\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}




\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 8 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексная алгебраическая геометрия, \\[15mm]
\small лекция 8: лемма Пуанкаре-Дольбо-Гротендика}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва
\\[2mm] 4 апреля 2014
}
\end{center}



\newpage


{\bf \блуе Обобщенные функции}

\определение
Рассмотрим векторное пространство,
снабженное набором норм (или полунорм) $|\cdot|_i$, $i=0, 1, 2, ...$
и топологией, которая задана метрикой вида
\[
d(x,y) = \sum_{i=0}^\infty 2^{-i}\min(|x-y|_i, 1).
\]
Такое пространство называется {\бф \блуе пространством Фреше},
если эта метрика полна.

\замечание
{\бф \пурпле Базой топологии Фреше будут пересечения
$\epsilon$-шаров} вида $\bigcup_{i=0}^\infty B_x(\epsilon,|\cdot|_i), $
во всех нормах $|\cdot|_i$. Последовательность сходится этой топологии
$\Leftrightarrow$ она сходится в любой из норм.

\определение
Пусть $M$ --- риманово многообразие, а\\
$\nabla^i:\; C^{\infty}(M) \arrow
\Lambda^1(M)^{\otimes i}$ -- $i$-я степень связности.
Топология $C^k$ на пространстве $C^\infty(M)_c$ 
функций с компактным носителем задается нормой\\
\phantom{a}\hfil $|\phi|_{C^k}:= \sup_M \sum_{i=0}^k |\nabla^i\phi|.$\hfil

\определение
Пусть $M$ -- гладкое многообразие.
{\бф \блуе Пространство тест-функций с носителем
на компакте $K\subset M$} -- пространство 
гладких функций с компактным носителем в $K$, с метрикой вида\\
\phantom{a}\hfil $d(x,y) = \sum_{i=0}^\infty 2^{-i}\min(|x-y|_{C^i}, 1).$\hfil

\newpage


{\bf \блуе Обобщенные функции (2)}

\упражнение Докажите, что {\бф \пурпле пространство
тест-функций с носителем на компакте $K$ есть пространство Фреше.}

\определение
Пусть $M$ есть объединение вложенных компактов $K_0\subset K_1\subset ...$.
Рассмотрим {\бф \блуе пространство тест-функций} 
$C^\infty_c(M):=\bigcup C^\infty(M)_{K_i}$,
где $C^\infty(M)_{K_i}$ -- тест-функции с носителем в $K_i$. 
Топология на $C^\infty_c(M)$ определяется как самая слабая топология,
для которой все вложения $C^\infty(M)_{K_i}\hookrightarrow C^\infty_c(M)$
непрерывны {\бф \блуе ("топология прямого предела").}


\определение
{\бф\блуе Обобщенная функция} (распределение)
это функционал на пространстве тест-функций,
непрерывный в одной из топологий $C^i$ 
на всех пространствах $C^\infty(M)_{K_i}$.

\замечание 
{\бф \пурпле Это то же самое, что непрерывность 
функционала в топологии, определенной выше.}


\пример
{\бф \блуе Дельта-функция} $\delta_t$ -- функционал, 
ставящий $\phi$ в соответствие $\phi(t)$, 
где $t\in M$ -- точка. {\бф \пурпле Дельта-функция 
непрерывна в топологии $C^0$, ее производная
непрерывна в $C^1$, и так далее.}


\newpage


{\bf \блуе Потоки на многообразиях}

\замечание {\бф \блуе $C^i$-топологии} определяются на пространстве
сечений любого расслоения, той же формулой.

\определение
{\бф \блуе Пространство тест-форм типа $(p,q)$
на комплексном многообразии с носителем в компакте $K$ }
-- это пространство $\Lambda^{p,q}(M)_{K}$ 
$(p,q)$-форм с носителем в $K$, снабженное
топологией Фреше как на тест-функциях, 
где нормы $|\cdot|_i$ равны $C^i$.
Пространство тест-форм на $M$ получено 
объединением всех $\Lambda^{p,q}(M)_{K}$ 
по всем компактам. 

\определение
{\бф \блуе $(p,q)$-поток} на комплексном $n$-мерном 
многообразии есть  функционал на
пространстве $\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$ $(n-p, n-q)$-форм с компактным
носителем, непрерывный в одной из $C^i$-\-то\-по\-ло\-гий.

\замечание
Потоки это $(p,q)$-\-фор\-мы
с коэффициентами в обобщенных функциях.

\замечание
{\бф \ред Гладкая $(p,q)$-форма $\psi$ определяет
$(p,q)$-поток:} для любой тест-формы
$\alpha\in\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$, рассмотрим
функционал $\alpha \arrow \int_M \psi \wedge\alpha$.
Это задает вложение $\Lambda^{p,q}(M)\hookrightarrow {\cal D}^{p,q}(M)$
из форм в потоки.

\замечание
{\бф \пурпле Потоки это пополнение
$\Lambda^{p,q}(M)$ в топологии, двойственной топологии
на тест-формах.}

\newpage

{\bf \блуе Когомологии потоков}

\определение
Дифференцирование вдоль векторного
поля непрерывно в топологии потоков, значит, {\бф \блуе на
пространстве потоков определен дифференциал де Рама,}
продолженный по непрерывности из пространства форм,
а также дифференциалы Дольбо $\6$ и $\bar\6$

\замечание
{\бф \пурпле Дифференциал де Рама на потоках можно определить формулой
$\langle d\alpha, \tau\rangle := 
-(-1){\tilde\alpha}\langle \alpha, d\tau\rangle$,}
где $\alpha$ -- поток, а $\tau$ -- тест-форма.

\упражнение
Докажите лемму Пуанкаре для потоков.


\определение
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- собственный морфизм 
комплексных многообразий, 
$\dim_\C X = \dim_\C Y +k$ а $\alpha$ -- поток на $X$.
Определим {\bf \blue прямой образ}
$f_*\alpha$ формулой 
$\langle f_*\alpha, \tau\rangle := \langle \alpha, f^*\tau\rangle$
Легко видеть, что {\бф \ред $f_*\alpha$ имеет размерность $(p-k,q-k)$.}

\замечание
$d f_* \alpha= f_* d\alpha$, 
$\6 f_* \alpha= f_* \6\alpha$, и так далее.

\замечание У потоков {\бф \ред не определен} обратный образ,
зато определен прямой. У форм нет прямого образа, зато есть
обратный.

\newpage

{\bf \блуе Формула Пуанкаре-Лелонга}

\утверждение
(Формула Пуанкаре-Лелонга)
Рассмотрим поток на $\C$, заданный формулой
$\frac 1{\pi z}d z $. {\бф \red Тогда 
$d \left(\frac 1 {\pi z}d z\right ) = \delta_0\Vol$,}
где $\delta_0$ есть $\delta$-функция в 0.

\доказательство
{\bf \blue Формула Коши:} для любой функции $f$ на диске $D$, и $w\in D$,
имеем 
\[
f(w) = \frac 1 {2\pi \1} \int_{\6 D}\frac{f(z)}{z-w} dz -
      \frac 1 \pi \int_D \frac {\bar \6 f}{z-w} \wedge dz
\]
применив это к тест-функции $f$ с компактным носителем внутри $D$,
получим
\[ f(w)=- \left\langle\frac 1 {\pi z} dz, \bar \6 f\right\rangle = 
\left\langle\bar \6 \left(\frac 1 {\pi z}\right) d z, f\right\rangle
= \left\langle d\left(\frac {d z} {\pi z}\right) , f\right\rangle.\]
(последнее равенство выполнено потому, что $d\eta=\bar\6\eta$
для любой (1,0)-формы на диске). \ендпрооф


\newpage

{\bf \блуе Лемма Пуанкаре-Дольбо-Гротендика (размерность 1)}

\следствие
Пусть $\pi_1, \pi_2:\; \C^2 \arrow \C$ -- проекции, а $\xi$ -- (1,0)-поток
на $\C^2$, заданный формулой $\frac1{\pi(z-w)}dw$, где
$w,z$ -- координаты на $\C^2$.
Рассмотрим {\бф \блуе свертку с потоком $\xi$}, заданную формулой
$P_\xi(\tau):= {\pi_2}_*(\pi^*_1 \tau\wedge \xi)$. 
Тогда $\bar\6 P_\xi(\alpha)=\alpha$, для любой $(0,1)$-формы $\alpha$
с компактным носителем.

\доказательство
$\bar\6 P_\xi(\alpha)= {\pi_2}_*(\pi^*_1 \alpha\wedge \bar\6\xi)=
{\pi_2}_*(\pi^*_1 \alpha \wedge \delta_{\triangle})= \alpha,$
где $\delta_{\triangle}$ есть дельта-функция диагонали $\triangle$,
определенная формулой 
$\langle \kappa, \delta_{\triangle}\rangle := \int_\triangle \kappa$.
\ендпрооф

\следствие
{\бф \ред Для любой (0,1)-формы $\alpha$ с компактным носителем на $\C$,
существует функция $f$ на $\C$ такая, что $\bar\6f=\alpha$.}
Более того, $f$ можно выбрать таким образом, что
$|f(z)| < C \frac 1 {|z|}$ для какой-то константы $C>0$,
зависящей от $\int_\C |\alpha|$.

\доказательство Выберем $f=  P_\xi(\alpha)$. В силу определения
$\alpha$ понятно, что $f(z)< \dist(z, S)^{-1}\int_\C |\alpha|$,
где $S$ -- носитель $\alpha$. Из этого следует требуемая оценка.
\ендпрооф

\замечание
Аналогично, для любой (1,1)-формы $\alpha$ с компактным носителем
имеем $\bar \6(P_\xi(\alpha))=\alpha$, с такими же
оценками на порядок роста.

\newpage

{\bf \blue Лемма Пуанкаре-Дольбо-Гротендика}

\определение
{\бф \блуе Полидиск} $D^n$ есть произведение дисков $D\subset \C$.

\теорема
{\бф \блуе (Лемма Пуанкаре-Дольбо-Гротендика)}\\
Пусть $\eta \in \Lambda^{0,p}(D^n)$ -- $\bar\6$-замкнутая
форма на полидиске, гладко продолжающаяся
в окрестность $D^n \subset \C^n$, и $p>0$. Тогда $\eta$  $\bar\6$-точна.

\замечание
Мы доказали
$(0,1)$-формы $\eta$ с компактным носителем 
на $\C$, {\бф \ред $\eta= \bar\6\alpha$, где $\alpha$ --
гладкая функция на $\C$} (не обязательно с компактным носителем,
но убывающая как $1/|z|$). 

\замечание
Из этого следует {\бф \ред лемма Пуанкаре-Дольбо-Гротендика
для $n=1$.} Действительно, любая форма $\eta$ на диске,
продолжающаяся в окрестность $D\subset \C$, продолжается
до формы на $\C$ с компактным носителем, значит, 
{\бф \пурпле лежит в образе $\bar\6$. }

\замечание
Воспользовавшись разложением 
$\Lambda^{p,q}(D^n) \cong \Lambda^{p,0}(D^n) \otimes \Lambda^{0,q}(D^n)$,
каждую форму можно представить в виде суммы вида
$\sum \alpha^{0,q}_i \wedge P^{p,0}_i$, где $P_i$ --  полиномы
от координатных ковекторов $d z_i$ с постоянными
коэффициентами. Поскольку 
$\bar\6(\alpha^{0,q}_i \wedge P^{p,0}_i) = 
\bar\6(\alpha^{0,q}_i) \wedge P^{p,0}_i$,
{\бф \пурпле лемму Пуанкаре-Дольбо-Гротендика достаточно
доказывать для $(0,q)$-форм.}

\newpage

{\bf \blue Доказательство леммы Пуанкаре-Дольбо-Гротендика}

%\замечание
%Для доказательства того, что когомологии
%$\bar\6:\; \Lambda^{0,q}(M) \arrow\Lambda^{0,q+1}(M)$
%зануляются, необходимо и достаточно найти {\бф \блуе 
%оператор гомотопии}, то есть оператор
%$\bar\6:\; \Lambda^{0,q}(M) \arrow\Lambda^{0,q-1}(M)$, удовлетворяющий
%$\{\bar\6, \gamma\}=\Id$. 

{\бф\греен Шаг 1:} Пусть 
$\bar\6_i:\; \Lambda^{0,q}(D^n) \arrow\Lambda^{0,q+1}(D^n)$
есть оператор $\alpha \arrow d\bar z_i \wedge \frac {d}{d\bar z_i}\alpha$,
где $z_i$ есть $i$-я координата на $D^n$.
{\бф \пурпле Тогда $\bar\6= \sum_i \bar\6_i$}.

{\бф\греен Шаг 2:}
В силу леммы Пуанкаре-Дольбо-Гротендика для $n=1$,
когомологии $\bar\6_i$ равны нулю. 
Обозначим за $\gamma_i$ соответствующий 
интегральный оператор $P_\xi$.
Если $\alpha= d\bar z_i\wedge \beta$, то 
$\{\bar\6_i, \gamma_i\}(\alpha)=\alpha$, если
в разложении $\alpha$ нет членов с $d\bar z_i$,
то $ \bar \6_i \{\bar\6_i, \gamma_i\}(\alpha)=0$. 
Из этого следует, что 
{\бф \пурпле $\im \big[\{\bar\6_i, \gamma_i\}-\Id\big]$
лежит в пространстве $R_i$ форм, в разложении которых нет $d\bar z_i$,
а все коэффициенты голоморфны по $z_i$.}

{\бф\греен Шаг 3:} Свойства $\gamma_i$: \\
{\бф \пурпле 1. $\im \big[\{\bar\6_i, \gamma_i\}-\Id\big]\subset R_i$.
2. $\{\bar\6_i, \gamma_j\}=0$, если $i\neq j$.
3. $\big[\{\bar\6_i, \gamma_i\}\big]\restrict {R_i}=0$.
4. $\gamma_i(R_j)\subset R_j$, $\bar\6_i(R_j) \subset R_j$
для $i\neq j$.}\\
Свойство 1 доказано в шаге 2, 3 следует из того, что 
на формах $\alpha$ без $d\bar z_i$ в разложении имеем
$\{\gamma_i, \bar\6\}(\alpha) = \gamma_i(\bar\6_i(\alpha))$.
Свойства 2 и 4 следуют из явной формулы для $\gamma_i$.


{\бф\греен Шаг 4:} В силу свойств 1, 3 и 4,\\
$\left[\{\bar\6_i, \gamma_i\}-\Id\right]( 
{R_{i_1}\cap R_{i_2} \cap ...\cap R_{i_k}}) \subset
R_i\cap R_{i_1}\cap R_{i_2} \cap ...\cap R_{i_k}$ для
$i\notin \{i_1, i_2, ..., i_k\}$, и $\{\bar\6_i, \gamma_i\}\restrict 
{R_{i_1}\cap R_{i_2} \cap ...\cap R_{i_k}}=0$ в противном случае.


\newpage

{\bf \blue Доказательство леммы Пуанкаре-Дольбо-Гротендика (2)}

{\бф\греен Шаг 4:}
{\bf \purple $\left[\{\bar\6_i, \gamma_i\}-\Id\right]( 
{R_{i_1}\cap R_{i_2} \cap ...\cap R_{i_k}}) \subset
R_i\cap R_{i_1}\cap R_{i_2} \cap ...\cap R_{i_k}$ для
$i\notin\{ i_1, i_2, ..., i_k\}$, и $\{\bar\6_i, \gamma_i\}\restrict 
{R_{i_1}\cap R_{i_2} \cap ...\cap R_{i_k}}=0$ в противном случае.}

{\бф\греен Шаг 5:} Пусть $\gamma:= \sum_i\gamma_i$.
Поскольку $\{\bar\6_i, \gamma_j\}=0$ при $i\neq j$, шаг 4 дает
\[ \big[\{\bar\6, \gamma\}-(n-k)\Id\big]
(R_{i_1}\cap R_{i_2} \cap ...\cap R_{i_k}) 
\subset \sum_{i\neq i_1, i_2, ..., i_k} 
R_i\cap R_{i_1}\cap R_{i_2} \cap ...\cap R_{i_k}
\]

{\бф\греен Шаг 6:} Пусть $W_0$ есть пространство $(0,p)$-форм
на $D^n$, допускающих продолжение в некоторую окрестность
$D^n$, а $W_k\subset W_{k-1} \subset ...$ -- подпространство, порожденное
всеми $R_{i_1}\cap R_{i_2} \cap ...\cap R_{i_k}$ 
для $i_1 < i_2 < ... < i_k$.  В силу предыдущего шага,
 {\бф \пурпле 
$\big[\{\bar\6, \gamma\} -(n-k)\Id\big]\restrict{W_k}\subset W_{k+1}$.}


{\бф\греен Шаг 7:} 
Легко видеть, что $W_n$ состоит из голоморфных функций,
которые являются $(0,p)$-формами, то есть пусто в силу $p>0$.
{\bf \purple Воспользовавшись индукцией, можно считать, что каждая
$\bar\6$-замкнутая форма в $W_{k+1}$ $\bar\6$-точна.}
Пусть $\alpha\in W_k$ $\bar\6$-замкнута.
Тогда $(n-k)\alpha - \{\bar\6, \gamma\}(\alpha) = 
(n-k)\alpha - \bar\6\gamma(\alpha)$ лежит в $W_{k+1}$,
то есть точна. {\bf \red Получаем
$(n-k)\alpha - \bar\6\gamma(\alpha) = \bar\6\eta$.}
\endproof


\невпаге

{\bf \blue Пучки}

\определение 
{\бф\блуе Пучок} ${\cal F}$ на топологическом 
пространстве $M$ -- это набор векторных
пространств ${\cal F}(U)$, заданных для каждого открытого
подмножества $U\subset M$, с {\бф \блуе отображениями
ограничения} 
${\cal F}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal F}(U')$
для каждого $U'\subset U$, и следующими свойствами

(1)  {\бф \пурпле Композиция ограничений -- снова ограничение:}
если $U_1\subset U_2 \subset U_3$ вложенные открытые
множества, а ${\phi_{U_1,U_2}}$, ${\phi_{U_2,U_3}}$
соответствующие отображения ограничений, то
$\phi_{U_1,U_2}\circ \phi_{U_2,U_3}=\phi_{U_1,U_3}$.

(2) {\пурпле  Если $U=\bigcup U_i$, а ограничение 
$f\in {\cal F}(U)$ на все $U_i$ равно нулю, то
$f=0$.}

(3) ("склейка сечений")  Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие 
множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$
набор сечений, заданных для каждого элемента
покрытия, и удовлетворяющих условию
$f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j},$
для любой пары элементов покрытия. {\бф\пурпле  Тогда
существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения
$f$ на $U_i$ дает $f_i$.}

Пространство ${\cal F}(U)$ называется {\бф\блуе  
пространство сечений пучка ${\cal F}$ над $U$}, оно также обозначается
${\cal F}\restrict U$.



\невпаге

{\бф \блуе Паракомпактные многообразия} 

\определение
{\бф \блуе Покрытие} топологического пространства $M$
есть набор открытых множеств $\{U_i\}$ такой, что $\bigcup U_i =M$.
{\бф \блуе Измельчение} покрытия $\{U_i\}$ есть покрытие $\{V_i\}$, такое, что
каждый $V_i$ содержится в каком-то из $U_i$.

\определение
Топологическое пространство $M$ 
называется {\бф \блуе паракомпактным},
если любое покрытие $M$ допускает локально конечное
измельчение. 

\замечание
Любое паракомпактное многообразие $M$
обладает следующим свойством. Каждое покрытие
$M$ допускает пару  конечных  измельчений
$\{U_i\}$, и $\{V_i\}$ пронумерованных тем же набором индексов, 
причем все замыкания $\overline U_i$ компактны
и содержатся в $V_i$.

\замечание {\бф \ред В дальнейшем все многообразия предполагаются
паракомпактными.}

\невпаге

{\бф \блуе Носитель сечения пучка} 


\определение
{\бф \блуе Носитель} сечения $f$ пучка есть дополнение
к объединению всех открытых множеств $U\subset M$
таких, что $f\restrict U=0$.

\утверждение
Пусть $f\in {\cal F}\restrict U$ -- сечение пучка
на многообразии $M \ni U$, причем носитель $К$ сечения $f$
замкнут в $M$. {\bf \purple Тогда $f$ принадлежит образу отображения
ограничения $\Gamma_M({\cal F})\arrow \Gamma_U({\cal F})$.}

\доказательство
Рассмотрим покрытие $\{U_1:=U, U_2:=M \backslash K\}$,
и пусть $f_1\in \Gamma_{U_1}({\cal F})=f$, а 
$f_2 \in \Gamma_{U_2}({\cal F})=0$. Тогда 
$f_i \restrict {U_1 \cap U_2}=0$, склеив их,
обретем искомое. \endproof


\невпаге

{\бф \блуе Разбиение единицы на пучке} 

\определение
Пусть $\{U_i\}$, $\{V_i\}$ -- пара локально конечных 
покрытий $M$, пронумерованных
тем же набором индексов, причем для любого $i$ 
замыкание $V_i$ компактно, а замыкание $U_i$ 
компактно и содержится в $V_i$. 
Обозначим за $F^c\restrict U$ группу сечений с компактным носителем
над $U$. {\бф \блуе Разбиение единицы}
для пучка $F$ есть такой набор гомоморфизмов 
$\psi_i:\; F\restrict V_i \arrow F^c\restrict V_i$,
и $\phi_i:\; F\restrict V_i \arrow F^c\restrict V_i$, что 

(i) {\bf \purple $\sum_i \psi_i(f)=f$ для любого сечения $f$}

(ii) {\bf \purple $\psi_i$ обратимо на $U_i$:} 
$\phi_i (\psi_i(f))\restrict {U_i} = f\restrict {U_i}$

Пучок называется {\бф \блуе тонким},
если он допускает разбиение единицы для любой пары таких покрытий.

\замечание
{\бф \purple Все пучки модулей над $C^\infty(M)$ и $C^i(M)$ -- тонкие.}


\невпаге

{\бф \блуе Ростки пучка} 

\определение 
{\бф \блуе Росток} пучка ${\cal F}$ в замкнутом множестве
$Z\subset M$ есть класс эквивалентности сечений
${\cal F}$ в окрестностях $Z$, по 
следующему отношению эквивалентности. 
Сечения $f\in {\cal F}\restrict U$ и $f'\in {\cal F}\restrict U'$  
эквивалентны, если $f\restrict U= f'\restrict U$
для окрестности $Z$,  $U\subset U_1 \cap U_2$.

\утверждение 
Если ${\cal F}$ -- тонкий пучок, 
а $x\subset M$ -- точка
то {\бф \ред 
естественное отображение $\Gamma_M({\cal F})\arrow \Gamma_х({\cal F})$
в соответствующее пространство ростков сюрьективно.}

{\бф \доказательство:}
Возьмем  росток $f$, определенный
в $U\ni x$, ограничим его на $V_i\supset U_i \ni x$ в 
покрытии, связанном с разбиением единицы, тогда
$\phi_i(\psi_i(f))\restrict U_i= f\restrict U_i$. Значит,
{\bf \purple $f':= \phi_i(\psi_i(f))$ имеет тот же росток.} Это сечение
продолжается до сечения $\Gamma_M({\cal F})$,
потому что у него компактный носитель. \endproof

\невпаге

{\бф \блуе Ацикличные пучки}

\замечание 
{\бф \пурпле $0 \arrow A \arrow B \arrow C \arrow 0$ является
точной последовательностью пучков \ \ $\Leftrightarrow$\ \ 
соответствующие последовательности ростков точные для 
каждого $x\in M$.}

\определение
Функтор $\Phi$ из категории пучков в векторные
пространства называется {\бф \блуе точным слева}
если любая точная последовательность пучков 
$0 \arrow A \arrow B \arrow C \arrow 0$
переводится в точную слева последовательность
$0 \arrow \Phi(A) \arrow \Phi(B) \arrow \Phi(C)$.

\пример
{\bf \purple Функтор глобальных сечений ${\cal F} \arrow \Gamma_M({\cal F})$ 
точен слева.}

\определение
Пучок $A$ называется {\бф \блуе ацикличным }, если 
для любого $U\subset M$ и точной
последовательности пучков $0 \arrow A \arrow B \arrow C \arrow 0$,
последовательность
$0 \arrow \Gamma_U(A) \arrow \Gamma_U(B) \arrow \Gamma_U(C) \arrow 0$ точна.

\утверждение
{\бф \ред Любой тонкий пучок ацикличен.}

\определение 
Пусть $0\arrow F\arrow F_1 \arrow F_2 \arrow ... $ --
точная последовательность пучков, которые ацикличны,
начиная с $F_1$. Такая последовательность называется
{\бф \блуе ацикличной резольвентой} $F$.

\невпаге

{\бф \блуе Когомологии пучков}

\замечание
В силу леммы Пуанкаре-Дольбо-Гротендика,
{\бф \purple
$\Omega^p(M) \hookrightarrow \Lambda^{p,0}(M) \stackrel {\bar\6} \arrow 
\Lambda^{p,1}(M) \stackrel {\bar\6} \arrow 
\Lambda^{p,2}(M)  \stackrel {\bar\6} \arrow ...$ --
ацикличная резольвента пучка голоморфных
дифференциальных форм.}

\определение
Пусть $F\arrow F_1 \arrow F_2 \arrow ... $ -- ацикличная
резольвента.
{\бф \блуе Группа когомологий $H^i(F)$} определяется
как $i$-я группа когомологий соответствующего комплекса
глобальных сечений, 
\[ \Gamma_M(F)\arrow \Gamma_M(F_1) \arrow \Gamma_M(F_2) \arrow ... \]

\утверждение {\бф \блуе (Свойства когомологий)}:

1. Группы $H^i(F)$ {\bf \purple не зависят от выбора ацикличной резольвенты.}

2. {\bf \purple $H^i(F)=0$ для всех $i>0$ тогда и только тогда, когда
$F$ ацикличен.}

3. Для любой точной последовательности
пучков $0 \arrow A \arrow B \arrow C \arrow 0$
имеет место {\бф \блуе длинная точная последовательность}
\[
0 \arrow H^0(A) \arrow H^0(B)\arrow  H^0(C) \arrow
H^1(A) \arrow H^1(B)\arrow  H^1(C) \arrow ...
\]




\end{document}


