\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 13 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексная алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 13: ростки многообразий} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва \\[2mm] 23 мая 2014 } \end{center} \newpage {\бф \блуе Кольцо ростков комплексно-аналитических функций} \упражнение Пусть $U \subset U'$ -- открытые, связные подмножества комплексного многообразия. Докажите, что тогда {\бф \пурпле соответствующие кольца голоморфных функций} тоже вложены: $\Gamma(\calo_{U'}) \subset \Gamma(\calo_{U})$. \определение Пусть $М$ -- комплексное многообразие, $x\in M$. {\бф \блуе Кольцо ростков} комплексно-аналитических функций в $x$ есть объединение колец $\Gamma(\calo_U)$ для всех связных открытых подмножеств $M$, содержащих $x$. Кольцо ростков аналитических функций на $(\C^n, 0)$ обозначается $\calo_n$. \определение Кольцо называется {\бф \блуе локальным}, если в нем есть идеал $I$ (называемый {\бф \блуе максимальным идеалом кольца}) такой, что каждый элемент $a\not\in I$ обратим. \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле кольцо ростков комплексно-анали\-ти\-ческих функций локально.} \newpage {\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (формулировка)} \определение Пусть $z_1, ..., z_n$ -- координаты на $\C^n$. {\бф \блуе Полином Вейерштрасса} есть функция вида $A_0 + z_n A_1 + ... + z_n^k A_k$, где $A_i\in \calo_{n-1}$ -- аналитические функции, зависящие только от $z_1, ..., z_{n-1}$. Полином Вейерштрасса часто записывается в виде $P(z, z_n)$, где $z$ обозначает совокупность координат $z_1, ..., z_{n-1}$. \теорема {\бф \блуе (Подготовительная теорема Вейерштрасса)}\\ Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности 0 в $\C^n$, такая, что $\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0. {\бф \пурпле Тогда для какого-то полидиска, $F$ можно разложить как $F=u(z)P(z, z_n)$, где $u$ обратима, а $P$ -- полином Вейерштрасса со старшим коэффициентом 1.} Более того, такое разложение единственно. \замечание Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности $\C^n$, которая имеет в 0 нуль порядка $k$ (и не больше). Тогда для любого выбора координат, $\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ конечен, и для почти любого - $\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}\neq 0$, что ясно из разложения Тейлора (проверьте). То есть {\бф \ред подготовительная теорема Вейерштрасса применима к любой комплексно-аналитической функции}. \newpage {\бф \блуе Формула Ньютона} \определение Пусть $\alpha_1, ..., \alpha_l$ -- набор независимых переменных, а $e_i$ -- коэффициенты многочлена $t^l+ e_{l-1}t^{l-1}+ ... + e_1 t + e_l:= \prod_i (t+\alpha_i)$. Тогда $e_j$ называются {\бф \блуе элементарными симметрическими полиномами} от $\alpha_i$. \теорема {\бф \блуе (Тождества Ньютона)} Пусть $Q_j:= \sum_i \alpha^j$. {\бф \пурпле Тогда элементарные симметрические полиномы $e_0, ..., e_{l-1}$ полиномиально выражаются через $Q_1, ..., Q_l$,} с рациональными коэффициентами. \доказательство Имеет место {\бф \блуе тождество Ньютона}: \[ k e_k = \sum_{i=0}^{k-1} (-1)^ie_{k-i}Q_i.\] Чтобы это усмотреть, напишем производящую функцию $E(t):= \prod_i (1-t \alpha_i) = \sum_i (-1)^i t^i e_i$. Дифференцируя по $t$, получаем \[ \frac{E'(t)}{E(t)}=\sum_i\frac{-\alpha_i}{1-t\alpha_it}= -\sum_i\sum_{j=1}^\infty \alpha_i^j t^{j-1}. \] Пусть $Q(t):= \sum_{j=1}^\infty Q_j t^j$. Из предыдущей формулы получаем $tE'= -EQ$, что доказывает тождество Ньютона. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (доказательство)} \замечание Для доказательства подготовительной теоремы Вейерштрасса, {\бф \пурпле мы рассматриваем множество нулей $F$ как особое подмногообразие $\C^n$, которое снабжено $k$-листным разветвленным накрытием над $\C^{n-1}$}, и строим полином Вейерштрасса с тем же множеством нулей. \упражнение Пусть $f$ -- голоморфная функция на диске, ненулевая на его границе $\6\Delta$, а $S_k(f):= \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6\Delta} \frac {f'}f z^k dz$. Тогда $S_k(f)= \sum \alpha_i^k$, где $\alpha_i$ -- все нули $f$, взятые с кратностями. {\бф \греен Указание:}\ Формула Коши. {\бф \греен Доказательство подготовительной теоремы Вейерштрасса:}\\ Поскольку $\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0, в некотором полидиске $\Delta(n-1,1):= B_r(z_1, ... z_{n-1}) \times \Delta_{r'}(z_n)$ бирадиуса $r, r'$, $F(z, z_n)\neq 0$, когда $|z_n|=r'$. В этом полидиске мы построим разложение $F=u P$. {\бф\греен Шаг 1:} Пусть ${\goth S}_k(z):= S_k(F(z, \cdot))$. где $z\in B_r(z_1, ... z_{n-1})$. В силу формулы Руше (или упражнения выше), {\бф \пурпле ${\goth S}_0(z)$ равно числу нулей $F(z, \cdot)$ на диске $\Delta_{r'}$.} Поскольку ${\goth S}_0(z)$ непрерывно зависит от $z$, {\бф \ред число нулей постоянно.} \newpage {\бф \блуе Доказательство подготовительной теоремы Вейерштрасса \\(продолжение)} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $e_l(z)$ -- элементарные полиномы от этих нулей, обозначенных за $\alpha_i(z)$. В силу упражнения выше, сумма $l$-х степеней $\alpha_i(z)$ равна ${\goth S}_l(z)$. {\bf \purple Воспользовавшись тождеством Ньютона, мы выразим $e_l(z)$ через ${\goth S}_l(z)$, получив голоморфные функции от $z_1, ..., z_{n-1}$.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $P(z, z_n):= z_n^k + \sum_{i=0}^{k-1} (-1)^{i} e_i(z) z^i$. Поскольку $P(z, z_n)$ имеет те же нули, что и $F$, и с теми же кратностями, {\bf \red их частное обратимо в $\Delta(n-1,1)$.} \endproof \newpage {\бф \блуе Tеорема Вейерштрасса о делении} \теорема {\бф \блуе (Tеорема Вейерштрасса о делении)} Пусть $P(z, z_n)$ -- полином Вейерштрасса степени $k$. {\бф \пурпле Тогда каждая голоморфная функция $F$, заданная в окрестности 0, может быть представлена в виде $F=fP +Q$,} где $Q(z,z_n)$ -- полином Вейерштрасса, степени, меньшей $k$. \доказательство После замены системы координат на $z', z'_n$, можно считать, что $F= u F'$, и $P=v P'$, где $F'(z', z_n')$ и $P'(z', z_n')$ -- полиномы Вейерштрасса. Деление $F$ в столбик на $P'$ дает $F=v^{-1}PR+Q'$, где $Q'(z', z_n')$ -- полином Вейерштрасса степени, меньшей $k$. Значит, $Q'$ имеет в 0 нуль порядка, который меньше, чем порядок нуля у $F$. Воспользовавшись индукцией по порядку нуля у $F$, можно считать, что $Q'$ уже разложили: $Q'=gP +Q''$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Факториальность кольца $\calo_n$ } \утверждение Пусть $f\in \calo_n$ -- элемент кольца ростков голоморфных функций он $n$ переменных. {\бф \пурпле Тогда $f$ разлагается в произведение $f=f_1 ... f_N$ неразложимых функций,} причем {\бф \ред такое разложение единственно.} \доказательство Достаточно доказать это, когда $f$ -- полином Вейерштрасса. Разложив $f$ в произведение неприводимых полиномов, получим искомое разложение $f=f_1 ... f_N$. Осталось доказать единственность. {\бф \греен Шаг 1:} Воспользовавшись индукцией, {\бф \пурпле можно считать, что $\calo_{n-1}$ факториально.} Из этого, по лемме Гаусса, следует факториальность $\calo_{n-1}[z_n]$. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $g$ -- неразложимый элемент, который делит произведение неразложимых элементов $ff'$. Воспользовавшись подготовительной теоремой Вейерштрасса, можно считать, что $f,f',g$ -- полиномы Вейерштрасса. Тогда {\бф \пурпле $g$ делит $ff'$ в кольце $\calo_{n-1}[z_n]$.} Поскольку это кольцо факториально, из этого следует, что $f$ либо $f'$ делит $g$. \ендпрооф \замечание Иначе говоря, кольцо $\calo_n$ {\bf \blue факториально} (в нем однозначно разложение на простые сомножители). \newpage {\бф \блуе Нетеровы кольца} \определение Коммутативное кольцо $R$ называется {\бф \блуе нетеровым}, если каждый идеал в $R$ конечно порожден. \упражнение Пусть $R$ -- нетерово кольцо, а $M$ -- конечно-порожденный $R$-модуль. Докажите, что любой подмнодуль $M$ конечно порожден. \теорема {\бф \блуе (Emanuel Lasker, 1905)} {\бф \ред Кольцо $\calo_n$ ростков голоморфных функций нетерово.} {\bf \green Доказательство. Шаг 1:} Пусть $I\subset \R$ -- идеал, а $P\in I$ -- ненулевой элемент. По подготовительной теореме Вейерштрасса, $P$ есть полином Вейерштрасса, с точностью до обратимой функции; поэтому можно считать, что $P=P(z,z_n)$ есть полином Вейерштрасса, степени $k$. По теореме о делении, {\бф \пурпле кольцо $\calo_n/(P)$ порождено $1, z_n, z_n^2, ..., z_n^{k-1}$ над $\calo_{n-1}$. } {\бф \греен Шаг 2:} Значит, {\бф \пурпле $\calo_n/(P)$ конечно-порожден как модуль над $\calo_{n-1}$.} {\бф \греен Шаг 3:} Воспользовавшись индукцией, можно считать, что $\calo_{n-1}$ нетерово. Поэтому {\бф \пурпле образ $\pi(I)$ в $\calo_n/(P)$ конечно порожден над $\calo_{n-1}$. } {\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\xi_1, ..., \xi_N$ образующие $\pi(I)$, а $\tilde \xi_1, ..., \tilde \xi_N$ их прообразы в $I$. Тогда $P, \tilde \xi_1, ..., \tilde \xi_N$ {\бф \ред порождает $I$.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Комплексно-аналитические множества и их ростки} \определение {\бф \блуе Комплексно-аналитическое подмножество} комплексного многообразия $M$ есть замкнутое подмножество $Z\subset M$, которое локально биголоморфно подмножеству в $U\subset \C^n$, заданному как множество общих нулей какого-то идеала $I\subset \calo_U$. \определение Пусть $Z_1, Z_2\subset M$ комплесно-аналитические подмногообразия. Они называются {\бф \блуе эквивалентными в $x$}, если $Z_1 \cap U = Z_2 \cap U$ для какой-то окрестности $U\ni x$. {\бф \блуе Росток комплексно-аналитического подмножества} в $x\in M$ есть класс эквивалентности комплексно-анали\-тических подмножеств $Z\subset U\ni x$ по отношению к "эквивалентности в $x$." \определение Росток комплексно-аналитического подмножества $Z$ в $x\in M$ называется {\бф \блуе неприводимым}, если не существует нетривиального разложения $Z= A_1 \cup A_2$ на два комплексно-аналитических подмножества. \newpage {\бф \блуе Примарное разложение ростков \\ комплексно-аналитических множеств} \утверждение Росток комплексно-аналитического подмножества $Z$ {\бф \ред неприводим тогда и только тогда, когда идеал $I_Z$ ростков функций, зануляющихся в $Z$, простой.} \доказательство Если есть нетривиальное разложение $Z= A_1 \cup A_2$, то найдутся функции $f_1, f_2$, зануляющиеся на одном из $A_i$, но не на другом; {\бф \пурпле в этом случае $f_1f_2\in I_Z$, значит, $I_Z$ не простой.} Наоборот, если идеал $I_Z$ не простой, найдутся $f_1, f_2\not \in I_Z$, такие, что $f_1f_2\in I_Z$; тогда {\бф \пурпле соответствующие множества нулей удовлетворяют $V_{f_1}\cup V_{f_2}\supset I_Z$, значит, $(V_{f_1}\cap I_Z)\cup (V_{f_2}\cap I_Z)$ -- нетривиальное разложение.} \ендпрооф \утверждение Пусть $Z_1\supsetneq Z_2\supsetneq Z_3 \supsetneq ...$ -- убывающая цепочка ростков комплексно-аналитических множеств. {\бф \ред Тогда она обрывается.} \доказательство Следует из нетеровости. \ендпрооф \следствие {\бф \пурпле Каждый росток комплексно-аналитического множества разлагается в конечное объединение неприводимых.} \ендпрооф \end{document} \end{document}