\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 6 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексная алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 6: суперсимметрия на кэлеровых многообразиях} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва \\[2mm] 7 марта 2014 } \vfil {\Large\bf \red Лекции 28-го марта не будет!\\ Вместо нее будет контрольная! } \vfil \end{center} \newpage {\bf \блуе Градуированные векторные пространства и алгебры (повторение)} \определение {\бф \блуе Градуированное векторное пространство} есть пространство $V^* =\bigoplus_{i\in \Z} V^i$. \замечание Еслу $V^*$ градуировано, пространство эндоморфизмов $\End(V^*)=\bigoplus_{i\in \Z} \End^i(V^*)$ тоже градуировано, \[ \End^i(V^*)= \bigoplus_{j\in \Z} \Hom(V^j, V^{i+j}).\] \определение {\бф \блуе Градуированная алгебра} (или "градуированная ассоциативная алгебра") есть алгебра $A^*=\bigoplus_{i\in \Z} A^i$ с умножением, которое совместимо с градуировкой: $A^i \cdot A^j \subset A^{i+j}$. \замечание Билинейное отображение градуированных пространств, которое удовлетворяет $A^i \cdot B^j \subset C^{i+j}$, называется {\бф\блуе градуированным}, или {\бф \блуе совместимым с градуировкой}. \newpage {\bf \блуе Суперкоммутатор (повторение)} \определение Оператор на градуированном пространстве называется {\бф \блуе четным} ({\бф \блуе нечетным}), если он сдвигает градуировку на четное (нечетное) число. {\бф \блуе Четность} $\tilde a$ оператора $a$ есть 0, если он четный, 1 если нечетный. Мы говорим, что оператор {\бф \блуе чистый} если он четный или нечетный. \определение {\бф \блуе Суперкоммутатор} чистых элементов определяется формулой $\{a,b\} = ab- (-1)^{\tilde a \tilde b}ba$. \определение Градуированная ассоциативная алгебра $A^*$ называется {\бф \блуе суперкоммутативной} если в $A^*$ суперкоммутатор равен нулю. \пример {\bf \purple Алгебра Грассмана $\Lambda^* V$ суперкоммутативна.} \newpage {\bf \blue Супералгебры Ли (повторение)} \определение {\бф \блуе Супералгебра Ли} есть градуированное векторное пространство $\g^*$ снабженное билинейным градуированным произведением $\{\cdot,\cdot\}:\; \g^*\times \g^* \arrow \g^*$, которое супер-антикоммутативно: \[ \{a,b\} = - (-1)^{\tilde a \tilde b}\{b,a\} \] и удовлетворяет {\бф \блуе супер-тождеству Якоби} \[ \{c, \{a,b\}\} = \{\{c, a\},b\}+ (-1)^{\tilde a \tilde c}\{a,\{c, b\}\} \] \пример Рассмотрим алгебру $\End^* (V^*)$ всех эндоморфизмов градуированного векторного пространства, с суперкоммутатором, определенным выше. Тогда {\бф \пурпле $\End^* (V^*), \{\cdot,\cdot\}$ есть супер-алгебра Ли}. {\bf \green Лемма 1:} Пусть $d$ есть нечетный элемент супералгебры Ли над полем характеристики $\neq 2$, удовлетворяющий $\{d,d\}=0$. {\бф \ред Тогда $\{\{L,d\},d\}=0$} для любого $L$. {\бф \греен Доказательство:} \[ 0=\{L,\{d,d\}\}= \{\{L, d\}, d\}+(-1)^{\tilde L}\{d,\{L, d\}\}=2\{\{L, d\}, d\}. \] \newpage {\bf \блуе Оператор Ходжа $*$ (повторение)} Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство. {\бф \пурпле Метрика на $V$ индуцирует метрику на его тензорных пространствах}, $g(x_1\otimes x_2 \otimes ... \otimes x_k, x_1'\otimes x_2' \otimes ... \otimes x_k') = g(x_1, x'_1)g(x_2, x'_2) ... g(x_k, x'_k)$ Это задает {\бф \греен невырожденное, положительно определенное скалярное произведение на дифференциальных формах} на римановом многообразии: $g(\alpha, \beta) := \int_M g(\alpha, \beta) \Vol_M$ Другая невырожденная форма задается формулой $\alpha, \beta \arrow \int_M \alpha \wedge \beta$\\ {\бф \блуе (спаривание Пуанкаре).} \определение Пусть $M$ -- риманово $n$-мерное многообразие. Определим {\бф \блуе оператор Ходжа} $*:\; \Lambda^k M \arrow \Lambda^{n-k} M$ формулой {\bf \red $g(\alpha, \beta) = \int_M \alpha \wedge *\beta.$} \замечание {\бф \ред Оператор Ходжа всегда существует}. В ортонормальном базисе $\xi_1, ..., \xi_n \in \Lambda^1 M$, его можно задать на мономах \[ * (\xi_{i_1}\wedge\xi_{i_2} \wedge ... \wedge\xi_{i_k}) = (-1)^s \xi_{j_1}\wedge\xi_{j_2} \wedge ... \wedge\xi_{j_{n-k}}, \] где $\xi_{j_1},\xi_{j_2}, ..., \xi_{j_{n-k}}$ -- дополнительный набор ковекторов, а $s$ -- сигнатура перестановки $(i_1, ..., i_k, j_1, ..., j_{n-k})$. \замечание $*^2\restrict{\Lambda^k(M)}=(-1)^{k(n-k)}\Id_{\Lambda^k(M)}$ \newpage {\бф \блуе Теория Ходжа (повторение)} \утверждение На компактном римановом многообразии, имеем\\ $d^*\restrict{\Lambda^k M} = (-1)^{nk} *d*,$ где $d^*$ -- {\бф \блуе сопряженный оператор} к $d$, $(d\alpha, \gamma) = (\alpha, d^*\gamma)$. \определение Антикоммутатор $\Delta:=\{d, d^*\}= dd^* + d^* d$ называется {\бф \блуе оператор Лапласа} на $M$. Это самосопряженный, положительно определенный оператор: $(\Delta x, x)= (dx, dx) + (d^*x, d^*x).$ {\бф \греен Основная теорема теории Ходжа:} Существует {\бф \ред базис в гильбертовом пространстве} $L^2(\Lambda^*(M))$, состоящий из собственных векторов $\Delta$, и каждое собственное пространство конечномерно. \теорема {\бф \блуе (``Эллиптическая регулярность'')} Пусть $\alpha \in L^2(\Lambda^k(M))$ -- собственный вектор $\Delta$. {\бф \ред Тогда $\alpha$ -- гладкая $k$-форма.} \newpage {\бф \блуе Теория Ходжа и когомологии (повторение)} {\бф \греен Определение:} Форма $\alpha$ называется {\бф \блуе гармонической}, если $\Delta(\alpha)=0$. \замечание Для любой гармонической формы $\alpha$, $0=(\Delta \alpha, \alpha)= (d\alpha, d\alpha) + (d^*\alpha, d^*\alpha),$ значит, $\alpha \in \ker d \cap \ker d^*$. Получаем, что {\бф \ред любая гармоническая форма на компактном многообразии замкнута.} \теорема Пусть $M$ -- компактное, риманово. Тогда естественное отображение ${\cal H}^i(M) \arrow H^i(M)$ из гармонических форм в когомологии -- изоморфизм. \замечание Из этой теоремы сразу следует {\bf \блуе двойственность Пуанкаре между $H^i(M)$ и $H^{n-i}(M)$:} $\int_M \eta \wedge *\eta \neq 0$ для любого $\eta$, что дает {\бф \ред невырожденность спаривания $H^i(M)\otimes H^{n-i}(M)\arrow H^n(M)=H^0(M)=\R$.} Здесь используется то, что для гармоничного $\eta$, форма $*\eta$ тоже гармонична, следовательно, замкнута. \newpage {\bf \blue Координатные операторы} Пусть $V$ -- евклидово пространство, $v_i$ -- его базис, $e_{v_i}:\; \Lambda^k V \arrow \Lambda^{k+1} V$ оператор умножения на $v_i$, $e_{v_i}(\eta) = e_i \wedge \eta$. а $i_{v_i}:\; \Lambda^k V \arrow \Lambda^{k-1} V$ сопряженный оператор, $i_{v_i}= * e_{v_i} *$. \утверждение Операторы $e_{v_i}$, $i_{v_i}$, $\Id$ задают базис в {\бф \блуе нечетной супералгебре Гейзенберга $\goth H$}, где единственный нетривиальный суперкоммутатор задается $\{ e_{v_i}, i_{v_j}\} = \delta_{i,j}\Id$. Пусть теперь $V,I,g$ -- эрмитово $n$-мерное векторное пространство, а $\omega= \sum_{i=1}^n v_{2i-1} \wedge v_{2i}$ -- эрмитова форма. Определим {\бф \блуе операторы Ходжа} $L(\alpha) = \omega \wedge \alpha$, и $\Lambda:= L^*$. \замечание Из соотношений в $\goth H$, немедленно следует, что \[ H:=[L, \Lambda] = \left [\sum e_{v_{2i-1}} e_{v_{2i}}, \sum i_{v_{2i-1}} i_{v_{2i}}\right] = \sum_{i=1}^{2n} e_{v_i} i_{v_i} - \sum_{i=1}^{2n} i_{v_i} e_{v_i}, \] {\бф \ред скалярный оператор, действующий на $k$-формах умножением на $n-k$.} \newpage {\bf \blue $\goth{sl}(2)$-действие Лефшеца} \следствие Операторы $L, \Lambda, H$ образуют алгебру Ли, изоморфную ${\goth sl}(2)$, с соотношениями $[L, \Lambda] =H, \ \ [H, L]= 2 L, \ \ [H, \Lambda] = -2 \Lambda.$ \определение $L, \Lambda, H$ называется {\бф \блуе $\goth{sl}(2)$-тройкой Лефшеца}. \замечание Конечномерные представления $\goth{sl}(2)$ {\бф \ред полупросты}. \замечание Неприводимое представление $V$ алгебры $\goth{sl}(2)$ порождено {\бф \блуе младшим вектором} $v\in V$, $\Lambda (v) =0$, $H (v) = - p v$, где $p\in \Z^{\geq 0}$, и вектора $v, L(v), L^2(v), ..., L^p(v)$ образуют его базис. {\бф \ред Такое представление однозначно задается числом $p$}, и обозначается $V_p$. \замечание В таком базисе, {\бф \пурпле $H$ действует диагонально:} $H(L^i(v))= (2i-p)L^i(v)$. \замечание Имеем $V_p= \Sym^p V_1$, где $V_1$ -- стандартное (тавтологическое, фундаментальное) 2-мерное представление $\goth{sl}(2)$. \следствие Для конечномерного представления ${\goth sl}(2)$, обозначим за $V^{(i)}$ собственное пространство $H$, $H\restrict{V^{(i)}}=i$. Тогда {\бф \пурпле $L^i$ определяет изоморфизм $V^{(-i)} \stackrel{L^i}\arrow V^{(i)}$ для любого $i>0$.} \newpage {\бф \блуе Суперсимметрия в кэлеровой геометрии} Пусть $(M, I, \omega)$ -- кэлерово многообразие. Рассмотрим операторы, действующие на $\Lambda^*(M)$: 1. $d$, $d^*:=-*d*$, $\Delta:= dd^* + d^*d$ 2. {\бф\блуе Оператор Ходжа} $L(\alpha):= \omega\wedge \alpha$ и его сопряженный $\Lambda(\alpha) := * L * \alpha$. 3. {\бф\блуе Оператор Вейля:} ${\cal W}\restrict{\Lambda^{p,q}(M)}=\1(p-q)$ \замечание {\бф \пурпле Это вещественный оператор.} \теорема Эти операторы порождают 9-мерную супералгебру Ли $\goth a$, действующую на $\Lambda^*(M)$. Лапласиан $\Delta$ лежит в центре $\goth a$, значит, {\бф \пурпле $\goth a$ действует на когомологиях $M$.} \замечание Это удобный способ задавать {\бф \блуе "соотношения Кэлера"} между всеми этими операторами. \замечание {\бф \ред $L,H,\Lambda$ порождают алгебру Ли $\goth{sl}(2)$.} \newpage {\bf \blue Теорема Лефшеца.} \замечание {\пурпле \бф Следующая теорема сразу следует из теоремы о суперсимметрии} (недоказанной). \теорема На компактном кэлеровом многообразии {\бф \ред $\goth{sl}(2)$-операторы Лефшеца и оператор Вейля сохраняют дифференциальные формы.} \следствие Любой класс когомологий представим как сумма замкнутых $(p,q)$-форм, что дает разложение $H^i(M) = \bigoplus_{p+q=i}H^{p,q}(M)$, причем $\overline{H^{p,q}(M)} = H^{q,p}(M)$. \следствие {\бф \пурпле Нечетные когомологии кэлерова многообразия четномерны.} \следствие Пусть $M$ -- компактное, кэлерово, комплексной размерности $n$, а $i+p+q=n$. Тогда $L^i$ определяет {\бф \блуе изоморфизм Лефшеца} $H^{p,q} \stackrel{L^i}\arrow H^{p+2i,q+2i}(M)$ \newpage {\bf \blue Интегрируемость и разложение Ходжа} \утверждение Почти комплексное многообразие интегрируемо тогда и только тогда, когда $(d^{1,0})^2=0$ \замечание Из интегрируемости вместе с теоремой Ньюлендера-Ниренберга легко выводится $(d^{1,0})^2=0$, потому что это верно в координатах. {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} \[ d\eta(x,y) = \Lie_x (\eta(y)) -\Lie_y (\eta(x))- \eta([x,y]) \] (формула Картана). Для $\eta\in \Lambda^{1,0}(M)$ и $x, y\in T^{0,1}(M)$, имеем \[ d\eta(x,y) =0 \Leftrightarrow \eta([x,y])=0 \] то есть {\бф \пурпле $d\eta\in \Lambda^{2,0}(M)\oplus \Lambda^{1,1}(M)$ равносильно интегрируемости.} {\бф \греен Шаг 2:} Получаем, что {\бф \пурпле $d^{-1,2}\restrict {\Lambda^1(M)}=0$ равносильно интегрируемости.} Поскольку $d^{-1,2}$ удовлетворяет правилу Лейбница, а $\Lambda^1$ все порождает, {\бф \ред это равносильно $d^{-1,2}=0$.} \замечание На самом деле, $d^{-1,2}:\; \Lambda^{0,1}(M) \arrow \Lambda^{2,0}(M)$ есть тензор Ниенхойса. \newpage {\bf \blue Интегрируемость и разложение Ходжа (2)} {\бф \green Шаг 3:} Функции и замкнутые 1-формы порождают $\Lambda^*(M)$. {\бф \греен Шаг 4:} Поскольку $d$ и $d^{-1,2}+d^{0,1}+ d^{1,0}+ d^{2,-1}$ удовлетворяют соотношению Лейбница, их равенство достаточно проверить на функциях и на 1-формах. {\bf \red Это дает $d=d^{-1,2}+d^{0,1}+ d^{1,0}+ d^{2,-1}$}. {\бф \греен Шаг 5:} $(2,0)$-компонента $d^2 =0$ дает $\{d^{0,1}, d^{0,1}\}+ \{d^{-1,2},d^{1,0}\}=0$. {\бф \ред Значит, $(d^{1,0})^2=0$ равносильно $\{d^{-1,2},d^{1,0}\}=0$.} {\бф \греен Шаг 6:} Оператор $d^{-1,2}$ -- $C^\infty(M)$-линейный: \[ d^{-1,2}(f\eta) = d^{-1,2}(f) \wedge \eta + f d^{-1,2}(\eta)= f d^{-1,2}(\eta). \] {\бф \греен Шаг 7:} Поскольку $d^{1,0}(f)$ порождает $(1,0)$-формы, а $d^{-1,2}$ линейный, {\bf \purple $\{d^{-1,2},d^{1,0}\}\restrict{C^\infty(M)}=0$ равносильно $d^{-1,2}=0$.} {\бф \греен Шаг 8:} Мы получили, что {\bf \red $(d^{1,0})^2=0$ равносильно $\{d^{-1,2},d^{1,0}\}$, что равносильно $d^{-1,2}=0$.} \endproof \newpage {\bf \blue Скрученный дифференциал $d^c$} \определение {\бф \blue скрученный дифференциал} $d^c$ определяется формулой $d^c:=I^{-1} d I$. \утверждение На комплексном многообразии, имеем $d^c= -[{\cal W},d]$. {\бф \green Доказательство. Шаг 1:} $d=d^{0,1}+ d^{1,0}$ $\Rightarrow$ \[ I^{-1} d I\restrict{\Lambda^{p,q}} = \1^{p-q} I^{-1} (d^{0,1}+ d^{1,0})\restrict{\Lambda^{p,q}}= \1 d^{1,0}-\1 d^{0,1}.\] {\бф \греен Шаг 2:} \begin{align*} [{\cal W}, d]\restrict{\Lambda^{p,q}}=& \1(p-q+1)d^{1,0} + \1(p-q-1)d^{0,1} -\1 (p-q) d \\ = &-\1 d^{1,0}+\1 d^{0,1}. \end{align*} \endproof \следствие $\{d, d^c\} = -\{d, \{d, {\cal W}\}\}=0$ (Лемма 1). \следствие Пусть $(M,I)$ - комплексное многообразие. Тогда {\bf \blue $\6:= \frac{d + \1 d^c}2$, $\bar \6:= \frac{d - \1 d^c}2$ -- компоненты в разложении Ходжа $d$}: $\6= d^{1,0}$, $\bar\6= d^{0,1}$. \доказательство $d = d^{0,1}+ d^{1,0}$, a $d^c=\1 d^{1,0}-\1 d^{0,1}$. \endproof \newpage {\bf \blue Дифференциал де Рама на кэлеровом многообразии} \теорема {\бф \ред Следующие утверждения равносильны.} 1. $I$ интегрируемо.\ \ 2. $\6^2=0$.\ \ 3. $\bar\6^2=0$.\ \ 4. $dd^c =- d^c d$\ \ 5. $dd^c= 2 \1 \6\bar\6$. \доказательство Равносильность интегрируемости и $\bar\6^2=0$ доказана выше. $\bar\6^2= \frac{\{d, d^c\}}2$, что дает равносильность 3 и 4, а 5 получается из формулы $4 \1 \6\bar\6= d d^c - d^c d$. \ендпрооф \определение Оператор $dd^c:\; \Lambda^{p,q}(M)\arrow \Lambda^{p+1,q+1}(M)$ называется {\бф \блуе плюрилапласиан}. \теорема (Соотношения Кэлера, они же соотношения Кодаиры).\\ {\бф \ред На кэлеровом многообразии, имеем \[ [\Lambda, \6] = \1 \bar\6^*, \ \ \ [\Lambda, \bar\6] = - \1 \6^*, \ \ \ [L, \bar\6^*] = - \1 \6, \ \ \ [L, \6^*] = \1 \bar\6. \]} Или, что эквивалентно, \[ [\Lambda, d] = (d^c)^*,\ \ \ \ \ [\Lambda, d^c] = - d^*,\ \ \ \ \ [L, (d^c)] = - d, \ \ \ \ \ [ L, (d^c)^*] = d. \] Доказательство этих соотношений будет позже. \newpage {\bf \blue Алгебраические дифференциальные операторы} \определение Пусть $A^*$ -- градуированная суперкоммутативная алгебра. Пространство $D^i(A^*)\subset \End(A^*)$ {\бф \блуе алгебраических дифференциальных операторов} определяется индуктивно, 1. $D^0(A)$ -- пространство $A^*$-линейных эндоморфизмов, то есть $D^0(A^*)\cong A^*\subset \End(A^*)$. 2. Пусть $L_a$ есть {\бф \блуе оператор умножения,} $L_a(\eta):= a \cdot \eta$, где $a\in A^*$ Тогда {\бф \ред $D^{n+1}(A^*)$ -- градуированное подпространство в $\End(A^*)$, состоящее из всех эндоморфизмов $\rho\in \End(A^*)$ (четных или нечетных), которые удовлетворяют $\{L_a, \rho\}\in D^{n}(A^*)$, для любого $a\in A^*$.} \замечание {\бф \пурпле Произведение дифференциальных операторов -- дифференциальный оператор:} $D^i(A^*) D^j(A^*) \subset D^{i+j}(A^*)$. Это следует из $\{a, bc\} = \{a,b\}c + (-1)^{\tilde a \tilde b} b\{a,c\}$. \замечание {\бф \пурпле Коммутатор дифференциальных операторов -- оператор низшего порядка:} $[D^i(A^*) ,D^j(A^*)] \subset D^{i+j-1}(A^*)$. Это следует из $\{a, \{b,c\}\} = \{\{a,b\},c\} + (-1)^{\tilde a \tilde b}\{ b,\{a,c\}\}$. \newpage {\bf \blue Дифференциальные операторы первого порядка} \определение {\бф \блуе Дифференцирование} $\delta:\; A^* \arrow A^*$ -- эндоморфизм, который удовлетворяет {\бф \блуе правилу Лейбница:} $\delta(ab) = \delta(a)b + (-1)^{\tilde a\tilde \delta} a \delta(b),$ для любых $a, b \in A^*$. \замечание {\бф \пурпле Дифференцирование алгебры есть дифференциальный оператор первого порядка:} \[ \{L_a, \delta\}(b) = a \delta (b) - (-1)^{\tilde a\tilde \delta} \delta(ab) = -(-1)^{\tilde a\tilde \delta}\delta(a)b. \] \утверждение Пусть $D\in D^1(A^*)$ -- дифференциальный оператор первого порядка. Тогда $D-L_{D(1)}$ -- дифференцирование. \доказательство Достаточно доказать это в предположении, что $D(1)=0$. Поскольку $\{ D, L_a\}$ линейный, имеем \begin{align*} D(ab) - (-1)^{\tilde a\tilde D} a D(b)= &\{ D, L_a\}(b) = \{ D, L_a\}(1) b \\ = &D(a)b + (-1)^{\tilde a\tilde D} a D(1) = D(a)b. \end{align*} \следствие Дифференциальный оператор первого порядка на $A$ {\бф \ред однозначно определяется значениями, которые он принимает на любом наборе мультипликативных генераторов $A$. } \newpage {\bf \blue Свойства коммутатора $[L_a, d^*]$.} \утверждение {\бф \ред $d^*$ есть оператор второго порядка.} \доказательство В ортонормальном базисе $\xi_i\in TM$, $d^*$ записывается как сумма $d^*= \sum \Lie_{\xi_i} i(\xi_i)$, где $\Lie$ есть производная Ли, а $i(\xi_i)$ -- подстановка. Легко видеть, что $i(\xi_i)$ дифференцирование, значит, {\бф \пурпле $Lie_{\xi_i} i(\xi_i)$ произведение дифференцирований, то есть оператор второго порядка.} \ендпрооф \следствие Коммутатор {\бф \пурпле $[L_a, d^*]$ -- дифференциальный оператор первого порядка,} для любого $a\in \Lambda^*(M)$. \замечание $[L, d^*](1)= d^* \omega= C *d \omega^{n-1}=0$, значит, {\бф \ред $[L, d^*]$ -- дифференцирование. } \newpage {\bf \blue Доказательство соотношений Кодаиры} \замечание Имеем $*(\omega)=\frac 1 {(n-1)! 2^{n-1}}\omega^{n-1}$, и $*(\eta)=\frac 1 {(n-1)! 2^{n-1}}\omega^{n-1}\wedge I(\eta)$ для любой 1-формы $\eta$. Также $*(\omega\wedge \eta) = \frac 1 {(n-2)! 2^{n-2}}\omega^{n-2}\wedge I(\eta)$. {\бф \греен Доказательство соотношений Кодаиры. Шаг 1:} На функциях $[L, d^*]$ действует как $[L, d^*](f)=-\frac 1 {(n-1)! 2^{n-1}}*d f \wedge \omega^{n-1}=-d^c f$. {\бф \греен Шаг 2:} Значит, $d^*d^cf=d^*[L, d^*]f=-[L, d^*]d^* f=0$ (Лемма 1). {\бф \греен Шаг 3:} Следовательно, на $d^c$-замкнутых 1-формах $\eta$ имеем \[ [L, d^*]\eta = -d^* L(\eta) = \pm \frac 1 {(n-2)! 2^{n-2}} *d (\omega^{n-2}\wedge I(\eta))=0. \] {\бф \греен Шаг 4:} Мы получили, что $[L, d^*]=- d^c$ на функциях и на $d^c$-замкнутых 1-формах. Поскольку они порождают $\Lambda^*(M)$, а $[L, d^*]$ и $- d^c$ -- дифференцирования, {\бф \ред эти операторы равны.} \ендпрооф \newpage {\bf \blue Операторы Лапласа и суперкоммутаторы} \теорема Пусть \[ \Delta_d:= \{d, d^*\}, \ \ \Delta_{d^c}:= \{d^c, {d^c}^*\}, \ \ \Delta_\6:= \{\6,\6^*\}, \Delta_{\bar \6}:= \{\bar\6,\bar\6^*\}. \] {\бф\ред Тогда $\Delta_d=\Delta_{d^c}=2\Delta_\6=2\Delta_{\bar \6}.$} В частности, {\бф \пурпле $\Delta_d$ сохраняет разложение Ходжа.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Имеем $\{d,d^c\}=0$ (интегрируемость). {\бф \греен Шаг 2:} Соотношение Якоби: $\{d, d^*\}= -\{d,\{\Lambda, d^c\}\}= \{ \{\Lambda, d\}, d^c\}= \{d^c, {d^c}^*\}.$ Аналогичное вычисление с $\6, \bar\6$ дает $\Delta_\6=\Delta_{\bar \6}.$ {\бф \греен Шаг 3:} $\{\6,\bar \6^*\}= \1 \{\6,\{ \Lambda, \6\}\}=0$ (Лемма 1). То же вычисление показывает, что {\бф \пурпле все антикоммутаторы вида $\{\6, \bar\6^*\}$ и так далее зануляются,} кроме $\{\6,\6^*\}$ и $\{\bar\6,\bar\6^*\}$. Это дает $\Delta_d=\Delta_\6+\Delta_{\bar \6}.$ \endproof \следствие Лапласиан коммутирует с $d, d^c, d^*, {d^c}^*$ (Lemma 1), и с $L, \Lambda, H$ в силу $[L, \Delta]=[L, \{d, d^*\}] = \{d, [L, d^*]\}= \{d, d^c\}.$ Значит, {\бф \пурпле это центральный элемент.} \замечание Мы доказали, что {\бф \ред $L, \Lambda, d, {\cal W}$ порождают супералгебру размерности $(5|4)$ с одномерным центром $\R\Delta$.} \end{document} \newpage \begin{center} {\bf \blue Ромб Ходжа} \[ \begin{array}{ccccc} &&H^{n,n}&& \\[5mm] &H^{n,n-1}&&H^{n-1,n}& \\[5mm] H^{n,n-2}&&H^{n-1,n-1}&&H^{n-2,n} \\[5mm] \vdots &&\vdots &&\vdots\\[5mm] H^{2,0}&&H^{1,1}&&H^{0,2} \\[5mm] &H^{1,0}&&H^{0,1}& \\[5mm] &&H^{0,0}&& \\[5mm] \end{array} \] \end{center} \vfil {\Large\bf \red Лекции 28-го марта не будет!\\ Вместо нее будет контрольная! } \vfil \end{document}