\documentclass[10pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-10mm}
\addtolength{\textheight}{20mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
%\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}

% version 1.0, 12.06.2014
% version 1.1, 13.06.2014 popravil opechatki

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   13.06.2014}

\newcommand{\firstdate}{13.06.2014}

\begin{document}

\listok{3}{Комплексная алгебраическая геометрия,\\ экзамен}
\lhead{\small Комплексная алгебраическая геометрия, июнь 2014, экзамен}

{\scriptsize
Каждому студенту выдается список задач для решения
(7 штук), по одной задаче из каждого раздела. Списки задач
составлены индивидуально с помощью рандомайзера. Задачи сдаются устно.
Число очков за это задание вычисляется по формуле
$b=10s$, где $s$ -- число баллов за задачи.
}

\subsection{Кэлеровы структуры}

\задача
Постройте $G$-инвариантную кэлерову структуру на $G/H$,
докажите интегрируемость комплексной структуры и замкнутость
эрмитовой 2-формы.
Проверьте единственность этой кэлеровой структуры (докажите
единственность либо найдите контрпример).
\енум
\итем[2 балла] $G=SO(2,n)$, $H=SO(2)\times SO(n)$.
\итем[2 балла] $G=SO(2+n)$, $H=SO(2)\times SO(n)$.
\итем[2 балла] $G=SO(2n)$, $H=U(n)$.
\итем[2 балла] $G=U(p,q)$, $H=U(p)\times U(q)$.
\итем[2 балла] $G=U(p+q)$, $H=U(p)\times U(q)$.
\ее
\ез

\задача
Постройте $G$-инвариантную комплексную структуру на $G/H$,
или докажите, что ее не существует.
\енум
\итем[2 балла] $G=SL(6)$, $H=SO(6)$.
\итем $G=GL(8)$, $H=SO(8)$.
\ее
\ез

%\итем[3 балла] $G=U(3)$, $H=SU(2)$, где $SU(2)$
%действует на $\C^3$ как на $2$-й симметрической
%степени своего тавтологического представления.
%\итем[3 балла] $G=SU(4)$, $H=U(2)$, где $U(2)$
%действует на $\C^4$ как на 3-й симметрической
%степени своего тавтологического представления.


\subsection{Теория Ходжа}

%\задача
%Пусть $(M,\omega,I)$ -- комплексное эрмитово многообразие,
%$L(\eta):= \eta\wedge\omega$
%оператор Ходжа, ${\goth d}:=[d^*, L]$, где $d^*$ эрмитово
%сопряженный с $d$. Рассмотрим оператор 
%${\goth d}_0:\; \Lambda^i(M)\arrow \Lambda^{i+1}(M)$,
%${\goth d}_0(x)={\goth d}(x)- {\goth d}(1)\cdot x$.
%Докажите, что ${\goth d}_0$ это дифференцирование.
%\ез

\задача
Пусть $(M,\omega,I)$ -- комплексное эрмитово многообразие,
$L(\eta):= \eta\wedge\omega$, $\Lambda:=L^*$ 
операторы Ходжа, а $d$, $d^c:= I dI^{-1}$ обычные дифференциалы.
Рассмотрим оператор $\Delta_\omega:= d\delta+\delta d$,
где $\delta:=[d^c, \Lambda]$. 
\енум
\итем
Докажите, что 
$\Delta_\omega$ коммутирует с $d$ и $d^c$.
\итем
Докажите, что $\Delta_\omega:\; \Lambda^*(M)\arrow\Lambda^*(M)$
не может быть сюрьективно, если $M$ компактно.
\ее
\ез


\задача
Биинвариантные формы на группе Ли суть формы,
инвариантные относительно левых и правых сдвигов.
Пусть $G$ -- компактная группа Ли, снабженная
биинвариантной метрикой. Докажите, что
все биинвариантные дифференциальные формы гармоничны.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- замкнутый шар с римановой метрикой, которая
гладко продолжается на границу, а $\alpha$ -- дифференциальная
форма, тоже гладко продолжающаяся на границу. Докажите, что
$\alpha\in \im \Delta$, где $\Delta$ -- оператор Лапласа,
связанный с $g$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $M$ -- риманово многообразие, гомотопически эквивалентное
конечному клеточному пространству. Докажите, что $i$-е
когомологии пучка гармонических форм конечномерны для $i>1$.
\ез


\задача
Пусть $M$ -- компактное кэлерово многообразие, 
$d$, $d^c:= I dI^{-1}$ обычные дифференциалы,
а $\alpha \in \ker dd^c$. Докажите, что для любой
замкнутой $(p,q)$-формы $\beta$, верно 
$\int_M \alpha \wedge d\alpha\wedge\beta=0$.
\ез

\subsection{Топология кэлеровых многообразий}

\задача
Пусть $M$ есть $\C P^4 \times \C P^4 \times \C P^4$
Докажите, что $M$ не допускает кэлеровой структуры
с ориентацией, которая противоположна обычной.
\ез

\задача
Пусть $M$ компактное кэлерово многообразие, $\dim_\C M =4$,
а $\bar M$ -- то же многообразие с противоположной ориентацией.
Докажите, что $\bar M$ не допускает кэлеровой структуры
или постройте контрпример.
\ез

\задача
Пусть $M$ компактное комплексное многообразие,
а $\pi_1(M)\cong G$, где $G$ есть группа целочисленных
матриц $4\times 4$, у которых на диагонали 1, а под диагональю 0.
Докажите, что $M$ не кэлерово.
\ез

\задача
Пусть $(M, \omega)$ компактная кэлерова поверхность,
$\alpha\in H^{1,1}(M)$ замкнутая форма, а $\int_M \alpha^2>0$. Докажите, что
$\int_M \alpha \wedge \omega \neq 0$.
\ез


\задача[2 балла]
Пусть $M=\C P^2 \sharp \C P^2$ (связная сумма).
Докажите, что $M$ не допускает кэлеровой структуры.
\ез

\задача
Для любого заданного $n>0$,
найдите многообразие размерности
$n$, с $b_2\neq 0$, не допускающее симплектической структуры.
\ез


\subsection{Проективные многообразия}

\задача
Пусть $M$ -- компактное, непроективное 
кэлерово многообразие, $H^{2,0}(M)$
одномерно, а $\phi:\; M \arrow M$ --
голоморфная инволюция, не имеющая неподвижных точек. 
Докажите, что $\phi$ действует тривиально на $H^{2,0}(M)$.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- компактное
кэлерово многообразие, $H^{1,1}(M)$
одномерно, а $\phi:\; M \arrow M$ --
голоморфный автоморфизм. Докажите, что $\phi$ 
действует тривиально на $H^{1,1}(M)$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $M\subset \C P^n$ многообразие Калаби-Яу, а 
$\phi:\; \C P^n \arrow \C P^n$ автоморфизм, сохраняющий $M$.
Докажите, что существует метрика Фубини-Штуди на $\C P^n$
такая, что $\phi$ является изометрией.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- проективное многообразие, а $\phi:\ M \arrow M$
-- автоморфизм. Докажите, что существует $\phi$-инвариантная
кэлерова метрика, или найдите контрпример.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- компактная комплексная поверхность, 
$\pi:\; M \arrow S$ -- голоморфное отображение на кривую,
а $C$ -- гладкий слой $\pi$.  Докажите, что
$\deg K_M\restrict C=2g-2$, где $K_M=\Lambda^{2,0}(M)$
есть каноническое расслоение $M$, а $g$ -- род кривой $C$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $L$ -- обильное линейное расслоение на проективном многообразии,
а $h$ -- эрмитова метрика с положительной кривизной. Рассмотрим функцию
$l:\; \Tot L \arrow \R^{\geq 0}$ на тотальном пространстве $L$,
переводящую вектор в его длину. Докажите, что $dd^c l$ - 
кэлерова метрика на пространстве $\Tot L \backslash 0$
ненулевых векторов.
\ез

%\задача
%Пусть $Z\subset \C P^n$ -- гладкий дивизор.
%Постройте на дополнении $\C P^n\backslash Z$
%строго плюрисубгармоническую функцию.
%\ез



\subsection{Голоморфные расслоения, дифференциальные формы и потоки}


\задача
Найдите пример собственного морфизма гладких многообразий
$f:\; X \arrow Y$, и гладкой формы $\alpha$ на $X$, такой,
что поток $f_* \alpha$ не представляется гладкой формой.
\ез


\задача
Пусть $M$ гладкое многообразие с транзитивным действием
группы Ли $G$. Докажите, что каждый $G$-инвариантный поток
на $M$ -- дифференциальная форма.
\ез


\задача[2 балла]
Пусть $f:\; X \arrow Y$ собственный, сюрьективный 
морфизм гладких комплексных многообразий размерности 
2, а $\alpha$ -- дифференциальная форма на $X$.
Докажите, что поток $f_* \alpha$ 
вне какого-то конечного множества
равен дифференциальной форме.
\ез


\задача
Пусть $f_1$, $f_2$ --  голоморфные
функции на кэлеровом многообразии. 
Докажите, что функция $\Delta (\log (|f_1|^2+|f_2|^2))$ 
неотрицательна.
\ез

\задача
Пусть $f, g$ -- плюрисубгармонические функции, а
$M:\; \R \times \R \arrow \R$ гладкая функция,
которая выпукла вниз. Пусть она также монотонна по обоим аргументам.
Докажите, что $M(f,g)$ плюрисубгармонична.
\ез

\задача
Пусть $B$ --
нетривиальное голоморфное линейное расслоение на комплексном
многообразии, а $h$ -- метрика на $B$ с 
неположительной кривизной связности Черна. 
Докажите, что $B$ не имеет ненулевых голоморфных сечений.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Уравнение Монжа-Ампера}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $\phi$ есть решение уравнения Монжа-Ампера
$(\omega+ dd^c \phi)^2 = e^f \omega^2$ на компактной
кэлеровой поверхности. Докажите, что $\int_M |d\phi|^2\omega^2\leq 
C(f, \omega)\int |\phi|\omega^2$, где $C(f, \omega)$
есть константа, которая непрерывно зависит от $f$ и $\omega$
и не зависит от $\phi$.
\ез

%\задача
%Пусть $M$ компактное гладкое $n$-мерное
%вещественное многообразие, $A:\; \Lambda^1(M)\arrow \Lambda^{n-1}(M)$
%$C^\infty M$-линейное отображение, такое, что $\int_М \alpha \wedge A(\alpha)>0$
%для любой ненулевой 1-формы $\alpha$, а $V\in \Lambda^n$ --
%форма объема. Рассмотрим уравнение $V=dAd\phi$, где $\phi \in C^\infty M$.
%Докажите, что для любых двух решений $\phi_1, \phi_2$,
%верно $\phi_1-\phi_2=\const$.
%\ез

\задача
Пусть $(M,\omega)$ -- $n$-мерное кэлерово многообразие,
а $\phi$ -- решение уравнения $(\omega+ dd^c\phi)^{n-k}\wedge \omega^k=\omega^n$,
причем форма $\omega+ dd^c \phi$ кэлерова.
Докажите, что $\phi=\const$.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- компактное, комплексное $n$-многообразие,
$\omega$ -- замкнутая невырожденная $(1,1)$-форма, 
а $\phi\in C^\infty M$ -- решение уравнения
$(\omega+ dd^c \phi)^n= e^f \omega^n$. Докажите, что
$\omega+ dd^c \phi$ имеет ту же сигнатуру, что и 
$\omega$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $\phi_1, \phi_2$ -- плюрисубгармонические функции
на шаре $B\subset \C^n$, гладко продолжающиеся на границу $\6 B$, причем
$(dd^c\phi_1)^n=(dd^c\phi_2)^n$ и 
$\phi_1\restrict{\6 B}=\phi_2\restrict{\6 B}$.
Докажите, что $\phi_1=\phi_2$.
\ез

\задача
Пусть $(M,\omega)$ -- компактное кэлерово многообразие,
$\dim_\C M=4$, а $\Omega\in \Lambda^{2,0}(M)$ --
голоморфная симплектическая форма. Предположим, что
для кэлеровой формы $\omega_1$, когомологичной 
$\omega$, имеет место $\omega_1^2 \wedge\Omega\wedge \bar\Omega=
\omega^2 \wedge\Omega\wedge \bar\Omega$. Докажите, что
$\omega=\omega_1$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $M$ -- компактное кэлерово многообразие с тривиальным
каноническим расслоением (многообразие Калаби-Яу), 
снабженное риччи-плоской метрикой $\omega_0$,
а $\omega_t$ гладкое семейство кэлеровых метрик
$t\in [-\epsilon, +\epsilon]$ таких, что $\dot\omega_t$
гармонично по отношению к метрике $\omega_t$.
Докажите, что $\omega_t$ риччи-плоская.
Можно пользоваться теоремой Калаби-Яу.
\ез


\subsection{Ростки подмногообразий}


\задача
Пусть $M$ -- связное комплексное многообразие,
допускающее непостоянную голоморфную функцию,
а $R$ -- кольцо голоморфных функций на $M$.
Докажите, что $R$ не нетерово.
\ез

\задача
Пусть $f$ -- голоморфная функция на гладком
комплексном многообразии $M$, а $V(f)$ -- ее множество 
нулей. Докажите, что для каждой точки $z\in V(f)$, есть
окрестность $U\ni z$ такая, что пересечение $V(f)\cap U$
связно.
\ез

\задача
Пусть $M\subset \C^n$ -- росток неприводимого
комплексного многообразия в $0$, размерности $\geq 2$,
а $f$ -- голоморфная функция на $M\backslash 0$.
Докажите, что $f$ продолжается до 
мероморфной функции на $M$.
\ез

%\определение
%Пусть $Z\subset \C^n$ -- росток неприводимого многообразия в 0,
%а $z_1, ..., z_d, ..., z_n$ -- регулярные координаты.
%Вне дискриминанта, регулярные координаты задают
%$q$-листную проекцию $Z \arrow \C^d$. {\бф Степень}
%$Z$ есть минимум $q$ для всех регулярных координат.
%\ео
%
%\задача
%Пусть $Z$ -- росток многообразия степени 2.
%Постройте инволюцию $Z \stackrel \tau \arrow Z$ такую,
%что $Z/\tau$ гладко.
%\ез
%
%\задача
%Пусть $Z\subset \C^n$ есть множество общих нулей
%неприводимого однородного полинома степени $q$.
%Докажите, что $\deg Z=q$.
%\ез

\задача
Пусть $Z\subset \C^n$ -- подмногообразие, заданного
как множество нулей неприводимого однородного полинома.
Докажите, что его росток в нуле неприводим.
\ез

\задача
Пусть $G$ -- связная компактная группа Ли, действующая на $\C^n$
и сохраняющая росток подмногообразия $Z$ в нуле.
Докажите, что идеал $Z$ в кольце ростков голоморфных функций
порождается $G$-инвариантными
функциями, или найдите контрпример.
\ез


\задача 
Пусть $X_1, X_2$ -- ростки комплексных многообразий. 
Рассмотрим фактор $X_1 \sim_Z X_2$ полученный отождествлением
отмеченных точек. 
Докажите, что это росток комплексного
многообразия.
\ез


\end{document}