\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 3 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексная алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 3: кэлеровы многообразия} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва \\[2mm] 21 февраля 2014 } \end{center} \невпаге {\bf \blue Разложение Ходжа (повторение)} Обозначим за $\Lambda^* V$ грассманову алгебру, порожденную $V$. \упражнение Проверьте, что $\Lambda^*(V \oplus W)$ изоморфно как векторное пространство $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W$. Изоморфизм $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W \arrow \Lambda^*(V \oplus W)$ задается отображением $x\otimes y \arrow x\wedge y$. \определение Пусть $(V,I)$ -- пространство, снабженное комплексной структурой, а $V_\C:= V\otimes_\R \C$ его комплексификация. Тогда $\Lambda^* V_\C \cong (\Lambda^*V^{1,0})\otimes (\Lambda^*V^{0,1})$. Рассмотрим разложение $\Lambda^* V_\C \cong \bigoplus_{p,q}\Lambda^{p,q} V_\C $, где $\Lambda^{p,q} V_\C = \Lambda^pV^{1,0}\bigwedge \Lambda^qV^{0,1}$ Оно называется {\бф \блуе разложением Ходжа}. \замечание Комплексная структура на $V$ {\bf \blue однозначно задает комплексную структуру на $V^*$ (и наоборот). } \невпаге {\bf \blue Почти комплексные многообразия (повторение)} \определение {\бф \блуе Почти комплексная структура} на многообразии $М$ есть оператор $I\in \End TM$ в эндоморфизмах касательного расслоения, удовлетворяющий $I^2=-\Id_{TM}$. \пример Возьмем $\C^n$, с комплексными координатами $z_i = x_i + \1 y_i$. Тогда $I(x_i) = y_i$, $I(y_i) = - x_i$ -- почти комплексная структура. Пусть $(M, I)$ -- почти комплексное многообразие. Обозначим за \[ \Lambda^{*,0}(M):=\bigoplus_p\Lambda^{p,0}(M), \ \ \Lambda^{0,*}(M):=\bigoplus_q\Lambda^{0,q}(M) \] подалгебры в алгебре де Рама, порожденные $\Lambda^{1,0}(M)= (T^*M)^{1,0}$ и $\Lambda^{0,1}(M)= (T^*M)^{0,1}$ соответственно. \определение {\бф \blue Разложение Ходжа} на дифференциальных формах записывается $\Lambda^*(M) = \bigoplus_{p,q} \Lambda^{p,q}(M)$, причем $\Lambda^{p,q}(M) = \Lambda^{p,0}(M) \bigwedge \Lambda^{0,q}(M)$. \newpage {\бф \блуе Комплексные многообразия (повторение)} \определение {\бф \блуе Окольцованное пространство} есть топологическое пространство с заданным на нем пучком колец. \пример {\бф \пурпле Открытый шар $B\subset \C^n$ с пучком $\calo_B$ голоморфных функций является окольцованным пространством.} \определение {\бф \блуе Комплексное многообразие} $(M, \calo_M)$ есть окольцованное пространство, которое локально изоморфно (как окольцованное пространство) открытому шару $(B, \calo_B)$ \замечание Пусть $U_1, U_2$ -- два открытых подмножества в комплексном многообразии, a $f_1, f_2$ -- изоморфизмы $U_1, U_2$ с открытым шаром. Композиция $f_1 f^{-1}_2$ задает изоморфизм окольцованных пространств $f_1(U_1\cap U_2) \arrow f_2(U_1\cap U_2)$. {\бф \пурпле В силу Следствия (*), этот изоморфизм голоморфен.} \следствие Мы получаем, что {\бф \ред комплексное многообразие имеет атлас из открытых подмножеств, которые гомеоморфны открытым шарам в $\C^n$, а функции перехода голоморфны. } \newpage {\бф \блуе Интегрируемость почти комплексных структур (повторение)} \определение Пусть $(M, I)$ -- почти комплексное многообразие, а $\calo_M$ пучок голоморфных функций на нем. Оно называется {\бф \блуе интегрируемым}, если $(M, \calo_M)$ -- комплексное многообразие. \замечание {\бф \ред Почти комплексная структура восстанавливается из комплексной структуры на $M$ следующим образом.} (1) Рассмотрим {\бф \пурпле расслоение $\Lambda^{1,0}(M)\subset \Lambda^1(M, \C)$, порожденное дифференциалами голоморфных функций, } и пусть $\Lambda^{0,1}(M) := \overline{\Lambda^{1,0}(M)}$. (2) Определим $I\in \End(\Lambda^1 M\otimes \C)$ таким образом, что $I\restrict \Lambda^{1,0}(M)=\1$ и $I\restrict \Lambda^{0,1}(M)=-\1$. {\бф \пурпле Очевидно, $I^2 = -\Id$.} (3) Этот эндоморфизм вещественный, поскольку $\bar I=I$ в силу его определения. Поэтому {\бф \пурпле он переводит $\Lambda^1 (M, \R)$ в себя.} Мы получили функтор (строгий, полный) из категории комплексных многообразий в категорию почти комплексных. \определение Почти комплексная структура $I$ на $M$ называется {\бф \блуе интергрируемой}, если $(M,I)$ получено из комплексного многообразия вышеописанным образом. \newpage {\бф \блуе Формальная интегрируемость (повторение)} \упражнение Докажите, что в комплексных координатах $z_1, ..., z_n$ на $\C^n$, {\бф \пурпле голоморфные векторные поля записываются в виде $X= \sum \phi_i \frac d{dz_i}$,} где $\phi_1,..., \phi_n$ -- голоморфные функции. \следствие {\бф \пурпле Голоморфные векторные поля на комплексном многообразии порождают $T^{1,0}M$ над $C^\infty M$.} \следствие На комплексном многообразии, {\бф \ред коммутатор векторных полей типа $(1,0)$ имеет тип $(1,0)$: $[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$.} \определение Почти комплексное многообразие называется {\бф \блуе формально интегрируемым}, если $[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$ \теорема (Newlander-Nirenberg) {\бф \ред Формально интегрируемое почти комплексное многообразие гладкости $C^2$ интегрируемо.} \замечание Я докажу эту теорему {\бф \пурпле для вещественно-аналитических многообразий}. \newpage {\бф \блуе Ве\-ще\-ст\-вен\-но \-ана\-ли\-ти\-чес\-кие многообразия (повторение)} \определение {\бф \блуе Антикомплексной инволюцией} на комплексном многообразии называется непрерывная инволюция $\iota$, $\iota^2=\Id$, переводящая голоморфные функции на $U\subset M$ в антиголоморфные на $\iota(U)$. \упражнение Проверьте, что множество неподвижных точек $X_\iota$ антикомплексной инволюции -- {\бф \пурпле гладкое многообразие, причем $\dim_\R X_\iota = \dim_\C X$.} \утверждение Пусть $X$ -- открытый шар в $\C^n$, снабженный стандартной антикомплексной инволюцией $z\arrow \bar z$, а $\alpha$ -- голоморфный тензор на $X$, который зануляется в $M=X_\iota$. {\bf\purple Тогда $\alpha=0$}. \доказательство Достаточно проверить утверждение, когда $n=1$. Мы получаем такой факт: голоморфная функция, определенная в окрестности отрезка, которая равна нулю на отрезке, зануляется. Это следует из разложения Тэйлора. \endproof \утверждение Пусть $M$ -- вещественно-аналитическое многообразие. Тогда $M$ можно реализовать как множество $X^\tau$ неподвижных точек антикомплексной инволюции $\tau$ в комплексном многообразии $X$. При этом каждый вещественно-аналитический тензор на $M$ однозначно продолжается до голоморфного тензора в небольшой окрестности $X^\tau$. \newpage {\бф \блуе Тензор Ниенхойса (повторение)} \определение Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие, $T^{1,0}\subset TM\otimes \C$ -- подрасслоение векторов типа $(1,0)$, а $[T^{1,0},T^{1,0}] \stackrel N\arrow TM\otimes \C / T^{1,0}$ -- скобка Фробениуса. Отождествив $TM\otimes \C / T^{1,0}$ с $T^{0,1}$, мы представим $N$ как оператор \[ N:\; \Lambda^2(T^{1,0}M) \arrow T^{0,1}M. \] \определение Этот оператор называется {\бф\блуе тензором Ниейхойса} (Nijenhuis tensor). Его можно преставить как сечение $N\in \Lambda^{2,0}M\otimes T^{0,1}M$. \замечание {\бф \пурпле Тензор Ниенхойса вещественно-аналитического многообразия тоже вещественно-аналитичен.} \замечание Теорема Ньюлендера-Ниренберга выводит интегрируемость из $N=0$. \newpage {\бф \блуе Теорема Ньюлендера-Ниренберга (повторение)} \теорема Пусть $(M,I)$ -- ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кое почти комплексное многообразие, причем $[T^{1,0}, T^{1,0}] \subset T^{1,0}$. {\bf \red Тогда почти комплексная структура $I$ интегрируема.} \доказательство Достаточно доказывать утверждение локально. Пусть $M= B_\R$ -- вещественный шар, а $X=B_\C$ -- комплексный шар, снабженный антикомплексной инволюцией, причем $M=X_\iota$. {\бф \греен Шаг 1:} Пусть \[ \Pi^{1,0}:\; TX\restrict M=TM\otimes \C \arrow T^{1,0}M\subset TX\restrict M \] -- естественная проекция вдоль $T^{0,1}$. Продолжим $\Pi^{1,0}$ до голоморфного тензора на $X$ (если не продолжается, заменим $X$ на меньшую окрестность $M\subset X$). Сделаем то же самое с $\Pi^{1,0}$. {\bf \purple Получим разложение $TX\restrict M = \im \Pi^{1,0}\oplus \im \Pi^{0,1}$.} Обозначим $T^{1,0}X:=\im \Pi^{1,0}$, $T^{0,1}X:=\im\Pi^{0,1}$. {\бф \греен Шаг 2:} Перейдя к меньшей окрестности, если нужно, можно считать, что {\bf \purple разложение $TX=T^{1,0}X \oplus T^{0,1}X$ определено на всем $X$ и голоморфно.} \newpage {\бф \блуе Теорема Ньюлендера-Ниренберга (2)} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $\alpha$ -- голоморфный тензор на $X$, который зануляется в $M=X_\iota$. {\bf\purple Тогда $\alpha=0$} (теорема об аналитическом продолжении). {\бф \греен Шаг 4:} Тензор Фробениуса $\Phi$ для $T^{1,0}X\subset TX$, ограниченный на $M=X_\iota$, дает тензор Ниенхойса. В силу шага 3, $\Phi=0$. {\бф \греен Шаг 5:} По теореме Фробениуса, локально по $X$ {\бф \purple существует голоморфная субмерсия $\pi:\; X \arrow X^{1,0}$, со слоями, касательными $T^{0,1}X$.} {\бф \греен Шаг 6:} Пусть $f$ -- голоморфная функция на $X^{1,0}$. Тогда $D_x(\pi^* f)=0$ для любого $x \in T^{0,1}X$. {\бф \purple Поэтому $d (\pi^* f)$ имеет тип $(1,0)$.} {\бф \греен Шаг 7:} Мы получили, что {\бф \ред ограничение $\pi$ на $M\subset X^{1,0}$ голоморфно} {\бф \пурпле (потому что $\pi^* f$ от голоморфной функции $f$ голоморфен)}. Ядро дифференциала этого отображения лежит в $TM \cap T^{0,1}X=0$. По теореме об обратной функции, {\бф \purple $\pi\restrict M:\; M \arrow X^{1,0}$ -- диффеоморфизм.} \endproof \newpage {\bf \blue Связность на расслоении} \замечание {\бф \пурпле Пространство сечений расслоения $B$ на гладком многообразии обозначается $B$.} \определение {\бф \блуе Связность} на векторном расслоении $B$ есть отображение $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$ удовлетворяющее $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$ для любых $b\in B$, $f\in C^\infty M$. \замечание Если $X\in TM$ -- векторное поле, $b\in B$, то {\бф \пурпле $\nabla_X b$ -- сечение $B$, полученное как $\langle\nabla b, X\rangle$.} \замечание {\бф \пурпле Связность на $B$ определяет связность на двойственном расслоении $B^*$, и наоборот,} по формуле \[ \langle \nabla_X(b), \xi\rangle+ \langle b, \nabla_X(\xi)\rangle = \Lie_X(\langle b, \xi\rangle). \] \замечание Для любого тензорного расслоения ${\cal B}_1:= B^*\otimes B^* \otimes ... \otimes B^* \otimes B\otimes B \otimes ... \otimes B$ {\bf \пурпле связность на $B$ определяет связность на ${\cal B}_1$} по {\бф \блуе формуле Лейбница:} \[ \nabla(b_1 \otimes b_2) = \nabla(b_1) \otimes b_2 + b_1 \otimes \nabla(b_2). \] \newpage {\bf \blue Формула Картана} \утверждение Для любого $\eta \in \Lambda^1 M$, и $X,Y\in TM$ имеем {\бф \блуе\[ d\eta(X,Y) = \eta([X,Y])- \Lie_X(\eta(Y))+ \Lie_Y(\eta(X)). \]} \доказательство 1. {\бф \пурпле Обе стороны уравнения удовлетворяют правилу Лейбница.} 3. {\бф \пурпле Для $\eta=df$, обе стороны уравнения равны нулю. } 4. Дифференциал де Рама есть {\бф \ред единственное} отображение \[ d:\; \Lambda^*(M) \arrow \Lambda^{*+1}(M), \] удовлетворяющее правилу Лейбница и $d^2=0$. \newpage {\bf \blue Кручение} \определение Пусть $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1M$, \[ \Lambda^1 \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\] {\бф\блуе Кручение $\nabla$} задается формулой $\Alt \circ \nabla - d$, где $\Alt:\; \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M$ - внешнее умножение. Кручение есть отображение $T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$. \замечание \begin{align*} T_\nabla(f\eta) = & \Alt(f\nabla\eta + df\otimes \eta) - d(f\eta)\\ = &f\bigg [\Alt(\nabla\eta) - d\eta\bigg] + df\wedge \eta - df\wedge \eta= f T_\nabla(\eta). \end{align*} {\бф \пурпле Значит, $T_\nabla$ линейно.} \определение Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется {\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$, и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она ортогональна и без кручения. \теорема ("основная теорема дифференциальной геометрии") Каждое риманово многообразие {\бф \ред допускает связность Леви-Чивита, и она единственна. } \newpage {\bf \blue Кручение и коммутатор векторных полей} \замечание По формуле Картана, \begin{align*} T_\nabla(\eta)(X,Y) = &\nabla_X(\eta)(Y) - \nabla_Y(\eta)(X)- d\eta(X,Y) \\ =& \nabla_X(\eta)(Y) - \nabla_Y(\eta)(X) -\eta([X,Y])- \Lie_X(\eta(Y))+ \Lie_Y(\eta(X)). \end{align*} С другой стороны, $\nabla_X(\eta)(Y)= \Lie_X(\eta(Y)) - \eta(\nabla_X(Y))$. Сравнивая и сокращая $\Lie_X(\eta(Y))$, $\Lie_Y(\eta(X))$, получаем \[ T_\nabla(\eta)(X,Y)=\eta\bigg(\nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]\bigg). \] {\бф \ред Кручение часто определяют как отображение $\Lambda^2 TM \arrow TM$ формулой $\nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]$.} {\бф \блуе Это оператор, двойственный определенному выше.} \замечание Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение, $\nabla$ -- связность без кручения, а $\nabla B\subset B\otimes \Lambda^1 M$. Тогда для любых $b, b' \in B$, имеем $[b,b'] = \nabla_b b' - \nabla_b' b\subset B$, {\бф \ред значит, $[B,B]\subset B$}. \следствие Если связность без кручения сохраняет оператор почти комплексной структуры, $\nabla(I)=0$, то $I$ {\бф \ред интегрируемый.} \newpage {\bf \blue Кэлеровы многообразия} \замечание Пусть $\nabla$ -- связность без кручения. Тогда {\бф \пурпле из $\nabla \omega=0$ сразу следует $d\omega=0$.} \теорема Пусть $(M,I, g)$ -- почти комплексное, эрмитово многообразие, а $\nabla$ -- связность Леви-Чивита. Тогда {\бф \ред равносильны:} {\бф \блуе (i) $\nabla(I)=0$ (ii) $d\omega=0$, и почти комплексная структура $I$ интегрируема.} \замечание (i) $\Rightarrow$ (ii) следует из выше доказанного, потому что $d\omega=\Alt(\nabla\omega)$. (ii) $\Rightarrow$ (i) -- {\бф \ред нетривиальная теорема.} \определение Почти комплексное, эрмитово многообразие многообразие $(M,I, g)$ называется {\бф \блуе кэлеровым}, если выполнено любое из условий (i), (ii). Класс когомологий $[\omega]\in H^2(M)$ называется {\бф\блуе кэлеровым классом} $M$. \определение {\бф\блуе Симплектическая форма} на многообразии есть невырожденная, замкнутая 2-форма. \замечание {\бф \пурпле Кэлерово многообразие всегда симплектично.} \newpage {\бф \блуе Метрика Фубини-Штуди} \определение Пусть $M= \C P^n$ -- комплексное проективное пространство, а $g$ -- $U(n+1)$-инвариантная метрика. Она называется {\бф \блуе метрикой Фубини-Штуди}. \замечание Метрику Фубини-Штуди можно получить, взяв произвольную эрмитову метрику на $\C P^n$ и {\bf \red усреднив по компактной группе $U(n+1)$.} \замечание Стабилизатор $x\in \C P^n$ в $U(n+1)$ изоморфен $U(n)$, а $T_x \C P^n$ изоморфно $\C^n$ со стандартным действием $U(n)$. \упражнение Пусть $g$ -- $U(n)$-инвариантная положительная симметрическая форма на $\C^n$. Тогда {\бф \ред $g$ пропорциональна обычной евклидовой метрике.} \следствие Метрика Фубини-Штуди {\бф \пурпле единственна с точностью до скалярного множителя.} \упражнение Пусть $\eta$ -- $U(n)$-инвариантная 3-форма на $\C^n$. Докажите, что $\eta=0$. \следствие Метрика Фубини-Штуди {\бф \ред кэлерова}. \newpage {\бф \блуе Проективные многообразия} \определение Замкнутое комплексное подмногообразие $\C P^n$ называется {\бф \блуе проективным} \теорема {\бф \ред Проективное многообразие всегда кэлерово.} \доказательство Оно комплексно, а эрмитова форма симплектична. \замечание Поскольку $H^2(\C P^n)$ одномерно, {\бф \пурпле можно выбрать метрику Фубини-Штуди с целочисленным кэлеровым классом.} \следствие Проективное многообразие {\бф \пурпле допускает кэлерову структуру с целочисленным кэлеровым классом.} \теорема (Кодаира) Пусть $M$ -- компактное, кэлерово многообразие с рациональным кэлеровым классом. {\бф \ред Тогда $M$ проективно.} \newpage {\бф \блуе Классы многообразий} \vfill \centerline{\epsfig{file=mflds.png,width=0.9\linewidth}} \vfill \end{document}