\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}




\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 6 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексная алгебраическая геометрия, \\[15mm]
\small лекция 6: суперсимметрия на кэлеровых многообразиях}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва
\\[2mm] 7 марта 2014
}

\vfil

{\Large\bf \red Лекции 28-го марта не будет!\\
Вместо нее будет контрольная!
}
\vfil

\end{center}





\newpage

{\bf \блуе Градуированные векторные пространства и алгебры (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Градуированное векторное пространство}
есть пространство $V^* =\bigoplus_{i\in \Z} V^i$.

\замечание
Еслу $V^*$ градуировано, пространство эндоморфизмов
$\End(V^*)=\bigoplus_{i\in \Z} \End^i(V^*)$ тоже градуировано,
\[ \End^i(V^*)= \bigoplus_{j\in \Z} \Hom(V^j, V^{i+j}).\]

\определение
{\бф \блуе Градуированная алгебра} (или "градуированная
ассоциативная алгебра") есть алгебра $A^*=\bigoplus_{i\in \Z} A^i$
с умножением, которое совместимо с градуировкой: $A^i \cdot A^j \subset A^{i+j}$.

\замечание
Билинейное отображение градуированных пространств, которое
удовлетворяет $A^i \cdot B^j \subset C^{i+j}$, называется
{\бф\блуе градуированным}, или {\бф \блуе совместимым с градуировкой}.



\newpage

{\bf \блуе Суперкоммутатор (повторение)}


\определение
Оператор на градуированном пространстве называется
{\бф \блуе четным} ({\бф \блуе нечетным}), если
он сдвигает градуировку на четное (нечетное) число.
{\бф \блуе Четность} $\tilde a$ оператора $a$ есть 0, если он четный,
1 если нечетный. Мы говорим, что оператор {\бф \блуе чистый}
если он четный или нечетный.

\определение
{\бф \блуе Суперкоммутатор} чистых элементов определяется
формулой $\{a,b\} = ab- (-1)^{\tilde a \tilde b}ba$.

\определение 
Градуированная ассоциативная алгебра $A^*$
называется {\бф \блуе суперкоммутативной} если 
в $A^*$ суперкоммутатор равен нулю.

\пример
{\bf \purple Алгебра Грассмана $\Lambda^* V$ суперкоммутативна.}

\newpage 

{\bf \blue Супералгебры Ли (повторение)}

\определение 
{\бф \блуе Супералгебра Ли} есть градуированное
векторное пространство $\g^*$ снабженное билинейным
градуированным произведением $\{\cdot,\cdot\}:\; \g^*\times \g^* \arrow \g^*$,
которое супер-антикоммутативно: 
\[ \{a,b\} = - (-1)^{\tilde a \tilde b}\{b,a\}
\]
и удовлетворяет {\бф \блуе супер-тождеству Якоби}
\[
\{c, \{a,b\}\} = \{\{c, a\},b\}+ (-1)^{\tilde a \tilde c}\{a,\{c, b\}\}
\]

\пример
Рассмотрим алгебру $\End^* (V^*)$ всех эндоморфизмов
градуированного векторного пространства, с суперкоммутатором,
определенным выше. Тогда {\бф \пурпле $\End^* (V^*), \{\cdot,\cdot\}$
есть супер-алгебра Ли}.


{\bf \green Лемма 1:}
Пусть $d$ есть нечетный элемент супералгебры Ли над
полем характеристики $\neq 2$, удовлетворяющий $\{d,d\}=0$.
{\бф \ред Тогда $\{\{L,d\},d\}=0$} для любого $L$.

{\бф \греен Доказательство:} 
\[ 
0=\{L,\{d,d\}\}= \{\{L, d\}, d\}+(-1)^{\tilde L}\{d,\{L, d\}\}=2\{\{L, d\}, d\}.
\]


\newpage

{\bf \блуе Оператор Ходжа $*$ (повторение)}

Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство.
{\бф \пурпле Метрика на $V$ индуцирует метрику на 
его тензорных пространствах}, 
$g(x_1\otimes x_2 \otimes ... \otimes x_k, x_1'\otimes x_2' \otimes ... \otimes x_k') = g(x_1, x'_1)g(x_2, x'_2) ... g(x_k, x'_k)$

Это задает {\бф \греен невырожденное, положительно
определенное скалярное произведение на дифференциальных формах}
на римановом многообразии:
$g(\alpha, \beta) := \int_M g(\alpha, \beta) \Vol_M$

Другая невырожденная форма задается формулой
$\alpha, \beta \arrow \int_M \alpha \wedge \beta$\\
{\бф \блуе (спаривание Пуанкаре).}

\определение
Пусть $M$ -- риманово $n$-мерное многообразие.
Определим {\бф \блуе оператор Ходжа} 
$*:\; \Lambda^k M \arrow \Lambda^{n-k} M$
формулой {\bf \red $g(\alpha, \beta) = \int_M \alpha \wedge *\beta.$}

\замечание {\бф \ред Оператор Ходжа всегда существует}.
В ортонормальном базисе $\xi_1, ..., \xi_n \in \Lambda^1 M$, его можно задать 
на мономах
\[ * (\xi_{i_1}\wedge\xi_{i_2} \wedge ... \wedge\xi_{i_k}) =
(-1)^s \xi_{j_1}\wedge\xi_{j_2} \wedge ... \wedge\xi_{j_{n-k}},
\]
где $\xi_{j_1},\xi_{j_2}, ...,  \xi_{j_{n-k}}$ -- дополнительный
набор ковекторов,  а $s$ -- сигнатура перестановки 
$(i_1, ..., i_k, j_1, ..., j_{n-k})$.

\замечание
 $*^2\restrict{\Lambda^k(M)}=(-1)^{k(n-k)}\Id_{\Lambda^k(M)}$

\newpage

{\бф \блуе Теория Ходжа (повторение)}

\утверждение
На компактном римановом многообразии, имеем\\
$d^*\restrict{\Lambda^k M} = (-1)^{nk} *d*,$
где $d^*$ -- {\бф \блуе сопряженный оператор} к $d$,
$(d\alpha, \gamma) = (\alpha, d^*\gamma)$.

\определение
Антикоммутатор $\Delta:=\{d, d^*\}= dd^* + d^* d$
называется {\бф \блуе оператор Лапласа} на $M$.
Это самосопряженный, положительно определенный
оператор: $(\Delta x, x)= (dx, dx) + (d^*x, d^*x).$

{\бф \греен Основная теорема теории Ходжа:}
Существует {\бф \ред базис в гильбертовом пространстве}
$L^2(\Lambda^*(M))$, состоящий из собственных векторов
$\Delta$, и каждое собственное пространство конечномерно.

\теорема {\бф \блуе (``Эллиптическая регулярность'')}
Пусть $\alpha \in L^2(\Lambda^k(M))$ -- собственный вектор
$\Delta$. {\бф \ред Тогда $\alpha$ -- гладкая $k$-форма.}

\newpage

{\бф \блуе Теория Ходжа и когомологии (повторение)}

{\бф \греен Определение:} Форма 
$\alpha$ называется {\бф \блуе
гармонической}, если $\Delta(\alpha)=0$.

\замечание Для любой гармонической формы $\alpha$,
$0=(\Delta \alpha, \alpha)= (d\alpha, d\alpha) + (d^*\alpha, d^*\alpha),$
значит, $\alpha \in \ker d \cap \ker d^*$.
Получаем, что {\бф \ред любая гармоническая форма 
на компактном многообразии замкнута.}

\теорема
Пусть $M$ -- компактное, риманово.
Тогда естественное отображение 
${\cal H}^i(M) \arrow H^i(M)$
из гармонических форм в 
когомологии -- изоморфизм.

\замечание Из этой теоремы сразу следует
{\bf \блуе двойственность Пуанкаре между $H^i(M)$ и $H^{n-i}(M)$:}
$\int_M \eta \wedge *\eta \neq 0$ для любого $\eta$, что дает
{\бф \ред невырожденность
спаривания $H^i(M)\otimes H^{n-i}(M)\arrow H^n(M)=H^0(M)=\R$.}
Здесь используется то, что для гармоничного $\eta$, форма $*\eta$
тоже гармонична, следовательно, замкнута.


\newpage

{\bf \blue Координатные операторы}

Пусть  $V$ -- евклидово пространство, $v_i$ -- его базис,
$e_{v_i}:\; \Lambda^k V  \arrow \Lambda^{k+1} V$
оператор умножения на $v_i$, $e_{v_i}(\eta) = e_i \wedge \eta$.
а $i_{v_i}:\; \Lambda^k V  \arrow \Lambda^{k-1} V$
сопряженный оператор, $i_{v_i}= * e_{v_i} *$.

\утверждение
Операторы $e_{v_i}$, $i_{v_i}$, $\Id$
задают базис в {\бф \блуе нечетной супералгебре Гейзенберга $\goth H$},
где единственный нетривиальный суперкоммутатор задается
$\{ e_{v_i}, i_{v_j}\} = \delta_{i,j}\Id$.

Пусть теперь $V,I,g$ -- эрмитово $n$-мерное векторное пространство,
а $\omega= \sum_{i=1}^n v_{2i-1} \wedge v_{2i}$ -- эрмитова форма.
Определим {\бф \блуе операторы Ходжа} 
$L(\alpha) = \omega \wedge \alpha$, и $\Lambda:= L^*$.

\замечание 
Из соотношений в  $\goth H$, немедленно следует, что
\[
H:=[L, \Lambda] = 
\left [\sum e_{v_{2i-1}} e_{v_{2i}}, \sum i_{v_{2i-1}} i_{v_{2i}}\right]
= \sum_{i=1}^{2n} e_{v_i} i_{v_i} - \sum_{i=1}^{2n} i_{v_i} e_{v_i},
\]
{\бф \ред скалярный оператор, действующий на $k$-формах умножением на
$n-k$.}

\newpage

{\bf \blue $\goth{sl}(2)$-действие Лефшеца}

\следствие
Операторы $L, \Lambda, H$ образуют алгебру Ли,
изоморфную ${\goth sl}(2)$, с соотношениями
$[L, \Lambda] =H, \ \ [H, L]= 2 L, \ \ [H, \Lambda] = -2 \Lambda.$

\определение
$L, \Lambda, H$ называется {\бф \блуе 
$\goth{sl}(2)$-тройкой Лефшеца}.

\замечание
Конечномерные представления $\goth{sl}(2)$ {\бф \ред полупросты}.

\замечание 
Неприводимое представление $V$ алгебры $\goth{sl}(2)$ порождено
{\бф \блуе младшим вектором} $v\in V$, 
$\Lambda (v) =0$, $H (v) = - p v$, где $p\in \Z^{\geq 0}$,
и вектора $v, L(v), L^2(v), ..., L^p(v)$ образуют его базис.
{\бф \ред Такое представление однозначно задается числом $p$},
и обозначается $V_p$.

\замечание
В таком базисе, {\бф \пурпле $H$ действует диагонально:}
$H(L^i(v))= (2i-p)L^i(v)$.

\замечание
Имеем $V_p= \Sym^p V_1$, где $V_1$ -- стандартное
(тавтологическое, фундаментальное) 2-мерное представление $\goth{sl}(2)$.

\следствие
Для конечномерного представления ${\goth sl}(2)$,
обозначим за  $V^{(i)}$  собственное пространство $H$,
$H\restrict{V^{(i)}}=i$. Тогда {\бф \пурпле $L^i$ определяет
изоморфизм $V^{(-i)} \stackrel{L^i}\arrow V^{(i)}$ для любого
$i>0$.}

\newpage

{\бф \блуе Суперсимметрия в кэлеровой геометрии}

Пусть $(M, I, \omega)$ -- кэлерово многообразие.
Рассмотрим операторы, действующие на $\Lambda^*(M)$:

1. $d$, $d^*:=-*d*$, $\Delta:= dd^* + d^*d$

2. {\бф\блуе  Оператор Ходжа} $L(\alpha):= \omega\wedge \alpha$
и его сопряженный $\Lambda(\alpha) := * L * \alpha$.

3. {\бф\блуе Оператор Вейля:} ${\cal W}\restrict{\Lambda^{p,q}(M)}=\1(p-q)$

\замечание
{\бф \пурпле Это вещественный оператор.}

\теорема
Эти операторы порождают 9-мерную супералгебру Ли
$\goth a$, действующую на $\Lambda^*(M)$. Лапласиан
$\Delta$ лежит в центре $\goth a$, значит, 
{\бф \пурпле $\goth a$ действует на когомологиях $M$.}

\замечание
Это удобный способ задавать {\бф \блуе "соотношения Кэлера"} между 
всеми этими операторами.

\замечание
{\бф \ред $L,H,\Lambda$ порождают алгебру Ли $\goth{sl}(2)$.}


\newpage

{\bf \blue Теорема Лефшеца.}

\замечание
{\пурпле \бф Следующая теорема сразу следует из теоремы
о суперсимметрии} (недоказанной).

\теорема
 На компактном кэлеровом многообразии
{\бф \ред $\goth{sl}(2)$-операторы Лефшеца и оператор Вейля
сохраняют дифференциальные формы.}

\следствие
Любой класс когомологий представим
как сумма замкнутых $(p,q)$-форм, что дает разложение
$H^i(M) = \bigoplus_{p+q=i}H^{p,q}(M)$, причем
$\overline{H^{p,q}(M)} = H^{q,p}(M)$.

\следствие {\бф \пурпле Нечетные когомологии кэлерова многообразия
четномерны.}

\следствие Пусть $M$ -- компактное, кэлерово, 
комплексной размерности $n$, а $i+p+q=n$. Тогда $L^i$ определяет
{\бф \блуе изоморфизм Лефшеца} $H^{p,q} \stackrel{L^i}\arrow H^{p+2i,q+2i}(M)$



\newpage


{\bf \blue Интегрируемость и разложение Ходжа}

\утверждение 
Почти комплексное многообразие интегрируемо
тогда и только тогда, когда $(d^{1,0})^2=0$

\замечание Из интегрируемости вместе с теоремой
Ньюлендера-Ниренберга  легко выводится $(d^{1,0})^2=0$,
потому что это верно в координатах. 

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
\[ d\eta(x,y) = \Lie_x (\eta(y)) -\Lie_y (\eta(x))- \eta([x,y])
\]
(формула Картана). Для $\eta\in \Lambda^{1,0}(M)$ и $x, y\in T^{0,1}(M)$, 
имеем
\[
d\eta(x,y) =0 \Leftrightarrow \eta([x,y])=0
\]
то есть {\бф \пурпле $d\eta\in \Lambda^{2,0}(M)\oplus \Lambda^{1,1}(M)$
равносильно интегрируемости.}


{\бф \греен Шаг 2:} Получаем, что 
{\бф \пурпле $d^{-1,2}\restrict {\Lambda^1(M)}=0$
равносильно интегрируемости.}  Поскольку $d^{-1,2}$
удовлетворяет правилу Лейбница, а $\Lambda^1$ все порождает,
{\бф \ред это равносильно $d^{-1,2}=0$.}

\замечание На самом деле, $d^{-1,2}:\; \Lambda^{0,1}(M) \arrow \Lambda^{2,0}(M)$
есть тензор Ниенхойса.

\newpage


{\bf \blue Интегрируемость и разложение Ходжа (2)}


{\бф \green Шаг 3:} Функции и замкнутые 1-формы порождают $\Lambda^*(M)$.

{\бф \греен Шаг 4:} Поскольку $d$ и 
$d^{-1,2}+d^{0,1}+ d^{1,0}+ d^{2,-1}$ удовлетворяют
соотношению Лейбница, их равенство достаточно проверить на 
функциях и на 1-формах. {\bf \red 
Это дает $d=d^{-1,2}+d^{0,1}+ d^{1,0}+ d^{2,-1}$}.

{\бф \греен Шаг 5:} $(2,0)$-компонента
 $d^2 =0$ дает $\{d^{0,1}, d^{0,1}\}+ \{d^{-1,2},d^{1,0}\}=0$.
{\бф \ред Значит, $(d^{1,0})^2=0$ равносильно $\{d^{-1,2},d^{1,0}\}=0$.}

{\бф \греен Шаг 6:} 
Оператор $d^{-1,2}$ -- $C^\infty(M)$-линейный:
\[ d^{-1,2}(f\eta) =  d^{-1,2}(f) \wedge \eta + f  d^{-1,2}(\eta)=
f  d^{-1,2}(\eta).
\]

{\бф \греен Шаг 7:} Поскольку $d^{1,0}(f)$ порождает $(1,0)$-формы,
а $d^{-1,2}$ линейный, 
{\bf \purple $\{d^{-1,2},d^{1,0}\}\restrict{C^\infty(M)}=0$
равносильно $d^{-1,2}=0$.}

{\бф \греен Шаг 8:}  
Мы получили, что {\bf \red $(d^{1,0})^2=0$ равносильно
$\{d^{-1,2},d^{1,0}\}$, что равносильно $d^{-1,2}=0$.} \endproof


\newpage

{\bf \blue Скрученный дифференциал $d^c$}

\определение
{\бф \blue скрученный дифференциал} $d^c$ определяется
формулой $d^c:=I^{-1} d I$.


\утверждение
На комплексном многообразии, имеем $d^c= -[{\cal W},d]$.

{\бф \green Доказательство. Шаг 1:} $d=d^{0,1}+ d^{1,0}$ 
$\Rightarrow$ 
\[ I^{-1} d I\restrict{\Lambda^{p,q}} = 
\1^{p-q} I^{-1} (d^{0,1}+ d^{1,0})\restrict{\Lambda^{p,q}}= 
\1 d^{1,0}-\1 d^{0,1}.\]

{\бф \греен Шаг 2:} \begin{align*} [{\cal W}, d]\restrict{\Lambda^{p,q}}=&
\1(p-q+1)d^{1,0} + \1(p-q-1)d^{0,1} -\1 (p-q) d \\ = &-\1 d^{1,0}+\1 d^{0,1}.
\end{align*}
\endproof

\следствие $\{d, d^c\} = -\{d, \{d, {\cal W}\}\}=0$ (Лемма 1).


\следствие
Пусть $(M,I)$ - комплексное многообразие.
Тогда  {\bf \blue  
$\6:= \frac{d + \1 d^c}2$, $\bar \6:= \frac{d - \1 d^c}2$
-- компоненты в разложении Ходжа $d$}: 
$\6= d^{1,0}$, $\bar\6= d^{0,1}$. 

\доказательство
$d = d^{0,1}+ d^{1,0}$, a $d^c=\1 d^{1,0}-\1 d^{0,1}$.
\endproof

\newpage

{\bf \blue Дифференциал де Рама на кэлеровом многообразии}

\теорема {\бф \ред Следующие утверждения равносильны.}

1. $I$ интегрируемо.\ \ 2. $\6^2=0$.\ \ 
3. $\bar\6^2=0$.\ \ 
4. $dd^c =- d^c d$\ \ 
5. $dd^c= 2 \1 \6\bar\6$.

\доказательство
Равносильность интегрируемости и $\bar\6^2=0$ доказана выше.
$\bar\6^2= \frac{\{d, d^c\}}2$, что дает равносильность 3 и 4,
а 5 получается из формулы $4 \1 \6\bar\6= d d^c - d^c d$. \ендпрооф

\определение
Оператор $dd^c:\; \Lambda^{p,q}(M)\arrow \Lambda^{p+1,q+1}(M)$
называется {\бф \блуе плюрилапласиан}.

\теорема
(Соотношения Кэлера, они же соотношения Кодаиры).\\
{\бф \ред На кэлеровом многообразии, имеем
\[
 [\Lambda, \6] = \1 \bar\6^*,  \ \ \ 
 [\Lambda, \bar\6] = - \1 \6^*,  \ \ \ 
  [L, \bar\6^*] = - \1 \6, \ \ \ 
 [L, \6^*] = \1 \bar\6.
\]}
Или, что эквивалентно,
\[ 
  [\Lambda, d] = (d^c)^*,\ \ \  
\ \ [\Lambda, d^c] = - d^*,\ \ \ \ \ [L, (d^c)] = - d,
\ \ \ \ \ [ L, (d^c)^*] = d.
\]
Доказательство этих соотношений будет позже.

\newpage

{\bf \blue Алгебраические дифференциальные операторы}

\определение
Пусть $A^*$ -- градуированная суперкоммутативная алгебра.
Пространство  $D^i(A^*)\subset \End(A^*)$ {\бф \блуе алгебраических
дифференциальных операторов} определяется индуктивно, 

1. $D^0(A)$ -- пространство  $A^*$-линейных эндоморфизмов,
то есть $D^0(A^*)\cong A^*\subset \End(A^*)$. 

2. Пусть $L_a$ есть {\бф \блуе 
оператор умножения,} $L_a(\eta):= a \cdot \eta$, где $a\in A^*$ 
Тогда {\бф \ред $D^{n+1}(A^*)$ -- градуированное подпространство
в  $\End(A^*)$, состоящее из всех эндоморфизмов
$\rho\in \End(A^*)$ (четных или нечетных), которые удовлетворяют
$\{L_a, \rho\}\in D^{n}(A^*)$, для любого $a\in A^*$.}

\замечание {\бф \пурпле Произведение дифференциальных операторов --
дифференциальный оператор:} $D^i(A^*) D^j(A^*) \subset
D^{i+j}(A^*)$. Это следует из $\{a, bc\} = \{a,b\}c +
(-1)^{\tilde a \tilde b} b\{a,c\}$.

\замечание {\бф \пурпле Коммутатор 
дифференциальных операторов -- оператор низшего порядка:} 
$[D^i(A^*) ,D^j(A^*)] \subset
D^{i+j-1}(A^*)$. Это следует из $\{a, \{b,c\}\} = \{\{a,b\},c\} +
(-1)^{\tilde a \tilde b}\{ b,\{a,c\}\}$.



\newpage

{\bf \blue Дифференциальные операторы первого порядка}

\определение
{\бф \блуе Дифференцирование} $\delta:\; A^* \arrow A^*$ --
эндоморфизм, который удовлетворяет {\бф \блуе правилу Лейбница:}
$\delta(ab) = \delta(a)b + (-1)^{\tilde a\tilde \delta} a \delta(b),$
для любых $a, b \in A^*$.

\замечание
{\бф \пурпле Дифференцирование алгебры есть дифференциальный 
оператор первого порядка:}
\[
\{L_a, \delta\}(b) = a \delta (b) - (-1)^{\tilde a\tilde \delta} \delta(ab)
= -(-1)^{\tilde a\tilde \delta}\delta(a)b.
\]

\утверждение
Пусть $D\in  D^1(A^*)$ -- дифференциальный оператор первого порядка.
Тогда $D-L_{D(1)}$ -- дифференцирование.

\доказательство
Достаточно доказать это в предположении, что $D(1)=0$. 
Поскольку $\{ D, L_a\}$ линейный, имеем
\begin{align*}
 D(ab) - (-1)^{\tilde a\tilde D} a D(b)= &\{ D, L_a\}(b) 
= \{ D, L_a\}(1) b \\ = &D(a)b + (-1)^{\tilde a\tilde D} a D(1) = D(a)b.
\end{align*}

\следствие
Дифференциальный оператор первого порядка на $A$
{\бф \ред однозначно определяется значениями, которые он
принимает на любом наборе мультипликативных
генераторов $A$. }

\newpage

{\bf \blue Свойства коммутатора $[L_a, d^*]$.}


\утверждение {\бф \ред $d^*$ есть оператор второго порядка.}

\доказательство
В ортонормальном базисе $\xi_i\in TM$, $d^*$ записывается
как сумма $d^*= \sum \Lie_{\xi_i} i(\xi_i)$,
где $\Lie$ есть производная Ли, а $i(\xi_i)$ -- подстановка.
Легко видеть, что $i(\xi_i)$ дифференцирование, 
значит, {\бф \пурпле $Lie_{\xi_i} i(\xi_i)$ произведение
дифференцирований, то есть оператор второго порядка.}
\ендпрооф

\следствие 
Коммутатор {\бф \пурпле $[L_a, d^*]$ -- дифференциальный 
оператор первого порядка,} для любого $a\in \Lambda^*(M)$.

\замечание
$[L, d^*](1)= d^* \omega= C *d \omega^{n-1}=0$, значит,
{\бф \ред $[L, d^*]$ -- дифференцирование. }

\newpage

{\bf \blue Доказательство соотношений Кодаиры}

\замечание
Имеем $*(\omega)=\frac 1 {(n-1)! 2^{n-1}}\omega^{n-1}$,
и $*(\eta)=\frac 1 {(n-1)! 2^{n-1}}\omega^{n-1}\wedge I(\eta)$
для любой 1-формы $\eta$. 
Также $*(\omega\wedge \eta) = \frac 1 {(n-2)! 2^{n-2}}\omega^{n-2}\wedge
I(\eta)$.

{\бф \греен Доказательство
соотношений Кодаиры. Шаг 1:} На функциях $[L, d^*]$ действует
как $[L, d^*](f)=-\frac 1 {(n-1)! 2^{n-1}}*d f \wedge \omega^{n-1}=-d^c f$.

{\бф \греен Шаг 2:} Значит, 
$d^*d^cf=d^*[L, d^*]f=-[L, d^*]d^* f=0$ (Лемма 1).

{\бф \греен Шаг 3:} Следовательно, на 
$d^c$-замкнутых  1-формах $\eta$ имеем 
\[ [L, d^*]\eta = -d^* L(\eta) = \pm \frac 1 {(n-2)!
   2^{n-2}} *d (\omega^{n-2}\wedge
   I(\eta))=0.
\]


{\бф \греен  Шаг 4:} Мы получили, что $[L, d^*]=- d^c$ на функциях и на
$d^c$-замкнутых  1-формах. Поскольку они порождают $\Lambda^*(M)$,
а $[L, d^*]$ и $- d^c$ -- дифференцирования, {\бф \ред эти операторы равны.}
\ендпрооф



\newpage

{\bf \blue Операторы Лапласа и суперкоммутаторы}

\теорема
Пусть \[ \Delta_d:= \{d, d^*\}, \ \ \Delta_{d^c}:= \{d^c, {d^c}^*\}, \ \ 
   \Delta_\6:= \{\6,\6^*\}, \Delta_{\bar \6}:= \{\bar\6,\bar\6^*\}.
\]
{\бф\ред  Тогда $\Delta_d=\Delta_{d^c}=2\Delta_\6=2\Delta_{\bar \6}.$}
В частности,  {\бф \пурпле $\Delta_d$ сохраняет разложение Ходжа.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
Имеем $\{d,d^c\}=0$ (интегрируемость).

{\бф \греен  Шаг 2:}
Соотношение Якоби:
$\{d, d^*\}= -\{d,\{\Lambda, d^c\}\}=
\{ \{\Lambda, d\}, d^c\}= \{d^c, {d^c}^*\}.$
Аналогичное вычисление с $\6, \bar\6$ дает  
$\Delta_\6=\Delta_{\bar \6}.$ 

{\бф \греен  Шаг 3:} $\{\6,\bar \6^*\}= \1 \{\6,\{ \Lambda, \6\}\}=0$
(Лемма 1). То же вычисление
показывает, что {\бф \пурпле все антикоммутаторы вида $\{\6, \bar\6^*\}$ и так далее
зануляются,} кроме  $\{\6,\6^*\}$ и $\{\bar\6,\bar\6^*\}$. Это дает
$\Delta_d=\Delta_\6+\Delta_{\bar \6}.$
\endproof

\следствие Лапласиан коммутирует с $d, d^c, d^*, {d^c}^*$
(Lemma 1),
и с $L, \Lambda, H$ в силу $[L, \Delta]=[L, \{d, d^*\}] =
\{d, [L, d^*]\}= \{d, d^c\}.$ Значит, {\бф \пурпле это центральный
элемент.}

\замечание
Мы доказали, что {\бф \ред $L, \Lambda,  d,  {\cal W}$
порождают супералгебру размерности $(5|4)$
с одномерным центром $\R\Delta$.}

\end{document}


\newpage
\begin{center}

{\bf \blue Ромб Ходжа}

\[
\begin{array}{ccccc}
&&H^{n,n}&& \\[5mm]
&H^{n,n-1}&&H^{n-1,n}& \\[5mm]
H^{n,n-2}&&H^{n-1,n-1}&&H^{n-2,n} \\[5mm]
\vdots &&\vdots &&\vdots\\[5mm]
H^{2,0}&&H^{1,1}&&H^{0,2} \\[5mm]
&H^{1,0}&&H^{0,1}& \\[5mm]
&&H^{0,0}&& \\[5mm]
\end{array}
\]

\end{center}

\vfil


{\Large\bf \red Лекции 28-го марта не будет!\\
Вместо нее будет контрольная!
}
\vfil

\end{document}
