\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}




\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 7 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексная алгебраическая геометрия, \\[15mm]
\small лекция 7: суперсимметрия и ее приложения}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва
\\[2mm] 20 марта 2014
}


\vfil


{\Large\bf \red Лекции 28-го марта не будет!\\[3mm]
Контрольной 28-го тоже не будет (из-за госов по английскому)!\\[3mm]
Контрольная будет 24-го в 15:30 в 1001!
}
\vfil


\end{center}





\newpage

{\bf \блуе Градуированные векторные пространства и алгебры (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Градуированное векторное пространство}
есть пространство $V^* =\bigoplus_{i\in \Z} V^i$.

\замечание
Еслу $V^*$ градуировано, пространство эндоморфизмов
$\End(V^*)=\bigoplus_{i\in \Z} \End^i(V^*)$ тоже градуировано,
\[ \End^i(V^*)= \bigoplus_{j\in \Z} \Hom(V^j, V^{i+j}).\]

\определение
{\бф \блуе Градуированная алгебра} (или "градуированная
ассоциативная алгебра") есть алгебра $A^*=\bigoplus_{i\in \Z} A^i$
с умножением, которое совместимо с градуировкой: $A^i \cdot A^j \subset A^{i+j}$.

\замечание
Билинейное отображение градуированных пространств, которое
удовлетворяет $A^i \cdot B^j \subset C^{i+j}$, называется
{\бф\блуе градуированным}, или {\бф \блуе совместимым с градуировкой}.



\newpage

{\bf \блуе Суперкоммутатор (повторение)}


\определение
Оператор на градуированном пространстве называется
{\бф \блуе четным} ({\бф \блуе нечетным}), если
он сдвигает градуировку на четное (нечетное) число.
{\бф \блуе Четность} $\tilde a$ оператора $a$ есть 0, если он четный,
1 если нечетный. Мы говорим, что оператор {\бф \блуе чистый}
если он четный или нечетный.

\определение
{\бф \блуе Суперкоммутатор} чистых элементов определяется
формулой $\{a,b\} = ab- (-1)^{\tilde a \tilde b}ba$.

\определение 
Градуированная ассоциативная алгебра $A^*$
называется {\бф \блуе суперкоммутативной} если 
в $A^*$ суперкоммутатор равен нулю.

\пример
{\bf \purple Алгебра Грассмана $\Lambda^* V$ суперкоммутативна.}

\newpage 

{\bf \blue Супералгебры Ли (повторение)}

\определение 
{\бф \блуе Супералгебра Ли} есть градуированное
векторное пространство $\g^*$ снабженное билинейным
градуированным произведением $\{\cdot,\cdot\}:\; \g^*\times \g^* \arrow \g^*$,
которое супер-антикоммутативно: 
\[ \{a,b\} = - (-1)^{\tilde a \tilde b}\{b,a\}
\]
и удовлетворяет {\бф \блуе супер-тождеству Якоби}
\[
\{c, \{a,b\}\} = \{\{c, a\},b\}+ (-1)^{\tilde a \tilde c}\{a,\{c, b\}\}
\]

\пример
Рассмотрим алгебру $\End^* (V^*)$ всех эндоморфизмов
градуированного векторного пространства, с суперкоммутатором,
определенным выше. Тогда {\бф \пурпле $\End^* (V^*), \{\cdot,\cdot\}$
есть супер-алгебра Ли}.


{\bf \green Лемма 1:}
Пусть $d$ есть нечетный элемент супералгебры Ли над
полем характеристики $\neq 2$, удовлетворяющий $\{d,d\}=0$.
{\бф \ред Тогда $\{\{L,d\},d\}=0$} для любого $L$.

{\бф \греен Доказательство:} 
\[ 
0=\{L,\{d,d\}\}= \{\{L, d\}, d\}+(-1)^{\tilde L}\{d,\{L, d\}\}=2\{\{L, d\}, d\}.
\]


\newpage

{\bf \блуе Оператор Ходжа $*$ (повторение)}

Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство.
{\бф \пурпле Метрика на $V$ индуцирует метрику на 
его тензорных пространствах}, 
$g(x_1\otimes x_2 \otimes ... \otimes x_k, x_1'\otimes x_2' \otimes ... \otimes x_k') = g(x_1, x'_1)g(x_2, x'_2) ... g(x_k, x'_k)$

Это задает {\бф \греен невырожденное, положительно
определенное скалярное произведение на дифференциальных формах}
на римановом многообразии:
$g(\alpha, \beta) := \int_M g(\alpha, \beta) \Vol_M$

Другая невырожденная форма задается формулой
$\alpha, \beta \arrow \int_M \alpha \wedge \beta$\\
{\бф \блуе (спаривание Пуанкаре).}

\определение
Пусть $M$ -- риманово $n$-мерное многообразие.
Определим {\бф \блуе оператор Ходжа} 
$*:\; \Lambda^k M \arrow \Lambda^{n-k} M$
формулой {\bf \red $g(\alpha, \beta) = \int_M \alpha \wedge *\beta.$}

\замечание {\бф \ред Оператор Ходжа всегда существует}.
В ортонормальном базисе $\xi_1, ..., \xi_n \in \Lambda^1 M$, его можно задать 
на мономах
\[ * (\xi_{i_1}\wedge\xi_{i_2} \wedge ... \wedge\xi_{i_k}) =
(-1)^s \xi_{j_1}\wedge\xi_{j_2} \wedge ... \wedge\xi_{j_{n-k}},
\]
где $\xi_{j_1},\xi_{j_2}, ...,  \xi_{j_{n-k}}$ -- дополнительный
набор ковекторов,  а $s$ -- сигнатура перестановки 
$(i_1, ..., i_k, j_1, ..., j_{n-k})$.

\замечание
 $*^2\restrict{\Lambda^k(M)}=(-1)^{k(n-k)}\Id_{\Lambda^k(M)}$

\newpage

{\бф \блуе Теория Ходжа (повторение)}

\утверждение
На компактном римановом многообразии, имеем\\
$d^*\restrict{\Lambda^k M} = (-1)^{nk} *d*,$
где $d^*$ -- {\бф \блуе сопряженный оператор} к $d$,
$(d\alpha, \gamma) = (\alpha, d^*\gamma)$.

\определение
Антикоммутатор $\Delta:=\{d, d^*\}= dd^* + d^* d$
называется {\бф \блуе оператор Лапласа} на $M$.
Это самосопряженный, положительно определенный
оператор: $(\Delta x, x)= (dx, dx) + (d^*x, d^*x).$

{\бф \греен Основная теорема теории Ходжа:}
Существует {\бф \ред базис в гильбертовом пространстве}
$L^2(\Lambda^*(M))$, состоящий из собственных векторов
$\Delta$, и каждое собственное пространство конечномерно.

\теорема {\бф \блуе (``Эллиптическая регулярность'')}
Пусть $\alpha \in L^2(\Lambda^k(M))$ -- собственный вектор
$\Delta$. {\бф \ред Тогда $\alpha$ -- гладкая $k$-форма.}

\newpage

{\бф \блуе Теория Ходжа и когомологии (повторение)}

{\бф \греен Определение:} Форма 
$\alpha$ называется {\бф \блуе
гармонической}, если $\Delta(\alpha)=0$.

\замечание Для любой гармонической формы $\alpha$,
$0=(\Delta \alpha, \alpha)= (d\alpha, d\alpha) + (d^*\alpha, d^*\alpha),$
значит, $\alpha \in \ker d \cap \ker d^*$.
Получаем, что {\бф \ред любая гармоническая форма 
на компактном многообразии замкнута.}

\теорема
Пусть $M$ -- компактное, риманово.
Тогда естественное отображение 
${\cal H}^i(M) \arrow H^i(M)$
из гармонических форм в 
когомологии -- изоморфизм.

\замечание Из этой теоремы сразу следует
{\bf \блуе двойственность Пуанкаре между $H^i(M)$ и $H^{n-i}(M)$:}
$\int_M \eta \wedge *\eta \neq 0$ для любого $\eta$, что дает
{\бф \ред невырожденность
спаривания $H^i(M)\otimes H^{n-i}(M)\arrow H^n(M)=H^0(M)=\R$.}
Здесь используется то, что для гармоничного $\eta$, форма $*\eta$
тоже гармонична, следовательно, замкнута.


\newpage

{\bf \blue Координатные операторы (повторение)}

Пусть  $V$ -- евклидово пространство, $v_i$ -- его базис,
$e_{v_i}:\; \Lambda^k V  \arrow \Lambda^{k+1} V$
оператор умножения на $v_i$, $e_{v_i}(\eta) = e_i \wedge \eta$.
а $i_{v_i}:\; \Lambda^k V  \arrow \Lambda^{k-1} V$
сопряженный оператор, $i_{v_i}= * e_{v_i} *$.

\утверждение
Операторы $e_{v_i}$, $i_{v_i}$, $\Id$
задают базис в {\бф \блуе нечетной супералгебре Гейзенберга $\goth H$},
где единственный нетривиальный суперкоммутатор задается
$\{ e_{v_i}, i_{v_j}\} = \delta_{i,j}\Id$.

Пусть теперь $V,I,g$ -- эрмитово $n$-мерное векторное пространство,
а $\omega= \sum_{i=1}^n v_{2i-1} \wedge v_{2i}$ -- эрмитова форма.
Определим {\бф \блуе операторы Ходжа} 
$L(\alpha) = \omega \wedge \alpha$, и $\Lambda:= L^*$.

\замечание 
Из соотношений в  $\goth H$, немедленно следует, что
$H:=[L, \Lambda] = 
\left [\sum e_{v_{2i-1}} e_{v_{2i}}, \sum i_{v_{2i-1}} i_{v_{2i}}\right]
= \sum_{i=1}^{2n} e_{v_i} i_{v_i} - \sum_{i=1}^{2n} i_{v_i} e_{v_i},$
{\бф \ред скалярный оператор, действующий на $k$-формах умножением на
$n-k$.}

\следствие
Операторы $L, \Lambda, H$ образуют алгебру Ли,
изоморфную ${\goth sl}(2)$, с соотношениями
$[L, \Lambda] =H, \ \ [H, L]= 2 L, \ \ [H, \Lambda] = -2 \Lambda.$

\определение
$L, \Lambda, H$ называется {\бф \блуе 
$\goth{sl}(2)$-тройкой Лефшеца}.


\newpage

{\бф \блуе Суперсимметрия в кэлеровой геометрии}

Пусть $(M, I, \omega)$ -- кэлерово многообразие.
Рассмотрим операторы, действующие на $\Lambda^*(M)$:\\
1. $d$, $d^*:=-*d*$, $\Delta:= dd^* + d^*d$\\
2. {\бф\блуе  Оператор Ходжа} $L(\alpha):= \omega\wedge \alpha$
и его сопряженный $\Lambda(\alpha) := * L * \alpha$.\\
3. {\бф\блуе Оператор Вейля:} ${\cal W}\restrict{\Lambda^{p,q}(M)}=\1(p-q)$.

\теорема {\бф \блуе ("Кэлеров пакет")}\\
{\бф \ред Эти операторы порождают 9-мерную супералгебру Ли
$\goth a$, действующую на $\Lambda^*(M)$. }
Нечетные операторы $d, d^c, d^*, (d^c)^*$
порождают {\бф \блуе нечетную алгебру Гейзенберга},
у которой есть ровно два нетривиальных коммутатора:
$\{d,d^*\}=\{d^c, (d^c)^*\}=\Delta$ (оператор Лапласа),
причем $\Delta$ лежит в центре $\goth a$. Все нетривиальные
коммутаторы четных операторов получаются из соотношений
в тройке Лефшеца, а ненулевые коммутаторы четных и нечетных устроены так:
$[W, d]=d^c$, $[\Lambda, d]=-d^c$, плюс еще 6 соотношений,
которые получаются из этих подкруткой на $I$ и на $*$.

\следствие
Лапласиан
$\Delta$ лежит в центре $\goth a$, значит, 
{\бф \пурпле $\goth a$ действует на когомологиях $M$.}

\замечание
Это удобный способ задавать {\бф \блуе "соотношения Кэлера"} между 
всеми этими операторами.


\newpage

{\бф \блуе Суперсимметрия в кэлеровой геометрии: соотношения Кодаиры}



\теорема
(Соотношения Кэлера, они же соотношения Кодаиры).\\
{\бф \ред На кэлеровом многообразии, имеем
$[\Lambda, d] = -(d^c)^*, 
 [\Lambda, d^c] = d^*, [L, d^*] = d^c,
[ L, (d^c)^*] = -d.$}

\дшаг Достаточно доказать, например, что $[L, d^*] = d^c$.
Пусть 
${\goth E}:\; \Lambda^iM \otimes \Lambda^1 M\arrow \Lambda^{i+1}(M)$
умножение, ${\goth I}:\; \Lambda^iM \otimes 
\Lambda^1 M\arrow \Lambda^{i-1}(M)$ подстановка двойственного
векторного поля. {\бф \пурпле Тогда $d(\eta)= {\goth E}(\nabla(\eta))$,
а $d^*(\eta)= {\goth I}(\nabla(\eta))$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Поскольку $\nabla$ коммутирует с $L$,
имеем $[L, d^*] = [L, {\goth I}]\circ \nabla$, где 
$L:\;\Lambda^iM \otimes \Lambda^1 M \arrow \Lambda^{i+2}M \otimes \Lambda^1 M$
действует по первому сомножителю. Выписав ортонормированный базис в
$\Lambda^1$, получим $L=\sum e_{v_{2i-1}} e_{v_{2i}}$,
а $[e_x, {\goth I}]= 1$ в силу соотношений супералгебры Гейзенберга,
порожденной $e_i, i_k$.  Это дает 
$[L, {\goth I}](v_{2i-1}\otimes \eta)= -e_{v_{2i}}$ и 
$[L, {\goth I}](v_{2i}\otimes \eta)= e_{v_{2i-1}}$,
{\бф \пурпле то есть $[L, {\goth I}](a\otimes \eta)={\goth E}(I(a)\otimes \eta)$.}

{\бф \греен Шаг 3:} 
С другой стороны, $d(\eta)= {\goth E}^c(\nabla(\eta))$, где
${\goth E}^c(a\otimes \eta)={\goth E}(I(a)\otimes \eta)$.
Подставляя сюда заключения шага 1 и шага 2, получаем
$[L, d^*] = d^c$.
\endproof


\newpage

{\бф \блуе Оператор Лапласа}

Отметим, что $\{d, d^c\}=0$ (это равносильно интегрируемости комплексной
структуры). Применяя $[\Lambda, *]$ и пользуясь супер-тождеством Якоби, 
получаем
\[
0=[\Lambda,\{d, d^c\}]= -\{(d^c)^*, d^c\} + \{d, d^*\}
\]
то есть операторы Лапласа, связанные с $d, d^c$, равны.
Все остальные коммутационные соотношения между $d, d^c, d^*, (d^c)^*$
зануляются в силу Леммы 1: $\{d^c, d^*\}= \{d^c, [d^c, \Lambda]\}=0$
и так далее. Наконец, применяя $L$ или $\Lambda$ к оператору
Лапласа, получаем $\{d, d^c\}$ либо $\{d^*, (d^c)^*\}$
в силу супер-тождества Якоби. {\бф \ред Значит, оператор
Лапласа лежит в центре ${\goth a}$.}



\newpage
\begin{center}

{\bf \blue Ромб Ходжа}

\[
\begin{array}{ccccc}
&&H^{n,n}&& \\[5mm]
&H^{n,n-1}&&H^{n-1,n}& \\[5mm]
H^{n,n-2}&&H^{n-1,n-1}&&H^{n-2,n} \\[5mm]
\vdots &&\vdots &&\vdots\\[5mm]
H^{2,0}&&H^{1,1}&&H^{0,2} \\[5mm]
&H^{1,0}&&H^{0,1}& \\[5mm]
&&H^{0,0}&& \\[5mm]
\end{array}
\]

\vfil


{\Large\bf \red Лекции 28-го марта не будет! \\[3mm]
Контрольной 28-го тоже не будет (из-за госов по английскому)!\\[3mm]
Контрольная будет 24-го в 15:30 в 1001!
}
\vfil

\end{center}

\newpage

{\бф \блуе $dd^c$-лемма}

\теорема
Пусть $\eta$ - форма на компактном кэлеровом
многообразии, которая удовлетворяет какому-то из условий\\
1. $\eta$ -- точная (p,q)-форма. 2.  $\eta$ -- $d^c$-точная, $d$-замкнутая.
\\ 3. $\eta$ -- $\6$-точная, $\bar\6$-замкнутая.\\
{\бф \ред Тогда $\eta \in \im dd^c=\im \6\bar \6$.}

\доказательство 
Отметим сразу, что во всех трех случаях 
{\бф \пурпле $\eta$ замкнута и ортогональна ядру Лапласа,
значит, ее класс когомологий равен нулю.}

Поскольку $\eta$ точна, она лежит в образе $\Delta$.
Оператор $G_{\Delta}:=\Delta^{-1}$ определен на образе $\Delta$ 
(который замкнут) и коммутирует с $d, d^c$. Значит, $\eta':= G_{\Delta}(\eta)$
тоже точно. $\Delta = [\Lambda, dd^c]$ дает
\[
\eta = \Delta(\eta')= [\Lambda, dd^c](\eta') = dd^c \Lambda \eta'.
\]
\endproof

\замечание 
\[ 
 \Delta G_\Delta(\eta) = dd^* + d^* dG_\Delta(\eta) =
 d^* G_\Delta(d \eta) + dd^* G_\Delta(\eta)=\eta
\]
 для любой точной
формы $\eta$. Значит, {\бф \блуе
$d^* G_\Delta$ обращает $d$ на точных формах.}


\newpage

{\бф \блуе Операции Масси}


\замечание
Пусть $a, b, c\in \Lambda^*(M)$ замкнутые формы, 
классы когомологий которых удовлетворяют $[a][b]=[b][c]=0$, 
а $\alpha, \gamma\in \Lambda^*(M)$ такие формы, что
$d(\alpha)= a\wedge b$, $d(\gamma) = b \wedge c$.
{\bf \red Тогда $\alpha \wedge c - a\wedge \gamma$ -- замкнутая
форма, и ее класс когомологий определен однозначно} по модулю
$\im L_{[a]}+\im L_{[c]}$ (по модулю умножения
на классы $[a]$, $[c]$).

\определение
Класс когомологий $\alpha \wedge c - a\wedge \gamma$ 
называется {\бф \блуе произведением Масси} $a,b,c$.

\утверждение
{\bf \purple На кэлеровом многообразии, произведения Масси равны нулю.}

\доказательство Пусть $a,b,c$ -- гармонические $p,q$-формы,
тогда $ab$ и $bc$ -- $dd^c$-точные $p,q$-формы, значит, 
$\alpha:=d^* G_\Delta(ab)$ и $\gamma:=d^* G_\Delta(bc)$ $d^c$-точные.
Поэтому $\mu:=\alpha \wedge c - a\wedge \gamma$ -- $d^c$-точная,
$d$-замкнутая форма. В силу $dd^c$-леммы, $I(\mu)$
$dd^c$-точна, значит $\mu$  тоже $dd^c$-точна. \ендпрооф

\замечание
$I^{-1} dd^c I = -dd^c$. 


\newpage


{\bf \блуе Теорема Хартогса}

\теорема
Пусть $f$ -- голоморфная функция на $\C^n \backslash K$, где
$K\subset \C^n$ -- компакт, а $n>1$. {\бф \ред Тогда $f$ продолжается
до голоморфной функции на $\C^n$.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} 
Продолжим $f$ до гладкой функции
$\tilde f$, голоморфной вне компакта $K' \subset \C^n$.
{\бф \пурпле Тогда $\alpha:=\bar\6\tilde f$ -- (0,1)-форма с компактным
носителем.}

{\бф \греен  Шаг 2:} Вложив $\C^n$ в $\C P^n$, представим
$\alpha$ как (0,1)-форму с компактным носителем на $\C P^n$.
Поскольку  $H^1(\C P^n)=0$, получаем $\im \bar\6=\ker \bar\6$, 
это дает $\alpha =\bar\6\phi$,
где $\phi$ -- ограниченная функция на $\C^n$.

{\бф \греен  Шаг 3:} $\phi$ голоморфна и ограниченна на любой прямой,
не пересекающей $K'$, значит, {\bf \purple $\phi$ постоянна на каждой
комплексной прямой, не пересекающей $K'$. }

{\бф \греен  Шаг 4:} Поэтому $\phi=\const$ вне выпуклой оболочки
$U(1)\cdot K'$. Вычтем константу, получим, что {\бф \ред $\phi$ -- функция
с компактным носителем.}

{\бф \греен  Шаг 5:} $\bar\6(\tilde f -\phi)= \alpha-\alpha=0$,
{\бф \ред значит, $\tilde f -\phi$ -- голоморфная функция.}
\ендпрооф


\newpage


{\bf \блуе Обобщенные функции}

\определение
Рассмотрим векторное пространство,
снабженное набором норм  $|\cdot|_i$, $i=0, 1, 2, ...$
и топологией, которая задана метрикой вида
\[
d(x,y) = \sum_{i=0}^\infty 2^{-i}\min(|x-y|_i, 1).
\]
Такое пространство называется {\бф \блуе пространством Фреше},
если эта метрика полна.

\замечание
{\бф \пурпле Базой топологии Фреше будут бесконечные пересечения
$\epsilon$-шаров} вида $\bigcup_{i=0}^\infty B_x(\epsilon,|\cdot|_i), $
во всех метриках $|\cdot|_i$.

\определение
Пусть $M$ --- риманово многообразие, а
\[ \nabla^i:\; C^{\infty}(M) \arrow
\Lambda^1(M)^{\otimes i}\] -- $i$-я степень связности.
Топология $C^k$ на пространстве $C^\infty(M)_c$ 
функций с компактным носителем задается нормой
\[
  |\phi|_{C^k}:= \sup_M \sum_{i=0}^k |\nabla^i\phi|.
\]

\newpage


{\bf \блуе Обобщенные функции (2)}

\определение
{\бф \блуе Пространство тест-функций} -- пространство 
функций с компактным носителем, с метрикой вида
\[
d(x,y) = \sum_{i=0}^\infty 2^{-i}\min(|x-y|_{C^i}, 1).
\]

\упражнение Докажите, что это пространство Фреше.

\определение
{\бф\блуе Обобщенная функция} (распределение)
это функционал на пространстве тест-функций,
непрерывный в одной из топологий $C^i$.

\замечание 
{\бф \пурпле Это то же самое, что непрерывность 
функционала в топологии Фреше.}


\пример
{\бф \блуе Дельта-функция} $\delta_t$ -- функционал, 
ставящий $\phi$ в соответствие $\phi(t)$, 
где $t\in M$ -- точка. {\бф \пурпле Дельта-функция 
непрерывна в топологии $C^0$, ее производная
непрерывна в $C^1$, и так далее.}


\newpage


{\bf \блуе Потоки на многообразиях}

\замечание {\бф \блуе $C^i$-топологии} определяются на пространстве
сечений любого расслоения, той же формулой.

\определение
{\бф \блуе Пространство тест-форм  типа $(p,q)$}
на комплексном многообразии -- это пространство
$(p,q)$-форм с компактным носителем, снабженное
структурой пространства Фреше, где нормы
$|\cdot|_i$ равны $C^i$.

\определение
{\бф \блуе $(p,q)$-поток} на комплексном $n$-мерном 
многообразии есть  функционал на
пространстве $\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$ $(n-p, n-q)$-форм с компактным
носителем, непрерывный в одной из $C^i$-\-то\-по\-ло\-гий.

\замечание
Потоки это $(p,q)$-\-фор\-мы
с коэффициентами в обобщенных функциях.

\замечание
{\бф \ред Гладкая $(p,q)$-форму $\psi$ определяет
$(p,q)$-поток:} для любой тест-формы
$\alpha\in\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$, рассмотрим
функционал $\alpha \arrow \int_M \psi \wedge\alpha$.
Это задает вложение $\Lambda^{p,q}(M)\hookrightarrow {\cal D}^{p,q}(M)$
из форм в потоки.

\замечание
{\бф \пурпле Потоки это пополнение
$\Lambda^{p,q}(M)$ в топологии, двойственной топологии
на тест-формах.}

\newpage

{\bf \блуе Когомологии потоков}

\определение
Дифференцирование вдоль векторного
поля непрерывно в топологии потоков, значит, {\бф \блуе на
пространстве потоков определен дифференциал де Рама,}
продолженный по непрерывности из пространства форм,
а также дифференциалы Дольбо $\6$ и $\bar\6$

\замечание
{\бф \пурпле Дифференциал де Рама на потоках можно определить формулой
$\langle d\alpha, \tau\rangle := 
-(-1){\tilde\alpha}\langle \alpha, d\tau\rangle$,}
где $\alpha$ -- поток, а $\tau$ -- тест-форма.

\упражнение
Докажите лемму Пуанкаре для потоков.


\определение
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- собственный морфизм 
комплексных многообразий, 
$\dim_\C X = \dim_\C Y +k$ а $\alpha$ -- поток на $X$.
Определим {\bf \blue прямой образ}
$f_*\alpha$ формулой 
$\langle f_*\alpha, \tau\rangle := \langle \alpha, f^*\tau\rangle$
Легко видеть, что {\бф \ред $f_*\alpha$ имеет размерность $(p-k,q-k)$.}

\замечание
$d f_* \alpha= f_* d\alpha$, 
$\6 f_* \alpha= f_* \6\alpha$, и так далее.

\замечание У потоков {\бф \ред не определен} обратный образ,
зато определен прямой. У форм нет прямого образа, зато есть
обратный.

\newpage

{\bf \блуе Формула Пуанкаре-Лелонга}

\утверждение
(Формула Пуанкаре-Лелонга)
Рассмотрим поток на $\C$, заданный формулой
$\frac 1{\pi z}d z $. {\бф \red Тогда 
$d \left(\frac 1 {\pi z}d z\right ) = \delta_0\Vol$,}
где $\delta_0$ есть $\delta$-функция в 0.

\доказательство
{\bf \blue Формула Коши:} для любой функции $f$ на диске $D$, и $w\in D$,
имеем 
\[
f(w) = \frac 1 {2\pi \1} \int_{\6 D}\frac{f(z)}{z-w} dz -
      \frac 1 \pi \int_D \frac {\bar \6 f}{z-w} \wedge dz
\]
применив это к тест-функции $f$ с компактным носителем внутри $D$,
получим
\[ f(w)=- \left\langle\frac 1 {\pi z} dz, \bar \6 f\right\rangle = 
\left\langle\bar \6 \left(\frac 1 {\pi z}\right) d z, f\right\rangle
= \left\langle d\left(\frac 1 {\pi z}\right) d z, f\right\rangle.\]
(последнее равенство выполнено потому, что $d\eta=\bar\6\eta$
для любой (1,0)-формы на диске). \ендпрооф





\end{document}

