\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 11 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексная алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 11: теорема Кодаиры о вложении} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва \\[2mm] 26 апреля 2014 } \end{center} \newpage {\bf \blue $\bar\6$-оператор на расслоении (повторение)} \замечание Пусть $M$ -- комплексное многообразие. Тогда {\бф \пурпле оператор $\bar\6:\; C^\infty M \arrow \Lambda^{0,1}(M)$ $\calo_M$-линейный}. \определение Пусть $B$ -- голоморфное расслоение. Рассмотрим оператор $\bar\6:\; B_{C^\infty}\arrow B_{C^\infty}\otimes \Lambda^{0,1}(M)$, переводящий $b\otimes f$ в $b\otimes \bar\6 f$, где $b\in B$ голоморфное сечение, а $f$ гладкая функция. Этот оператор зовется {\бф\блуе оператор голоморфной структуры} на голоморфном расслоении. {\бф \ред Он определен корректно в силу $\calo_M$-линейности $\bar\6$.} \определение {\бф \блуе $\bar\6$-оператор} на гладком комплексном векторном расслоении $V$ над есть оператор $V \stackrel {\bar\6}\arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$, удовлетворяющий $\bar\6(fb) = \bar\6(f)\otimes b + f\bar\6(b)$ для любых $f\in C^\infty M, b\in V$. \newpage {\bf \blue Интегрируемость $\bar\6$-оператора (повторение)} \замечание $\bar\6$-оператор {\бф \пурпле можно продолжить до \[ \bar\6:\; \Lambda^{0,i}(M)\otimes V \arrow \Lambda^{0,i+1}(M)\otimes V,\] } по формуле $\bar\6 (\eta \otimes b) = \bar\6(\eta)\otimes b + (-1)^{\tilde \eta}\eta\wedge\bar\6(b)$, где $b\in V$ и $\eta \in \Lambda^{0,i}(M)$. \теорема (Мальгранж, Атья-Ботт) Пусть $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$ -- $\bar\6$-оператор на комплексном векторном расслоении, причем $\bar\6^2=0$. {\бф \ред Тогда $B:=\ker \bar\6\subset V$ есть голоморфное расслоение того же ранга, и $V=B_{\C^\infty}$.} \определение \\ $\bar\6$-оператор называется {\бф \блуе интегрируемым}, если $\bar\6^2=0$. \замечание Мы получили {\bf \purple эквивалентность категории голоморфных расслоений, и категории гладких комплексных расслоений, снабженных интегрируемым $\bar\6$-оператором.} \newpage {\bf \blue Связность и голоморфная структура (повторение)} \определение Пусть $V$ -- гладкое комплексное расслоение со связностью $\nabla:\; V \arrow \Lambda^1(M)\otimes V$ и голоморфной структурой $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$. Рассмотрим разложение $\nabla$ по типам, $\nabla= \nabla^{0,1} + \nabla^{1,0}$, где \[ \nabla^{0,1}:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V, \ \ \ \nabla^{1,0}:\; V \arrow \Lambda^{1,0}(M)\otimes V. \] Говорится, что $\nabla$ {\бф \блуе совместима с голоморфной структурой}, если $\nabla^{0,1}=\bar\6$. \определение {\бф \блуе Эрмитово голоморфное расслоение} есть гладкое комплексное расслоение, снабженное эрмитовой метрикой и голоморфной структурой. \определение {\бф \блуе Связность Черна} на эрмитовом голоморфном расслоении есть связность, совместимая с голоморфной структурой и сохраняющая метрику. \теорема На каждом голоморфном эрмитовом расслоении {\бф \ред связность Черна существует и единственна.} \newpage {\bf \blue Кривизна связности Черна (повторение)} \утверждение {\бф \ред Кривизна $\Theta_B$ связности Черна есть (1,1)-форма:} $\Theta_B= \{\nabla^{1,0}, \bar\6\}$. \замечание Из дифференциального тождества Бьянки вытекает, что {\бф \ред кривизна линейного голоморфного расслоения - замкнутая (1,1)-форма.} \замечание Пусть $L$ -- линейное расслоение, $b \in L$ -- нигде не зануляющееся голоморфное сечение. {\бф \пурпле Тогда существует $(1,0)$-форма $\eta$ такая, что $\nabla^{1,0} b=\eta\otimes b$.} Это дает $d|b|^2= \Re g(\nabla^{1,0} b, b) = \Re\eta|b|^2$. {\бф \ред Мы получили $\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b= 2\6\log|b| b.$} \замечание Пусть $B$ -- линейное эрмитово расслоение, а $b$ - незануляющееся голоморфное сечение. Тогда $\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b= 2\6\log|b| b$, что дает $\Theta_B(b)= 2\bar\6\6\log|b| b$, {\бф \пурпле то есть $\Theta_B = -2 \6\bar\6\log|b|$}. \следствие Если $g' = e^{2f} g$ -- две метрики на голоморфном линейном расслоении, а $\Theta, \Theta'$ -- соответствующая кривизна, то {\бф \пурпле $\Theta' - \Theta = -2 \6\bar\6 f$.} \newpage {\bf \blue Кривизна линейного расслоения} \теорема (``$dd^c$-лемма'')\\ Пусть $\eta$ - форма на компактном кэлеровом многообразии, которая удовлетворяет какому-то из условий\\ 1. $\eta$ -- точная (p,q)-форма. 2. $\eta$ -- $d^c$-точная, $d$-замкнутая. \\ 3. $\eta$ -- $\6$-точная, $\bar\6$-замкнутая.\\ {\бф \ред Тогда $\eta \in \im dd^c=\im \6\bar \6$.} Доказательство см. в лекции 7. {\бф \греен Предложение 1:} Пусть $\omega$ -- (1,1)-форма с целочисленным классом когомологий на компактном кэлеровом многообразии. {\бф\ред Тогда $\omega$ есть кривизна голоморфного линейного расслоения.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Экспоненциальная точная последовательность $0 \arrow \Z_M \arrow \calo_M \arrow \calo^*_M\arrow 0$ дает \[ H^1(\calo^*_M) \stackrel c \arrow H^2(M, \Z) \stackrel p \arrow H^2(M, \calo_M), \] причем $H^1(\calo^*_M)= \Pic(M)$ есть группа линейных расслоений, $c$ -- отображение, переводящее расслоение в его первый класс Черна, а $p$ -- проекция $H^2(M)$ на компоненту Ходжа $H^2(M, \calo_M)= H^{0,2}(M)$. Значит, {\бф \пурпле для любого целочисленного класса $[\omega]\in H^{1,1}(M)$, $[\omega]$ является первым классом Черна голоморфного линейного расслоения $L$.} \newpage {\bf \blue Кривизна линейного расслоения (2)} {\бф \греен Предложение 1:} Пусть $\omega$ -- (1,1)-форма с целочисленным классом когомологий на компактном кэлеровом многообразии. {\бф\ред Тогда $\omega$ есть кривизна голоморфного линейного расслоения.} {\бф \греен Шаг 1:} {\бф \пурпле Для любого целочисленного класса $[\omega]\in H^{1,1}(M)$, $[\omega]$ является первым классом Черна линейного расслоения $L$} (см. предыдущий слайд). {\бф \греен Шаг 2:} Возьмем любую метрику $h$ на $L$. Ее кривизна $\omega_h$ есть замкнутая $(1,1)$-форма, когомологичная $\omega$. В силу $dd^c$-леммы, {\бф \пурпле $\omega_h -\omega = -2 \6\bar\6 f$ для какой-то функции $f$. } {\бф \греен Шаг 3:} В силу доказанного выше, если $g' = e^{2f} g$ -- две метрики на голоморфном линейном расслоении, а $\Theta, \Theta'$ -- соответствующая кривизна, то {\бф \пурпле $\Theta' - \Theta = -2 \6\bar\6 f$}. {\бф \греен Шаг 4:} Рассмотрим метрику $h':=e^{2f}h$ на $L$. {\бф \ред Соответствующая ей кривизна удовлетворяет $\omega_h -\omega_{h'}= -2 \6\bar \6 f$, значит, $\omega= \omega_{h'}$.} \ендпрооф \newpage {\bf \blue Положительные линейные расслоения} \определение Голоморфное линейное расслоение называется {\бф\блуе положительным}, если его первый класс Черна когомологичен кэлеровой форме. \теорема {\бф \блуе (теорема Кодаиры-Накано)} \\ Пусть $L$ -- положительное линейное расслоение на компактном кэлеровом многообразии. {\bf \red Тогда для любого расслоения $B$ найдется $N>0$ такое, что $H^i(B\otimes L^N)=0$ для любого $i>0$.} {\бф \греен Было доказано в прошлый раз.} \следствие Пусть $(M,\omega)$ -- кэлерово многообразие, такое, что класс $\omega$ в когомологиях де Рама рационален. {\бф \ред Тогда $M$ допускает положительное голоморфное расслоение.} {\бф\греен Доказательство:} Следует из Предложения 1. \ендпрооф \невпаге {\bf \blue Когерентные пучки} \определение Пучок $F$ $\calo_M$-модулей называется {\бф \блуе конечно-по\-рож\-денным}, если у каждой точки есть окрестность $U$ такая, что $F\restrict U$ изоморфен фактору $\calo_U^n$ по подпучку $F_1$, и {\бф\блуе конечно-представимым}, если $F_1$ тоже конечно-порожден. {\бф\блуе Когерентный пучок} на комплексном многообразии $M$ есть конечно-порожденный и конечно-представимый пучок $\calo_M$-модулей. \определение {\бф \блуе Пучок-небоскреб} есть когерентный пучок с носителем в точке. \определение {\бф \блуе Пучок идеалов} есть когерентный подпучок в $\calo_M$. Обозначим за ${\goth m}_x^n$ {\бф \пурпле пучок идеалов вида $({\goth m}_x)^n$,} где $\goth m\subset \calo_M$ есть идеал функций, зануляющихся в $x$. \замечание {\бф \блуе (Теорема Гильберта о сизигиях)}\\ На $n$-мерном проективном многообразии, любой когерентный пучок $F$ {\бф \ред допускает} {\бф \блуе локально свободную резольвенту длины $n$}, то есть точную последовательность вида \[ 0\arrow B_n \arrow B_{n-1} \arrow ... \arrow B_0 \arrow F \arrow 0 \] \невпаге {\bf \blue Обильные расслоения} \определение Голоморфное линейное расслоение $L$ на проективном многообразии называется {\бф \блуе обильным}, если для любого голоморфного расслоения $B$ найдется $N$ такое, что $H^i(B\otimes L^N)=0$ для любого $i>0$. \newcommand{\fd}{\operatorname{fd}} {\бф \греен Утверждение 1:} Пусть $L$ -- обильное расслоение на проективном многообразии, а $F$ -- когерентный пучок. Тогда {\бф \ред найдется $N$ такое, что $H^i(F\otimes L^N)=0$ для любого $i>0$.} {\bf \греен Доказательство. Шаг 1:} Обозначим за $\fd(F)$ минимальную длину локально свободной резольвенты пучка $F$. {\бф \пурпле Локально свободная резольвента дает точную последовательность \[ 0\arrow F_1 \arrow B \arrow F \arrow 0,\]} где $\fd(F_1) = \fd(F)-1$. Индукцией по $\fd(F)$, можно считать, что $H^i(F_1\otimes L^N)=H^i(B\otimes L^N)=0$ для любого $i>0$. {\бф \греен Шаг 2:} Из длинной точной последовательности \[ ... \arrow H^{i}(B\otimes L^N) \arrow H^{i}(F\otimes L^N) \arrow H^{i+1}(F_1\otimes L^N)\arrow ... \] получаем, что $H^{i}(F\otimes L^N)=0$. \ендпрооф \newpage {\бф \blue Проективные вложения} \определение Сечение $f$ расслоения $B$ {\бф\блуе равно нулю в $x$} если $f\in {\goth m}_x B$ \определение Линейное расслоение {\бф \блуе очень обильно}, если $H^1(L\otimes I)=0$ для пучков идеалов $I$ вида ${\goth m}_x\cap{\goth m}_y$ и ${\goth m}_x^2$. \определение Линейное расслоение $L$ на $M$ {\бф \blue разделяет точки} если для любых точек $x\neq y$ найдется сечение $f\in \Gamma_M(L)$, которое не равно нулю в $x$ и не равно в $y$. \замечание {\бф \red Очень обильное расслоение на проективном многообразии разделяет точки}. Это ясно из длинной точной последовательности \[ 0 \arrow H^{0}(L\otimes I) \arrow H^{0}(L) \arrow H^{0}(L\otimes (\calo_M/I)) \arrow H^{1}(L\otimes I)\arrow ... \] где $I$ есть ${\goth m}_x\cap {\goth m}_y$. \определение Пусть $L$ -- линейное расслоение на $M$, разделяющее точки, а $V$ -- пространство его сечений. Для $x\in M$, рассмотрим спаривание $\langle (L/{\goth m}_x L)^*, V\rangle$, которое берет $f\in V$ и вычисляет $\lambda \in (L/{\goth m}_x L)^*$ на его представителе в $L/{\goth m}_x L$. Мы получили функционал на $V$. Соответствующее отображение $x \stackrel {\phi_L}\arrow {\Bbb P} V^*$, называется {\бф\блуе проективным вложением, связанным с $L$}. \newpage {\бф \blue Проективные вложения (продолжение)} \утверждение {\бф \пурпле Пусть $L$ разделяет точки. Тогда $\phi_L:\; M \arrow {\Bbb P}V^*$ инъективно}. \доказательство Пусть $f\in V$ -- сечение, разделяющее $x$ и $y$. Тогда $f$ задает плоскость $H_f\subset V^*$, причем $\phi_L(x)$ не лежит в этой плоскости, а $\phi_L(y)$ лежит в ней. \ендпрооф \определение Определим {\бф \блуе тавтологическое расслоение} как голоморфное расслоение, слои которого в точках $x_0:x_1: ... :x_n$ отождествлены с прямой $(\lambda x_0, \lambda x_1, ..., \lambda x_n)$. Определим $\calo(1)$ как линейное расслоение на $\C P^n$, которое двойственно тавтологическому. {\бф \греен Упражнение 1:} Пусть $j:\; M \arrow \C P^n$ -- проективное вложение, связанное с каким-то расслоением $L$. {\бф \пурпле Докажите, что $j^* \calo(1) = L$.} \newpage {\бф \blue Очень обильные расслоения} {\бф \греен Утверждение 2:} {\bf \пурпле Пусть $L$ очень обильно. Тогда $\phi_L:\; M \arrow {\Bbb P}V^*$ -- замкнутое вложение}. \доказательство По теореме об обратной функции, {\бф \пурпле достаточно доказать, что дифференциал $\phi_L$ инъективен}. По определению, $d\phi_L$ переводит $\lambda \in TxM= ({\goth m}_x/{\goth m}_x^2)^*$ в точку $T_{\phi_L(x)} {\Bbb P}V^*= \Hom(W^*, V^*/W^*)$, где $W^*:=(L/{\goth m}_x L)^*$ есть прямая в $V^*$, соответствующая $\phi_L(x)$: \[ ({\goth m}_x/{\goth m}_x^2)^* \stackrel {d\phi_L}\arrow \Hom(W^*, V^*/W^*). \] Дуализируя обе части, получаем $ V_x \stackrel {d\phi_L^*}\arrow {\goth m}_x/{\goth m}_x^2\otimes_\C (L/{\goth m}_x L)$, где $V_x=\ker W^*$ есть пространство всех сечений $L$, зануляющихся в $x$. Рассмотрим естественное отображение $V=H^{0}(L) \arrow H^{0}(L\otimes (\calo_M/I))$, где $I= {\goth m}_x^2$. Оно дает \[ V_x = H^{0}({\goth m}_xL) \arrow H^{0}({\goth m}_xL \otimes (\calo_M/I))= {\goth m}_x/{\goth m}_x^2\otimes_\C (L/{\goth m}_x L). \] {\бф \ред Это и есть ${d\phi_L^*}$.} Мы получили, что {\bf \purple инъективность $d\phi_L$ следует из сюрьективности $H^{0}(L) \arrow H^{0}(L\otimes (\calo_M/I))$.} \endproof \newpage {\бф \blue Теорема Кодаиры о вложении} \теорема (теорема Кодаиры)\\ Пусть $L$ -- положительное расслоение на компактном комплексном многообразии $M$. Тогда {\бф \ред какая-то степень $L$ определяет проективное вложение.} {\бф \греен Наборосок доказательства (в проективном случае). Шаг 1:}\\ По теореме Кодаиры-Накано, для каждого расслоения $B$ найдется $N$ такое, что $H^i(B\otimes L^N)=0$ для всех $i>0$. Из Утверждения 1 следует, что то же верно и для любого когерентного пучка $F$: $H^i(F\otimes L^N)=0$. {\бф \греен Шаг 2:} Значит, когомологии $L^N \otimes {\goth m}_x\cap{\goth m}_y$ и $L^N \otimes {\goth m}_x^n$. Немного повозившись, можно найти $N$, общее для всех $x, y$. {\бф \греен Шаг 3:} Утверждение 2 дает голоморфное вложение $j:\; M \arrow \C P^n$. \ендпрооф \newpage {\бф \blue Теорема Кодаиры о вложении (2)} \следствие (теорема Кодаиры)\\ Пусть $M$ -- кэлерово многообразие, причем класс когомологий кэлеровой формы целый. {\бф \ред Тогда $M$ проективно. } \доказательство Используя предложение 1, находим расслоение, кривизна которого пропорциональна кэлеровой форме. Оно положительно. Затем используем предыдущую теорему. \ендпрооф \замечание В проективной ситуации для зануления когомологий $L^N \otimes {\goth m}_x\cap{\goth m}_y$ и $L^N \otimes {\goth m}_x^n$ мы пользовались резольвентами. Зануление когомологий когерентных пучков в кэлеровой (непроективной) ситуации не может быть доказано через локально свободные резольвенты, потому что их нет. Вместо них используются пучки мультипликаторных идеалов (multiplier ideal sheaves), которые (а) работают в кэлеровой ситуации и (б) позволяют существенно упрощать даже те доказательства, которые в проективной ситуации делаются классическими методами. \end{document}