\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 7 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексная алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 7: суперсимметрия и ее приложения} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва \\[2mm] 20 марта 2014 } \vfil {\Large\bf \red Лекции 28-го марта не будет!\\[3mm] Контрольной 28-го тоже не будет (из-за госов по английскому)!\\[3mm] Контрольная будет 24-го в 15:30 в 1001! } \vfil \end{center} \newpage {\bf \блуе Градуированные векторные пространства и алгебры (повторение)} \определение {\бф \блуе Градуированное векторное пространство} есть пространство $V^* =\bigoplus_{i\in \Z} V^i$. \замечание Еслу $V^*$ градуировано, пространство эндоморфизмов $\End(V^*)=\bigoplus_{i\in \Z} \End^i(V^*)$ тоже градуировано, \[ \End^i(V^*)= \bigoplus_{j\in \Z} \Hom(V^j, V^{i+j}).\] \определение {\бф \блуе Градуированная алгебра} (или "градуированная ассоциативная алгебра") есть алгебра $A^*=\bigoplus_{i\in \Z} A^i$ с умножением, которое совместимо с градуировкой: $A^i \cdot A^j \subset A^{i+j}$. \замечание Билинейное отображение градуированных пространств, которое удовлетворяет $A^i \cdot B^j \subset C^{i+j}$, называется {\бф\блуе градуированным}, или {\бф \блуе совместимым с градуировкой}. \newpage {\bf \блуе Суперкоммутатор (повторение)} \определение Оператор на градуированном пространстве называется {\бф \блуе четным} ({\бф \блуе нечетным}), если он сдвигает градуировку на четное (нечетное) число. {\бф \блуе Четность} $\tilde a$ оператора $a$ есть 0, если он четный, 1 если нечетный. Мы говорим, что оператор {\бф \блуе чистый} если он четный или нечетный. \определение {\бф \блуе Суперкоммутатор} чистых элементов определяется формулой $\{a,b\} = ab- (-1)^{\tilde a \tilde b}ba$. \определение Градуированная ассоциативная алгебра $A^*$ называется {\бф \блуе суперкоммутативной} если в $A^*$ суперкоммутатор равен нулю. \пример {\bf \purple Алгебра Грассмана $\Lambda^* V$ суперкоммутативна.} \newpage {\bf \blue Супералгебры Ли (повторение)} \определение {\бф \блуе Супералгебра Ли} есть градуированное векторное пространство $\g^*$ снабженное билинейным градуированным произведением $\{\cdot,\cdot\}:\; \g^*\times \g^* \arrow \g^*$, которое супер-антикоммутативно: \[ \{a,b\} = - (-1)^{\tilde a \tilde b}\{b,a\} \] и удовлетворяет {\бф \блуе супер-тождеству Якоби} \[ \{c, \{a,b\}\} = \{\{c, a\},b\}+ (-1)^{\tilde a \tilde c}\{a,\{c, b\}\} \] \пример Рассмотрим алгебру $\End^* (V^*)$ всех эндоморфизмов градуированного векторного пространства, с суперкоммутатором, определенным выше. Тогда {\бф \пурпле $\End^* (V^*), \{\cdot,\cdot\}$ есть супер-алгебра Ли}. {\bf \green Лемма 1:} Пусть $d$ есть нечетный элемент супералгебры Ли над полем характеристики $\neq 2$, удовлетворяющий $\{d,d\}=0$. {\бф \ред Тогда $\{\{L,d\},d\}=0$} для любого $L$. {\бф \греен Доказательство:} \[ 0=\{L,\{d,d\}\}= \{\{L, d\}, d\}+(-1)^{\tilde L}\{d,\{L, d\}\}=2\{\{L, d\}, d\}. \] \newpage {\bf \блуе Оператор Ходжа $*$ (повторение)} Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство. {\бф \пурпле Метрика на $V$ индуцирует метрику на его тензорных пространствах}, $g(x_1\otimes x_2 \otimes ... \otimes x_k, x_1'\otimes x_2' \otimes ... \otimes x_k') = g(x_1, x'_1)g(x_2, x'_2) ... g(x_k, x'_k)$ Это задает {\бф \греен невырожденное, положительно определенное скалярное произведение на дифференциальных формах} на римановом многообразии: $g(\alpha, \beta) := \int_M g(\alpha, \beta) \Vol_M$ Другая невырожденная форма задается формулой $\alpha, \beta \arrow \int_M \alpha \wedge \beta$\\ {\бф \блуе (спаривание Пуанкаре).} \определение Пусть $M$ -- риманово $n$-мерное многообразие. Определим {\бф \блуе оператор Ходжа} $*:\; \Lambda^k M \arrow \Lambda^{n-k} M$ формулой {\bf \red $g(\alpha, \beta) = \int_M \alpha \wedge *\beta.$} \замечание {\бф \ред Оператор Ходжа всегда существует}. В ортонормальном базисе $\xi_1, ..., \xi_n \in \Lambda^1 M$, его можно задать на мономах \[ * (\xi_{i_1}\wedge\xi_{i_2} \wedge ... \wedge\xi_{i_k}) = (-1)^s \xi_{j_1}\wedge\xi_{j_2} \wedge ... \wedge\xi_{j_{n-k}}, \] где $\xi_{j_1},\xi_{j_2}, ..., \xi_{j_{n-k}}$ -- дополнительный набор ковекторов, а $s$ -- сигнатура перестановки $(i_1, ..., i_k, j_1, ..., j_{n-k})$. \замечание $*^2\restrict{\Lambda^k(M)}=(-1)^{k(n-k)}\Id_{\Lambda^k(M)}$ \newpage {\бф \блуе Теория Ходжа (повторение)} \утверждение На компактном римановом многообразии, имеем\\ $d^*\restrict{\Lambda^k M} = (-1)^{nk} *d*,$ где $d^*$ -- {\бф \блуе сопряженный оператор} к $d$, $(d\alpha, \gamma) = (\alpha, d^*\gamma)$. \определение Антикоммутатор $\Delta:=\{d, d^*\}= dd^* + d^* d$ называется {\бф \блуе оператор Лапласа} на $M$. Это самосопряженный, положительно определенный оператор: $(\Delta x, x)= (dx, dx) + (d^*x, d^*x).$ {\бф \греен Основная теорема теории Ходжа:} Существует {\бф \ред базис в гильбертовом пространстве} $L^2(\Lambda^*(M))$, состоящий из собственных векторов $\Delta$, и каждое собственное пространство конечномерно. \теорема {\бф \блуе (``Эллиптическая регулярность'')} Пусть $\alpha \in L^2(\Lambda^k(M))$ -- собственный вектор $\Delta$. {\бф \ред Тогда $\alpha$ -- гладкая $k$-форма.} \newpage {\бф \блуе Теория Ходжа и когомологии (повторение)} {\бф \греен Определение:} Форма $\alpha$ называется {\бф \блуе гармонической}, если $\Delta(\alpha)=0$. \замечание Для любой гармонической формы $\alpha$, $0=(\Delta \alpha, \alpha)= (d\alpha, d\alpha) + (d^*\alpha, d^*\alpha),$ значит, $\alpha \in \ker d \cap \ker d^*$. Получаем, что {\бф \ред любая гармоническая форма на компактном многообразии замкнута.} \теорема Пусть $M$ -- компактное, риманово. Тогда естественное отображение ${\cal H}^i(M) \arrow H^i(M)$ из гармонических форм в когомологии -- изоморфизм. \замечание Из этой теоремы сразу следует {\bf \блуе двойственность Пуанкаре между $H^i(M)$ и $H^{n-i}(M)$:} $\int_M \eta \wedge *\eta \neq 0$ для любого $\eta$, что дает {\бф \ред невырожденность спаривания $H^i(M)\otimes H^{n-i}(M)\arrow H^n(M)=H^0(M)=\R$.} Здесь используется то, что для гармоничного $\eta$, форма $*\eta$ тоже гармонична, следовательно, замкнута. \newpage {\bf \blue Координатные операторы (повторение)} Пусть $V$ -- евклидово пространство, $v_i$ -- его базис, $e_{v_i}:\; \Lambda^k V \arrow \Lambda^{k+1} V$ оператор умножения на $v_i$, $e_{v_i}(\eta) = e_i \wedge \eta$. а $i_{v_i}:\; \Lambda^k V \arrow \Lambda^{k-1} V$ сопряженный оператор, $i_{v_i}= * e_{v_i} *$. \утверждение Операторы $e_{v_i}$, $i_{v_i}$, $\Id$ задают базис в {\бф \блуе нечетной супералгебре Гейзенберга $\goth H$}, где единственный нетривиальный суперкоммутатор задается $\{ e_{v_i}, i_{v_j}\} = \delta_{i,j}\Id$. Пусть теперь $V,I,g$ -- эрмитово $n$-мерное векторное пространство, а $\omega= \sum_{i=1}^n v_{2i-1} \wedge v_{2i}$ -- эрмитова форма. Определим {\бф \блуе операторы Ходжа} $L(\alpha) = \omega \wedge \alpha$, и $\Lambda:= L^*$. \замечание Из соотношений в $\goth H$, немедленно следует, что $H:=[L, \Lambda] = \left [\sum e_{v_{2i-1}} e_{v_{2i}}, \sum i_{v_{2i-1}} i_{v_{2i}}\right] = \sum_{i=1}^{2n} e_{v_i} i_{v_i} - \sum_{i=1}^{2n} i_{v_i} e_{v_i},$ {\бф \ред скалярный оператор, действующий на $k$-формах умножением на $n-k$.} \следствие Операторы $L, \Lambda, H$ образуют алгебру Ли, изоморфную ${\goth sl}(2)$, с соотношениями $[L, \Lambda] =H, \ \ [H, L]= 2 L, \ \ [H, \Lambda] = -2 \Lambda.$ \определение $L, \Lambda, H$ называется {\бф \блуе $\goth{sl}(2)$-тройкой Лефшеца}. \newpage {\бф \блуе Суперсимметрия в кэлеровой геометрии} Пусть $(M, I, \omega)$ -- кэлерово многообразие. Рассмотрим операторы, действующие на $\Lambda^*(M)$:\\ 1. $d$, $d^*:=-*d*$, $\Delta:= dd^* + d^*d$\\ 2. {\бф\блуе Оператор Ходжа} $L(\alpha):= \omega\wedge \alpha$ и его сопряженный $\Lambda(\alpha) := * L * \alpha$.\\ 3. {\бф\блуе Оператор Вейля:} ${\cal W}\restrict{\Lambda^{p,q}(M)}=\1(p-q)$. \теорема {\бф \блуе ("Кэлеров пакет")}\\ {\бф \ред Эти операторы порождают 9-мерную супералгебру Ли $\goth a$, действующую на $\Lambda^*(M)$. } Нечетные операторы $d, d^c, d^*, (d^c)^*$ порождают {\бф \блуе нечетную алгебру Гейзенберга}, у которой есть ровно два нетривиальных коммутатора: $\{d,d^*\}=\{d^c, (d^c)^*\}=\Delta$ (оператор Лапласа), причем $\Delta$ лежит в центре $\goth a$. Все нетривиальные коммутаторы четных операторов получаются из соотношений в тройке Лефшеца, а ненулевые коммутаторы четных и нечетных устроены так: $[W, d]=d^c$, $[\Lambda, d]=-d^c$, плюс еще 6 соотношений, которые получаются из этих подкруткой на $I$ и на $*$. \следствие Лапласиан $\Delta$ лежит в центре $\goth a$, значит, {\бф \пурпле $\goth a$ действует на когомологиях $M$.} \замечание Это удобный способ задавать {\бф \блуе "соотношения Кэлера"} между всеми этими операторами. \newpage {\бф \блуе Суперсимметрия в кэлеровой геометрии: соотношения Кодаиры} \теорема (Соотношения Кэлера, они же соотношения Кодаиры).\\ {\бф \ред На кэлеровом многообразии, имеем $[\Lambda, d] = -(d^c)^*, [\Lambda, d^c] = d^*, [L, d^*] = d^c, [ L, (d^c)^*] = -d.$} \дшаг Достаточно доказать, например, что $[L, d^*] = d^c$. Пусть ${\goth E}:\; \Lambda^iM \otimes \Lambda^1 M\arrow \Lambda^{i+1}(M)$ умножение, ${\goth I}:\; \Lambda^iM \otimes \Lambda^1 M\arrow \Lambda^{i-1}(M)$ подстановка двойственного векторного поля. {\бф \пурпле Тогда $d(\eta)= {\goth E}(\nabla(\eta))$, а $d^*(\eta)= {\goth I}(\nabla(\eta))$.} {\бф \греен Шаг 2:} Поскольку $\nabla$ коммутирует с $L$, имеем $[L, d^*] = [L, {\goth I}]\circ \nabla$, где $L:\;\Lambda^iM \otimes \Lambda^1 M \arrow \Lambda^{i+2}M \otimes \Lambda^1 M$ действует по первому сомножителю. Выписав ортонормированный базис в $\Lambda^1$, получим $L=\sum e_{v_{2i-1}} e_{v_{2i}}$, а $[e_x, {\goth I}]= 1$ в силу соотношений супералгебры Гейзенберга, порожденной $e_i, i_k$. Это дает $[L, {\goth I}](v_{2i-1}\otimes \eta)= -e_{v_{2i}}$ и $[L, {\goth I}](v_{2i}\otimes \eta)= e_{v_{2i-1}}$, {\бф \пурпле то есть $[L, {\goth I}](a\otimes \eta)={\goth E}(I(a)\otimes \eta)$.} {\бф \греен Шаг 3:} С другой стороны, $d(\eta)= {\goth E}^c(\nabla(\eta))$, где ${\goth E}^c(a\otimes \eta)={\goth E}(I(a)\otimes \eta)$. Подставляя сюда заключения шага 1 и шага 2, получаем $[L, d^*] = d^c$. \endproof \newpage {\бф \блуе Оператор Лапласа} Отметим, что $\{d, d^c\}=0$ (это равносильно интегрируемости комплексной структуры). Применяя $[\Lambda, *]$ и пользуясь супер-тождеством Якоби, получаем \[ 0=[\Lambda,\{d, d^c\}]= -\{(d^c)^*, d^c\} + \{d, d^*\} \] то есть операторы Лапласа, связанные с $d, d^c$, равны. Все остальные коммутационные соотношения между $d, d^c, d^*, (d^c)^*$ зануляются в силу Леммы 1: $\{d^c, d^*\}= \{d^c, [d^c, \Lambda]\}=0$ и так далее. Наконец, применяя $L$ или $\Lambda$ к оператору Лапласа, получаем $\{d, d^c\}$ либо $\{d^*, (d^c)^*\}$ в силу супер-тождества Якоби. {\бф \ред Значит, оператор Лапласа лежит в центре ${\goth a}$.} \newpage \begin{center} {\bf \blue Ромб Ходжа} \[ \begin{array}{ccccc} &&H^{n,n}&& \\[5mm] &H^{n,n-1}&&H^{n-1,n}& \\[5mm] H^{n,n-2}&&H^{n-1,n-1}&&H^{n-2,n} \\[5mm] \vdots &&\vdots &&\vdots\\[5mm] H^{2,0}&&H^{1,1}&&H^{0,2} \\[5mm] &H^{1,0}&&H^{0,1}& \\[5mm] &&H^{0,0}&& \\[5mm] \end{array} \] \vfil {\Large\bf \red Лекции 28-го марта не будет! \\[3mm] Контрольной 28-го тоже не будет (из-за госов по английскому)!\\[3mm] Контрольная будет 24-го в 15:30 в 1001! } \vfil \end{center} \newpage {\бф \блуе $dd^c$-лемма} \теорема Пусть $\eta$ - форма на компактном кэлеровом многообразии, которая удовлетворяет какому-то из условий\\ 1. $\eta$ -- точная (p,q)-форма. 2. $\eta$ -- $d^c$-точная, $d$-замкнутая. \\ 3. $\eta$ -- $\6$-точная, $\bar\6$-замкнутая.\\ {\бф \ред Тогда $\eta \in \im dd^c=\im \6\bar \6$.} \доказательство Отметим сразу, что во всех трех случаях {\бф \пурпле $\eta$ замкнута и ортогональна ядру Лапласа, значит, ее класс когомологий равен нулю.} Поскольку $\eta$ точна, она лежит в образе $\Delta$. Оператор $G_{\Delta}:=\Delta^{-1}$ определен на образе $\Delta$ (который замкнут) и коммутирует с $d, d^c$. Значит, $\eta':= G_{\Delta}(\eta)$ тоже точно. $\Delta = [\Lambda, dd^c]$ дает \[ \eta = \Delta(\eta')= [\Lambda, dd^c](\eta') = dd^c \Lambda \eta'. \] \endproof \замечание \[ \Delta G_\Delta(\eta) = dd^* + d^* dG_\Delta(\eta) = d^* G_\Delta(d \eta) + dd^* G_\Delta(\eta)=\eta \] для любой точной формы $\eta$. Значит, {\бф \блуе $d^* G_\Delta$ обращает $d$ на точных формах.} \newpage {\бф \блуе Операции Масси} \замечание Пусть $a, b, c\in \Lambda^*(M)$ замкнутые формы, классы когомологий которых удовлетворяют $[a][b]=[b][c]=0$, а $\alpha, \gamma\in \Lambda^*(M)$ такие формы, что $d(\alpha)= a\wedge b$, $d(\gamma) = b \wedge c$. {\bf \red Тогда $\alpha \wedge c - a\wedge \gamma$ -- замкнутая форма, и ее класс когомологий определен однозначно} по модулю $\im L_{[a]}+\im L_{[c]}$ (по модулю умножения на классы $[a]$, $[c]$). \определение Класс когомологий $\alpha \wedge c - a\wedge \gamma$ называется {\бф \блуе произведением Масси} $a,b,c$. \утверждение {\bf \purple На кэлеровом многообразии, произведения Масси равны нулю.} \доказательство Пусть $a,b,c$ -- гармонические $p,q$-формы, тогда $ab$ и $bc$ -- $dd^c$-точные $p,q$-формы, значит, $\alpha:=d^* G_\Delta(ab)$ и $\gamma:=d^* G_\Delta(bc)$ $d^c$-точные. Поэтому $\mu:=\alpha \wedge c - a\wedge \gamma$ -- $d^c$-точная, $d$-замкнутая форма. В силу $dd^c$-леммы, $I(\mu)$ $dd^c$-точна, значит $\mu$ тоже $dd^c$-точна. \ендпрооф \замечание $I^{-1} dd^c I = -dd^c$. \newpage {\bf \блуе Теорема Хартогса} \теорема Пусть $f$ -- голоморфная функция на $\C^n \backslash K$, где $K\subset \C^n$ -- компакт, а $n>1$. {\бф \ред Тогда $f$ продолжается до голоморфной функции на $\C^n$.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Продолжим $f$ до гладкой функции $\tilde f$, голоморфной вне компакта $K' \subset \C^n$. {\бф \пурпле Тогда $\alpha:=\bar\6\tilde f$ -- (0,1)-форма с компактным носителем.} {\бф \греен Шаг 2:} Вложив $\C^n$ в $\C P^n$, представим $\alpha$ как (0,1)-форму с компактным носителем на $\C P^n$. Поскольку $H^1(\C P^n)=0$, получаем $\im \bar\6=\ker \bar\6$, это дает $\alpha =\bar\6\phi$, где $\phi$ -- ограниченная функция на $\C^n$. {\бф \греен Шаг 3:} $\phi$ голоморфна и ограниченна на любой прямой, не пересекающей $K'$, значит, {\bf \purple $\phi$ постоянна на каждой комплексной прямой, не пересекающей $K'$. } {\бф \греен Шаг 4:} Поэтому $\phi=\const$ вне выпуклой оболочки $U(1)\cdot K'$. Вычтем константу, получим, что {\бф \ред $\phi$ -- функция с компактным носителем.} {\бф \греен Шаг 5:} $\bar\6(\tilde f -\phi)= \alpha-\alpha=0$, {\бф \ред значит, $\tilde f -\phi$ -- голоморфная функция.} \ендпрооф \newpage {\bf \блуе Обобщенные функции} \определение Рассмотрим векторное пространство, снабженное набором норм $|\cdot|_i$, $i=0, 1, 2, ...$ и топологией, которая задана метрикой вида \[ d(x,y) = \sum_{i=0}^\infty 2^{-i}\min(|x-y|_i, 1). \] Такое пространство называется {\бф \блуе пространством Фреше}, если эта метрика полна. \замечание {\бф \пурпле Базой топологии Фреше будут бесконечные пересечения $\epsilon$-шаров} вида $\bigcup_{i=0}^\infty B_x(\epsilon,|\cdot|_i), $ во всех метриках $|\cdot|_i$. \определение Пусть $M$ --- риманово многообразие, а \[ \nabla^i:\; C^{\infty}(M) \arrow \Lambda^1(M)^{\otimes i}\] -- $i$-я степень связности. Топология $C^k$ на пространстве $C^\infty(M)_c$ функций с компактным носителем задается нормой \[ |\phi|_{C^k}:= \sup_M \sum_{i=0}^k |\nabla^i\phi|. \] \newpage {\bf \блуе Обобщенные функции (2)} \определение {\бф \блуе Пространство тест-функций} -- пространство функций с компактным носителем, с метрикой вида \[ d(x,y) = \sum_{i=0}^\infty 2^{-i}\min(|x-y|_{C^i}, 1). \] \упражнение Докажите, что это пространство Фреше. \определение {\бф\блуе Обобщенная функция} (распределение) это функционал на пространстве тест-функций, непрерывный в одной из топологий $C^i$. \замечание {\бф \пурпле Это то же самое, что непрерывность функционала в топологии Фреше.} \пример {\бф \блуе Дельта-функция} $\delta_t$ -- функционал, ставящий $\phi$ в соответствие $\phi(t)$, где $t\in M$ -- точка. {\бф \пурпле Дельта-функция непрерывна в топологии $C^0$, ее производная непрерывна в $C^1$, и так далее.} \newpage {\bf \блуе Потоки на многообразиях} \замечание {\бф \блуе $C^i$-топологии} определяются на пространстве сечений любого расслоения, той же формулой. \определение {\бф \блуе Пространство тест-форм типа $(p,q)$} на комплексном многообразии -- это пространство $(p,q)$-форм с компактным носителем, снабженное структурой пространства Фреше, где нормы $|\cdot|_i$ равны $C^i$. \определение {\бф \блуе $(p,q)$-поток} на комплексном $n$-мерном многообразии есть функционал на пространстве $\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$ $(n-p, n-q)$-форм с компактным носителем, непрерывный в одной из $C^i$-\-то\-по\-ло\-гий. \замечание Потоки это $(p,q)$-\-фор\-мы с коэффициентами в обобщенных функциях. \замечание {\бф \ред Гладкая $(p,q)$-форму $\psi$ определяет $(p,q)$-поток:} для любой тест-формы $\alpha\in\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$, рассмотрим функционал $\alpha \arrow \int_M \psi \wedge\alpha$. Это задает вложение $\Lambda^{p,q}(M)\hookrightarrow {\cal D}^{p,q}(M)$ из форм в потоки. \замечание {\бф \пурпле Потоки это пополнение $\Lambda^{p,q}(M)$ в топологии, двойственной топологии на тест-формах.} \newpage {\bf \блуе Когомологии потоков} \определение Дифференцирование вдоль векторного поля непрерывно в топологии потоков, значит, {\бф \блуе на пространстве потоков определен дифференциал де Рама,} продолженный по непрерывности из пространства форм, а также дифференциалы Дольбо $\6$ и $\bar\6$ \замечание {\бф \пурпле Дифференциал де Рама на потоках можно определить формулой $\langle d\alpha, \tau\rangle := -(-1){\tilde\alpha}\langle \alpha, d\tau\rangle$,} где $\alpha$ -- поток, а $\tau$ -- тест-форма. \упражнение Докажите лемму Пуанкаре для потоков. \определение Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- собственный морфизм комплексных многообразий, $\dim_\C X = \dim_\C Y +k$ а $\alpha$ -- поток на $X$. Определим {\bf \blue прямой образ} $f_*\alpha$ формулой $\langle f_*\alpha, \tau\rangle := \langle \alpha, f^*\tau\rangle$ Легко видеть, что {\бф \ред $f_*\alpha$ имеет размерность $(p-k,q-k)$.} \замечание $d f_* \alpha= f_* d\alpha$, $\6 f_* \alpha= f_* \6\alpha$, и так далее. \замечание У потоков {\бф \ред не определен} обратный образ, зато определен прямой. У форм нет прямого образа, зато есть обратный. \newpage {\bf \блуе Формула Пуанкаре-Лелонга} \утверждение (Формула Пуанкаре-Лелонга) Рассмотрим поток на $\C$, заданный формулой $\frac 1{\pi z}d z $. {\бф \red Тогда $d \left(\frac 1 {\pi z}d z\right ) = \delta_0\Vol$,} где $\delta_0$ есть $\delta$-функция в 0. \доказательство {\bf \blue Формула Коши:} для любой функции $f$ на диске $D$, и $w\in D$, имеем \[ f(w) = \frac 1 {2\pi \1} \int_{\6 D}\frac{f(z)}{z-w} dz - \frac 1 \pi \int_D \frac {\bar \6 f}{z-w} \wedge dz \] применив это к тест-функции $f$ с компактным носителем внутри $D$, получим \[ f(w)=- \left\langle\frac 1 {\pi z} dz, \bar \6 f\right\rangle = \left\langle\bar \6 \left(\frac 1 {\pi z}\right) d z, f\right\rangle = \left\langle d\left(\frac 1 {\pi z}\right) d z, f\right\rangle.\] (последнее равенство выполнено потому, что $d\eta=\bar\6\eta$ для любой (1,0)-формы на диске). \ендпрооф \end{document}