\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}




\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 5 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексная алгебраическая геометрия, \\[15mm]
\small лекция 5: теория Ходжа}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва
\\[2mm] 7 марта 2014
}
\end{center}


\newpage

{\bf \блуе Градуированные векторные пространства и алгебры}

\определение
{\бф \блуе Градуированное векторное пространство}
есть пространство $V^* =\bigoplus_{i\in \Z} V^i$.

\замечание
Еслу $V^*$ градуировано, пространство эндоморфизмов
$\End(V^*)=\bigoplus_{i\in \Z} \End^i(V^*)$ тоже градуировано,
\[ \End^i(V^*)= \bigoplus_{j\in \Z} \Hom(V^j, V^{i+j}).\]

\определение
{\бф \блуе Градуированная алгебра} (или "градуированная
ассоциативная алгебра") есть алгебра $A^*=\bigoplus_{i\in \Z} A^i$
с умножением, которое совместимо с градуировкой: $A^i \cdot A^j \subset A^{i+j}$.

\замечание
Билинейное отображение градуированных пространств, которое
удовлетворяет $A^i \cdot B^j \subset C^{i+j}$, называется
{\бф\блуе градуированным}, или {\бф \блуе совместимым с градуировкой}.

\замечание
Категорию градуированных векторных пространств
можно определить как {\бф \пурпле категорию векторных пространств
с действием $U(1)$}; весовое разложение определяет градуировку
по формуле $\rho(t)\restrict{A^n}=e^{2\pi \1 nt}$.
Тогда {\бф \пурпле градуированная алгебра есть ассоциативная
алгебра в категории пространств с $U(1)$-действием.}


\newpage 

{\bf \blue Суперкоммутатор}

\определение
Оператор на градуированном пространстве называется
{\бф \блуе четным} ({\бф \блуе нечетным}), если
он сдвигает градуировку на четное (нечетное) число.
{\бф \блуе Четность} $\tilde a$ оператора $a$ есть 0, если он четный,
1 если нечетный. Мы говорим, что оператор {\бф \блуе чистый}
если он четный или нечетный.

\определение
{\бф \блуе Суперкоммутатор} чистых элементов определяется
формулой $\{a,b\} = ab- (-1)^{\tilde a \tilde b}ba$.

\определение 
Градуированная ассоциативная алгебра $A^*$
называется {\бф \блуе суперкоммутативной} если 
в $A^*$ суперкоммутатор равен нулю.

\пример
{\bf \purple Алгебра Грассмана $\Lambda^* V$ суперкоммутативна.}

\newpage 

{\bf \blue Супералгебры Ли}

\определение 
{\бф \блуе Супералгебра Ли} есть градуированное
векторное пространство $\g^*$ снабженное билинейным
градуированным произведением $\{\cdot,\cdot\}:\; \g^*\times \g^* \arrow \g^*$,
которое супер-антикоммутативно: 
\[ \{a,b\} = - (-1)^{\tilde a \tilde b}\{b,a\}
\]
и удовлетворяет {\бф \блуе супер-тождеству Якоби}
\[
\{c, \{a,b\}\} = \{\{c, a\},b\}+ (-1)^{\tilde a \tilde c}\{a,\{c, b\}\}
\]

\пример
Рассмотрим алгебру $\End^* (V^*)$ всех эндоморфизмов
градуированного векторного пространства, с суперкоммутатором,
определенным выше. Тогда {\бф \пурпле $\End^* (V^*), \{\cdot,\cdot\}$
есть супер-алгебра Ли}.


{\bf \green Лемма 1:}
Пусть $d$ есть нечетный элемент супералгебры Ли над
полем характеристики $\neq 2$, удовлетворяющий $\{d,d\}=0$.
{\бф \ред Тогда $\{\{L,d\},d\}=0$} для любого $L$.

{\бф \греен Доказательство:} 
\[ 
0=\{L,\{d,d\}\}= \{\{L, d\}, d\}+(-1)^{\tilde L}\{d,\{L, d\}\}=2\{\{L, d\}, d\}.
\]



\newpage

{\бф \блуе Дифференциал де Рама}


\определение 
Пусть $M$ -- гладкое многообразие, $\Lambda^*M$ - его алгебра де Рама.
Оператор $d:\; \Lambda^i(M) \arrow \Lambda^{i+1}(M)$
называется {\бф \блуе дифференциалом де Рама}, если он
удовлетворяет следующим условиям

1. {\бф \блуе Градуированное соотношение Лейбница}
\[ d(\alpha \wedge \beta) = 
d(\alpha) \wedge \beta + (-1)^{\tilde \alpha} \alpha \wedge d\beta
\]
2. $d^2=0$

3. На функциях, $d:\; C^\infty M \arrow \Lambda^1 (M)$ -- обычный
дифференциал.

\замечание
{\бф \ред Единственность дифференциала де Рама очевидна.}
Действительно, $d$ определяется своими значениями на
образующих $\Lambda^*(M)$. Но эта алгебра порождена
$C^\infty M$ и $d C^\infty M$.

{\бф \ред Существование $d$:} Достаточно доказать существование
$d$ локально, и воспользоваться единственностью для склейки.
На $\R^n$, $d$ определяется формулой 
$d(f P) = \sum_i \frac {df}{dx_i} dx_i \wedge P$
для любого координатного монома $P= dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_k}$.

\newpage

{\бф \блуе Теорема Стокса}

{\бф \греен Теорема Стокса:} $\int_M d\eta = \int_{\6 M}\eta$,
если $M$ -- гладкое многообразие с краем $\6 M$.

\определение
Форма $\eta$ называется {\бф \блуе точной}, если $\eta = d\alpha$,
и {\бф \блуе замкнутой}, если $d\eta=0$. 

\замечание Поскольку $d^2=0$, {\бф \пурпле любая точная форма замкнута}.

\определение 
$H^i(M):= \frac{\text{закнутые $i$-формы на $M$}}{\text{точные $i$-формы}}$
называется {\бф \блуе группой $i$-х когомологий}.

\замечание Для замкнутой $i$-формы $\eta$ и подмногообразия
$X\subset M$, {\бф \пурпле интеграл $\int_X\eta$ зависит только от 
класса когомологий $\eta$ и от класса гомотопии $X$.}

\newpage

{\bf \блуе Оператор Ходжа $*$}

Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство.
{\бф \пурпле Метрика на $V$ индуцирует метрику на 
его тензорных пространствах}, 
$g(x_1\otimes x_2 \otimes ... \otimes x_k, x_1'\otimes x_2' \otimes ... \otimes x_k') = g(x_1, x'_1)g(x_2, x'_2) ... g(x_k, x'_k)$

Это задает {\бф \греен невырожденное, положительно
определенное скалярное произведение на дифференциальных формах}
на римановом многообразии:
$g(\alpha, \beta) := \int_M g(\alpha, \beta) \Vol_M$

Другая невырожденная форма задается формулой
$\alpha, \beta \arrow \int_M \alpha \wedge \beta$\\
{\бф \блуе (спаривание Пуанкаре).}

\определение
Пусть $M$ -- риманово $n$-мерное многообразие.
Определим {\бф \блуе оператор Ходжа} 
$*:\; \Lambda^k M \arrow \Lambda^{n-k} M$
формулой {\bf \red $g(\alpha, \beta) = \int_M \alpha \wedge *\beta.$}

\замечание {\бф \ред Оператор Ходжа всегда существует}.
В ортонормальном базисе $\xi_1, ..., \xi_n \in \Lambda^1 M$, его можно задать 
на мономах
\[ * (\xi_{i_1}\wedge\xi_{i_2} \wedge ... \wedge\xi_{i_k}) =
(-1)^s \xi_{j_1}\wedge\xi_{j_2} \wedge ... \wedge\xi_{j_{n-k}},
\]
где $\xi_{j_1},\xi_{j_2}, ...,  \xi_{j_{n-k}}$ -- дополнительный
набор ковекторов,  а $s$ -- сигнатура перестановки 
$(i_1, ..., i_k, j_1, ..., j_{n-k})$.

\замечание
 $*^2\restrict{\Lambda^k(M)}=(-1)^{k(n-k)}\Id_{\Lambda^k(M)}$

\newpage

{\бф \блуе Теория Ходжа}

\утверждение
На компактном римановом многообразии, имеем\\
$d^*\restrict{\Lambda^k M} = (-1)^{nk} *d*,$
где $d^*$ -- {\бф \блуе сопряженный оператор} к $d$,
$(d\alpha, \gamma) = (\alpha, d^*\gamma)$.

\доказательство По теореме Стокса,
\[ 
  0=\int_M d(\alpha\wedge \beta) = \int_M d(\alpha)\wedge \beta +
  (-1)^{\tilde \alpha} \alpha \wedge d(\beta),
\]
значит  $(d\alpha, *\beta) = (-1)^{\tilde \alpha} (\alpha, *d\beta)$.
Написав $\gamma:= *\beta$, получаем
\[
  (d\alpha, \gamma) = (-1)^{\tilde \alpha} (\alpha, *d(*)^{-1}\gamma)=
  (-1)^{\tilde \alpha} (-1)^{\tilde \alpha(\tilde n-\tilde\alpha)}
  (\alpha, *d*\gamma)= (-1)^{\tilde \alpha\tilde n}(\alpha, *d*\gamma).
\]
\endproof

\определение
Антикоммутатор $\Delta:=\{d, d^*\}= dd^* + d^* d$
называется {\бф \блуе оператор Лапласа} на $M$.
Это самосопряженный, положительно определенный
оператор: $(\Delta x, x)= (dx, dx) + (d^*x, d^*x).$

{\бф \греен Основная теорема теории Ходжа:}
Существует {\бф \ред базис в гильбертовом пространстве}
$L^2(\Lambda^*(M))$, состоящий из собственных векторов
$\Delta$, и каждое собственное пространство конечномерно.

\теорема {\бф \блуе (``Эллиптическая регулярность'')}
Пусть $\alpha \in L^2(\Lambda^k(M))$ -- собственный вектор
$\Delta$. {\бф \ред Тогда $\alpha$ -- гладкая $k$-форма.}

\newpage

{\бф \блуе Теория Ходжа и когомологии}

{\бф \греен Определение:} Форма 
$\alpha$ называется {\бф \блуе
гармонической}, если $\Delta(\alpha)=0$.

\замечание Для любой гармонической формы $\alpha$,
$0=(\Delta \alpha, \alpha)= (d\alpha, d\alpha) + (d^*\alpha, d^*\alpha),$
значит, $\alpha \in \ker d \cap \ker d^*$.
Получаем, что {\бф \ред любая гармоническая форма 
на компактном многообразии замкнута.}

\теорема
Пусть $M$ -- компактное, риманово.
Тогда естественное отображение 
${\cal H}^i(M) \arrow H^i(M)$
из гармонических форм в 
когомологии -- изоморфизм.

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
Поскольку $\ker d^*= (\im d)^\bot$, {\бф \пурпле 
естественное отображение
${\cal H}^i(M) \arrow H^i(M)$ инъективно.}

{\бф \греен Шаг 2:}  $\{d, \{d, d^*\}\} = 0$ по Лемме 1. Поэтому
{\бф \пурпле $d$ коммутирует с $\Delta$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Рассмотрим весовое разложение
$\Lambda^*(M) \tilde = \bigoplus_\alpha {\cal H}^*_\alpha(M)$,
где $\alpha$ пробегает через все собственные значения
$\Delta$. Для каждого $\alpha$, {\бф \ред дифференциал де Рама
сохраняет собственные пространства $\Delta$,} что дает комплекс
\[
{\cal H}^0_\alpha(M) \stackrel d \arrow 
{\cal H}^1_\alpha(M) \stackrel d \arrow 
{\cal H}^2_\alpha(M) \stackrel d \arrow ...
\]

\newpage

{\бф \блуе Теория Ходжа и когомологии (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 4:} На ${\cal H}^*_\alpha(M)$, имеем
$dd^* + d^* d= \alpha$. Когда $\alpha \neq 0$, и $\eta$
замкнута, это дает $dd^*(\eta) + d^* d(\eta)= dd^* \eta = \alpha\eta$,
значит $\eta= d\xi$, где $\xi:= \alpha^{-1}d^* \eta$.
Значит, для ненулевых $\alpha$,
{\бф \пурпле комплексы $({\cal H}^*_\alpha(M), d)$ не дают
вклада в когомологии}

{\бф \греен Шаг 5:} Мы доказали, что
\[
H^i(\Lambda^* M, d) = \bigoplus_\alpha H^i ({\cal H}^*_\alpha(M),d)=
H^i ({\cal H}^*_0(M),d)={\cal H}^i(M).
\]
\endproof

\замечание Из этой теоремы сразу следует
{\bf \блуе двойственность Пуанкаре между $H^i(M)$ и $H^{n-i}(M)$:}
$\int_M \eta \wedge *\eta \neq 0$ для любого $\eta$, что дает
{\бф \ред невырожденность
спаривания $H^i(M)\otimes H^{n-i}(M)\arrow H^n(M)=H^0(M)=\R$.}
Здесь используется то, что для гармоничного $\eta$, форма $*\eta$
тоже гармонична, следовательно, замкнута.



\newpage

{\bf \blue Линеаризация кручения (повторение)}

\замечание
Если $\nabla_1$ и $\nabla_2$ -- связности на расслоении
$B$, их разность есть сечение $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$.
{\бф \блуе Пространство ${\cal A}(B)$ связностей на $B$
есть аффинное пространство}, то есть торсор над 
пространством сечений $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$.

\замечание
{\бф \пурпле Кручение есть аффинное отображение}
\[ {\cal A}(\Lambda^1 M) 
\arrow \Hom(\Lambda^1M, \Lambda^2 M)= TM \otimes\Lambda^2 M .
\]
потому что $T(\nabla + \alpha) = T(\nabla) + \Alt_{12}(\alpha)$,
где $\Alt_{12}:\; \Lambda^1M \otimes \End(\Lambda^1M) \arrow
\Lambda^2M \otimes TM$ есть альтернирование по первым двум индексам.

\определение
{\бф \блуе Линеаризованное кручение} есть отображение\\
$T_{lin}=\Alt$,
\[
T_{lin}:\; \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^1(M) \otimes TM
\arrow \Lambda^2 M  \otimes TM
\]
полученное как линеаризация кручения.

\newpage

{\bf \blue Связность Леви-Чивита (повторение)}

\определение
Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется
{\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$,
и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она 
ортогональна и без кручения.

\утверждение
Пусть $B$ -- расслоение с метрикой. {\бф \ред Тогда на 
$B$ всегда существует ортогональная связность.}

\доказательство
Выберем покрытие $\{U_i\}$, в котором $B$
тривиально и допускает ортонормальный базис.
На каждом $U_i$ выберем связность $\nabla_i$,
которая сохраняет этот базис. Пусть $\psi_i$ --
разбиение единицы, подчиненное $\{U_i\}$.
Тогда {\бф \пурпле формула $\nabla(b):= \sum \nabla_i(\psi_i b)$
определяет ортогональную связность.}
\endproof


\теорема
("основная теорема дифференциальной геометрии")
Каждое риманово многообразие {\бф \ред 
допускает связность Леви-Чивита, и она единственна.
}


\newpage

{\bf \blue Связность Леви-Чивита (существование и единственность). }


\доказательство
Выберем ортогональную связность $\nabla$ на $\Lambda^1 M$.
Пространство ортогональных связностей -- аффинное, и {\бф
\пурпле его линеаризация есть $\Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)$.}

{\бф \греен Шаг 1:} Отождествляя $TM$ и $\Lambda^1 M$, получаем
${\goth so}(TM) =\Lambda^2 M$.

{\бф \греен Шаг 2:} Линеаризованное кручение есть 
отображение
\[ T_{lin} :\; \Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)=
\Lambda^1(M) \otimes \Lambda^2 M
\stackrel{\Alt} \arrow \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1M =
\Lambda^2 M \otimes T M.
\]
{\бф \ред Это изоморфизм.} Справа и слева
расслоения одной размерности, так что {\бф \пурпле достаточно
доказать, что $T_{lin}$ нет ядра.} Но если $\eta \in \ker T_{lin}$,
{\бф \греен $\eta$ симметрична по первым двум аргументам
и кососимметрична по последним,} что дает
$\eta(x,y,z) = \eta(y,x,z) = - \eta (y,z, x).$
{\бф \пурпле То есть $\sigma(\eta) =-\eta$, где $\sigma$ есть
циклическая перестановка аргументов.} Поскольку
$\sigma^3=1$, из этого следует, что $\eta=0$.


{\bf \green Шаг 3:} 
Мы получили, что {\бф \purple ортогональная связность
однозначно задается своим кручением,} ибо кручение задает изоморфизм
аффинных пространств.

{\бф \греен Шаг 4:} Возьмем $\nabla:= \nabla_0 -T_{lin}^{-1}(T_{\nabla_0})$.
Тогда $T_\nabla= T_{\nabla_0}-T_{lin}(T_{lin}^{-1}(T_{\nabla_0}))=0$,
значит {\bf \red $\nabla$ -- связность без кручения}. \endproof


\newpage

{\бф \блуе Кручение $G$-структур. Повторение}

\определение
Пусть $G$ -- группа Ли, снабженная гомоморфизмом в $GL(n)$.
{\бф \блуе $G$-структура} на $n$-мерном
многообразии $M$ есть редукция структурной
группы $TM$ с $GL(n)$ до $G$.

\замечание
$G$-Связности на $TM$ являются аффинным пространством
над $\Lambda^1 M\otimes \g$, где $\g$ есть структурная алгебра Ли.
Поэтому {\бф \ред кручение есть аффинное отображение из пространства ${\cal A}_G$
$G$-связностей в $\Lambda^2 M \otimes TM$,} а его линеаризация --
$\Alt:\; \Lambda^1 M\otimes \g\arrow \Lambda^2 M \otimes TM$.

\определение
{\бф\блуе Расслоение тензоров внутреннего кручения} $Т_G$ 
(intrinsic torsion bundle) $G$-структуры на $M$ есть фактор
\[
T_G:=\frac{\Lambda^2 M \otimes TM}{\Alt(\Lambda^1 M\otimes \g)}.
\]
{\бф \блуе Кручение} (intrinsic torsion) $G$-структуры есть 
образ ее кручения в $Т_G$.

\невпаге

{\бф \блуе Кручение $G$-структур (продолжение)}

\определение
{\бф\блуе Расслоение тензоров внутреннего кручения} $Т_G$ 
(intrinsic torsion bundle) $G$-структуры на $M$ есть фактор
$T_G:=\frac{\Lambda^2 M \otimes TM}{\Alt(\Lambda^1 M\otimes \g)}.$
{\бф \блуе Внутреннее кручение} (intrinsic torsion) $G$-структуры есть 
образ ее кручения в $Т_G$.


\замечание {\бф \ред Кручение $G$-структуры не зависит от выбора
связности.} Действительно, если две связности отличаются
на $A$, их тензоры кручения отличаются на $\Alt(A)$.

\замечание
Рассмотрим $G$-структуру ${\goth G}$ на $M$.
Тогда {\бф \пурпле на $TM$ есть $G$-связность без кручения тогда и только тогда,
когда кручение ${\goth G}$ зануляется.}

\пример
Для $G=SO(n)$, расслоение 
$T_G=\frac{\Lambda^2 M \otimes TM}{\Alt(\Lambda^1 M\otimes \Lambda^2 M)}$
тривиально. {\бф \пурпле Соответствующая связность без кручения есть связность
Леви-Чивита.}


\замечание
Импликация $d\omega=0\Rightarrow \nabla(\omega)=0$
для кэлеровых многообразий {\бф \пурпле состоит в вычислении 
внутреннего кручения соответствующей $U(n)$-структуры.}

\newpage

{\бф \блуе Kручение почти 
комплексных эрмитовых многообразий}

\утверждение
Пусть $(M,I,\omega)$ -- эрмитово почти комплексное многообразие,
$\nabla$, $\nabla_1$ -- связности, сохраняющие $I$ и $\omega$,
а $A:=\nabla-\nabla_1$ -- форма связности, 
$A\in \Lambda^1 M \otimes {\goth u}(TM)=\Lambda^1 M \otimes \Lambda^{1,1}(M)$.
 Тогда $\Alt_{12}(A)\in {\goth W}$, где
\[ 
   {\goth W}:=\Lambda^{2,0}(M)\otimes \Lambda^{0,1}(M)\oplus
    \Lambda^{0,2}\otimes \Lambda^{1,0}(M)\oplus 
    \Lambda^{1,1}(M)\otimes \Lambda^1 M.
\] {\бф \ред
Кроме того, кососимметризация формы
$\Alt_{12}(A)(\cdot, \cdot, I\cdot)$ по всем трем аргументам 
равна нулю.}

\доказательство 
Из разложения по типам $A$ следует, что 
$\Lambda^{2,0}(М)\otimes \Lambda^{1,0}(M)$ и 
$\Lambda^{0,2}\otimes \Lambda^{0,}(M)$ части в $\Alt_{12}(A)$
зануляются. Это дает первое утверждение.

Второе следует из того, что форма $A(\cdot, \cdot, I\cdot)$
симметрична по последним двум аргументам, значит,
ее кососимметризация $\Alt_{123}(A(\cdot, \cdot, I\cdot))$ равна нулю;
но 
\[
\Alt_{123}(A(\cdot, \cdot, I\cdot))= 
\Alt_{123}(\Alt_{12}(A(\cdot, \cdot, I\cdot))).
\]
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Kручение почти 
комплексных эрмитовых многообразий \\ (продолжение)}

{\бф \греен Следствие 1:}
{\бф \ред Образ $\Alt_{12}(\Lambda^1 M \otimes \Lambda^{1,1}(M))$
равен пространству всех форм 
$\eta\in {\goth W}$ удовлетворяющих ${\goth A}(\eta)=0$, где
${\goth A}:\; {\goth W}\arrow\Lambda^{2,1}(M)\oplus\Lambda^{1,2}(M)$
-- отображение, определенное формулой
\[ {\goth A}(\eta)(\cdot,\cdot,\cdot)=
\Alt_{123}(\eta(\cdot, \cdot, I\cdot))=0.
\]
}

\доказательство
Кососимметризация $\Alt_{12}$ задает вложение из
$\Lambda^1 M \otimes \Lambda^{1,1}(M)$ в ${\goth W}$,
как следует из аргумента, доказывающего 
единственность связности Леви-Чивита.
Образ этого отображения содержится в ядре ${\goth A}$,
как доказано выше.

Образ ${\goth A}$ равен
$\Lambda^{2,1}(M)\oplus\Lambda^{1,2}(M)$,
значит, размерность ядра ${\goth A}$ равна 
размерности $\Lambda^{1,1}(M)\otimes \Lambda^1 M$.
{\бф \пурпле Поэтому 
\[ \Alt_{12}:\; \Lambda^1 M \otimes \Lambda^{1,1}(M)\arrow\ker {\goth A}
\]
--- изоморфизм.} \ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Кручение унитарной связности для кэлеровых многообразий}


{\бф \греен Утверждение 1:}
Пусть $(M,I,\omega)$ -- эрмитово комплексное многообразие,
$\nabla$ -- связность, сохраняющая $I$ и $\omega$,
а $T_\nabla\in \Lambda^2 M \times TM M =\Lambda^2 M \times \Lambda^1 M$
ее кручение (отождествление $TM$ и $\Lambda^1 M$ использует
риманову форму). Тогда 
$T_\nabla\in {\goth W}$, где 
\[ {\goth W}= \Lambda^{2,0}(M)\otimes \Lambda^{0,1}(M)\oplus
    \Lambda^{0,2}\otimes \Lambda^{1,0}(M)\oplus 
    \Lambda^{1,1}(M)\otimes \Lambda^1 M.
\]
Если к тому же $d\omega=0$, то $\Alt_{12}(T_\nabla)$
лежит в $\ker {\goth A}$, где 
${\goth A}:\; {\goth W}\arrow\Lambda^{2,1}(M)\oplus\Lambda^{1,2}(M)$
отображение, определенное выше, \[ {\goth A}(\eta)(\cdot,\cdot,\cdot)=
\Alt_{123}(\eta(\cdot, \cdot, I\cdot))=0.
\]

\дшаг
Поскольку $\nabla$ сохраняет $T^{1,0}(M)$, 
$\nabla_X T^{1,0}(M)\subset T^{1,0}(M)$. Поэтому
для любых $X, Y\in T^{1,0}(M)$, 
имеем $T_\nabla(X,Y)=\nabla_X Y -\nabla_Y X -[X,Y]$
то есть $T_\nabla(X,Y)\in T^{1,0}(M)$. С другой стороны,
$g$ в силу эрмитовости спаривает $T^{1,0}$ с $T^{0,1}$,
то есть {\бф \пурпле после отождествления $TM$ и $\Lambda^1 M$,
компоненты вида $\Lambda^{2,0}(M)\otimes \Lambda^{1,0}(M)$
и $\Lambda^{0,2}(М)\otimes \Lambda^{0,1}(M)$
зануляются.}


\newpage

{\бф \блуе Кручение для кэлеровых многообразий (продолжение)}


{\бф \греен Шаг 2:} 
$\nabla\omega=0$ влечет
\[ 
  \omega(\nabla_X Y,Z)+\omega(Y,\nabla_X Z)=\Lie_X\omega(X,Y).\ \ \ \ (*)
\]
Формула Картана
\begin{align*} 
d(\rho)(X_1, ..., X_{n+1})& =
 \sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{i-1}\Lie_{X_i} (\rho(X_1, ..., \check X_i, ..., X_{n+1}))\\ &
- 
\sum_{1\leq i < j \leq n+1}(-1)^{i+j}\rho([X_i, X_j], X_1, ..., \check X_i, ...,
\check X_j,...,  X_{n+1}),
\end{align*}
вместе с (*) дает
\[ 
 d\omega=\omega(T_\nabla(X,Y), Z)+ \omega(X,T_\nabla(Y, Z))-
 \omega(T_\nabla(X,Z), Y).
\]
{\бф \греен Шаг 3:} По определению,
$\omega(T_\nabla(X,Y), Z)= g(T_\nabla(X,Y), IZ)$,
а кососимметризация этого тензора равна 
${\goth A}(T_\nabla)(X,Y,Z)$. {\бф \ред В силу шага 2,
она зануляется, что дает $T_\nabla\in \ker {\goth A}$.}
\ендпрооф 

\newpage

{\бф \блуе Связность Леви-Чивита для кэлеровых многообразий}

\теорема
{\бф \ред Пусть $(M,I,\omega)$ кэлерово многообразие, а
$\nabla$ -- связность Леви-Чивита. Тогда $\nabla(I)=0$.}

\доказательство
Выберем какую-то связность $\nabla$, сохраняющую метрику и $I$.
В силу Утверждения 1, $T_\nabla\in \ker{\goth A}$.
В силу Следствия 1, 
$\Alt_{12}(\Lambda^1M \otimes {\goth u}(TM))=\ker{\goth A}$.
Поэтому существует форма связности $A\in \Lambda^1M \otimes {\goth u}(TM)$
такая, что $\nabla-A$ не имеет кручения. Эта связность
унитарна, значит, равна связности Леви-Чивита.
\ендпрооф


\end{document}

