\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 3 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексная алгебраическая геометрия, \\[15mm]
\small лекция 3: кэлеровы многообразия}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва
\\[2mm] 21 февраля 2014
}
\end{center}

\невпаге

{\bf \blue Разложение Ходжа (повторение)}

Обозначим за $\Lambda^* V$ грассманову алгебру,
порожденную $V$. 

\упражнение 
Проверьте, что $\Lambda^*(V \oplus W)$ изоморфно
как векторное пространство $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W$.
Изоморфизм $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W \arrow \Lambda^*(V \oplus W)$ 
задается отображением $x\otimes y \arrow x\wedge y$.

\определение
Пусть $(V,I)$ -- пространство, снабженное комплексной структурой,
а $V_\C:= V\otimes_\R \C$ его комплексификация. Тогда
$\Lambda^* V_\C \cong (\Lambda^*V^{1,0})\otimes (\Lambda^*V^{0,1})$.
Рассмотрим разложение
$\Lambda^* V_\C \cong \bigoplus_{p,q}\Lambda^{p,q} V_\C $,
где $\Lambda^{p,q} V_\C = \Lambda^pV^{1,0}\bigwedge \Lambda^qV^{0,1}$
Оно называется {\бф \блуе разложением Ходжа}.

\замечание
Комплексная структура на $V$ {\bf \blue однозначно задает комплексную
структуру на $V^*$ (и наоборот). }

\невпаге

{\bf \blue Почти комплексные многообразия (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Почти комплексная структура} на многообразии $М$
есть оператор $I\in \End TM$ в эндоморфизмах касательного
расслоения, удовлетворяющий $I^2=-\Id_{TM}$. 

\пример
Возьмем $\C^n$, с комплексными координатами $z_i = x_i + \1 y_i$.
Тогда $I(x_i) = y_i$, $I(y_i) = - x_i$ -- почти
комплексная структура.



Пусть $(M, I)$ -- почти комплексное многообразие.
Обозначим за
\[ \Lambda^{*,0}(M):=\bigoplus_p\Lambda^{p,0}(M), \ \ 
\Lambda^{0,*}(M):=\bigoplus_q\Lambda^{0,q}(M)
\] подалгебры
в алгебре де Рама, порожденные $\Lambda^{1,0}(M)= (T^*M)^{1,0}$
и $\Lambda^{0,1}(M)= (T^*M)^{0,1}$ соответственно.

\определение
{\бф \blue Разложение Ходжа} на дифференциальных
формах записывается $\Lambda^*(M) = \bigoplus_{p,q} \Lambda^{p,q}(M)$,
причем $\Lambda^{p,q}(M) = \Lambda^{p,0}(M) \bigwedge
\Lambda^{0,q}(M)$.

\newpage

{\бф \блуе Комплексные многообразия (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Окольцованное пространство} есть 
топологическое пространство с заданным на нем пучком колец.

\пример 
{\бф \пурпле Открытый шар $B\subset \C^n$ с пучком $\calo_B$
голоморфных функций является окольцованным пространством.}


\определение
{\бф \блуе Комплексное многообразие} $(M, \calo_M)$ есть окольцованное
пространство, которое локально изоморфно (как
окольцованное пространство) открытому шару 
$(B, \calo_B)$

\замечание
Пусть $U_1, U_2$ -- два открытых подмножества
в комплексном многообразии, a $f_1, f_2$ -- изоморфизмы
$U_1, U_2$ с открытым шаром. Композиция $f_1 f^{-1}_2$
задает изоморфизм окольцованных пространств
$f_1(U_1\cap U_2) \arrow f_2(U_1\cap U_2)$.
{\бф \пурпле В силу Следствия (*), этот изоморфизм
голоморфен.} 

\следствие
Мы получаем, что {\бф \ред комплексное многообразие
имеет атлас из открытых подмножеств, которые
гомеоморфны открытым шарам в $\C^n$, а функции
перехода голоморфны. }

\newpage

{\бф \блуе Интегрируемость почти комплексных структур (повторение)}


\определение
Пусть $(M, I)$ --  
почти комплексное многообразие,
а $\calo_M$ пучок голоморфных функций на нем. 
Оно называется {\бф \блуе интегрируемым},
если $(M, \calo_M)$ -- комплексное многообразие.


\замечание
{\бф \ред Почти комплексная структура восстанавливается
из комплексной структуры на $M$ следующим образом.}

(1) Рассмотрим {\бф \пурпле
расслоение $\Lambda^{1,0}(M)\subset \Lambda^1(M, \C)$, 
порожденное дифференциалами голоморфных функций, }
и пусть $\Lambda^{0,1}(M) := \overline{\Lambda^{1,0}(M)}$.

(2) Определим $I\in \End(\Lambda^1 M\otimes \C)$
таким образом, что $I\restrict \Lambda^{1,0}(M)=\1$ и 
$I\restrict \Lambda^{0,1}(M)=-\1$. {\бф \пурпле Очевидно, $I^2 = -\Id$.}

(3) Этот эндоморфизм вещественный, поскольку $\bar I=I$
в силу его определения. Поэтому {\бф \пурпле он переводит $\Lambda^1 (M, \R)$
в себя.}

Мы получили функтор (строгий, полный) из категории
комплексных многообразий в категорию почти комплексных.

\определение
Почти комплексная структура $I$ на $M$ называется {\бф \блуе
интергрируемой}, если $(M,I)$ получено из комплексного 
многообразия вышеописанным образом.

\newpage

{\бф \блуе Формальная интегрируемость (повторение)}

\упражнение
Докажите, что в комплексных координатах
$z_1, ..., z_n$ на $\C^n$, {\бф \пурпле  голоморфные
векторные поля записываются в виде
$X= \sum \phi_i \frac d{dz_i}$,} где 
$\phi_1,..., \phi_n$ -- голоморфные 
функции.

\следствие
{\бф \пурпле Голоморфные векторные поля на комплексном
многообразии порождают $T^{1,0}M$ над $C^\infty M$.}

\следствие 
На комплексном многообразии,
{\бф \ред коммутатор векторных полей типа $(1,0)$ имеет
тип $(1,0)$: $[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$.}

\определение
Почти комплексное многообразие называется
{\бф \блуе формально интегрируемым}, если
$[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$


\теорема
(Newlander-Nirenberg) {\бф \ред Формально интегрируемое
почти комплексное многообразие гладкости $C^2$
интегрируемо.}

\замечание Я докажу эту теорему {\бф \пурпле для
вещественно-аналитических многообразий}.

\newpage

{\бф \блуе Ве\-ще\-ст\-вен\-но \-ана\-ли\-ти\-чес\-кие многообразия (повторение)}


\определение
{\бф \блуе Антикомплексной инволюцией} на 
комплексном многообразии называется непрерывная 
инволюция $\iota$, $\iota^2=\Id$, переводящая голоморфные функции
на $U\subset M$ в антиголоморфные на $\iota(U)$.

\упражнение
Проверьте, что множество неподвижных точек $X_\iota$
антикомплексной инволюции -- {\бф \пурпле гладкое многообразие,
причем $\dim_\R X_\iota = \dim_\C X$.}



\утверждение
Пусть $X$ -- открытый шар в $\C^n$, снабженный 
стандартной антикомплексной инволюцией $z\arrow \bar z$,
а $\alpha$ -- голоморфный тензор на $X$, который зануляется в $M=X_\iota$. 
{\bf\purple Тогда $\alpha=0$}.

\доказательство
Достаточно проверить утверждение, когда $n=1$.
Мы получаем такой факт: голоморфная функция, определенная
в окрестности отрезка, которая равна нулю на отрезке, зануляется.
Это следует из разложения Тэйлора.
\endproof


\утверждение
Пусть $M$ -- вещественно-аналитическое многообразие.
Тогда $M$ можно реализовать как множество $X^\tau$ неподвижных точек
антикомплексной инволюции $\tau$ в комплексном многообразии $X$.
При этом каждый вещественно-аналитический тензор на $M$
однозначно продолжается до голоморфного тензора в небольшой
окрестности $X^\tau$.


\newpage

{\бф \блуе Тензор Ниенхойса (повторение)}

\определение
Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие,
$T^{1,0}\subset TM\otimes \C$ -- подрасслоение векторов
типа $(1,0)$, а $[T^{1,0},T^{1,0}] \stackrel N\arrow TM\otimes \C / T^{1,0}$ --
скобка Фробениуса. Отождествив $TM\otimes \C / T^{1,0}$ с $T^{0,1}$,
мы представим $N$ как оператор
\[
N:\; \Lambda^2(T^{1,0}M) \arrow T^{0,1}M.
\]
\определение
Этот оператор называется {\бф\блуе тензором Ниейхойса}
(Nijenhuis tensor). Его можно преставить как сечение
$N\in \Lambda^{2,0}M\otimes T^{0,1}M$.

\замечание
{\бф \пурпле Тензор Ниенхойса вещественно-аналитического многообразия
тоже вещественно-аналитичен.}

\замечание
Теорема Ньюлендера-Ниренберга выводит интегрируемость
из $N=0$.


\newpage

{\бф \блуе Теорема Ньюлендера-Ниренберга (повторение)}

\теорема
Пусть $(M,I)$ -- ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кое
почти комплексное многообразие, причем $[T^{1,0}, T^{1,0}] \subset T^{1,0}$.
{\bf \red Тогда почти комплексная структура $I$ интегрируема.}

\доказательство
Достаточно доказывать утверждение локально.
Пусть $M= B_\R$ -- вещественный шар, а
$X=B_\C$ -- комплексный шар, снабженный антикомплексной инволюцией,
причем $M=X_\iota$. 

{\бф \греен Шаг 1:} 
Пусть 
\[ \Pi^{1,0}:\; TX\restrict M=TM\otimes \C \arrow T^{1,0}M\subset
TX\restrict M  
\] --
естественная проекция вдоль $T^{0,1}$. Продолжим
$\Pi^{1,0}$ до голоморфного тензора на $X$ (если 
не продолжается, заменим  $X$ на меньшую
окрестность $M\subset X$). Сделаем то же самое с $\Pi^{1,0}$.
{\bf \purple Получим разложение 
$TX\restrict M = \im \Pi^{1,0}\oplus \im \Pi^{0,1}$.}
Обозначим $T^{1,0}X:=\im \Pi^{1,0}$, $T^{0,1}X:=\im\Pi^{0,1}$.


{\бф \греен Шаг 2:} 
Перейдя к меньшей окрестности, если нужно,
можно считать, что {\bf \purple разложение
$TX=T^{1,0}X \oplus T^{0,1}X$
определено на всем $X$ и голоморфно.}


\newpage

{\бф \блуе Теорема Ньюлендера-Ниренберга (2)}



{\бф \греен Шаг 3:}
Пусть $\alpha$ -- голоморфный
тензор на $X$, который зануляется в $M=X_\iota$. 
{\bf\purple Тогда $\alpha=0$} (теорема об аналитическом
продолжении).


{\бф \греен Шаг 4:}
Тензор Фробениуса $\Phi$ для $T^{1,0}X\subset TX$,
ограниченный на $M=X_\iota$, дает
тензор Ниенхойса. В силу шага 3, $\Phi=0$.

{\бф \греен Шаг 5:}
По теореме Фробениуса, локально по $X$ 
{\бф \purple существует голоморфная
субмерсия $\pi:\; X \arrow X^{1,0}$,
со слоями, касательными $T^{0,1}X$.}

{\бф \греен Шаг 6:}
Пусть $f$ -- голоморфная функция на
$X^{1,0}$. Тогда $D_x(\pi^* f)=0$ для
любого $x \in T^{0,1}X$. {\бф \purple Поэтому
$d (\pi^* f)$ имеет тип $(1,0)$.}

{\бф \греен Шаг 7:}
Мы получили, что {\бф \ред ограничение $\pi$ на $M\subset X^{1,0}$
голоморфно} {\бф \пурпле (потому что $\pi^* f$ от голоморфной функции
$f$ голоморфен)}. Ядро дифференциала этого отображения
лежит в $TM \cap T^{0,1}X=0$. По теореме об обратной функции,
{\бф \purple $\pi\restrict M:\; M \arrow X^{1,0}$ -- диффеоморфизм.}
\endproof

\newpage

{\bf \blue Связность на расслоении}

\замечание
{\бф \пурпле Пространство сечений расслоения $B$ на гладком
многообразии обозначается $B$.}

\определение
{\бф \блуе Связность} на векторном расслоении $B$
есть отображение $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$
удовлетворяющее $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$
для любых  $b\in B$, $f\in C^\infty M$.

\замечание
Если $X\in TM$ -- векторное поле, $b\in B$, то 
{\бф \пурпле $\nabla_X b$ -- сечение $B$, полученное 
как $\langle\nabla b, X\rangle$.}

\замечание
{\бф \пурпле Связность на $B$ определяет связность на двойственном
расслоении $B^*$, и наоборот,} по формуле
\[ 
  \langle \nabla_X(b), \xi\rangle+ \langle b, \nabla_X(\xi)\rangle
  = \Lie_X(\langle b, \xi\rangle).
\]

\замечание
Для любого тензорного расслоения
${\cal B}_1:=
B^*\otimes B^* \otimes ... \otimes B^* \otimes B\otimes B \otimes ... \otimes B$
{\bf \пурпле связность на $B$ определяет связность на ${\cal B}_1$}
по {\бф \блуе формуле Лейбница:}
\[
\nabla(b_1 \otimes b_2) = \nabla(b_1) \otimes b_2 + b_1 \otimes \nabla(b_2).
\]

\newpage

{\bf \blue Формула Картана}

\утверждение
Для любого $\eta \in \Lambda^1 M$, и $X,Y\in TM$
имеем
{\бф \блуе\[
d\eta(X,Y) = \eta([X,Y])- \Lie_X(\eta(Y))+ \Lie_Y(\eta(X)).
\]}

\доказательство

1. {\бф \пурпле Обе стороны уравнения удовлетворяют правилу Лейбница.}

3. {\бф \пурпле Для  $\eta=df$, обе стороны уравнения равны нулю. }

4. Дифференциал де Рама есть {\бф \ред единственное} отображение
\[ d:\; \Lambda^*(M) \arrow \Lambda^{*+1}(M), \]
удовлетворяющее правилу Лейбница и $d^2=0$.

\newpage

{\bf \blue Кручение}

\определение 
Пусть $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1M$, 
\[ \Lambda^1 \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\]
 {\бф\блуе Кручение $\nabla$} 
задается формулой $\Alt \circ \nabla - d$,
где $\Alt:\;  \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M$
- внешнее умножение. Кручение есть отображение
$T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$.

\замечание
\begin{align*}
T_\nabla(f\eta) = & \Alt(f\nabla\eta + df\otimes \eta) - d(f\eta)\\
= &f\bigg [\Alt(\nabla\eta) - d\eta\bigg] + df\wedge \eta - df\wedge \eta=
f T_\nabla(\eta).
\end{align*}
{\бф \пурпле Значит, $T_\nabla$ линейно.}

\определение
Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется
{\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$,
и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она 
ортогональна и без кручения.

\теорема
("основная теорема дифференциальной геометрии")
Каждое риманово многообразие {\бф \ред 
допускает связность Леви-Чивита, и она единственна.
}

\newpage

{\bf \blue Кручение и коммутатор векторных полей}

\замечание
По формуле Картана,
\begin{align*}
T_\nabla(\eta)(X,Y) = &\nabla_X(\eta)(Y) - \nabla_Y(\eta)(X)-
d\eta(X,Y) \\ =& \nabla_X(\eta)(Y) - \nabla_Y(\eta)(X)
-\eta([X,Y])- \Lie_X(\eta(Y))+ \Lie_Y(\eta(X)).
\end{align*}
С другой стороны,
$\nabla_X(\eta)(Y)= \Lie_X(\eta(Y)) - \eta(\nabla_X(Y))$.
Сравнивая и сокращая $\Lie_X(\eta(Y))$,  $\Lie_Y(\eta(X))$,
получаем
\[
T_\nabla(\eta)(X,Y)=\eta\bigg(\nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]\bigg).
\]
{\бф \ред Кручение часто определяют как отображение
$\Lambda^2 TM \arrow TM$ формулой
$\nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]$.}
{\бф \блуе Это оператор, двойственный определенному выше.}

\замечание
Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение,
$\nabla$ -- связность без кручения, а $\nabla B\subset B\otimes \Lambda^1 M$.
Тогда для любых $b, b' \in B$, имеем 
$[b,b'] = \nabla_b b' - \nabla_b' b\subset B$, 
{\бф \ред значит, $[B,B]\subset B$}.

\следствие
Если связность без кручения сохраняет
оператор почти комплексной структуры, $\nabla(I)=0$,
то $I$ {\бф \ред интегрируемый.}


\newpage

{\bf \blue Кэлеровы многообразия}

\замечание
Пусть $\nabla$ -- связность без кручения.
Тогда {\бф \пурпле из $\nabla \omega=0$ сразу следует $d\omega=0$.}

\теорема
Пусть $(M,I, g)$ -- почти комплексное, эрмитово
многообразие, а $\nabla$ -- связность Леви-Чивита. 
Тогда {\бф \ред равносильны:}

{\бф \блуе (i) $\nabla(I)=0$

(ii) $d\omega=0$, и почти комплексная структура 
$I$ интегрируема.}

\замечание
(i) $\Rightarrow$ (ii) следует из выше доказанного,
потому что $d\omega=\Alt(\nabla\omega)$.  
(ii) $\Rightarrow$ (i) -- {\бф \ред нетривиальная теорема.}

\определение
Почти комплексное, эрмитово
многообразие многообразие $(M,I, g)$
называется {\бф \блуе кэлеровым}, если 
выполнено любое из условий (i), (ii).
Класс когомологий $[\omega]\in H^2(M)$
называется {\бф\блуе кэлеровым классом} $M$.

\определение
{\бф\блуе Симплектическая форма} на многообразии
есть невырожденная, замкнутая 2-форма.

\замечание {\бф \пурпле Кэлерово многообразие всегда 
симплектично.}

\newpage

{\бф \блуе Метрика Фубини-Штуди}

\определение
Пусть $M= \C P^n$ -- комплексное проективное 
пространство, а $g$ -- $U(n+1)$-инвариантная метрика.
Она называется {\бф \блуе метрикой Фубини-Штуди}.

\замечание
Метрику Фубини-Штуди можно получить, взяв произвольную
эрмитову метрику на $\C P^n$ и {\bf \red усреднив по компактной 
группе $U(n+1)$.}

\замечание
Стабилизатор $x\in \C P^n$ в $U(n+1)$ изоморфен
$U(n)$, а $T_x \C P^n$ изоморфно $\C^n$
со стандартным действием $U(n)$. 

\упражнение
Пусть $g$ -- $U(n)$-инвариантная
положительная симметрическая форма на $\C^n$. Тогда {\бф \ред $g$ пропорциональна
обычной евклидовой метрике.}


\следствие
Метрика Фубини-Штуди {\бф \пурпле единственна с точностью до скалярного
множителя.}

\упражнение
Пусть $\eta$ -- $U(n)$-инвариантная 3-форма на $\C^n$.
Докажите, что $\eta=0$.

\следствие
Метрика Фубини-Штуди {\бф \ред кэлерова}.

\newpage

{\бф \блуе Проективные многообразия}

\определение
Замкнутое комплексное подмногообразие $\C P^n$
называется {\бф \блуе проективным}

\теорема
{\бф \ред Проективное многообразие всегда кэлерово.}

\доказательство
Оно комплексно, а эрмитова форма симплектична.


\замечание 
Поскольку $H^2(\C P^n)$ одномерно, {\бф \пурпле можно выбрать
метрику Фубини-Штуди с целочисленным кэлеровым классом.}


\следствие
Проективное многообразие {\бф \пурпле допускает кэлерову
структуру с целочисленным кэлеровым классом.}

\теорема
(Кодаира)
Пусть $M$ -- компактное, кэлерово многообразие
с рациональным кэлеровым классом. {\бф \ред Тогда
$M$ проективно.}

\newpage

{\бф \блуе Классы многообразий}

\vfill

\centerline{\epsfig{file=mflds.png,width=0.9\linewidth}}

\vfill

\end{document}

