\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 4 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексная алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 4: связность Бисмута} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва \\[2mm] 28 февраля 2014 } \end{center} \невпаге {\бф \блуе Связности и кручение (повторение)} \замечание {\бф \пурпле Пространство сечений расслоения $B$ на гладком многообразии обозначается $B$.} \определение {\бф \блуе Связность} на векторном расслоении $B$ есть отображение $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$ удовлетворяющее $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$ для любых $b\in B$, $f\in C^\infty M$. \замечание Если $X\in TM$ -- векторное поле, $b\in B$, то {\бф \пурпле $\nabla_X b$ -- сечение $B$, полученное как $\langle\nabla b, X\rangle$.} \замечание Для любого тензорного расслоения ${\cal B}_1:= B^*\otimes B^* \otimes ... \otimes B^* \otimes B\otimes B \otimes ... \otimes B$ {\bf \пурпле связность на $B$ определяет связность на ${\cal B}_1$} по {\бф \блуе формуле Лейбница:} \[ \nabla(b_1 \otimes b_2) = \nabla(b_1) \otimes b_2 + b_1 \otimes \nabla(b_2). \] \замечание Связности образуют {\бф \ред аффинное пространство} над пространством сечений расслоения $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$. \newpage {\bf \blue Кручение (повторение)} \определение Пусть $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1M$, \[ \Lambda^1 \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\] {\бф\блуе Кручение $\nabla$} задается формулой $T_\nabla:=\Alt \circ \nabla - d$, где \[ \Alt:\; \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M\] - внешнее умножение. Кручение есть отображение $T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$. \замечание \begin{align*} T_\nabla(f\eta) = & \Alt(f\nabla\eta + df\otimes \eta) - d(f\eta)\\ = &f\bigg [\Alt(\nabla\eta) - d\eta\bigg] + df\wedge \eta - df\wedge \eta= f T_\nabla(\eta). \end{align*} {\бф \пурпле Значит, $T_\nabla$ линейно.} \замечание \\ {\бф \ред Кручение часто определяют как отображение $\Lambda^2 TM \arrow TM$ формулой $\nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]$.} {\бф \блуе Это оператор, двойственный определенному выше.} \newpage {\bf \blue Аффинные пространства} \определение {\бф \блуе Торсор} над группой $G$ есть пространство $X$, снабженное свободным и транзитивным действием $G$, $g,x \arrow \rho(g,x).$ \определение {\бф \блуе Морфизм} торсоров $(X,G,\rho) \stackrel \Psi \arrow (X',G',\rho')$ есть пара $\Psi_X:\; X\arrow X', \Psi_G:\; G \arrow G'$, где $\Psi_G$ есть гомоморфизм групп, и согласованное с действием $G,G'$ на $X, X'$ так: $\Psi_X(\rho(g,x)) = \rho'(\Psi_G(g),\Psi_X(x))$ \замечание {\бф \пурпле Торсоры образуют категорию.} \определение {\бф \блуе Аффинное пространство} есть торсор над линейным пространством $V$, которое называется его {\бф \блуе линеаризацией}. \замечание {\бф \пурпле Действие $V$ на $A$ обозначается $a,v \arrow a +v$.} \определение {\бф\блуе Морфизм} аффинных пространств есть морфизм соответствующих торсоров. \замечание Это то же самое, что отображение $A \stackrel {\Psi_A} \arrow A'$, плюс гомоморфизм линеаризаций $L\stackrel {\Psi_L} \arrow L'$ такой, что $\Psi_A(a+l) = \Psi_A(a) + \Psi_L(l)$. \newpage {\bf \blue Линеаризация кручения} \замечание Если $\nabla_1$ и $\nabla_2$ -- связности на расслоении $B$, их разность есть сечение $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$. {\бф \блуе Пространство ${\cal A}(B)$ связностей на $B$ есть аффинное пространство}, то есть торсор над пространством сечений $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$. \замечание {\бф \пурпле Кручение есть аффинное отображение} \[ {\cal A}(\Lambda^1 M) \arrow \Hom(\Lambda^1M, \Lambda^2 M)= TM \otimes\Lambda^2 M . \] потому что $T(\nabla + \alpha) = T(\nabla) + \Alt_{12}(\alpha)$, где $\Alt_{12}:\; \Lambda^1M \otimes \End(\Lambda^1M) \arrow \Lambda^2M \otimes TM$ есть альтернирование по первым двум индексам. \определение {\бф \блуе Линеаризованное кручение} есть отображение\\ $T_{lin}=\Alt$, \[ T_{lin}:\; \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^1(M) \otimes TM \arrow \Lambda^2 M \otimes TM \] полученное как линеаризация кручения. \newpage {\bf \blue Связность Леви-Чивита} \определение Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется {\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$, и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она ортогональна и без кручения. \утверждение Пусть $B$ -- расслоение с метрикой. {\бф \ред Тогда на $B$ всегда существует ортогональная связность.} \доказательство Выберем покрытие $\{U_i\}$, в котором $B$ тривиально и допускает ортонормальный базис. На каждом $U_i$ выберем связность $\nabla_i$, которая сохраняет этот базис. Пусть $\psi_i$ -- разбиение единицы, подчиненное $\{U_i\}$. Тогда {\бф \пурпле формула $\nabla(b):= \sum \nabla_i(\psi_i b)$ определяет ортогональную связность.} \endproof \теорема ("основная теорема дифференциальной геометрии") Каждое риманово многообразие {\бф \ред допускает связность Леви-Чивита, и она единственна. } \newpage {\bf \blue Связность Леви-Чивита (существование и единственность)} \доказательство Выберем ортогональную связность $\nabla$ на $\Lambda^1 M$. Пространство ортогональных связностей -- аффинное, и {\бф \пурпле его линеаризация есть $\Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)$.} {\бф \греен Шаг 1:} Отождествляя $TM$ и $\Lambda^1 M$, получаем ${\goth so}(TM) =\Lambda^2 M$. {\бф \греен Шаг 2:} Линеаризованное кручение есть отображение \[ T_{lin} :\; \Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)= \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^2 M \stackrel{\Alt} \arrow \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1M = \Lambda^2 M \otimes T M. \] {\бф \ред Это изоморфизм.} Справа и слева расслоения одной размерности, так что {\бф \пурпле достаточно доказать, что $T_{lin}$ нет ядра.} Но если $\eta \in \ker T_{lin}$, {\бф \греен $\eta$ симметрична по первым двум аргументам и кососимметрична по последним,} что дает $\eta(x,y,z) = \eta(y,x,z) = - \eta (y,z, x).$ {\бф \пурпле То есть $\sigma(\eta) =-\eta$, где $\sigma$ есть циклическая перестановка аргументов.} Поскольку $\sigma^3=1$, из этого следует, что $\eta=0$. {\bf \green Шаг 3:} Мы получили, что {\бф \purple ортогональная связность однозначно задается своим кручением,} ибо кручение задает изоморфизм аффинных пространств. {\бф \греен Шаг 4:} Возьмем $\nabla:= \nabla_0 -T_{lin}^{-1}(T_{\nabla_0})$. Тогда $T_\nabla= T_{\nabla_0}-T_{lin}(T_{lin}^{-1}(T_{\nabla_0}))=0$, значит {\bf \red $\nabla$ -- связность без кручения}. \endproof \newpage {\бф \блуе Кручение $G$-структур \\(для тех, кто знаком с $G$-структурами)} \определение Пусть $G$ -- группа Ли, снабженная гомоморфизмом в $GL(n)$. {\бф \блуе $G$-структура} на $n$-мерном многообразии $M$ есть редукция структурной группы $TM$ с $GL(n)$ до $G$. \замечание $G$-Связности на $TM$ являются аффинным пространством над $\Lambda^1 M\otimes \g$, где $\g$ есть структурная алгебра Ли. Поэтому {\бф \ред кручение есть аффинное отображение из пространства ${\cal A}_G$ $G$-связностей в $\Lambda^2 M \otimes TM$,} а его линеаризация -- $\Alt:\; \Lambda^1 M\otimes \g\arrow \Lambda^2 M \otimes TM$. \определение {\бф\блуе Расслоение тензоров внутреннего кручения} $Т_G$ (intrinsic torsion bundle) $G$-структуры на $M$ есть фактор \[ T_G:=\frac{\Lambda^2 M \otimes TM}{\Alt(\Lambda^1 M\otimes \g)}. \] {\бф \блуе Кручение} (intrinsic torsion) $G$-структуры есть образ ее кручения в $Т_G$. \невпаге {\бф \блуе Кручение $G$-структур (продолжение)\\ (для тех, кто знаком с $G$-структурами)} \определение {\бф\блуе Расслоение тензоров внутреннего кручения} $Т_G$ (intrinsic torsion bundle) $G$-структуры на $M$ есть фактор $T_G:=\frac{\Lambda^2 M \otimes TM}{\Alt(\Lambda^1 M\otimes \g)}.$ {\бф \блуе Внутреннее кручение} (intrinsic torsion) $G$-структуры есть образ ее кручения в $Т_G$. \замечание {\бф \ред Кручение $G$-структуры не зависит от выбора связности.} Действительно, если две связности отличаются на $A$, их тензоры кручения отличаются на $\Alt(A)$. \замечание Рассмотрим $G$-структуру ${\goth G}$ на $M$. Тогда {\бф \пурпле на $TM$ есть $G$-связность без кручения тогда и только тогда, когда кручение ${\goth G}$ зануляется.} \пример Для $G=SO(n)$, расслоение $T_G=\frac{\Lambda^2 M \otimes TM}{\Alt(\Lambda^1 M\otimes \Lambda^2 M)}$ тривиально. {\бф \пурпле Соответствующая связность без кручения есть связность Леви-Чивита.} \замечание Импликация $d\omega=0\Rightarrow \nabla(\omega)=0$ для кэлеровых многообразий {\бф \пурпле состоит в вычислении внутреннего кручения соответствующей $U(n)$-структуры.} \newpage {\bf \blue Связность Леви-Чивита на кэлеровом многообразии (повторение)} \теорема Пусть $(M,I,g)$ -- почти комплексное эрмитово многообразие. {\бф \пурпле Тогда следующие условия эквививалентны:} (i) {\bf \red Комплексная структура $I$ интегрируема, а эрмитова форма $\omega$ замкнута.} (ii) {\bf \red $\nabla(I)=0$,} где $\nabla$ есть связность Леви-Чивита. \замечание {\bf \purple Импликация (ii) $\Rightarrow$ (i) довольно очевидна.} Действительно, $[X,Y]=\nabla_X Y - \nabla_Y X$, значит, коммутатор $(1,0)$-векторных полей -- снова типа $(1,0)$, что влечет интегрируемость $I$. Также, {\bf \purple $\nabla$ -- связность без кручения, что влечет $d\omega= \Alt(\nabla\omega)$,} значит, $d\omega=0$. \newpage {\bf \blue Связность Бисмута} \замечание На римановом многообразии, кручение $T_\nabla\in \Lambda^2 M \otimes TM$ удобно рассматривать как сечение $T_\nabla'\in \Lambda^2 M \otimes\Lambda^1 M$, отождествляя $TM$ и $\Lambda^1M$ с помощью $g$. Доказательство импликации (i) $\Rightarrow$ (ii). немедленно вытекает из теоремы Бисмута. \теорема (Бисмут) Пусть $(M,I, g)$ -- комплексное эрмитово расслоение. {\бф \ред Тогда существует и единственна связность $\nabla_b$, сохраняющая $I$ и $g$, такая, что тензор кручения $T_{\nabla_b}' \in\Lambda^2 M \otimes \Lambda^1 M$ кососимметричен. В этой ситуации, $T_{\nabla_b}' = -I(d\omega)$.} \определение Такая связность называется {\бф \блуе связностью Бисмута}. \замечание Единственность связности Бисмута следует из того, что {\бф \пурпле ортогональная связность однозначно задается своим кручением.} \newpage {\bf \blue Линеаризация кручения на эрмитовом многообразии} {\бф \греен Доказательство теоремы Бисмута. Шаг 1:} Выберем связность $\nabla$, сохраняющую $I$ и $g$. Разность $\alpha$ двух таких связностей есть 1-форма с коэффициентами в пространстве косоэрмитовых матриц, $\alpha\in\Lambda^1 \otimes {\goth u}(TM)$. Значит, {\бф \пурпле пространство связностей, сохраняющих $I$ и $g$, есть аффинное пространство над пространством сечений $\Lambda^1 \otimes {\goth u}(TM)$.} {\бф \греен Шаг 2:} {\бф \ред ${\goth u}(TM)$ отождествляется с $\Lambda^{1,1}M$.} Тогда линеаризация кручения есть отображение \[ T_{lin}:\; \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^{1,1}(M) \stackrel\Alt \arrow \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1(M). \] {\бф \греен Шаг 3:} {\bf \purple $\nabla$ сохраняет разложение Ходжа, а $I$ интегрируема}, что дает $T_{\nabla}(X^{1,0}, Y^{1,0}) \subset T^{1,0}(M)$ для любых $X^{1,0}, Y^{1,0}\in T^{1,0}(M)$. Это следует из \[ T_\nabla(X,Y) =\nabla_X Y - \nabla_Y X \] {\бф \греен Шаг 4:} Значит, $T'_\nabla$ принадлежит \[ \Lambda^{1,1} (M) \otimes \Lambda^1(M) \oplus \Lambda^{2,0} \otimes \Lambda^{0,1}(M) \oplus \Lambda^{0,2} \otimes \Lambda^{1,0}(M) \] потому что {\бф \пурпле при подстановке туда двух $(1,0)$-векторов оно дает $(0,1)$-форму.} \newpage {\bf \blue Линеаризация кручения на эрмитовом многообразии (2)} {\бф \греен Шаг 5:} Для $\alpha \in \Lambda^1 M \otimes {\goth{so}}(TM)$, продолжим $\alpha$ на $\Lambda^* M$ по формуле Лейбница $\alpha(\eta \wedge \eta') = \alpha(\eta) \wedge \eta' + (-1)^{\deg \eta}\alpha(\eta')$. Запишем связность Леви-Чивита формулой $\nabla_{LC} =\nabla + \alpha$. {\бф \пурпле Тогда $\alpha= T_{lin}^{-1}(T_\nabla')$.} Это дает {\бф \ред \[ d\omega= \Alt(\nabla_{LC} \omega) = \Alt(\nabla \omega + \alpha\omega) = \Alt(T_{lin}^{-1}(T_\nabla')(\omega)). \]} {\бф \греен Шаг 6:} Обозначим за $A:\; \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1 M$ операцию, переводящую $\tau$ в $\Alt(T_{lin}^{-1}(\tau)(\omega))$. Поскольку $A(T_\nabla') = d\omega$, $A(T_\nabla')$ не зависит выбора связности $\nabla$, сохраняющей $I,g$. Значит, $T_{lin}\circ A=0$, и {\бф \ред линеаризация кручения задает комплекс расслоений} \begin{multline*} \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^{1,1}(M)\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \stackrel {T_{lin}} \arrow \Lambda^{1,1} M \otimes \Lambda^1(M) \oplus \Lambda^{2,0} \otimes \Lambda^{0,1}(M) \oplus \Lambda^{0,2} \otimes \Lambda^{1,0}(M)\ \ \ \ \ \ \ \ (*)\\ \stackrel A \arrow \Lambda^{2,1}(M) \oplus \Lambda^{1,2}(M). \end{multline*} {\бф \греен Шаг 7:} Пусть $\tau\in \Lambda^1 M \otimes \Lambda^2 M = \Lambda^1 M \otimes {\goth{so}}(TM)$. Рассмотрим $\tau$ как отображение $V_\tau:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1 M$ и продолжим до отображения $\Lambda^i M \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^i M$ по формуле Лейбница, $V_\tau(\eta \wedge \eta') = V_\tau(\eta) \wedge \eta' + (-1)^{\deg \eta}V_\tau(\eta')$. {\бф \ред Тогда $V_\tau(\omega)(\cdot, \cdot, \cdot) = \tau(\cdot, \cdot, I\cdot)$} (проверьте это). \newpage {\bf \blue Линеаризация кручения на эрмитовом многообразии (3)} {\бф \греен Шаг 8:} Если $\tau$ -- 3-форма, $\tau\in \Lambda^3 M \subset \Lambda^1 M \otimes \Lambda^2 M = \Lambda^1 M \otimes {\goth{so}}(TM)$, то $T_{lin}(\tau)=\tau$, значит, \[ A(\tau)= \Alt(T_{lin}^{-1}(\tau)(\omega))= \Alt(V_\tau(\omega)) = \Alt(\tau(\cdot, \cdot, I\cdot)). \] {\бф \пурпле Это дает $A(\tau)= {\cal I}(\tau)$,} где ${\cal I}(\tau)(\cdot, \cdot, \cdot) = \tau(I \cdot, \cdot, \cdot) + \tau(\cdot, I \cdot, \cdot) + \tau(\cdot, \cdot, I\cdot).$ Поэтому {\бф \ред для кососимметричного тензора $\tau$ имеем $A(\tau)={\cal I}(\tau)$.} {\бф \греен Шаг 9:} Поскольку $A(T'_\nabla) = d(\omega)$ (шаг 6) для связности с кососимметричным кручением $\tau$, имеем $d(\omega) = {\cal I}(\tau)$ (шаг 8). С другой стороны {\bf \purple $d\omega$ лежит в $\Lambda^{2,1}(M) \oplus \Lambda^{1,2}(M)$ в силу интегрируемости, значит, ${\cal I}(d\omega)= I(d\omega)$.} {\бф \ред Это влечет $\tau = {\cal I}^{-1}(d\omega)= - I d\omega$.} {\бф \блуе Мы доказали формулу для кручения в утверждении теоремы Бисмута.} {\бф \греен Шаг 10:} Поскольку ${\cal I}:\; \Lambda^3(M)\arrow \Lambda^3(M)$ изоморфизм, из предыдущего шага вытекает, что $A\restrict{\Lambda^{2,1}(M)\oplus \Lambda^{1,2}(M)} \arrow \Lambda^{2,1}(M)\oplus \Lambda^{1,2}(M)$ -- изоморфизм. {\бф \пурпле Значит, правая стрелка комплекса (*) -- наложение.} \newpage {\bf \blue Линеаризация кручения на эрмитовом многообразии (4)} {\бф \греен Шаг 11:} Из вычисления размерностей, инъективности левой стрелки и сюрьективности правой вытекает, что {\бф \пурпле (*) - точная последовательность.} \begin{multline*} \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^{1,1}(M)\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \stackrel {T_{lin}} \arrow \Lambda^{1,1} M \otimes \Lambda^1(M) \oplus \Lambda^{2,0} \otimes \Lambda^{0,1}(M) \oplus \Lambda^{0,2} \otimes \Lambda^{1,0}(M)\ \ \ \ \ \ \ \ (*)\\ \stackrel A \arrow \Lambda^{2,1}(M) \oplus \Lambda^{1,2}(M). \end{multline*} {\бф \греен Шаг 12:} Пусть ${\cal A}(I,g)$ есть пространство связностей на $\Lambda^1 M$, сохраняющих $I$ и $g$. Поскольку $A(T_\nabla') = d\omega$ (шаг 6), отображение $\nabla \arrow T'_\nabla$ индуцирует морфизм аффинных пространств \[ {\cal A}(I,g)\stackrel {\cal T} \arrow A^{-1}(d\omega). \] {\бф \пурпле Поскольку (*) -- точная последовательность, ${\cal T}$ является изоморфизмом.} {\бф \греен Шаг 13:} Как доказано на шаге 9, $A(-Id\omega)= d\omega$. Поскольку ${\cal T}$ есть изоморфизм, {\бф \ред существует и единственна связность ${\cal T}^{-1}(-Id\omega)$, кручение которой удовлетворяет $T'_\nabla= -Id\omega$.} \end{document}