\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 10 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексная алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 10: теорема Кодаиры-Накано} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва \\[2mm] 18 апреля 2014 } \end{center} \newpage {\bf \blue Векторные расслоения (повторение)} \определение {\бф \блуе Векторное расслоение} на гладком многообразии $М$ есть локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей. \определение {\бф \блуе Тотальное пространство} $\Tot B$ векторного расслоения есть пространство всех пар $x\in M, b \in B_x/{\goth m}_x B$, где $B_x$ означает пространство ростков $B$ в $x$, а ${\goth m}_x$ -- максимальный идеал, снабженное естественной топологией и гладкой структурой. {\бф \пурпле Тотальное пространство расслоения гладко расслоено над $M$} со слоем $B_x/{\goth m}_x B=\R^n$, где $n$ есть ранк $B$. {\бф \блуе Слой} векторного расслоения в точке $x$ есть $B_x/{\goth m}_x B$. \определение {\бф \блуе Сечением} гладкого расслоения называется гладкое отображение $M \arrow \Tot B$, переводящее $x\in M$ в точку $(x\in M, b \in B_x/{\goth m}_x B)$. \утверждение Множество сечений гладкого расслоения {\бф \ред естественно отождествено с множеством сечений соответствующего пучка.} \newpage {\bf \blue $\bar\6$-оператор на расслоении (повторение)} \замечание Пусть $M$ -- комплексное многообразие. Тогда {\бф \пурпле оператор $\bar\6:\; C^\infty M \arrow \Lambda^{0,1}(M)$ $\calo_M$-линейный}. \определение Пусть $B$ -- голоморфное расслоение. Рассмотрим оператор $\bar\6:\; B_{C^\infty}\arrow B_{C^\infty}\otimes \Lambda^{0,1}(M)$, переводящий $b\otimes f$ в $b\otimes \bar\6 f$, где $b\in B$ голоморфное сечение, а $f$ гладкая функция. Этот оператор зовется {\бф\блуе оператор голоморфной структуры} на голоморфном расслоении. {\бф \ред Он определен корректно в силу $\calo_M$-линейности $\bar\6$.} \определение {\бф \блуе $\bar\6$-оператор} на гладком комплексном векторном расслоении $V$ над есть оператор $V \stackrel {\bar\6}\arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$, удовлетворяющий $\bar\6(fb) = \bar\6(f)\otimes b + f\bar\6(b)$ для любых $f\in C^\infty M, b\in V$. \newpage {\bf \blue Интегрируемость $\bar\6$-оператора (повторение)} \замечание $\bar\6$-оператор {\бф \пурпле можно продолжить до \[ \bar\6:\; \Lambda^{0,i}(M)\otimes V \arrow \Lambda^{0,i+1}(M)\otimes V,\] } по формуле $\bar\6 (\eta \otimes b) = \bar\6(\eta)\otimes b + (-1)^{\tilde \eta}\eta\wedge\bar\6(b)$, где $b\in V$ и $\eta \in \Lambda^{0,i}(M)$. \теорема (Мальгранж, Атья-Ботт) Пусть $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$ -- $\bar\6$-оператор на комплексном векторном расслоении, причем $\bar\6^2=0$. {\бф \ред Тогда $B:=\ker \bar\6\subset V$ есть голоморфное расслоение того же ранга, и $V=B_{\C^\infty}$.} \определение $\bar\6$-оператор называется {\бф \блуе интегрируемым}, если $\bar\6^2=0$. \замечание Мы получили {\bf \purple эквивалентность категории голоморфных расслоений, и категории гладких комплексных расслоений, снабженных интегрируемым $\bar\6$-оператором.} \newpage {\bf \blue Связность и голоморфная структура (повторение)} \определение Пусть $V$ -- гладкое комплексное расслоение со связностью $\nabla:\; V \arrow \Lambda^1(M)\otimes V$ и голоморфной структурой $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$. Рассмотрим разложение $\nabla$ по типам, $\nabla= \nabla^{0,1} + \nabla^{1,0}$, где \[ \nabla^{0,1}:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V, \ \ \ \nabla^{1,0}:\; V \arrow \Lambda^{1,0}(M)\otimes V. \] Говорится, что $\nabla$ {\бф \блуе совместима с голоморфной структурой}, если $\nabla^{0,1}=\bar\6$. \определение {\бф \блуе Эрмитово голоморфное расслоение} есть гладкое комплексное расслоение, снабженное эрмитовой метрикой и голоморфной структурой. \определение {\бф \блуе Связность Черна} на эрмитовом голоморфном расслоении есть связность, совместимая с голоморфной структурой и сохраняющая метрику. \теорема На каждом голоморфном эрмитовом расслоении {\бф \ред связность Черна существует и единственна.} \newpage {\bf \blue Тождество Бьянки (повторение)} \замечание $[\nabla, \{\nabla, \nabla\}]=[\{\nabla, \nabla\},\nabla]+ [\nabla, \{\nabla, \nabla\}]=0$ по супер-тождеству Якоби. Это дает {\бф \ред тождество Бианки}: $\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$. Если $B$ -- линейное расслоение, то $\End B$ тривиально, и $\Theta_B$ есть 2-форма. \утверждение {\бф \ред Кривизна линейного расслоения -- замкнутая 2-форма.} \замечание Аналогично доказывается, что {\бф \ред $\Tr_B \Theta_B^i$ есть замкнутая форма,} где $\Tr_B$ обозначает след в $\End(B)$, а $\Theta_B^i$ -- $i$-я степень $\End(B)$-значной формы. \определение Классы когомологий $\Tr_B \Theta_B^i$ называются {\бф \блуе характеристическими классами} расслоения ("формула Гаусса-Бонне"). Если $B$ -- линейное расслоение, то класс $-\frac{\1}{\pi} \Theta_B$ называется {\бф\блуе первым классом Черна $B$}, и обозначается $c_1(B)$. \newpage {\bf \blue Кривизна связности Черна (повторение)} \утверждение {\бф \ред Кривизна $\Theta_B$ связности Черна есть (1,1)-форма.} \следствие Для связности Черна $\nabla$, имеем $\Theta_B= \{\nabla^{1,0}, \bar\6\}$. \следствие {\бф \ред Кривизна линейного голоморфного расслоения - замкнутая (1,1)-форма.} \замечание Пусть $L$ -- линейное расслоение, $b \in L$ -- нигде не зануляющееся голоморфное сечение. {\бф \пурпле Тогда существует $(1,0)$-форма $\eta$ такая, что $\nabla^{1,0} b=\eta\otimes b$.} Это дает $d|b|^2= \Re g(\nabla^{1,0} b, b) = \Re\eta|b|^2$. {\бф \ред Мы получили $\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b= 2\6\log|b| b.$} \замечание Пусть $B$ -- линейное эрмитово расслоение, а $b$ - незануляющееся голоморфное сечение. Тогда $\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b= 2\6\log|b| b$, что дает $\Theta_B(b)= 2\bar\6\6\log|b| b$, {\бф \пурпле то есть $\Theta_B = -2 \6\bar\6\log|b|$}. \следствие Если $g' = e^{2f} g$ -- две метрики на голоморфном линейном расслоении, а $\Theta, \Theta'$ -- соответствующая кривизна, то {\бф \пурпле $\Theta' - \Theta = -2 \6\bar\6 f$.} \newpage {\бф \блуе Суперсимметрия в кэлеровой геометрии (повторение)} Пусть $(M, I, \omega)$ -- кэлерово многообразие. Рассмотрим операторы, действующие на $\Lambda^*(M)$:\\ 1. $d$, $d^*:=-*d*$, $\Delta:= dd^* + d^*d$\\ 2. {\бф\блуе Оператор Ходжа} $L(\alpha):= \omega\wedge \alpha$ и его сопряженный $\Lambda(\alpha) := * L * \alpha$.\\ 3. {\бф\блуе Оператор Вейля:} ${\cal W}\restrict{\Lambda^{p,q}(M)}=\1(p-q)$. \теорема {\бф \блуе ("Кэлеров пакет")}\\ {\бф \ред Эти операторы порождают 9-мерную супералгебру Ли $\goth a$, действующую на $\Lambda^*(M)$. } Нечетные операторы $d, d^c, d^*, (d^c)^*$ порождают {\бф \блуе нечетную алгебру Гейзенберга}, у которой есть ровно два нетривиальных коммутатора: $\{d,d^*\}=\{d^c, (d^c)^*\}=\Delta$ (оператор Лапласа), причем $\Delta$ лежит в центре $\goth a$. Все нетривиальные коммутаторы четных операторов получаются из соотношений в тройке Лефшеца, а ненулевые коммутаторы четных и нечетных устроены так: $[W, d]=d^c$, $[\Lambda, d]=-d^c$, плюс еще 6 соотношений, которые получаются из этих подкруткой на $I$ и на $*$. \newpage {\bf \blue Координатные операторы (повторение)} Пусть $V$ -- евклидово пространство, $v_i$ -- его базис, $e_{v_i}:\; \Lambda^k V \arrow \Lambda^{k+1} V$ оператор умножения на $v_i$, $e_{v_i}(\eta) = e_i \wedge \eta$. а $i_{v_i}:\; \Lambda^k V \arrow \Lambda^{k-1} V$ сопряженный оператор, $i_{v_i}= * e_{v_i} *$. \утверждение Операторы $e_{v_i}$, $i_{v_i}$, $\Id$ задают базис в {\бф \блуе нечетной супералгебре Гейзенберга $\goth H$}, где единственный нетривиальный суперкоммутатор задается $\{ e_{v_i}, i_{v_j}\} = \delta_{i,j}\Id$. Пусть теперь $V,I,g$ -- эрмитово $n$-мерное векторное пространство, а $\omega= \sum_{i=1}^n v_{2i-1} \wedge v_{2i}$ -- эрмитова форма. Определим {\бф \блуе операторы Ходжа} $L(\alpha) = \omega \wedge \alpha$, и $\Lambda:= L^*$. \замечание Из соотношений в $\goth H$, немедленно следует, что $H:=[L, \Lambda] = \left [\sum e_{v_{2i-1}} e_{v_{2i}}, \sum i_{v_{2i-1}} i_{v_{2i}}\right] = \sum_{i=1}^{2n} e_{v_i} i_{v_i} - \sum_{i=1}^{2n} i_{v_i} e_{v_i},$ {\бф \ред скалярный оператор, действующий на $k$-формах умножением на $n-k$.} \следствие Операторы $L, \Lambda, H$ образуют алгебру Ли, изоморфную ${\goth sl}(2)$, с соотношениями $[L, \Lambda] =H, \ \ [H, L]= 2 L, \ \ [H, \Lambda] = -2 \Lambda.$ \определение $L, \Lambda, H$ называется {\бф \блуе $\goth{sl}(2)$-тройкой Лефшеца}. \newpage {\bf \blue Соотношения Кодаиры} \утверждение Пусть $B$ -- голоморфное эрмитово расслоение, снабженное связностью Черна $\nabla = \bar\6 + \6$, где $\6= \nabla^{1,0}$. {\bf \red Тогда на $B$-значных формах имеем \[ [\Lambda, \6] = \1 \bar\6^*, \ \ \ [\Lambda, \bar\6] = - \1 \6^*, \ \ \ [L, \bar\6^*] = - \1 \6, \ \ \ [L, \6^*] = \1 \bar\6. \]} \доказательство Достаточно доказать, например, что $[L, \6^*] = -\1\bar\6$. Пусть ${\goth E}:\; \Lambda^iM \otimes B \otimes \Lambda^1 M\arrow \Lambda^{i+1}(M)\otimes B$ -- умножение, \\ ${\goth I}:\; \Lambda^iM\otimes B \otimes \Lambda^1 M\arrow \Lambda^{i-1}(M)\otimes B$ -- подстановка двойственного векторного поля. {\бф \пурпле Тогда $\bar\6(\eta)= {\goth E}^{0,1}(\nabla(\eta))$, а $\6^*(\eta)= {\goth I}^{-1,0}(\nabla(\eta))$.} Связность тут берется Леви-Чивита по $\Lambda^*(M)$ и Черна по $B$, a $(*)^{p,q}$ означает ходжеву компоненту оператора. {\бф \греен Шаг 2:} Поскольку $\nabla$ коммутирует с $L$, имеем $[L, \6^*] = [L, {\goth I}^{-1,0}]\circ \nabla$, где $L:\;\Lambda^iM \otimes \Lambda^1 M \arrow \Lambda^{i+2}M \otimes \Lambda^1 M$ действует по первому сомножителю. Выписав ортонормированный базис $z_i$ в $\Lambda^{1,0}$, получим $L=-\1 \sum e_{z_i} e_{\bar z_i}$, а $[e_x, {\goth I}]= 1$ в силу соотношений супералгебры Гейзенберга, порожденной $e_i, i_k$. Это дает $[L, {\goth I}^{-1,0}](z_{i}\otimes \eta)= -\1 e_{\bar z_i}$ и $[L, {\goth I}^{-1,0}](\bar z_i\otimes \eta)= 0$, {\бф \пурпле то есть $[L, {\goth I}^{-1,0}](a\otimes \eta)= -\1 {\goth E}^{0,1}(a\otimes \eta)$.} {\бф \греен Шаг 3:} С другой стороны, $\bar\6(\eta)= {\goth E}^{0,1}(\nabla(\eta))$. Подставляя сюда заключения шага 1 и шага 2, получаем $[L, \6^*] = -\1\bar\6$. \endproof %\newpage %{\bf \blue Соотношения Кодаиры (доказательство)} \newpage {\бф \блуе Теория Ходжа (с коэффициентами в расслоениями)} \определение Пусть $\bar\6:\; \Lambda^{p,q}(M)\otimes B\arrow \Lambda^{p,q+1}(M)\otimes B$ -- оператор комплексной структуры. Антикоммутатор $\Delta_{\bar\6}:=\{\bar\6, \bar\6^*\}= \bar\6\bar\6^* + \bar\6^* \bar\6$ называется {\бф \блуе Лапласианом Дольбо с коэффициентами в расслоении $B$} на $M$. Это самосопряженный, положительно определенный оператор: $(\Delta_{\bar\6} x, x)= (\bar\6x, \bar\6x) + (\bar\6^*x, \bar\6^*x).$ {\бф \греен Основная теорема теории Ходжа с коэффициентами:} Существует {\бф \ред базис в гильбертовом пространстве} $L^2(\Lambda^*(M)\otimes B)$, состоящий из собственных векторов $\Delta$, и каждое собственное пространство конечномерно. \теорема {\бф \блуе (``Эллиптическая регулярность'')} Пусть $\alpha \in L^2(\Lambda^*(M)\otimes B)$ -- собственный вектор $\Delta$. {\бф \ред Тогда $\alpha$ -- гладкая форма.} \newpage {\бф \блуе Теория Ходжа и когомологии} {\бф \греен Определение:} Форма $\alpha$ с коэффициентами в $B$ называется {\бф \блуе ${\bar\6}$-гармонической}, если $\Delta_{\bar\6}(\alpha)=0$. \замечание Для любой гармонической формы $\alpha$, $0=(\Delta_{\bar\6} \alpha, \alpha)= (\bar\6\alpha, \bar\6\alpha) + (\bar\6^*\alpha, \bar\6^*\alpha),$ значит, $\alpha \in \ker \bar\6 \cap \ker \bar\6^*$. Получаем, что {\бф \ред любая ${\bar\6}$-гармоническая форма на компактном многообразии замкнута.} \теорема Пусть $M$ -- компактное комплексное многообразие. Тогда естественное отображение из гармонических форм в когомологии $\bar\6$ -- изоморфизм. {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Поскольку $\ker \bar\6^*= (\im \bar\6)^\bot$, {\бф \пурпле естественное отображение из гармонических форм в когомологии $\bar\6$ инъективно.} {\бф \греен Шаг 2:} $\{\bar\6, \{\bar\6, \bar\6^*\}\} = 0$ по Лемме 1. Поэтому {\бф \пурпле $\bar\6$ коммутирует с $\Delta_{\bar\6}$.} {\бф \греен Шаг 3:} Рассмотрим весовое разложение $\Lambda^*(M)\otimes B \tilde = \bigoplus_\alpha {\cal H}^*_\alpha(M,B)$, где $\alpha$ пробегает через все собственные значения $\Delta$, a ${\cal H}^*_\alpha(M,B)$ весовые пространства. Для каждого $\alpha$, {\бф \пурпле дифференциал $\bar\6$ сохраняет собственные пространства $\Delta_{\bar\6}$,} что дает комплекс \[ {\cal H}^0_\alpha(M,B) \stackrel {\bar\6} \arrow {\cal H}^1_\alpha(M,B) \stackrel {\bar\6} \arrow {\cal H}^2_\alpha(M,B) \stackrel {\bar\6} \arrow ... \] \newpage {\бф \блуе Теория Ходжа и когомологии (продолжение)} {\бф \греен Шаг 4:} На ${\cal H}^*_\alpha(M)$, имеем $\bar\6\bar\6^* + \bar\6^* \bar\6= \alpha$. Когда $\alpha \neq 0$, и $\eta$ замкнута, это дает $\bar\6\bar\6^*(\eta) + \bar\6^* \bar\6(\eta)= \bar\6\bar\6^* \eta = \alpha\eta$, значит $\eta= \bar\6\xi$, где $\xi:= \alpha^{-1}\bar\6^* \eta$. Значит, для ненулевых $\alpha$, {\бф \пурпле комплексы $({\cal H}^*_\alpha(M,B), \bar\6)$ не дают вклада в когомологии}. {\бф \греен Шаг 5:} Мы доказали, что \[ H^i(\Lambda^* (M)\otimes B, \bar\6) = \bigoplus_\alpha H^i ({\cal H}^*_\alpha(M),\bar\6)= {\cal H}^i(M,B). \] \endproof \newpage {\bf \blue Когомологии векторных расслоений и двойственность Серра} \замечание Пусть $B$ -- голоморфное векторное расслоение на $M$, а $\Omega^pM$ -- расслоение голоморфных $(p,0)$-форм. Тогда \[ 0 \arrow B \otimes_{\calo_M} \Omega^p M \stackrel {\bar\6}\arrow \Lambda^{p,1}(M)\otimes_{\calo_M} B\stackrel {\bar\6}\arrow \Lambda^{p,2}(M)\otimes_{\calo_M} B\stackrel {\bar\6}\arrow ... \] есть тонкая резольвента $B \otimes_{\calo_M} \Omega^p M$ \следствие $H^i(\Omega^p M\otimes B)$ отождествляется с ядром $\Delta_{\bar\6}:=\bar\6^* \bar\6 + \bar\6 \bar\6^*$ в $\Lambda^{p,i}(M)\otimes B$ \замечание Оператор $*:\;\Lambda^{p,i}(M)\otimes_{\calo_M} B\arrow \Lambda^{n-p,n-i}(M)\otimes_{\calo_M} B^*$ переставляет $\bar\6$ и $\bar\6^*$, {\бф \ред следовательно, сохраняет $\ker \Delta_{\bar\6}$.} \следствие {\бф \блуе (двойственность Серра)} Пусть $M$ -- $n$-мерное, компактное, кэлерово, а $B$ -- эрмитово расслоение. Тогда {\бф \пурпле умножение \[ H^i(\Omega^p M\otimes B) \times H^{n-i}(\Omega^{n-p} M\otimes B^*)\arrow H^n(\Omega^n M) = \C\] задает невырожденное спаривание. } \следствие {\бф \блуе (двойственность Серра для $p=n$)} \[ H^i(B)\cong H^{n-i}(B^*\otimes K)^*,\] где $K=\Omega^n M$ -- каноническое расслоение. \невпаге {\bf \blue Лапласианы и кривизна} \замечание Кривизна связности Черна: $\Theta_B=\{\6, \bar\6\}$ \следствие Из супер-тождества Якоби следует \begin{multline*} [\Lambda, \Theta_B]= [\Lambda, \{\6, \bar\6\}] = \{[\Lambda, \6], \bar\6\} + \{\6, [\Lambda, \bar\6]\}\\ = \1 \{\bar\6^*, \bar\6\} - \1\{\6^*, \6\}= \1 \Delta_{\bar\6} - \1 \Delta_{\6}. \end{multline*} {\бф \ред Это дает $\Delta_{\bar\6} = \Delta_{\6} - H_B$, где $H_B:=\1 [\Lambda, \Theta_B]$.} \замечание Операторы $\Delta_{\bar\6}$ и $\Delta_{\6}$ {\бф \blue положительные}, то есть удовлетворяют $(\Delta_{\bar\6}x, x) \geq 0$ и $(\Delta_{\6}x, x)\geq 0$. {\бф \пурпле Если $(H_Bx, x) <0$, то $(\Delta_{\bar\6}x,x)>0$, значит, $\Delta_{\bar\6}$ не может иметь ядра.} \newpage {\bf \blue Положительные линейные расслоения} \определение Голоморфное линейное расслоение называется {\бф\блуе положительным}, если его первый класс Черна когомологичен кэлеровой форме. {\бф \греен Теорема 1:} (теорема Кодаиры-Накано) Пусть $L$ -- положительное линейное расслоение на компактном кэлеровом многообразии. {\bf \red Тогда для любого расслоения $B$ найдется $N>0$ такое, что $H^i(B\otimes L^N)=0$ для любого $i>0$.} \доказательство Выводится из Теоремы 2 ниже. {\бф \греен Теорема 2:} Пусть $B$ -- голоморфное эрмитово расслоение на $n$-мерном кэлеровом многообразии, $\Theta_B$ -- кривизна связности Черна, $L_{\Theta_B}$ -- оператор умножения на $\Theta_B$. Предположим, что самосопряженный оператор $H_B:=-\1[L_{\Theta_B}, \Lambda]$ удовлетворяет $(H_B(x), x)<0$ для любой ненулевой $k$-формы $x$, $k0$. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Отрицательные расслоения и когомологии} \замечание Если $E,F$ векторные расслоения, то $\Theta_{E\otimes F} = \Theta_E + \Theta_F$. Если $L$ линейное расслоение, то $\Theta_{L^*}=- \Theta_L$. \определение Если $L^*$ положительно, то расслоение $L$ называется {\бф \блуе отрицательным.} \замечание Если $L$ есть отрицательное расслоение на $(M,\omega)$, причем $-\1\omega$ есть кривизна $L^*$, то $H_L:=-\1[L_{\Theta_L}, \Lambda]= -H$. {\бф \ред На $p$-формах это умножение на $p-n$}. {\bf \purple Поэтому $L$ удовлетворяет условиям теоремы 2. Значит, $H^p(L\otimes \Omega^q M)=0$ для любых $p+q \alpha$, где $\alpha$ есть самое большое собственное значение $H_B$, имеем \[ (H_{B\otimes L^N}x, x)= (H_B x, x)- N(n-k)|x|^2< 0. \] {\bf \purple Теорема 2 дает $H^p(L^N\otimes B \otimes \Omega^q M)=0$ для любых $p+q 0$. } \доказательство Применяем предыдущее замечание к $B^* \otimes K$ и пользуемся двойственностью Серра \[ 0 = H^{n-i} (L^N\otimes B^* \otimes K)= H^i(B \otimes L^{-N})^*. \] \ендпрооф \замечание Мы доказали, что теорема 1 следует из теоремы 2. \end{document}