\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 5 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексная алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 5: теория Ходжа} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва \\[2mm] 7 марта 2014 } \end{center} \newpage {\bf \блуе Градуированные векторные пространства и алгебры} \определение {\бф \блуе Градуированное векторное пространство} есть пространство $V^* =\bigoplus_{i\in \Z} V^i$. \замечание Еслу $V^*$ градуировано, пространство эндоморфизмов $\End(V^*)=\bigoplus_{i\in \Z} \End^i(V^*)$ тоже градуировано, \[ \End^i(V^*)= \bigoplus_{j\in \Z} \Hom(V^j, V^{i+j}).\] \определение {\бф \блуе Градуированная алгебра} (или "градуированная ассоциативная алгебра") есть алгебра $A^*=\bigoplus_{i\in \Z} A^i$ с умножением, которое совместимо с градуировкой: $A^i \cdot A^j \subset A^{i+j}$. \замечание Билинейное отображение градуированных пространств, которое удовлетворяет $A^i \cdot B^j \subset C^{i+j}$, называется {\бф\блуе градуированным}, или {\бф \блуе совместимым с градуировкой}. \замечание Категорию градуированных векторных пространств можно определить как {\бф \пурпле категорию векторных пространств с действием $U(1)$}; весовое разложение определяет градуировку по формуле $\rho(t)\restrict{A^n}=e^{2\pi \1 nt}$. Тогда {\бф \пурпле градуированная алгебра есть ассоциативная алгебра в категории пространств с $U(1)$-действием.} \newpage {\bf \blue Суперкоммутатор} \определение Оператор на градуированном пространстве называется {\бф \блуе четным} ({\бф \блуе нечетным}), если он сдвигает градуировку на четное (нечетное) число. {\бф \блуе Четность} $\tilde a$ оператора $a$ есть 0, если он четный, 1 если нечетный. Мы говорим, что оператор {\бф \блуе чистый} если он четный или нечетный. \определение {\бф \блуе Суперкоммутатор} чистых элементов определяется формулой $\{a,b\} = ab- (-1)^{\tilde a \tilde b}ba$. \определение Градуированная ассоциативная алгебра $A^*$ называется {\бф \блуе суперкоммутативной} если в $A^*$ суперкоммутатор равен нулю. \пример {\bf \purple Алгебра Грассмана $\Lambda^* V$ суперкоммутативна.} \newpage {\bf \blue Супералгебры Ли} \определение {\бф \блуе Супералгебра Ли} есть градуированное векторное пространство $\g^*$ снабженное билинейным градуированным произведением $\{\cdot,\cdot\}:\; \g^*\times \g^* \arrow \g^*$, которое супер-антикоммутативно: \[ \{a,b\} = - (-1)^{\tilde a \tilde b}\{b,a\} \] и удовлетворяет {\бф \блуе супер-тождеству Якоби} \[ \{c, \{a,b\}\} = \{\{c, a\},b\}+ (-1)^{\tilde a \tilde c}\{a,\{c, b\}\} \] \пример Рассмотрим алгебру $\End^* (V^*)$ всех эндоморфизмов градуированного векторного пространства, с суперкоммутатором, определенным выше. Тогда {\бф \пурпле $\End^* (V^*), \{\cdot,\cdot\}$ есть супер-алгебра Ли}. {\bf \green Лемма 1:} Пусть $d$ есть нечетный элемент супералгебры Ли над полем характеристики $\neq 2$, удовлетворяющий $\{d,d\}=0$. {\бф \ред Тогда $\{\{L,d\},d\}=0$} для любого $L$. {\бф \греен Доказательство:} \[ 0=\{L,\{d,d\}\}= \{\{L, d\}, d\}+(-1)^{\tilde L}\{d,\{L, d\}\}=2\{\{L, d\}, d\}. \] \newpage {\бф \блуе Дифференциал де Рама} \определение Пусть $M$ -- гладкое многообразие, $\Lambda^*M$ - его алгебра де Рама. Оператор $d:\; \Lambda^i(M) \arrow \Lambda^{i+1}(M)$ называется {\бф \блуе дифференциалом де Рама}, если он удовлетворяет следующим условиям 1. {\бф \блуе Градуированное соотношение Лейбница} \[ d(\alpha \wedge \beta) = d(\alpha) \wedge \beta + (-1)^{\tilde \alpha} \alpha \wedge d\beta \] 2. $d^2=0$ 3. На функциях, $d:\; C^\infty M \arrow \Lambda^1 (M)$ -- обычный дифференциал. \замечание {\бф \ред Единственность дифференциала де Рама очевидна.} Действительно, $d$ определяется своими значениями на образующих $\Lambda^*(M)$. Но эта алгебра порождена $C^\infty M$ и $d C^\infty M$. {\бф \ред Существование $d$:} Достаточно доказать существование $d$ локально, и воспользоваться единственностью для склейки. На $\R^n$, $d$ определяется формулой $d(f P) = \sum_i \frac {df}{dx_i} dx_i \wedge P$ для любого координатного монома $P= dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_k}$. \newpage {\бф \блуе Теорема Стокса} {\бф \греен Теорема Стокса:} $\int_M d\eta = \int_{\6 M}\eta$, если $M$ -- гладкое многообразие с краем $\6 M$. \определение Форма $\eta$ называется {\бф \блуе точной}, если $\eta = d\alpha$, и {\бф \блуе замкнутой}, если $d\eta=0$. \замечание Поскольку $d^2=0$, {\бф \пурпле любая точная форма замкнута}. \определение $H^i(M):= \frac{\text{закнутые $i$-формы на $M$}}{\text{точные $i$-формы}}$ называется {\бф \блуе группой $i$-х когомологий}. \замечание Для замкнутой $i$-формы $\eta$ и подмногообразия $X\subset M$, {\бф \пурпле интеграл $\int_X\eta$ зависит только от класса когомологий $\eta$ и от класса гомотопии $X$.} \newpage {\bf \блуе Оператор Ходжа $*$} Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство. {\бф \пурпле Метрика на $V$ индуцирует метрику на его тензорных пространствах}, $g(x_1\otimes x_2 \otimes ... \otimes x_k, x_1'\otimes x_2' \otimes ... \otimes x_k') = g(x_1, x'_1)g(x_2, x'_2) ... g(x_k, x'_k)$ Это задает {\бф \греен невырожденное, положительно определенное скалярное произведение на дифференциальных формах} на римановом многообразии: $g(\alpha, \beta) := \int_M g(\alpha, \beta) \Vol_M$ Другая невырожденная форма задается формулой $\alpha, \beta \arrow \int_M \alpha \wedge \beta$\\ {\бф \блуе (спаривание Пуанкаре).} \определение Пусть $M$ -- риманово $n$-мерное многообразие. Определим {\бф \блуе оператор Ходжа} $*:\; \Lambda^k M \arrow \Lambda^{n-k} M$ формулой {\bf \red $g(\alpha, \beta) = \int_M \alpha \wedge *\beta.$} \замечание {\бф \ред Оператор Ходжа всегда существует}. В ортонормальном базисе $\xi_1, ..., \xi_n \in \Lambda^1 M$, его можно задать на мономах \[ * (\xi_{i_1}\wedge\xi_{i_2} \wedge ... \wedge\xi_{i_k}) = (-1)^s \xi_{j_1}\wedge\xi_{j_2} \wedge ... \wedge\xi_{j_{n-k}}, \] где $\xi_{j_1},\xi_{j_2}, ..., \xi_{j_{n-k}}$ -- дополнительный набор ковекторов, а $s$ -- сигнатура перестановки $(i_1, ..., i_k, j_1, ..., j_{n-k})$. \замечание $*^2\restrict{\Lambda^k(M)}=(-1)^{k(n-k)}\Id_{\Lambda^k(M)}$ \newpage {\бф \блуе Теория Ходжа} \утверждение На компактном римановом многообразии, имеем\\ $d^*\restrict{\Lambda^k M} = (-1)^{nk} *d*,$ где $d^*$ -- {\бф \блуе сопряженный оператор} к $d$, $(d\alpha, \gamma) = (\alpha, d^*\gamma)$. \доказательство По теореме Стокса, \[ 0=\int_M d(\alpha\wedge \beta) = \int_M d(\alpha)\wedge \beta + (-1)^{\tilde \alpha} \alpha \wedge d(\beta), \] значит $(d\alpha, *\beta) = (-1)^{\tilde \alpha} (\alpha, *d\beta)$. Написав $\gamma:= *\beta$, получаем \[ (d\alpha, \gamma) = (-1)^{\tilde \alpha} (\alpha, *d(*)^{-1}\gamma)= (-1)^{\tilde \alpha} (-1)^{\tilde \alpha(\tilde n-\tilde\alpha)} (\alpha, *d*\gamma)= (-1)^{\tilde \alpha\tilde n}(\alpha, *d*\gamma). \] \endproof \определение Антикоммутатор $\Delta:=\{d, d^*\}= dd^* + d^* d$ называется {\бф \блуе оператор Лапласа} на $M$. Это самосопряженный, положительно определенный оператор: $(\Delta x, x)= (dx, dx) + (d^*x, d^*x).$ {\бф \греен Основная теорема теории Ходжа:} Существует {\бф \ред базис в гильбертовом пространстве} $L^2(\Lambda^*(M))$, состоящий из собственных векторов $\Delta$, и каждое собственное пространство конечномерно. \теорема {\бф \блуе (``Эллиптическая регулярность'')} Пусть $\alpha \in L^2(\Lambda^k(M))$ -- собственный вектор $\Delta$. {\бф \ред Тогда $\alpha$ -- гладкая $k$-форма.} \newpage {\бф \блуе Теория Ходжа и когомологии} {\бф \греен Определение:} Форма $\alpha$ называется {\бф \блуе гармонической}, если $\Delta(\alpha)=0$. \замечание Для любой гармонической формы $\alpha$, $0=(\Delta \alpha, \alpha)= (d\alpha, d\alpha) + (d^*\alpha, d^*\alpha),$ значит, $\alpha \in \ker d \cap \ker d^*$. Получаем, что {\бф \ред любая гармоническая форма на компактном многообразии замкнута.} \теорема Пусть $M$ -- компактное, риманово. Тогда естественное отображение ${\cal H}^i(M) \arrow H^i(M)$ из гармонических форм в когомологии -- изоморфизм. {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Поскольку $\ker d^*= (\im d)^\bot$, {\бф \пурпле естественное отображение ${\cal H}^i(M) \arrow H^i(M)$ инъективно.} {\бф \греен Шаг 2:} $\{d, \{d, d^*\}\} = 0$ по Лемме 1. Поэтому {\бф \пурпле $d$ коммутирует с $\Delta$.} {\бф \греен Шаг 3:} Рассмотрим весовое разложение $\Lambda^*(M) \tilde = \bigoplus_\alpha {\cal H}^*_\alpha(M)$, где $\alpha$ пробегает через все собственные значения $\Delta$. Для каждого $\alpha$, {\бф \ред дифференциал де Рама сохраняет собственные пространства $\Delta$,} что дает комплекс \[ {\cal H}^0_\alpha(M) \stackrel d \arrow {\cal H}^1_\alpha(M) \stackrel d \arrow {\cal H}^2_\alpha(M) \stackrel d \arrow ... \] \newpage {\бф \блуе Теория Ходжа и когомологии (продолжение)} {\бф \греен Шаг 4:} На ${\cal H}^*_\alpha(M)$, имеем $dd^* + d^* d= \alpha$. Когда $\alpha \neq 0$, и $\eta$ замкнута, это дает $dd^*(\eta) + d^* d(\eta)= dd^* \eta = \alpha\eta$, значит $\eta= d\xi$, где $\xi:= \alpha^{-1}d^* \eta$. Значит, для ненулевых $\alpha$, {\бф \пурпле комплексы $({\cal H}^*_\alpha(M), d)$ не дают вклада в когомологии} {\бф \греен Шаг 5:} Мы доказали, что \[ H^i(\Lambda^* M, d) = \bigoplus_\alpha H^i ({\cal H}^*_\alpha(M),d)= H^i ({\cal H}^*_0(M),d)={\cal H}^i(M). \] \endproof \замечание Из этой теоремы сразу следует {\bf \блуе двойственность Пуанкаре между $H^i(M)$ и $H^{n-i}(M)$:} $\int_M \eta \wedge *\eta \neq 0$ для любого $\eta$, что дает {\бф \ред невырожденность спаривания $H^i(M)\otimes H^{n-i}(M)\arrow H^n(M)=H^0(M)=\R$.} Здесь используется то, что для гармоничного $\eta$, форма $*\eta$ тоже гармонична, следовательно, замкнута. \newpage {\bf \blue Линеаризация кручения (повторение)} \замечание Если $\nabla_1$ и $\nabla_2$ -- связности на расслоении $B$, их разность есть сечение $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$. {\бф \блуе Пространство ${\cal A}(B)$ связностей на $B$ есть аффинное пространство}, то есть торсор над пространством сечений $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$. \замечание {\бф \пурпле Кручение есть аффинное отображение} \[ {\cal A}(\Lambda^1 M) \arrow \Hom(\Lambda^1M, \Lambda^2 M)= TM \otimes\Lambda^2 M . \] потому что $T(\nabla + \alpha) = T(\nabla) + \Alt_{12}(\alpha)$, где $\Alt_{12}:\; \Lambda^1M \otimes \End(\Lambda^1M) \arrow \Lambda^2M \otimes TM$ есть альтернирование по первым двум индексам. \определение {\бф \блуе Линеаризованное кручение} есть отображение\\ $T_{lin}=\Alt$, \[ T_{lin}:\; \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^1(M) \otimes TM \arrow \Lambda^2 M \otimes TM \] полученное как линеаризация кручения. \newpage {\bf \blue Связность Леви-Чивита (повторение)} \определение Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется {\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$, и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она ортогональна и без кручения. \утверждение Пусть $B$ -- расслоение с метрикой. {\бф \ред Тогда на $B$ всегда существует ортогональная связность.} \доказательство Выберем покрытие $\{U_i\}$, в котором $B$ тривиально и допускает ортонормальный базис. На каждом $U_i$ выберем связность $\nabla_i$, которая сохраняет этот базис. Пусть $\psi_i$ -- разбиение единицы, подчиненное $\{U_i\}$. Тогда {\бф \пурпле формула $\nabla(b):= \sum \nabla_i(\psi_i b)$ определяет ортогональную связность.} \endproof \теорема ("основная теорема дифференциальной геометрии") Каждое риманово многообразие {\бф \ред допускает связность Леви-Чивита, и она единственна. } \newpage {\bf \blue Связность Леви-Чивита (существование и единственность). } \доказательство Выберем ортогональную связность $\nabla$ на $\Lambda^1 M$. Пространство ортогональных связностей -- аффинное, и {\бф \пурпле его линеаризация есть $\Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)$.} {\бф \греен Шаг 1:} Отождествляя $TM$ и $\Lambda^1 M$, получаем ${\goth so}(TM) =\Lambda^2 M$. {\бф \греен Шаг 2:} Линеаризованное кручение есть отображение \[ T_{lin} :\; \Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)= \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^2 M \stackrel{\Alt} \arrow \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1M = \Lambda^2 M \otimes T M. \] {\бф \ред Это изоморфизм.} Справа и слева расслоения одной размерности, так что {\бф \пурпле достаточно доказать, что $T_{lin}$ нет ядра.} Но если $\eta \in \ker T_{lin}$, {\бф \греен $\eta$ симметрична по первым двум аргументам и кососимметрична по последним,} что дает $\eta(x,y,z) = \eta(y,x,z) = - \eta (y,z, x).$ {\бф \пурпле То есть $\sigma(\eta) =-\eta$, где $\sigma$ есть циклическая перестановка аргументов.} Поскольку $\sigma^3=1$, из этого следует, что $\eta=0$. {\bf \green Шаг 3:} Мы получили, что {\бф \purple ортогональная связность однозначно задается своим кручением,} ибо кручение задает изоморфизм аффинных пространств. {\бф \греен Шаг 4:} Возьмем $\nabla:= \nabla_0 -T_{lin}^{-1}(T_{\nabla_0})$. Тогда $T_\nabla= T_{\nabla_0}-T_{lin}(T_{lin}^{-1}(T_{\nabla_0}))=0$, значит {\bf \red $\nabla$ -- связность без кручения}. \endproof \newpage {\бф \блуе Кручение $G$-структур. Повторение} \определение Пусть $G$ -- группа Ли, снабженная гомоморфизмом в $GL(n)$. {\бф \блуе $G$-структура} на $n$-мерном многообразии $M$ есть редукция структурной группы $TM$ с $GL(n)$ до $G$. \замечание $G$-Связности на $TM$ являются аффинным пространством над $\Lambda^1 M\otimes \g$, где $\g$ есть структурная алгебра Ли. Поэтому {\бф \ред кручение есть аффинное отображение из пространства ${\cal A}_G$ $G$-связностей в $\Lambda^2 M \otimes TM$,} а его линеаризация -- $\Alt:\; \Lambda^1 M\otimes \g\arrow \Lambda^2 M \otimes TM$. \определение {\бф\блуе Расслоение тензоров внутреннего кручения} $Т_G$ (intrinsic torsion bundle) $G$-структуры на $M$ есть фактор \[ T_G:=\frac{\Lambda^2 M \otimes TM}{\Alt(\Lambda^1 M\otimes \g)}. \] {\бф \блуе Кручение} (intrinsic torsion) $G$-структуры есть образ ее кручения в $Т_G$. \невпаге {\бф \блуе Кручение $G$-структур (продолжение)} \определение {\бф\блуе Расслоение тензоров внутреннего кручения} $Т_G$ (intrinsic torsion bundle) $G$-структуры на $M$ есть фактор $T_G:=\frac{\Lambda^2 M \otimes TM}{\Alt(\Lambda^1 M\otimes \g)}.$ {\бф \блуе Внутреннее кручение} (intrinsic torsion) $G$-структуры есть образ ее кручения в $Т_G$. \замечание {\бф \ред Кручение $G$-структуры не зависит от выбора связности.} Действительно, если две связности отличаются на $A$, их тензоры кручения отличаются на $\Alt(A)$. \замечание Рассмотрим $G$-структуру ${\goth G}$ на $M$. Тогда {\бф \пурпле на $TM$ есть $G$-связность без кручения тогда и только тогда, когда кручение ${\goth G}$ зануляется.} \пример Для $G=SO(n)$, расслоение $T_G=\frac{\Lambda^2 M \otimes TM}{\Alt(\Lambda^1 M\otimes \Lambda^2 M)}$ тривиально. {\бф \пурпле Соответствующая связность без кручения есть связность Леви-Чивита.} \замечание Импликация $d\omega=0\Rightarrow \nabla(\omega)=0$ для кэлеровых многообразий {\бф \пурпле состоит в вычислении внутреннего кручения соответствующей $U(n)$-структуры.} \newpage {\бф \блуе Kручение почти комплексных эрмитовых многообразий} \утверждение Пусть $(M,I,\omega)$ -- эрмитово почти комплексное многообразие, $\nabla$, $\nabla_1$ -- связности, сохраняющие $I$ и $\omega$, а $A:=\nabla-\nabla_1$ -- форма связности, $A\in \Lambda^1 M \otimes {\goth u}(TM)=\Lambda^1 M \otimes \Lambda^{1,1}(M)$. Тогда $\Alt_{12}(A)\in {\goth W}$, где \[ {\goth W}:=\Lambda^{2,0}(M)\otimes \Lambda^{0,1}(M)\oplus \Lambda^{0,2}\otimes \Lambda^{1,0}(M)\oplus \Lambda^{1,1}(M)\otimes \Lambda^1 M. \] {\бф \ред Кроме того, кососимметризация формы $\Alt_{12}(A)(\cdot, \cdot, I\cdot)$ по всем трем аргументам равна нулю.} \доказательство Из разложения по типам $A$ следует, что $\Lambda^{2,0}(М)\otimes \Lambda^{1,0}(M)$ и $\Lambda^{0,2}\otimes \Lambda^{0,}(M)$ части в $\Alt_{12}(A)$ зануляются. Это дает первое утверждение. Второе следует из того, что форма $A(\cdot, \cdot, I\cdot)$ симметрична по последним двум аргументам, значит, ее кососимметризация $\Alt_{123}(A(\cdot, \cdot, I\cdot))$ равна нулю; но \[ \Alt_{123}(A(\cdot, \cdot, I\cdot))= \Alt_{123}(\Alt_{12}(A(\cdot, \cdot, I\cdot))). \] \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Kручение почти комплексных эрмитовых многообразий \\ (продолжение)} {\бф \греен Следствие 1:} {\бф \ред Образ $\Alt_{12}(\Lambda^1 M \otimes \Lambda^{1,1}(M))$ равен пространству всех форм $\eta\in {\goth W}$ удовлетворяющих ${\goth A}(\eta)=0$, где ${\goth A}:\; {\goth W}\arrow\Lambda^{2,1}(M)\oplus\Lambda^{1,2}(M)$ -- отображение, определенное формулой \[ {\goth A}(\eta)(\cdot,\cdot,\cdot)= \Alt_{123}(\eta(\cdot, \cdot, I\cdot))=0. \] } \доказательство Кососимметризация $\Alt_{12}$ задает вложение из $\Lambda^1 M \otimes \Lambda^{1,1}(M)$ в ${\goth W}$, как следует из аргумента, доказывающего единственность связности Леви-Чивита. Образ этого отображения содержится в ядре ${\goth A}$, как доказано выше. Образ ${\goth A}$ равен $\Lambda^{2,1}(M)\oplus\Lambda^{1,2}(M)$, значит, размерность ядра ${\goth A}$ равна размерности $\Lambda^{1,1}(M)\otimes \Lambda^1 M$. {\бф \пурпле Поэтому \[ \Alt_{12}:\; \Lambda^1 M \otimes \Lambda^{1,1}(M)\arrow\ker {\goth A} \] --- изоморфизм.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Кручение унитарной связности для кэлеровых многообразий} {\бф \греен Утверждение 1:} Пусть $(M,I,\omega)$ -- эрмитово комплексное многообразие, $\nabla$ -- связность, сохраняющая $I$ и $\omega$, а $T_\nabla\in \Lambda^2 M \times TM M =\Lambda^2 M \times \Lambda^1 M$ ее кручение (отождествление $TM$ и $\Lambda^1 M$ использует риманову форму). Тогда $T_\nabla\in {\goth W}$, где \[ {\goth W}= \Lambda^{2,0}(M)\otimes \Lambda^{0,1}(M)\oplus \Lambda^{0,2}\otimes \Lambda^{1,0}(M)\oplus \Lambda^{1,1}(M)\otimes \Lambda^1 M. \] Если к тому же $d\omega=0$, то $\Alt_{12}(T_\nabla)$ лежит в $\ker {\goth A}$, где ${\goth A}:\; {\goth W}\arrow\Lambda^{2,1}(M)\oplus\Lambda^{1,2}(M)$ отображение, определенное выше, \[ {\goth A}(\eta)(\cdot,\cdot,\cdot)= \Alt_{123}(\eta(\cdot, \cdot, I\cdot))=0. \] \дшаг Поскольку $\nabla$ сохраняет $T^{1,0}(M)$, $\nabla_X T^{1,0}(M)\subset T^{1,0}(M)$. Поэтому для любых $X, Y\in T^{1,0}(M)$, имеем $T_\nabla(X,Y)=\nabla_X Y -\nabla_Y X -[X,Y]$ то есть $T_\nabla(X,Y)\in T^{1,0}(M)$. С другой стороны, $g$ в силу эрмитовости спаривает $T^{1,0}$ с $T^{0,1}$, то есть {\бф \пурпле после отождествления $TM$ и $\Lambda^1 M$, компоненты вида $\Lambda^{2,0}(M)\otimes \Lambda^{1,0}(M)$ и $\Lambda^{0,2}(М)\otimes \Lambda^{0,1}(M)$ зануляются.} \newpage {\бф \блуе Кручение для кэлеровых многообразий (продолжение)} {\бф \греен Шаг 2:} $\nabla\omega=0$ влечет \[ \omega(\nabla_X Y,Z)+\omega(Y,\nabla_X Z)=\Lie_X\omega(X,Y).\ \ \ \ (*) \] Формула Картана \begin{align*} d(\rho)(X_1, ..., X_{n+1})& = \sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{i-1}\Lie_{X_i} (\rho(X_1, ..., \check X_i, ..., X_{n+1}))\\ & - \sum_{1\leq i < j \leq n+1}(-1)^{i+j}\rho([X_i, X_j], X_1, ..., \check X_i, ..., \check X_j,..., X_{n+1}), \end{align*} вместе с (*) дает \[ d\omega=\omega(T_\nabla(X,Y), Z)+ \omega(X,T_\nabla(Y, Z))- \omega(T_\nabla(X,Z), Y). \] {\бф \греен Шаг 3:} По определению, $\omega(T_\nabla(X,Y), Z)= g(T_\nabla(X,Y), IZ)$, а кососимметризация этого тензора равна ${\goth A}(T_\nabla)(X,Y,Z)$. {\бф \ред В силу шага 2, она зануляется, что дает $T_\nabla\in \ker {\goth A}$.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Связность Леви-Чивита для кэлеровых многообразий} \теорема {\бф \ред Пусть $(M,I,\omega)$ кэлерово многообразие, а $\nabla$ -- связность Леви-Чивита. Тогда $\nabla(I)=0$.} \доказательство Выберем какую-то связность $\nabla$, сохраняющую метрику и $I$. В силу Утверждения 1, $T_\nabla\in \ker{\goth A}$. В силу Следствия 1, $\Alt_{12}(\Lambda^1M \otimes {\goth u}(TM))=\ker{\goth A}$. Поэтому существует форма связности $A\in \Lambda^1M \otimes {\goth u}(TM)$ такая, что $\nabla-A$ не имеет кручения. Эта связность унитарна, значит, равна связности Леви-Чивита. \ендпрооф \end{document}