2-форма на вещественном векторном пространстве
$V$, снабженном оператором комплексной структуры $I$,
причем $\rho(x,Iy)= \rho(Ix,y)$. Докажите, что
$\rho$ есть вещественная часть $(2,0)$-формы.
\ез

\задача
(неравенство Виртингера)
Пусть $(V,I,g)$ -- вещественное векторное пространство,
снабженное комплексной структурой и эрмитовой метрикой,
а $\omega$ -- соответствующая эрмитова форма (симплектическая).
Рассмотрим ориентированное $2k$-мерное вещественное
подпространство $W\subset V$, и пусть $\Vol_W$ --
его форма евклидова объема, связанная с метрикой $g\restrict W$. Докажите, что
$k! \Vol_W \geq \omega^k\restrict W$,
причем равенство выполняется в точности когда
$I(W)=W$.
\ез

\end{document}