\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\��������{\blacksquare}




\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small ����������� ���������, ������ 10 \hfil
  \tiny ���� ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}
\newcommand{\����}{%
     {\bf \green ��������������. ��� 1:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ����������� �������������� ���������, \\[15mm]
\small ������ 10: ������� �������-������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ��������� } 
\\[20mm]

{\tiny\bf ���/���, ������
\\[2mm] 18 ������ 2014
}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue ��������� ���������� (����������)}

\�����������
{\�� \���� ��������� ����������} �� ������� ������������ $�$
���� �������� ����������� ����� $C^\infty M$-�������.

\�����������
{\�� \���� ��������� ������������} $\Tot B$ ���������� ���������� ����
������������ ���� ��� $x\in M, b \in B_x/{\goth m}_x B$,
��� $B_x$ �������� ������������ ������� $B$ � $x$, �
${\goth m}_x$ -- ������������ �����, ���������� ������������
���������� � ������� ����������. 
{\�� \������ ��������� ������������ ���������� ������
��������� ��� $M$} �� ����� $B_x/{\goth m}_x B=\R^n$, ��� $n$ ���� ���� $B$.
{\�� \���� ����} ���������� ���������� � �����
$x$ ���� $B_x/{\goth m}_x B$.

\�����������
{\�� \���� ��������} �������� ���������� ����������
������� ����������� $M \arrow \Tot B$, �����������
$x\in M$ � ����� $(x\in M, b \in B_x/{\goth m}_x B)$.

\�����������
��������� ������� �������� ���������� {\�� \��� �����������
������������ � ���������� ������� ���������������� �����.}


\newpage

{\bf \blue $\bar\6$-�������� �� ���������� (����������)}

\���������
����� $M$ -- ����������� ������������. �����
{\�� \������ �������� $\bar\6:\; C^\infty M \arrow \Lambda^{0,1}(M)$
$\calo_M$-��������}.

\�����������
����� $B$ -- ����������� ����������.
���������� �������� 
$\bar\6:\; B_{C^\infty}\arrow B_{C^\infty}\otimes \Lambda^{0,1}(M)$,
����������� $b\otimes f$ � $b\otimes \bar\6 f$, ���
$b\in B$ ����������� �������, � $f$ ������� �������.
���� �������� ������� {\��\���� �������� ����������� ���������}
�� ����������� ����������.
{\�� \��� �� ��������� ��������� � ���� $\calo_M$-���������� $\bar\6$.}

\�����������
{\�� \���� $\bar\6$-��������} 
�� ������� ����������� ��������� ���������� $V$ ��� 
���� �������� $V \stackrel {\bar\6}\arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$,
��������������� $\bar\6(fb) = \bar\6(f)\otimes b + f\bar\6(b)$
��� ����� $f\in C^\infty M, b\in V$.

\newpage

{\bf \blue ��������������� $\bar\6$-��������� (����������)}

\��������� 
$\bar\6$-�������� {\�� \������ ����� ���������� �� 
\[ \bar\6:\; \Lambda^{0,i}(M)\otimes V \arrow \Lambda^{0,i+1}(M)\otimes V,\]
}
�� ������� $\bar\6 (\eta \otimes b) = \bar\6(\eta)\otimes b + 
(-1)^{\tilde \eta}\eta\wedge\bar\6(b)$, 
��� $b\in V$ � $\eta \in \Lambda^{0,i}(M)$.


\������� (���������, ����-����)
����� $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$
-- $\bar\6$-�������� �� ����������� ��������� ����������,
������ $\bar\6^2=0$. {\�� \��� ����� $B:=\ker \bar\6\subset V$
���� ����������� ���������� ���� �� �����, � $V=B_{\C^\infty}$.}

\�����������
$\bar\6$-�������� ���������� {\�� \���� �������������},
���� $\bar\6^2=0$.

\���������
�� �������� {\bf \purple ��������������� ��������� ����������� ����������,
� ��������� ������� ����������� ����������, ����������
������������� $\bar\6$-����������.}

\newpage

{\bf \blue ��������� � ����������� ��������� (����������)}

\�����������
����� $V$ -- ������� ����������� ���������� 
�� ���������� $\nabla:\; V \arrow \Lambda^1(M)\otimes V$
� ����������� ���������� $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$.
���������� ���������� $\nabla$ �� �����,
$\nabla= \nabla^{0,1} + \nabla^{1,0}$, ���
\[
\nabla^{0,1}:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V, \ \ \ 
\nabla^{1,0}:\; V \arrow \Lambda^{1,0}(M)\otimes V.
\]
���������, ��� $\nabla$ {\�� \���� ���������� � ����������� ����������},
���� $\nabla^{0,1}=\bar\6$.

\�����������
{\�� \���� �������� ����������� ����������}
���� ������� ����������� ����������, ����������
��������� �������� � ����������� ����������.

\�����������
{\�� \���� ��������� �����} �� ��������� �����������
���������� ���� ���������, ����������� � 
����������� ���������� � ����������� �������.

\�������
�� ������ ����������� ��������� ����������
{\�� \��� ��������� ����� ���������� � �����������.}


\newpage

{\bf \blue ��������� ������ (����������)}

\��������� 
$[\nabla, \{\nabla, \nabla\}]=[\{\nabla, \nabla\},\nabla]+
[\nabla, \{\nabla, \nabla\}]=0$ �� �����-��������� �����.
��� ���� {\�� \��� ��������� ������}:
$\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$.

���� $B$ -- �������� ����������, �� $\End B$ ����������,
� $\Theta_B$ ���� 2-�����. 

\�����������
{\�� \��� �������� ��������� ���������� -- ��������� 2-�����.}

\���������
���������� ������������, ��� {\�� \��� $\Tr_B \Theta_B^i$ ����
��������� �����,} ��� $\Tr_B$ ���������� ���� � $\End(B)$,
� $\Theta_B^i$ -- $i$-� ������� $\End(B)$-������� �����.

\�����������
������ ����������� $\Tr_B \Theta_B^i$ ���������� {\�� \���� 
������������������� ��������} ���������� ("������� ������-�����"). 
���� $B$ -- �������� ����������, �� ����� $-\frac{\1}{\pi} \Theta_B$
���������� {\��\���� ������ ������� ����� $B$}, � ������������
$c_1(B)$.

\newpage

{\bf \blue �������� ��������� ����� (����������)}

\�����������
{\�� \��� �������� $\Theta_B$ ��������� ����� ���� (1,1)-�����.}

\���������
��� ��������� ����� $\nabla$, �����
$\Theta_B= \{\nabla^{1,0}, \bar\6\}$.

\���������
{\�� \��� �������� ��������� ������������ ���������� - 
��������� (1,1)-�����.}

\���������
����� $L$ -- �������� ����������, $b \in L$ -- 
����� �� ������������ ����������� �������.
{\�� \������ ����� ���������� $(1,0)$-����� $\eta$ �����, ���
$\nabla^{1,0} b=\eta\otimes b$.} ��� ����
$d|b|^2= \Re g(\nabla^{1,0} b, b) = \Re\eta|b|^2$.
{\�� \��� �� �������� $\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b=
2\6\log|b| b.$}

\��������� 
����� $B$ -- �������� �������� ����������, � 
$b$ - �������������� ����������� �������. ����� 
$\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b=
2\6\log|b| b$, ��� ���� $\Theta_B(b)= 2\bar\6\6\log|b| b$,
{\�� \������ �� ���� $\Theta_B = -2 \6\bar\6\log|b|$}.

\���������
���� $g' = e^{2f} g$ -- ��� ������� �� �����������  �������� 
����������, � $\Theta, \Theta'$ -- ���������������
��������, �� {\�� \������ $\Theta' - \Theta = -2 \6\bar\6 f$.}

\newpage

{\�� \���� �������������� � ��������� ��������� (����������)}

����� $(M, I, \omega)$ -- �������� ������������.
���������� ���������, ����������� �� $\Lambda^*(M)$:\\
1. $d$, $d^*:=-*d*$, $\Delta:= dd^* + d^*d$\\
2. {\��\����  �������� �����} $L(\alpha):= \omega\wedge \alpha$
� ��� ����������� $\Lambda(\alpha) := * L * \alpha$.\\
3. {\��\���� �������� �����:} ${\cal W}\restrict{\Lambda^{p,q}(M)}=\1(p-q)$.

\������� {\�� \���� ("������� �����")}\\
{\�� \��� ��� ��������� ��������� 9-������ ������������ ��
$\goth a$, ����������� �� $\Lambda^*(M)$. }
�������� ��������� $d, d^c, d^*, (d^c)^*$
��������� {\�� \���� �������� ������� �����������},
� ������� ���� ����� ��� ������������� �����������:
$\{d,d^*\}=\{d^c, (d^c)^*\}=\Delta$ (�������� �������),
������ $\Delta$ ����� � ������ $\goth a$. ��� �������������
����������� ������ ���������� ���������� �� �����������
� ������ �������, � ��������� ����������� ������ � �������� �������� ���:
$[W, d]=d^c$, $[\Lambda, d]=-d^c$, ���� ��� 6 �����������,
������� ���������� �� ���� ���������� �� $I$ � �� $*$.

\newpage

{\bf \blue ������������ ��������� (����������)}

�����  $V$ -- ��������� ������������, $v_i$ -- ��� �����,
$e_{v_i}:\; \Lambda^k V  \arrow \Lambda^{k+1} V$
�������� ��������� �� $v_i$, $e_{v_i}(\eta) = e_i \wedge \eta$.
� $i_{v_i}:\; \Lambda^k V  \arrow \Lambda^{k-1} V$
����������� ��������, $i_{v_i}= * e_{v_i} *$.

\�����������
��������� $e_{v_i}$, $i_{v_i}$, $\Id$
������ ����� � {\�� \���� �������� ������������ ����������� $\goth H$},
��� ������������ ������������� ��������������� ��������
$\{ e_{v_i}, i_{v_j}\} = \delta_{i,j}\Id$.

����� ������ $V,I,g$ -- �������� $n$-������ ��������� ������������,
� $\omega= \sum_{i=1}^n v_{2i-1} \wedge v_{2i}$ -- �������� �����.
��������� {\�� \���� ��������� �����} 
$L(\alpha) = \omega \wedge \alpha$, � $\Lambda:= L^*$.

\��������� 
�� ����������� �  $\goth H$, ���������� �������, ���
$H:=[L, \Lambda] = 
\left [\sum e_{v_{2i-1}} e_{v_{2i}}, \sum i_{v_{2i-1}} i_{v_{2i}}\right]
= \sum_{i=1}^{2n} e_{v_i} i_{v_i} - \sum_{i=1}^{2n} i_{v_i} e_{v_i},$
{\�� \��� ��������� ��������, ����������� �� $k$-������ ���������� ��
$n-k$.}

\���������
��������� $L, \Lambda, H$ �������� ������� ��,
���������� ${\goth sl}(2)$, � �������������
$[L, \Lambda] =H, \ \ [H, L]= 2 L, \ \ [H, \Lambda] = -2 \Lambda.$

\�����������
$L, \Lambda, H$ ���������� {\�� \���� 
$\goth{sl}(2)$-������� �������}.


\newpage

{\bf \blue ����������� �������}

\�����������
����� $B$ -- ����������� �������� ����������,
���������� ���������� ����� $\nabla = \bar\6 + \6$, ���
$\6= \nabla^{1,0}$. {\bf \red ����� �� $B$-������� ������ �����
\[
 [\Lambda, \6] = \1 \bar\6^*,  \ \ \ 
 [\Lambda, \bar\6] = - \1 \6^*,  \ \ \ 
  [L, \bar\6^*] = - \1 \6, \ \ \ 
 [L, \6^*] = \1 \bar\6.
\]}
\�������������� 
���������� ��������, ��������, ��� $[L, \6^*] = -\1\bar\6$.
����� ${\goth E}:\; \Lambda^iM \otimes B
\otimes \Lambda^1 M\arrow \Lambda^{i+1}(M)\otimes B$ --
���������, \\ ${\goth I}:\; \Lambda^iM\otimes B \otimes 
\Lambda^1 M\arrow \Lambda^{i-1}(M)\otimes B$ -- ����������� �������������
���������� ����. {\�� \������ ����� $\bar\6(\eta)= 
{\goth E}^{0,1}(\nabla(\eta))$,
� $\6^*(\eta)= {\goth I}^{-1,0}(\nabla(\eta))$.}
��������� ��� ������� ����-������ �� $\Lambda^*(M)$
� ����� �� $B$, a $(*)^{p,q}$ �������� ������� ����������
���������. 


{\�� \����� ��� 2:} ��������� $\nabla$ ����������� � $L$,
����� $[L, \6^*] = [L, {\goth I}^{-1,0}]\circ \nabla$, ��� 
$L:\;\Lambda^iM \otimes \Lambda^1 M \arrow \Lambda^{i+2}M \otimes \Lambda^1 M$
��������� �� ������� �����������. ������� ����������������� ����� $z_i$ �
$\Lambda^{1,0}$, ������� $L=-\1 \sum e_{z_i} e_{\bar z_i}$,
� $[e_x, {\goth I}]= 1$ � ���� ����������� ������������ �����������,
����������� $e_i, i_k$.  ��� ���� 
$[L, {\goth I}^{-1,0}](z_{i}\otimes \eta)= -\1 e_{\bar z_i}$ � 
$[L, {\goth I}^{-1,0}](\bar z_i\otimes \eta)= 0$,
{\�� \������ �� ���� $[L, {\goth I}^{-1,0}](a\otimes \eta)=
-\1 {\goth E}^{0,1}(a\otimes \eta)$.}


{\�� \����� ��� 3:} 
� ������ �������, $\bar\6(\eta)= {\goth E}^{0,1}(\nabla(\eta))$.
���������� ���� ���������� ���� 1 � ���� 2, ��������
$[L, \6^*] = -\1\bar\6$.
\endproof


%\newpage

%{\bf \blue ����������� ������� (��������������)}


\newpage

{\�� \���� ������ ����� (� �������������� � ������������)}


\�����������
����� $\bar\6:\; \Lambda^{p,q}(M)\otimes B\arrow 
\Lambda^{p,q+1}(M)\otimes B$ -- �������� ����������� ���������.
�������������� 
$\Delta_{\bar\6}:=\{\bar\6, \bar\6^*\}= \bar\6\bar\6^* + \bar\6^* \bar\6$
���������� {\�� \���� ����������� ������ � �������������� � ���������� $B$} 
�� $M$. ��� ���������������, ������������ ������������
��������: $(\Delta_{\bar\6} x, x)= (\bar\6x, \bar\6x) + (\bar\6^*x, \bar\6^*x).$

{\�� \����� �������� ������� ������ �����  � ��������������:}
���������� {\�� \��� ����� � ������������ ������������}
$L^2(\Lambda^*(M)\otimes B)$, ��������� �� ����������� ��������
$\Delta$, � ������ ����������� ������������ ������������.

\������� {\�� \���� (``������������� ������������'')}
����� $\alpha \in L^2(\Lambda^*(M)\otimes B)$ -- ����������� ������
$\Delta$. {\�� \��� ����� $\alpha$ -- ������� �����.}

\newpage

{\�� \���� ������ ����� � �����������}

{\�� \����� �����������:} ����� 
$\alpha$ � �������������� � $B$ ���������� {\�� \����
${\bar\6}$-�������������}, ���� $\Delta_{\bar\6}(\alpha)=0$.

\��������� ��� ����� ������������� ����� $\alpha$,
$0=(\Delta_{\bar\6} \alpha, \alpha)= (\bar\6\alpha, \bar\6\alpha) + (\bar\6^*\alpha, \bar\6^*\alpha),$
������, $\alpha \in \ker \bar\6 \cap \ker \bar\6^*$.
��������, ��� {\�� \��� ����� ${\bar\6}$-������������� ����� 
�� ���������� ������������ ��������.}

\�������
����� $M$ -- ���������� ����������� ������������.
����� ������������ ����������� �� ������������� ���� � 
����������� $\bar\6$ -- ����������.


{\�� \����� ��������������. ��� 1:}
��������� $\ker \bar\6^*= (\im \bar\6)^\bot$, {\�� \������ 
������������ ����������� �� ������������� ���� � 
����������� $\bar\6$ ����������.}

{\�� \����� ��� 2:}  $\{\bar\6, \{\bar\6, \bar\6^*\}\} = 0$ �� ����� 1. �������
{\�� \������ $\bar\6$ ����������� � $\Delta_{\bar\6}$.}

{\�� \����� ��� 3:} ���������� ������� ����������
$\Lambda^*(M)\otimes B \tilde = \bigoplus_\alpha {\cal H}^*_\alpha(M,B)$,
��� $\alpha$ ��������� ����� ��� ����������� ��������
$\Delta$, a ${\cal H}^*_\alpha(M,B)$
������� ������������. ��� ������� $\alpha$, {\�� \������ ������������ $\bar\6$
��������� ����������� ������������ $\Delta_{\bar\6}$,} ��� ���� ��������
\[
{\cal H}^0_\alpha(M,B) \stackrel {\bar\6} \arrow 
{\cal H}^1_\alpha(M,B) \stackrel {\bar\6} \arrow 
{\cal H}^2_\alpha(M,B) \stackrel {\bar\6} \arrow ...
\]


\newpage

{\�� \���� ������ ����� � ����������� (�����������)}

{\�� \����� ��� 4:} �� ${\cal H}^*_\alpha(M)$, �����
$\bar\6\bar\6^* + \bar\6^* \bar\6= \alpha$. ����� $\alpha \neq 0$, � $\eta$
��������, ��� ���� $\bar\6\bar\6^*(\eta) + \bar\6^* \bar\6(\eta)= \bar\6\bar\6^* \eta = \alpha\eta$,
������ $\eta= \bar\6\xi$, ��� $\xi:= \alpha^{-1}\bar\6^* \eta$.
������, ��� ��������� $\alpha$,
{\�� \������ ��������� $({\cal H}^*_\alpha(M,B), \bar\6)$ �� ����
������ � �����������}.

{\�� \����� ��� 5:} �� ��������, ���
\[
H^i(\Lambda^* (M)\otimes B, \bar\6) = 
\bigoplus_\alpha H^i ({\cal H}^*_\alpha(M),\bar\6)=
{\cal H}^i(M,B).
\]
\endproof


\newpage

{\bf \blue ����������� ��������� ���������� �
�������������� �����}

\���������
����� $B$ -- ����������� ��������� ���������� ��
$M$, � $\Omega^pM$ -- ���������� �����������
$(p,0)$-����.  �����
\[
0 \arrow B \otimes_{\calo_M} \Omega^p M \stackrel
{\bar\6}\arrow \Lambda^{p,1}(M)\otimes_{\calo_M} B\stackrel
{\bar\6}\arrow \Lambda^{p,2}(M)\otimes_{\calo_M} B\stackrel
{\bar\6}\arrow ...
\]
���� ������ ����������� $B \otimes_{\calo_M} \Omega^p M$

\��������� $H^i(\Omega^p M\otimes B)$ ���������������
� ����� $\Delta_{\bar\6}:=\bar\6^* \bar\6 + \bar\6 \bar\6^*$
� $\Lambda^{p,i}(M)\otimes B$


\���������
�������� $*:\;\Lambda^{p,i}(M)\otimes_{\calo_M} B\arrow
\Lambda^{n-p,n-i}(M)\otimes_{\calo_M} B^*$ ������������ $\bar\6$ � $\bar\6^*$,
{\�� \��� �������������, ��������� $\ker \Delta_{\bar\6}$.}

\���������
{\�� \���� (�������������� �����)}
����� $M$ -- $n$-������, ����������, ��������, � $B$ --
�������� ����������. ����� 
{\�� \������ ��������� 
\[ H^i(\Omega^p M\otimes B) \times H^{n-i}(\Omega^{n-p} M\otimes B^*)\arrow
H^n(\Omega^n M) = \C\]
������ ������������� ����������. }

\��������� 
{\�� \���� (�������������� ����� ��� $p=n$)}
\[ H^i(B)\cong H^{n-i}(B^*\otimes K)^*,\] ��� $K=\Omega^n M$ --
������������ ����������.

\�������

{\bf \blue ���������� � ��������}

\��������� �������� ��������� �����: 
$\Theta_B=\{\6, \bar\6\}$ 

\���������
�� �����-��������� ����� �������
\begin{multline*} 
 [\Lambda, \Theta_B]= [\Lambda, \{\6, \bar\6\}] =
 \{[\Lambda, \6], \bar\6\} + \{\6,  [\Lambda, \bar\6]\}\\
 = \1 \{\bar\6^*, \bar\6\} - \1\{\6^*, \6\}= 
 \1 \Delta_{\bar\6} - \1 \Delta_{\6}.
\end{multline*}
{\�� \��� ��� ���� $\Delta_{\bar\6} =  \Delta_{\6} - H_B$,
��� $H_B:=\1 [\Lambda, \Theta_B]$.}
 
\���������
��������� $\Delta_{\bar\6}$ � $\Delta_{\6}$ {\�� \blue �������������},
�� ���� ������������� $(\Delta_{\bar\6}x, x) \geq 0$ �
$(\Delta_{\6}x, x)\geq 0$.

{\�� \������ ���� $(H_Bx, x) <0$, �� $(\Delta_{\bar\6}x,x)>0$,
������, $\Delta_{\bar\6}$ �� ����� ����� ����.}


\newpage

{\bf \blue ������������� �������� ����������}

\�����������
����������� �������� ���������� ���������� {\��\���� �������������},
���� ��� ������ ����� ����� ������������� ��������� �����.


{\�� \����� ������� 1:}
(������� �������-������) 
����� $L$ -- ������������� �������� ���������� 
�� ���������� ��������� ������������. {\bf \red �����
��� ������ ���������� $B$ �������� $N>0$
�����, ��� $H^i(B\otimes L^N)=0$ ��� ������ $i>0$.}

\�������������� ��������� �� ������� 2 ����.

{\�� \����� ������� 2:}
����� $B$ -- ����������� �������� ����������
�� $n$-������ ��������� ������������,
$\Theta_B$ -- �������� ��������� �����, $L_{\Theta_B}$ --
�������� ��������� �� $\Theta_B$. �����������, ���
��������������� �������� $H_B:=-\1[L_{\Theta_B}, \Lambda]$
������������� $(H_B(x), x)<0$ ��� ����� ��������� $k$-����� $x$, $k<n$.
{\bf \red ����� $H^p(B\otimes \Omega^q M)=0$ ��� ����� $p+q <n$.}

\��������������
$\Delta_{\bar\6}= \Delta_\6 -H_B$,
��� ���� $(\Delta_{\bar\6}x, x)= (\Delta_{\6}x, x) - (H_Bx,x)>0$.
\��������

\newpage

{\bf \blue ������������� ���������� � �����������}

\���������
���� $E,F$ ��������� ����������, �� 
$\Theta_{E\otimes F} = \Theta_E + \Theta_F$.
���� $L$ �������� ����������, �� $\Theta_{L^*}=- \Theta_L$.

\�����������
���� $L^*$ ������������, 
�� ���������� $L$ ���������� {\�� \���� �������������.}

\��������� ���� $L$ ���� ������������� ����������
�� $(M,\omega)$, ������ $-\1\omega$ ���� �������� $L^*$, 
��  $H_L:=-\1[L_{\Theta_L}, \Lambda]= -H$.
{\�� \��� �� $p$-������ ��� 
��������� �� $p-n$}. {\bf \purple ������� $L$ �������������
�������� ������� 2. ������, $H^p(L\otimes \Omega^q M)=0$ 
��� ����� $p+q <n$.}

\newpage

{\bf \blue ������� �������-������: ��������������}

\���������
�������� $H_{E\otimes F}$ ���������� ��� 
$H_{E\otimes F}= H_E + H_F$. �������
$H_{B\otimes L^N} = H_B- N H$. ��� $N > \alpha$,
��� $\alpha$ ���� ����� ������� ����������� ��������
$H_B$, ����� 
\[ (H_{B\otimes L^N}x, x)= (H_B x, x)- N(n-k)|x|^2< 0.
\] 
{\bf \purple ������� 2 ���� $H^p(L^N\otimes B \otimes \Omega^q M)=0$ 
��� ����� $p+q <n$.}

\��������� 
����� $L$ -- ������������� ����������. �����
{\�� \��� ��� ������� $B$ ������� $N$ �����, ���
$H^i(L^{-N} \otimes B)=0$ ��� $i >0$. }

\�������������� ��������� ����������
��������� � $B^* \otimes K$ � ���������� ���������������
����� 
\[ 0 = H^{n-i} (L^N\otimes B^* \otimes K)= H^i(B \otimes
       L^{-N})^*.
\]
\�������� 

\���������
�� ��������, ��� ������� 1 ������� �� ������� 2.




\end{document}

