\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\��������{\blacksquare}




\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small ����������� ���������, ������ 11 \hfil
  \tiny ���� ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}
\newcommand{\����}{%
     {\bf \green ��������������. ��� 1:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ����������� �������������� ���������, \\[15mm]
\small ������ 11: ������� ������� � ��������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ��������� } 
\\[20mm]

{\tiny\bf ���/���, ������
\\[2mm] 26 ������ 2014
}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue $\bar\6$-�������� �� ���������� (����������)}

\���������
����� $M$ -- ����������� ������������. �����
{\�� \������ �������� $\bar\6:\; C^\infty M \arrow \Lambda^{0,1}(M)$
$\calo_M$-��������}.

\�����������
����� $B$ -- ����������� ����������.
���������� �������� 
$\bar\6:\; B_{C^\infty}\arrow B_{C^\infty}\otimes \Lambda^{0,1}(M)$,
����������� $b\otimes f$ � $b\otimes \bar\6 f$, ���
$b\in B$ ����������� �������, � $f$ ������� �������.
���� �������� ������� {\��\���� �������� ����������� ���������}
�� ����������� ����������.
{\�� \��� �� ��������� ��������� � ���� $\calo_M$-���������� $\bar\6$.}

\�����������
{\�� \���� $\bar\6$-��������} 
�� ������� ����������� ��������� ���������� $V$ ��� 
���� �������� $V \stackrel {\bar\6}\arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$,
��������������� $\bar\6(fb) = \bar\6(f)\otimes b + f\bar\6(b)$
��� ����� $f\in C^\infty M, b\in V$.

\newpage

{\bf \blue ��������������� $\bar\6$-��������� (����������)}

\��������� 
$\bar\6$-�������� {\�� \������ ����� ���������� �� 
\[ \bar\6:\; \Lambda^{0,i}(M)\otimes V \arrow \Lambda^{0,i+1}(M)\otimes V,\]
}
�� ������� $\bar\6 (\eta \otimes b) = \bar\6(\eta)\otimes b + 
(-1)^{\tilde \eta}\eta\wedge\bar\6(b)$, 
��� $b\in V$ � $\eta \in \Lambda^{0,i}(M)$.


\������� (���������, ����-����)
����� $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$
-- $\bar\6$-�������� �� ����������� ��������� ����������,
������ $\bar\6^2=0$. {\�� \��� ����� $B:=\ker \bar\6\subset V$
���� ����������� ���������� ���� �� �����, � $V=B_{\C^\infty}$.}

\����������� \\
$\bar\6$-�������� ���������� {\�� \���� �������������},
���� $\bar\6^2=0$.

\���������
�� �������� {\bf \purple ��������������� ��������� ����������� ����������,
� ��������� ������� ����������� ����������, ����������
������������� $\bar\6$-����������.}

\newpage

{\bf \blue ��������� � ����������� ��������� (����������)}

\�����������
����� $V$ -- ������� ����������� ���������� 
�� ���������� $\nabla:\; V \arrow \Lambda^1(M)\otimes V$
� ����������� ���������� $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$.
���������� ���������� $\nabla$ �� �����,
$\nabla= \nabla^{0,1} + \nabla^{1,0}$, ���
\[
\nabla^{0,1}:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V, \ \ \ 
\nabla^{1,0}:\; V \arrow \Lambda^{1,0}(M)\otimes V.
\]
���������, ��� $\nabla$ {\�� \���� ���������� � ����������� ����������},
���� $\nabla^{0,1}=\bar\6$.

\�����������
{\�� \���� �������� ����������� ����������}
���� ������� ����������� ����������, ����������
��������� �������� � ����������� ����������.

\�����������
{\�� \���� ��������� �����} �� ��������� �����������
���������� ���� ���������, ����������� � 
����������� ���������� � ����������� �������.

\�������
�� ������ ����������� ��������� ����������
{\�� \��� ��������� ����� ���������� � �����������.}


\newpage

{\bf \blue �������� ��������� ����� (����������)}

\�����������
{\�� \��� �������� $\Theta_B$ ��������� ����� ���� (1,1)-�����:}
$\Theta_B= \{\nabla^{1,0}, \bar\6\}$.

\��������� �� ����������������� ��������� ������ ��������, ���
{\�� \��� �������� ��������� ������������ ���������� - 
��������� (1,1)-�����.}

\���������
����� $L$ -- �������� ����������, $b \in L$ -- 
����� �� ������������ ����������� �������.
{\�� \������ ����� ���������� $(1,0)$-����� $\eta$ �����, ���
$\nabla^{1,0} b=\eta\otimes b$.} ��� ����
$d|b|^2= \Re g(\nabla^{1,0} b, b) = \Re\eta|b|^2$.
{\�� \��� �� �������� $\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b=
2\6\log|b| b.$}

\��������� 
����� $B$ -- �������� �������� ����������, � 
$b$ - �������������� ����������� �������. ����� 
$\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b=
2\6\log|b| b$, ��� ���� $\Theta_B(b)= 2\bar\6\6\log|b| b$,
{\�� \������ �� ���� $\Theta_B = -2 \6\bar\6\log|b|$}.

\���������
���� $g' = e^{2f} g$ -- ��� ������� �� �����������  �������� 
����������, � $\Theta, \Theta'$ -- ���������������
��������, �� {\�� \������ $\Theta' - \Theta = -2 \6\bar\6 f$.}




\newpage

{\bf \blue �������� ��������� ����������}


\������� (``$dd^c$-�����'')\\ 
����� $\eta$ - ����� �� ���������� ���������
������������, ������� ������������� ������-�� �� �������\\
1. $\eta$ -- ������ (p,q)-�����. 2.  $\eta$ -- $d^c$-������, $d$-���������.
\\ 3. $\eta$ -- $\6$-������, $\bar\6$-���������.\\
{\�� \��� ����� $\eta \in \im dd^c=\im \6\bar \6$.}

�������������� ��. � ������ 7.


{\�� \����� ����������� 1:}
����� $\omega$ -- (1,1)-����� � �������������
������� ����������� �� ���������� ��������� ������������. 
{\��\��� ����� $\omega$ ���� ��������
������������ ��������� ����������.}

{\�� \����� ��������������. ��� 1:} 
���������������� ������
������������������ $0 \arrow \Z_M \arrow \calo_M \arrow \calo^*_M\arrow 0$
����
\[
H^1(\calo^*_M) \stackrel c \arrow H^2(M, \Z) \stackrel p \arrow H^2(M, \calo_M),
\]
������ $H^1(\calo^*_M)= \Pic(M)$ ���� ������ �������� ����������,
$c$ -- �����������, ����������� ���������� � ��� ������ ����� �����,
� $p$ -- �������� $H^2(M)$ �� ���������� ����� $H^2(M, \calo_M)= H^{0,2}(M)$.
������, {\�� \������ ��� ������ �������������� ������ $[\omega]\in H^{1,1}(M)$,
$[\omega]$ �������� ������ ������� ����� ������������ ��������� ���������� $L$.}

\newpage


{\bf \blue �������� ��������� ���������� (2)}


{\�� \����� ����������� 1:}
����� $\omega$ -- (1,1)-����� � �������������
������� ����������� �� ���������� ��������� ������������. 
{\��\��� ����� $\omega$ ���� ��������
������������ ��������� ����������.}

{\�� \����� ��� 1:} 
{\�� \������ ��� ������ �������������� ������ $[\omega]\in H^{1,1}(M)$,
$[\omega]$ �������� ������ ������� ����� ��������� ���������� $L$}
(��. ���������� �����).


{\�� \����� ��� 2:} ������� ����� ������� $h$ �� $L$. �� �������� $\omega_h$
���� ��������� $(1,1)$-�����, �������������� $\omega$.
� ���� $dd^c$-�����, {\�� \������ $\omega_h -\omega = -2 \6\bar\6 f$ 
��� �����-�� ������� $f$. }

{\�� \����� ��� 3:} � ���� ����������� ����,
���� $g' = e^{2f} g$ -- ��� ������� �� �����������  �������� 
����������, � $\Theta, \Theta'$ -- ���������������
��������, �� {\�� \������ $\Theta' - \Theta = -2 \6\bar\6 f$}.

{\�� \�����  ��� 4:} ���������� ������� $h':=e^{2f}h$ �� $L$.
{\�� \��� ��������������� �� �������� �������������
$\omega_h -\omega_{h'}= -2 \6\bar \6 f$,
������, $\omega= \omega_{h'}$.} \��������

\newpage

{\bf \blue ������������� �������� ����������}

\�����������
����������� �������� ���������� ���������� {\��\���� �������������},
���� ��� ������ ����� ����� ������������� ��������� �����.

\�������
{\�� \���� (������� �������-������)} \\
����� $L$ -- ������������� �������� ���������� 
�� ���������� ��������� ������������. {\bf \red �����
��� ������ ���������� $B$ �������� $N>0$
�����, ��� $H^i(B\otimes L^N)=0$ ��� ������ $i>0$.}

{\�� \����� ���� �������� � ������� ���.}

\���������
����� $(M,\omega)$ -- �������� ������������, �����, ��� 
����� $\omega$ � ������������ �� ���� ����������.
{\�� \��� ����� $M$ ��������� ������������� ����������� ����������.}

{\��\����� ��������������:} ������� �� ����������� 1. \��������


\�������

{\bf \blue ����������� �����}

\�����������
����� $F$ $\calo_M$-������� ���������� {\�� \���� �������-��\-���\-������},
���� � ������ ����� ���� ����������� $U$ �����, ��� $F\restrict U$
��������� ������� $\calo_U^n$ �� �������� $F_1$, � 
{\��\���� �������-������������}, ���� $F_1$ 
���� �������-��������.
{\��\���� ����������� �����} �� ����������� ������������ $M$
���� �������-����������� � �������-������������ �����
$\calo_M$-�������.

\�����������
{\�� \���� �����-���������} ���� �����������
����� � ��������� � �����.


\�����������
{\�� \���� ����� �������} ���� ����������� �������� � $\calo_M$.
��������� �� ${\goth m}_x^n$ {\�� \������ ����� ������� ���� $({\goth m}_x)^n$,}
��� $\goth m\subset \calo_M$ ���� ����� �������,
������������ � $x$.

\��������� {\�� \���� (������� ��������� � ��������)}\\
�� $n$-������ ����������� ������������, ����� �����������
����� $F$ {\�� \��� ���������}
{\�� \���� �������� ��������� ����������� ����� $n$}, �� ����
������ ������������������ ����
\[ 
  0\arrow B_n \arrow B_{n-1} \arrow ... \arrow B_0 \arrow F \arrow 0
\]

\�������

{\bf \blue �������� ����������}

\�����������
����������� �������� ���������� $L$ 
�� ����������� ������������ ���������� {\�� \���� ��������},
���� ��� ������ ������������ ����������
$B$ �������� $N$ �����, ��� $H^i(B\otimes L^N)=0$ ��� ������ $i>0$.

\newcommand{\fd}{\operatorname{fd}}

{\�� \����� ����������� 1:}
����� $L$ -- �������� ���������� �� �����������
������������, � $F$ -- ����������� �����.
����� {\�� \��� 
 �������� $N$ �����, ��� $H^i(F\otimes L^N)=0$ ��� ������ $i>0$.}

{\bf \����� ��������������. ��� 1:}
��������� �� $\fd(F)$ ����������� �����
�������� ��������� ����������� ����� $F$.
{\�� \������ �������� ��������� ����������� ����
������ ������������������
\[ 0\arrow F_1 \arrow B \arrow F \arrow 0,\]}
���  $\fd(F_1) = \fd(F)-1$. ��������� �� $\fd(F)$, 
����� �������, ��� $H^i(F_1\otimes L^N)=H^i(B\otimes L^N)=0$ 
��� ������ $i>0$.

{\�� \����� ��� 2:}  �� ������� ������ ������������������
\[
... \arrow H^{i}(B\otimes L^N) \arrow H^{i}(F\otimes L^N) 
\arrow H^{i+1}(F_1\otimes L^N)\arrow ...
\]
��������, ��� $H^{i}(F\otimes L^N)=0$. \��������


\newpage
{\�� \blue ����������� ��������}

\�����������
������� $f$ ���������� $B$ {\��\���� ����� ���� � $x$}
���� $f\in {\goth m}_x B$

\�����������
�������� ���������� {\�� \���� ����� �������},
���� $H^1(L\otimes I)=0$ ��� ������ ������� $I$ ����
${\goth m}_x\cap{\goth m}_y$ � ${\goth m}_x^2$.

\�����������
�������� ���������� $L$ �� $M$ 
 {\�� \blue ��������� �����} 
���� ��� ����� ����� $x\neq y$ �������� �������
$f\in \Gamma_M(L)$, ������� �� ����� ���� � $x$
� �� ����� � $y$.


\���������
{\�� \red ����� �������� ���������� �� �����������
������������ ��������� �����}.
��� ���� �� ������� ������ ������������������
\[
 0 \arrow H^{0}(L\otimes I) \arrow H^{0}(L) \arrow H^{0}(L\otimes (\calo_M/I))
 \arrow H^{1}(L\otimes I)\arrow ...
\]
��� $I$ ���� ${\goth m}_x\cap {\goth m}_y$.

\�����������
����� $L$ -- �������� ���������� �� $M$, �����������
�����, � $V$ -- ������������ ��� �������.
��� $x\in M$, ���������� ���������� $\langle (L/{\goth
m}_x L)^*, V\rangle$, ������� ����� $f\in V$ � ���������
$\lambda \in (L/{\goth m}_x L)^*$ �� ��� �������������
� $L/{\goth m}_x L$. �� �������� ���������� �� $V$.
��������������� ����������� $x \stackrel {\phi_L}\arrow {\Bbb P} V^*$,
���������� {\��\���� ����������� ���������,
��������� � $L$}.

\newpage

{\�� \blue ����������� �������� (�����������)}

\�����������
{\�� \������ ����� $L$ ��������� �����. 
����� $\phi_L:\; M \arrow {\Bbb P}V^*$ 
����������}.

\�������������� ����� $f\in V$ -- �������, �����������
$x$ � $y$. ����� $f$ ������ ��������� $H_f\subset V^*$,
������ $\phi_L(x)$ �� ����� � ���� ���������, � $\phi_L(y)$
����� � ���. \��������


\�����������
��������� {\�� \���� ��������������� ����������}
��� ����������� ����������, ���� �������� � ������
$x_0:x_1: ... :x_n$ ������������� � ������ $(\lambda x_0, \lambda x_1, ..., \lambda x_n)$. ��������� $\calo(1)$ ��� �������� ���������� �� $\C P^n$,
������� ����������� ����������������. 

{\�� \����� ���������� 1:}
����� $j:\; M \arrow \C P^n$ -- ����������� ��������,
��������� � �����-�� ����������� $L$. {\�� \������ ��������, ���
$j^* \calo(1) = L$.}


\newpage

{\�� \blue ����� �������� ����������}

{\�� \����� ����������� 2:}
{\bf \������ ����� $L$ ����� �������. 
����� $\phi_L:\; M \arrow {\Bbb P}V^*$ -- ��������� ��������}.

\��������������
�� ������� �� �������� �������, {\�� \������ ����������
��������, ��� ������������ $\phi_L$ ����������}. �� �����������,
$d\phi_L$ ��������� $\lambda \in TxM= ({\goth m}_x/{\goth m}_x^2)^*$
� ����� $T_{\phi_L(x)} {\Bbb P}V^*= \Hom(W^*, V^*/W^*)$,
��� $W^*:=(L/{\goth m}_x L)^*$ ���� ������ � $V^*$,
��������������� $\phi_L(x)$:
\[
({\goth m}_x/{\goth m}_x^2)^* \stackrel {d\phi_L}\arrow \Hom(W^*, V^*/W^*).
\]
���������� ��� �����, �������� $
V_x \stackrel {d\phi_L^*}\arrow {\goth m}_x/{\goth m}_x^2\otimes_\C 
(L/{\goth m}_x L)$,
��� $V_x=\ker W^*$ ���� ������������ ���� ������� $L$,
������������ � $x$.

���������� ������������ ����������� 
$V=H^{0}(L) \arrow H^{0}(L\otimes (\calo_M/I))$,
��� $I= {\goth m}_x^2$. ��� ����
\[
V_x =  H^{0}({\goth m}_xL)
\arrow H^{0}({\goth m}_xL \otimes (\calo_M/I))=
{\goth m}_x/{\goth m}_x^2\otimes_\C 
(L/{\goth m}_x L).
\]
{\�� \��� ��� � ���� ${d\phi_L^*}$.}

�� ��������, ��� 
{\bf \purple ������������� $d\phi_L$ ������� �� ��������������
$H^{0}(L) \arrow H^{0}(L\otimes (\calo_M/I))$.} \endproof


\newpage

{\�� \blue ������� ������� � ��������}

\������� (������� �������)\\
����� $L$ -- ������������� ���������� �� ���������� ����������� ������������ $M$.
����� {\�� \��� �����-�� ������� $L$ ���������� ����������� ��������.}

{\�� \����� ��������� �������������� (� ����������� ������). ��� 1:}\\
�� ������� �������-������, ��� ������� ���������� $B$
�������� $N$ �����, ��� $H^i(B\otimes L^N)=0$ ��� ���� $i>0$.
�� ����������� 1 �������, ��� �� �� ����� � ��� ������
������������ ����� $F$: $H^i(F\otimes L^N)=0$.

{\�� \����� ��� 2:} ������, ����������� 
$L^N \otimes {\goth m}_x\cap{\goth m}_y$ � 
$L^N \otimes {\goth m}_x^n$. ������� �����������, �����
����� $N$, ����� ��� ���� $x, y$.

{\�� \����� ��� 3:} ����������� 2 ���� ����������� ��������
$j:\; M \arrow \C P^n$. \��������


\newpage

{\�� \blue ������� ������� � �������� (2)}


\��������� (������� �������)\\
����� $M$ -- �������� ������������, ������ ����� �����������
��������� ����� �����. {\�� \��� ����� $M$ ����������. }

\��������������
��������� ����������� 1, ������� ����������, ��������
�������� ��������������� ��������� �����. ��� ������������.
����� ���������� ���������� �������. \��������


\���������
� ����������� �������� ��� ��������� �����������
$L^N \otimes {\goth m}_x\cap{\goth m}_y$ � 
$L^N \otimes {\goth m}_x^n$ �� ������������ �������������.
��������� ����������� ����������� ������ � ��������� 
(�������������) �������� �� ����� ���� �������� ����� ��������
��������� �����������, ������ ��� �� ���.
������ ��� ������������ ����� ����������������� �������
(multiplier ideal sheaves), ������� (�) �������� � ���������
�������� � (�) ��������� ����������� �������� ���� ��
��������������, ������� � ����������� �������� �������� 
������������� ��������.

\end{document}

