\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 12 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексная алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 12: многообразия Калаби-Яу} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва \\[2mm] 16 мая 2014 } \end{center} \невпаге {\bf \blue Связность и голоморфная структура (повторение)} \определение Пусть $V$ -- гладкое комплексное расслоение со связностью $\nabla:\; V \arrow \Lambda^1(M)\otimes V$ и голоморфной структурой $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$. Рассмотрим разложение $\nabla$ по типам, $\nabla= \nabla^{0,1} + \nabla^{1,0}$, где \[ \nabla^{0,1}:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V, \ \ \ \nabla^{1,0}:\; V \arrow \Lambda^{1,0}(M)\otimes V. \] Говорится, что $\nabla$ {\бф \блуе совместима с голоморфной структурой}, если $\nabla^{0,1}=\bar\6$. \определение {\бф \блуе Эрмитово голоморфное расслоение} есть гладкое комплексное расслоение, снабженное эрмитовой метрикой и голоморфной структурой. \определение {\бф \блуе Связность Черна} на эрмитовом голоморфном расслоении есть связность, совместимая с голоморфной структурой и сохраняющая метрику. \теорема На каждом голоморфном эрмитовом расслоении {\бф \ред связность Черна существует и единственна.} \newpage {\bf \blue Кривизна связности Черна (повторение)} \утверждение {\бф \ред Кривизна $\Theta_B$ связности Черна есть (1,1)-форма:} $\Theta_B= \{\nabla^{1,0}, \bar\6\}$. \замечание Из дифференциального тождества Бьянки вытекает, что {\бф \ред кривизна линейного голоморфного расслоения - замкнутая (1,1)-форма.} \замечание Пусть $L$ -- линейное расслоение, $b \in L$ -- нигде не зануляющееся голоморфное сечение. {\бф \пурпле Тогда существует $(1,0)$-форма $\eta$ такая, что $\nabla^{1,0} b=\eta\otimes b$.} Это дает $d|b|^2= \Re g(\nabla^{1,0} b, b) = \Re\eta|b|^2$. {\бф \ред Мы получили $\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b= 2\6\log|b| b.$} \замечание Пусть $B$ -- линейное эрмитово расслоение, а $b$ - незануляющееся голоморфное сечение. Тогда $\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b= 2\6\log|b| b$, что дает $\Theta_B(b)= 2\bar\6\6\log|b| b$, {\бф \пурпле то есть $\Theta_B = -2 \6\bar\6\log|b|$}. \следствие Если $g' = e^{2f} g$ -- две метрики на голоморфном линейном расслоении, а $\Theta, \Theta'$ -- соответствующая кривизна, то {\бф \пурпле $\Theta' - \Theta = -2 \6\bar\6 f$.} \newpage {\бф \блуе Первый класс Черна (повторение)} \замечание Пусть $B$ -- линейное расслоение на многообразии, $U_\alpha$ -- его покрытие, на котором $B$ тривиализовано, а $\phi_{\alpha\beta}$ -- функции перехода, определенные на $U_\alpha \cap U_\beta$. На пересечении $U_\alpha \cap U_\beta\cap U_\gamma$ имеем $\phi_{\alpha\beta}\phi_{\beta\gamma}= \phi_{\alpha\gamma}$ то есть {\бф \пурпле $B$ задает $(C^\infty M)^*$-значный 1-коцикл.} \утверждение {\bf \red Классы изоморфизма расслоений взаимно однозначно соответствуют $H^1(M, (C^\infty M)^*)$.} \замечание Из экспоненциальной точной последовательности \[ 0 \arrow \Z_M \arrow C^\infty M \arrow (C^\infty M)^* \arrow 0, \] {\бф \пурпле получаем $0 \arrow H^1(M, (C^\infty M)^*) \stackrel {c_1^\Z}\arrow H^2(M, \Z) \arrow 0$.} \замечание Из определения ясно, что {\bf \purple комплексное линейное расслоение топологически тривиально $\Leftrightarrow$ $c_1^\Z(B)=0$.} \невпаге {\бф \блуе Первый класс Черна (продолжение)} \теорема (Гаусс-Бонне)\\ При естественном отображении \[ H^2(M, \Z)\arrow H^2(M, \R)\] класс $c_1^\Z(B)\in H^2(M, \Z)$ {\бф \ред переходит в класса Черна $c_1(B)\in H^2(M,\R)$, выраженный через кривизну.} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \определение Пусть $(M,I, \omega)$ -- $n$-мерное кэлерово многообразие, а $K(M):= \Lambda^{n,0}(M)$ -- его {\бф \блуе каноническое расслоение}, с естественной голоморфной структурой, заданной оператором $\bar\6:\; \Lambda^{n,0}(M)\arrow \Lambda^{n,1}(M)=\Lambda^{n,0}(M)\otimes \Lambda^{0,1}(M)$. \определение {\бф \блуе Первый класс Черна комплексного $n$-мерного многообразия} есть $c_1(M):= c_1(\Lambda^{n,0}(M))$. \определение {\бф \блуе Многообразие Калаби-Яу} есть компактное кэлерово многообразие с $c_1^\Z(M)=0$. \невпаге {\бф \блуе Теорема Калаби-Яу} \замечание Если задана вещественная $(1,1)$-форма $\eta$, ей соответствует симметрическая 2-форма $g_\eta (x,y)= \eta(x, Iy)$. {\bf \purple Это задает биекцию между вещественными $(1,1)$-формами и $I$-инвариантными симметрическими 2-формами}. \определение Зададим на каноническом расслоении эрмитову метрику по формуле \[ (\alpha, \alpha') \arrow \frac{\alpha\wedge \bar \alpha'}{\omega^n}. \] и пусть $\Theta_K$ -- кривизна соответствующей связности Черна. {\бф \блуе Кривизна Риччи $M$} есть симметрическая 2-форма $\Ric(x,y)= \Theta_K(x, Iy)$. \определение Метрика называется {\бф \блуе риччи-плоской}, если ее кривизна Риччи равна нулю. \теорема (Калаби-Яу) Пусть $(M,I)$ -- многообразие Калаби-Яу. {\bf \red Тогда существует единственная риччи-плоская кэлерова метрика в каждом кэлеровом классе.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Калаби-Яу и уравнение Монжа-Ампера} \определение \[ (\omega+ dd^c \phi)^n = A e^f \omega^n, \] (вещественная функция $f$ дана, $\phi$ неизвестная вещественная функция, $A$ константа) называется {\бф \блуе комплексное уравнение Монжа-Ампера}. \теорема (Калаби-Яу) Пусть $(M, \omega)$ -- компактное $n$-мерное кэлерово многообразие, а $f$ -- гладкая функция. Тогда {\бф \ред существует единственная с точностью до константы $\phi$} такая, что $(\omega+ dd^c \phi)^n = A e^f \omega^n,$ где $A$ -- положительная константа, полученная из формулы $\int_M A e^f \omega^n= \int_M \omega^n$. \замечание Это {\бф \ред чрезвычайно трудная} теорема. \утверждение Теорема Калаби-Яу про риччи-плоские метрики {\бф \пурпле легко вытекает} из существование и единственности решений комплексного Монжа-Ампера. \невпаге {\бф \блуе Теорема Калаби-Яу и уравнение Монжа-Ампера (продолжение)} \замечание Пусть $(M, \omega)$ -- $n$-мерное кэлерово многообразие, а $\Omega$ нигде не зануляющеся сечение $K(M)$. Тогда $|\Omega|^2 = \frac{\Omega\wedge \bar \Omega}{\omega^n}$. Если $\omega_1$ -- другая кэлерова метрика на $(M,I)$, а $h, h_1$ соответствующие метрики на $K(M)$, то $\frac {h} {h_1}= \frac {\omega_1^n}{\omega^n}$. \утверждение Метрика $\omega_1= \omega+dd^c\phi$ {\bf \red риччи-плоская тогда и только тогда, когда $(\omega+dd^c\phi)^n = \omega^n e^f$,} где $dd^c f= -\1\Theta_{K,\omega}$. \доказательство Поскольку $|\Omega|^2_{\omega}= \frac{\Omega\wedge\bar\Omega}{\omega^n}$, имеем $\frac{h} {h_1}= \frac{(\omega+dd^c\phi)^n}{\omega^n}$. По формуле для кривизны связности Черна, получаем \[ \Theta_{K,\omega_1}= \Theta_{K,\omega}+ \1dd^c\log\frac {h} {h_1}. \] Значит, $\Theta_{K,\omega_1}=0$ тогда и только тогда, когда $dd^c \log\frac {h} {h_1}= \1\Theta_{K,\omega}$. \endproof \невпаге {\бф \блуе Положительные формы} \определение Пусть $M$ - $n$-мерное эрмитово многообразие. $(k,k)$-форма $\eta$ называется {\бф \блуе положительной}, если $\eta(\zeta_1, I(\zeta_1), ..., \zeta_{k}, I(\zeta_{k}))\geq 0$ для любого набора $k$ векторов $\zeta_i \in TM$. Если это неравенство строгое, $\eta$ называется {\бф \блуе строго положительной}. \замечание Оператор $*$ {\бф \пурпле переводит положительные $(1,1)$-формы в положительные $(n-1,n-1)$-формы} (и наоборот). \теорема {\бф \ред Каждая строго положительная форма является $n-1$-й степенью эрмитовой.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Пусть $\eta$ есть положительная $(n-1,n-1)$-форма, причем собственные значения эрмитовой формы $*\eta$ равны $\alpha_1, ..., \alpha_n$ в ортонормированном базисе $\zeta_1, ..., \zeta_n\in \Lambda^{1,0}M$. Тогда \[ \eta = (-\1)^{n-1}\sum_{i=1}^n \alpha_i \zeta_1\wedge \bar \zeta_1\wedge \zeta_2\wedge \bar \zeta_2\wedge ...\wedge \check \zeta_i\wedge \check{\bar \zeta}_i \wedge ... \wedge \zeta_n\wedge \bar \zeta_n,\] где галочка обозначает выкидывание вектора. \невпаге {\бф \блуе Положительные формы (продолжение)} {\бф \греен Шаг 2:} Имеем $\eta = \omega^{n-1}$, если $\omega= \sum_{i=1}^n\beta_i \zeta_i\wedge {\bar \zeta}_i$, а $\frac{\prod_j\beta_j}{\beta_i} = \alpha_i$. Осталось найти $\beta_i$, которые будут удовлетворять этому соотношению. {\бф \греен Шаг 3:} Логарифмируя, получаем систему линейных уравнений \[ \log \alpha_i = \sum_j \log\beta_j - \log\beta_i \] соответствующая матрица имеет вид \[ \begin{pmatrix} 0 &1&1 &\hdotsfor{1} &1&1&1\\ 1&0 &1 &\hdotsfor{1} &1&1&1\\ 1&1&1 &\hdotsfor{1} &1&1&1\\ \vdots&\vdots&\vdots& \ddots &\vdots&\vdots&\vdots\\ 1&1&1 &\hdotsfor{1} &0&1&1\\ 1&1&1 &\hdotsfor{1} &1&0&1\\ 1&1&1 &\hdotsfor{1} &1&1&0 \end{pmatrix}. \] и очевидно невырождена. \endproof \замечание Сумма положительных форм положительна. Произведение кэлеровых форм тоже положительно. \невпаге {\бф \блуе Единственность решений комплексного уравнения Монжа-Ампера} \предложение (Калаби) На компактном кэлеровом многообразии {\bf \red комплексное уравнение Монжа-Ампера имеет не более одного решения,} с точностью до константы. {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Пусть $\omega_1, \omega_2$ -- решения Монжа-Ампера, $\omega_2= \omega_1 + dd^c \phi$. Тогда \[ 0 = \omega_2^n - \omega_1^n= dd^c \phi\wedge \sum_{i=0}^{n-1}\omega_1^i \wedge\omega_2^{n-1-i}. \] {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $P:=\sum_{i=0}^{n-1}\omega_1^i \wedge\omega_2^{n-1-i}$. Это положительная $(n-1, n-1)$-форма, значит, $P= \omega_3^{n-1}$. {\бф \греен Шаг 3:} Простое вычисление дает $\6\psi \wedge\bar\6\psi\wedge \omega_3^{n-1} = n^{-1}|d\psi|^2_{\omega_3}\omega_3^n$, для любой вещественной функции $\psi$ на $M$. {\бф \греен Шаг 4:} Формула Стокса: \[ 0 = \int_M \phi \wedge\6 \bar\6\phi\wedge P= - \int_M \6\phi \wedge\bar\6 \phi\wedge P = - \int_M n^{-1} |\6\phi|_{\omega_3}^2\omega_3^n. \] Значит, $|\6\phi|=0$ всюду. \endproof \end{document}