\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\sing}{{\text{\sf sing}}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 15 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексная алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 15: теорема Чжоу} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва \\[2mm] 6 июня 2014 } \end{center} \vfil \begin{center} {\Large\bf \red 13-го июня экзамен (12:00)! \\ (праздник) } \end{center} \vfil \newpage {\бф \блуе Комплексно-аналитические множества и их ростки (повторение)} \определение {\бф \блуе Комплексно-аналитическое подмножество} комплексного многообразия $M$ есть замкнутое подмножество $Z\subset M$, которое локально биголоморфно подмножеству в $U\subset \C^n$, заданному как множество общих нулей какого-то идеала $I\subset \calo_U$. \определение Пусть $Z_1, Z_2\subset M$ комплесно-аналитические подмногообразия. Они называются {\бф \блуе эквивалентными в $x$}, если $Z_1 \cap U = Z_2 \cap U$ для какой-то окрестности $U\ni x$. {\бф \блуе Росток комплексно-аналитического подмножества} в $x\in M$ есть класс эквивалентности комплексно-анали\-тических подмножеств $Z\subset U\ni x$ по отношению к "эквивалентности в $x$." \определение Росток комплексно-аналитического подмножества $Z$ в $x\in M$ называется {\бф \блуе неприводимым}, если не существует нетривиального разложения $Z= A_1 \cup A_2$ на два комплексно-аналитических подмножества. \утверждение Росток комплексно-аналитического подмножества $Z$ {\бф \ред неприводим тогда и только тогда, когда идеал $I_Z$ ростков функций, зануляющихся в $Z$, простой.} \следствие {\бф \пурпле Каждый росток комплексно-аналитического множества разлагается в конечное объединение неприводимых.} \невпаге {\бф \блуе Регулярная система координат для идеала (повторение)} \теорема Пусть $J$ -- простой идеал в $\calo_n$ {\бф \ред Тогда найдется система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$ в окрестности 0, такая, что} 1. $J_d=0$, где $J_d$ -- множество функций $f\in J$, которые зависят только от первых $d$ координат. \\ \ \ \ 2. Для каждого $k>d$, найдется полином Вейерштрасса $P_k\in J_k$ вида $P_k(z_1, ..., z_{k-1}, z_k) =z_k^{s_k}+ \sum_{i=0}^{s_k-1} \alpha_i z_k^i$, где $\alpha_i$ -- аналитические функции, которые зависят только от первых $k-1$ координат. \\ \ \ \ 3. {\бф \ред Идеал $J$ порожден $P_i$.} Более того, система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$ может быть выбрана таким образом, что {\бф \ред векторы $\frac d {dz_i}\restrict 0$ будут сколь угодно близки к любому заданному базису в $T_0 \C^n$.} \теорема {\бф \блуе (Tеорема о конечности)}\\ Пусть $z_1, ..., z_n$ -- регулярная система координат для идеала $J\subset \calo_n$, а $\calo_d$ -- голоморфные функции, зависящие только от $z_1, ..., z_d$. Тогда {\бф \ред кольцо $\calo_n/J$ конечно порождено как $\calo_d$-модуль.} \следствие Каждый росток комплексно-аналитического множества {\бф \пурпле допускает конечное, сюрьективное отображение на $k$-мерный диск.} \невпаге {\бф \блуе Комплексные многообразия (повторение)} \определение Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое подмножество. Назовем точку $z\in Z$ {\бф \блуе гладкой}, если в окрестности $z$, $Z$ -- гладкое подмногообразие, и {\бф \блуе особой} в противном случае. \теорема Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое подмножество, а $Z_{\sing}\subset Z$ -- множество особых точек $Z$. {\бф \ред Тогда $Z_{\sing}$ -- комплексно-аналитическое подмножество,} а его дополнение плотно в $Z$. \определение {\бф \блуе Комплексное многообразие} (``variety'') есть окольцованное пространство, локально изоморфное комплексно-аналитичес\-кому подмножеству с пучком голоморфных функций на нем. \пример Если $X$ -- комплексное многообразие, то {\бф \пурпле $X_\sing$ -- комплексное подмногообразие в нем.} \определение Комплексное многообразие называется {\бф \блуе неприводимым}, если его нельзя разложить в нетривиальное конечное объединение замкнутых комплексных подмногообразий. \упражнение Докажите, что комплексное многообразие {\бф \пурпле неприводимо тогда и только тогда, когда множество его гладких точек связно.} \невпаге {\бф \блуе ``Принцип максимума''} \теорема {\бф \блуе (``Принцип максимума для голоморфных функций'')} Пусть $f$ -- голоморфная функция на компактном, неприводимом комплексном многообразии $Z$, причем $|f|$ достигает максимума в какой-то точке $Z$. {\бф \ред Тогда $f$ постоянна.} Немедленно вытекает из следующего утверждения. \утверждение Пусть $f$ -- непостоянная голоморфная функция на неприводимом комплексном многообразии $Z$. {\бф \ред Тогда $f$ открыто,} то есть переводит открытые множества в открытые. \доказательство Пусть $x \in Z$. Воспользовавшись регулярными координатами, найдем неприводимый росток гладкой кривой $C\arrow Z_x$, на которой $f$ непостоянно. {\bf \purple Тогда $f\restrict C$ содержит окрестность $f(x)$.} \ендпрооф \следствие Пусть $Z\subset \C^n$ -- компактное комплексное подмногообразие. {\бф \ред Тогда $Z$ -- конечное множество.} \доказательство Голоморфные функции разделяют точки $Z$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Конечные отображения и размерность} \определение {\бф \блуе Собственное отображение} топологических пространств есть непрерывное отображение, такое, что прообраз любого компакта компактен. \определение {\бф \блуе Конечное отображение} комплексных многообразий есть голоморфное отображение, которое собственно, причем прообраз любой точки -- конечное множество. \определение {\бф \блуе Размерность} неприводимого комплексного многообразия есть размерность множества его гладких точек. Размерность приводимого многообразия есть максимум размерностей всех его компонент. \упражнение Докажите, что {\бф \ред $\dim X > \dim X_{\sing}$.} \невпаге {\бф \блуе Теорема о постоянном ранге} \теорема {\бф \блуе ("теорема о постоянном ранге")} Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение, причем $X$ гладко, а ранг $\rk F:= \rk dF$ постоянный. Тогда {\bf \red у каждой точки $x\in X$ есть окрестность $U\ni x$, такая, что $F(U)$ - гладкое многообразие размерности $\rk F$, а слои $F^{-1}(z)\cap U$ -- гладкие подмногообразия размерности $\ker dF$.} \дшаг Если $\rk F=0$ в $x\in X$, то $F$ задает гладкое вложение окрестности $x$ в $Y$, по теореме о неявной функции. {\бф \греен Шаг 2:} Если же $\rk F=k$, заменим $Y$ на $Y\times \C^k$, а $F$ на $F\times f$, где $f:\; X \arrow \C^k$ выбрано таким образом, что ранк $F\times f$ равен нулю. Затем применим к $F\times f$ утверждение шага 1. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Свойства конечных отображений} \лемма Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение комплексных многообразий, которое {\бф \блуе конечно}, то есть собственно и имеет конечные слои. {\бф \ред Тогда $\dim X \leq \dim Y$.} \доказательство Воспользовавшись теоремой о конечности, найдем конечное отображение из $Y$ в диск $D$ той же размерности. Заменив $Y$ на $D$, можно считать, что $Y$ это диск. Пусть $x\in X$ -- гладкая точка, в которой $dF$ имеет максимальный ранг. Тогда {\бф \пурпле слой $F$ в $x$ имеет ту же размерность, что и $\ker dF\restrict x$, по теореме об обратной функции.} Следовательно, $\ker dF=0$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Свойства конечных отображений (продолжение)} (*) \утверждение Пусть $F:\; \C^n \arrow \C^m$ -- гладкое, голоморфное отображение, сохраняющее 0, а $Z\subset \C^n$ -- росток комплексно-аналитического подмножества в нуле, такой, что $F^{-1}(0)\cap Z=0$. {\бф \red Тогда $F:\; Z\cap U\arrow U'$ конечно для каких-то окрестностей нуля в $\C^n$, $\C^m$.} \доказательство Произведя локальную замену координат, можно считать, что $F$ есть линейная проекция. Возьмем окрестность 0 в $\C^n$ в виде полидиска $D \times D'$, где $F$ проектирует $D \times D'$ на $D'$ вдоль $D$. Выбрав $D'$ достаточно маленьким, можно считать, что $Z\cap \6 D \times D'=\emptyset$. Действительно, $Z \cap \6 D\times D'$ замкнуто, а его пересечение с $F^{-1}(0)$ пусто. Поскольку слой $F^{-1}(t) \cap Z$ -- замкнутое подмножество, не пересекающее границы диска, оно компактно в $D\times \{t\}$. Из этого следует, что $F\restrict {Z\cap D \times D'}:\;Z\cap D \times D\arrow D'$ -- собственное отображение. {\bf \purple Конечность слоев $F\restrict {Z\cap D \times D'}$ следует из принципа максимума} (компактное подмногообразие диска конечно). \endproof \невпаге {\бф \блуе Ранг голоморфного отображения} \определение Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение комплексных многообразий. Определим {\бф \блуе ранг $F$ в $x$} как $\rk_x F:=\dim (X,x) - \dim (F^{-1}(F(x)),x)$. \теорема {\бф \ред Ранг $\rk_x F$ полунепрерывен сверху как функция $x$.} \доказательство Пусть $F:\; (X,x) \arrow (Y,y)$ -- росток голоморфного отображения, причем $F^{-1}(y)$ имеет размерность $k$. Будем считать, что $(X,x)$ вложено в $(\C^n,0)$. Рассмотрим общую гиперплоскость $V\subset \C^n$ размерности $n-k$, которая проходит через $x$ и пересекается с $F^{-1}(y)$ по конечному множеству. {\бф \пурпле Тогда $F\restrict V\cap X$ -- конечное отображение в некоторой окрестности $x$, в силу утверждения (*), поэтому $F^{-1}(F(x'))$ пересекается с $V$ по конечному множеству для любого $x'$ в окрестности $x$.} Следовательно. $\dim F^{-1}(F(x'))\leq \dim (F^{-1}(F(x)),x)$. \endproof \замечание Мы доказали, что {\бф \ред множество точек $x$, где $\rk F$ максимален, открыто.} \невпаге {\бф \блуе Теорема о ранге отображения} \теорема {\бф \блуе ("теорема о ранге")} Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- сюрьективное голоморфное отображение комплексных многообразий. {\bf \red Тогда \[ \dim Y = \sup_{x\in X} \rk(F,x).\]} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Пусть $X_1\subset X$ -- множество гладких точек $X$, где ранг максимален. Тогда $\dim F(X_1)= \sup_{x\in X} \rk(F,x)$ по теореме о постоянном ранге. Значит, {\бф \purple $F(X_1)$ имеет размерность $\sup_{x\in X} \rk(F,x)$.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $X_1'$ -- множество гладких точек в дополнении к $X_1$; это открытое, гладкое, плотное подмногообразие в $X$. Обозначим за $X_2$ множество точек $X_1'$, где $\rk (F\restrict{X_1'})$ максимален. Повторив эту процедуру, получим {\bf \purple набор непересекающихся, открытых, гладких подмногообразий $\overline{X_1 \coprod X_2 \coprod X_3 \coprod ...}=X$, причем $\rk F\restrict{X_i}$ постоянный на каждом $X_i$ и убывает как функция $i$.} {\бф \греен Шаг 3:} Снова применив теорему о постоянном ранге, получим, что $\dim F(X_i)< \dim F(X_1)$, значит, {\bf \purple $F(X)$ есть замыкание объединения комплексных подмногообразий ранга $\leq \sup_{x\in X} \rk(F,x)$.} \endproof \невпаге {\бф \блуе Теорема Реммерта и Реммерта-Штейна (схема доказательства)} \теорема {\бф \блуе ("Теорема Реммерта-Штейна")} Пусть $X$ -- комплексное многообразие, $A\subset X$ -- комплексно-аналитическое подмножество, а $Z$ -- неприводимое комплексно-аналитическое подмножество в $X\backslash A$. Предположим, что $\dim Z> \dim A$. {\бф \ред Тогда замыкание $\bar Z$ комплексно-аналитично в $X$.} \теорема {\бф \блуе ("Теорема Реммерта о собственном отображении")} Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- собственный морфизм комплексных многообразий. {\бф \ред Тогда $F(X)$ комплексно-аналитично в $Y$.} Доказательство этих теорем ведется индуктивно.\\ {\бф \блуе (РШ$_m$):} утверждение теоремы Реммерта-Штейна верно для $\dim X\leq m$.\\ {\бф \блуе (Р$_m$):} утверждение теоремы Реммерта верно для $\dim X\leq m$. Мы доказываем два утверждения: {\бф \греен А.} (РШ$_m$) и (Р$_{m-1}$) влечет (Р$_m$). \\ {\бф \греен Б.} (Р$_{m-1}$) влечет (РШ$_m$). \невпаге {\бф \блуе Теорема Реммерта и Реммерта-Штейна: утверждение А.} {\бф \греен Доказательство импликации А: (РШ$_m$) и (Р$_{m-1}$) $\Rightarrow$ (Р$_m$):} {\бф \греен Шаг 1:} Пусть $X_1$ -- множество всех точек $X$, где $rk(F)$ не максимальный, а $X':= X \backslash (X_\sing\cup X_1)$. По теореме о постоянном ранге, {\бф \пурпле $F(X')$ аналитическое в окрестности каждой точки, которая не принадлежит $F(X_1) \cup F(X_\sing)$.} {\бф \греен Шаг 2:} Воспользовавшись (Р$_{m-1}$), можно считать, что {\бф \пурпле $F(X_1)$ и $F(X_\sing)$ комплексно-аналитические.} {\бф \греен Шаг 3:} По теореме о ранге, \begin{multline*} \dim F(X_\sing) = \sup_{x\in X_\sing} \rk (F\restrict {X_\sing},x)=\\ \dim X_\sing - \inf_{x\in X_\sing } \dim F^{-1}(F(x)) < \rk\sup_{x\in X} \rk (F,x)= \dim F(X'). \end{multline*} Аналогично, $\dim F(X_1) = \sup_{x\in X_1} \rk (F\restrict {X_1},x)< \sup_{x\in X}\rk (F,x)=\dim F(X')$. {\бф \греен Шаг 4:} Теперь утверждение А {\бф \пурпле получается применением РШ$_{m}$ к $Z=F(X')$ и $A=F(X_1) \cup F(X_\sing)$.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Реммерта и Реммерта-Штейна: утверждение Б.} {\бф \греен Доказательство импликации Б: (Р$_{m-1}$) $\Rightarrow$ (РШ$_m$):}\\ {\бф \греен Шаг 1:} Воспользовавшись индукцией по $\dim A$, {\бф \пурпле можно считать, что $A$ гладко, а $Z$ неприводимо.} {\бф \греен Шаг 2:} Применив подходящий голоморфный диффеоморфизм, можно считать, что $Z$ вложено в диск $B\subset \C^n$, а $A\subset B$ -- линейное подпространство там же. Рассмотрим линейную форму, которая не равна тождественно нулю на $Z$. Она высекает на $Z$ подмногообразие положительной коразмерности. Воспользовавшись индукцией, мы {\бф \пурпле построим линейную проекцию $F:\; B \arrow \C^{\dim Z}$ такую, что $F^{-1}(0) \cap (Z\cup A)$ имеет размерность ноль.} {\бф \греен Шаг 3:} Применив тот же аргумент, что доказывает утверждение (*), найдем полидиск $D\times D'\subset B$ такой, что проекция $F$ отображает $D\times D'$ в $D'$, причем {\бф \пурпле $F\restrict {(Z\cup A)\cap D \times D'}:\;(Z\cup A)\cap D \times D\arrow D' $ конечно} (собственно и с конечными слоями). Заменим $Z$ на $Z\cap D \times D'$ и $A$ на $A\cap D \times D'$. {\бф \греен Шаг 4:} Пусть $A'$ -- объединение $A$ и множества всех точек, где $F\restrict Z$ не диффеоморфизм, а $Z':= Z \backslash F^{-1}(F(A'))$. Тогда $F\restrict {Z'}$ -- конечное и неразветвленное накрытие, следовательно, оно $q$-листно. Множество $A'\cap Z$ аналитично потому что это дискриминант голоморфного отображения. {\бф \ред В силу (Р$_{m-1}$), образ $F(A'\cap Z)$ -- комплексно-аналитический.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Реммерта и Реммерта-Штейна: утверждение Б (продолжение).} {\бф \греен Шаг 5:} Пусть $F_1:\; D \times D'\arrow D_1\times D'$ -- линейная проекция, тождественная на $D'$, причем диск $D_1$ одномерен. Легко видеть, что \[ \bar Z=\{ x\in D\times D'\ \ |\ \ \ \forall F_1\in {\cal I}, \ \ F_1(x)\in F_1(\bar Z)\}, \] где ${\cal I}$ есть множество всех таких $F_1$. Поэтому для доказательства (РШ$_m$), достаточно убедиться, что $F_1(\bar Z)$ комплексно-аналитическое. Значит, {\бф \пурпле можно считать, что диск $D$ одномерен.} {\бф \греен Шаг 6:} В этой ситуации, $Z'$ есть график $q$-листного отображения \[ D'\backslash F(A')\arrow \Sym^q(\C),\ \ \ \zeta_1, ..., \zeta_q:\; D'\backslash F(A')\arrow \C. \] Коэффициенты элементарных симметрических полиномов от $\zeta_1, ..., \zeta_q$ -- голоморфные функции на $D'\backslash F(A')$, которые ограничены на $D'$, значит, {\бф \пурпле продолжаются до голоморфных функций $e_0, ..., e_{q-1}$ на $D'$. } {\бф \греен Шаг 7:} Мы получили, что замыкание $Z$ {\бф \ред задается уравнением \\ $t^q + e_1 t^{q-1}+ ... + e_q=0$ в $\C \times D'$,} значит, $Z'$ комплексно-аналитично. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Теорема Чжоу.} \определение Подмножество $\C P^n$ называется {\бф \блуе проективным подмногообразием}, если это множество общих нулей однородного идеала в кольце однородных полиномов на $\C^{n+1}$. \теорема Пусть $Z\subset \C P^n$ -- замкнутое комплексно-аналитическое подмножество. {\бф \ред Тогда $Z$ проективно.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Рассмотрим естественную проекцию \\ $\C^{n+1}\backslash 0 \arrow \C P^n$, и пусть $C_0(Z)$ -- прообраз $Z$. {\бф \ред Применив Реммерта-Штейна, получим, что его замыкание $C(Z)$ -- комплексное подмногообразие.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $I_Z$ -- идеал $C(Z)$ в кольце ростков. Рассмотрим действие $\C^*$ на $\C^{n+1}$ растяжениями. Поскольку $Z$ $\C^*$-инвариантно, {\бф \пурпле идеал $I_Z$ $\C^*$-инвариантен.} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $f\in I_Z$, а $f= \sum P_i$ ее разложение в ряд Тэйлора, где $P_i$ -- однородные полиномы степени $i$ на $\C^{n+1}$. Тогда $\C^*$ действует на $f$ по формуле $\rho_\lambda(f) = \sum \lambda^i P_i$. Поскольку $I_Z$ $\C^*$-инвариантно, {\бф \пурпле функции $\frac {d^s}{d\lambda^s}\rho_\lambda(f)= \sum_{r=s}^\infty\binom r s \lambda^{r-s}P_r$ лежат в $I_Z$.} {\бф \греен Шаг 4:} Положив $\lambda=0$, получим, что {\бф \ред $P_r\in I_Z$ для любого $r\geq 0$.} \ендпрооф \newpage \vfil {\Large\bf \red 13-го июня экзамен (12:00)! \\ (праздник) } \vfil \end{document}