\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 2 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексная алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 2} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва \\[2mm] 14 февраля 2014 } \end{center} \newpage {\бф \блуе Комплексные структуры (повторение)} \определение {\бф \блуе Комплексной структурой} на вещественном векторном пространстве $V$ называется эндоморфизм $I\in \End(V)$, удовлетворяющий $I^2=-\Id_V$. \замечание Все собственные значения $I$ простые (то есть $I$ {\бф \ред полупрост}, другими словами, диагонализуется). Поскольку $I^2=-1$, собственные значения равны $\pm \1$. \определение {\бф \блуе Собственное пространство $I$, соответствующее $\1$, обозначается $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$, а соответствующее $-\1$ обозначается $V^{0,1}$.} Очевидно, $V\otimes_\R \C=V^{1,0}\oplus V^{0,1}$. \замечание Поскольку, к тому же, $I$ вещественный, получаем, что $\overline{V^{1,0}} = V^{0,1}$. {\бф \пурпле В частности, это пространства одинаковой размерности.} \упражнение Докажите, что оператор комплексной структуры {\бф \ред однозначно задается подпространством $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$ половинной размерности,} которое не пересекается с $V\subset V\otimes_\R \C$. \невпаге {\bf \blue Разложение Ходжа (повторение)} Обозначим за $\Lambda^* V$ грассманову алгебру, порожденную $V$. \упражнение Проверьте, что $\Lambda^*(V \oplus W)$ изоморфно как векторное пространство $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W$. Изоморфизм $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W \arrow \Lambda^*(V \oplus W)$ задается отображением $x\otimes y \arrow x\wedge y$. \определение Пусть $(V,I)$ -- пространство, снабженное комплексной структурой, а $V_\C:= V\otimes_\R \C$ его комплексификация. Тогда $\Lambda^* V_\C \cong (\Lambda^*V^{1,0})\otimes (\Lambda^*V^{0,1})$. Рассмотрим разложение $\Lambda^* V_\C \cong \bigoplus_{p,q}\Lambda^{p,q} V_\C $, где $\Lambda^{p,q} V_\C = \Lambda^pV^{1,0}\bigwedge \Lambda^qV^{0,1}$ Оно называется {\бф \блуе разложением Ходжа}. \замечание Комплексная структура на $V$ {\bf \blue однозначно задает комплексную структуру на $V^*$ (и наоборот). } \невпаге {\bf \blue Почти комплексные многообразия (повторение)} \определение {\бф \блуе Почти комплексная структура} на многообразии $М$ есть оператор $I\in \End TM$ в эндоморфизмах касательного расслоения, удовлетворяющий $I^2=-\Id_{TM}$. \пример Возьмем $\C^n$, с комплексными координатами $z_i = x_i + \1 y_i$. Тогда $I(x_i) = y_i$, $I(y_i) = - x_i$ -- почти комплексная структура. Пусть $(M, I)$ -- почти комплексное многообразие. Обозначим за \[ \Lambda^{*,0}(M):=\bigoplus_p\Lambda^{p,0}(M), \ \ \Lambda^{0,*}(M):=\bigoplus_q\Lambda^{0,q}(M) \] подалгебры в алгебре де Рама, порожденные $\Lambda^{1,0}(M)= (T^*M)^{1,0}$ и $\Lambda^{0,1}(M)= (T^*M)^{0,1}$ соответственно. \определение {\бф \blue Разложение Ходжа} на дифференциальных формах записывается $\Lambda^*(M) = \bigoplus_{p,q} \Lambda^{p,q}(M)$, причем $\Lambda^{p,q}(M) = \Lambda^{p,0}(M) \bigwedge \Lambda^{0,q}(M)$. \newpage {\бф \блуе Голоморфные отображения (повторение)} \определение Функция $f:\; M \arrow \C$ на почти комплексном многообразии называется {\бф\блуе голоморфной}, если $df \in \Lambda^{1,0}(M)$. \теорема Пусть $f:\; M \arrow \C$ -- дифференцируемая функция на открытом подмножестве $M\subset \C^n$, с естественной комплексной структурой. {\bf \blue Тогда следующие свойства $f$ равносильны.}\\ \ \ (1) {\bf \пурпле $f$ голоморфна} (в смысле вышеприведенного определения)\\ \ \ (2) Дифференциал $Df\in TM^* \otimes_\R \C$ рассматриваемый как $\C$-значная функция на $T_x M = T_x \C^n$, {\bf \пурпле является $\C$-линейным.}\\ \ \ (3) Для каждой комплексной аффинной прямой $L\subset \C^n$, ограничение $f\restrict L$ {\bf \пурпле голоморфно как функция одного переменного}\\ \ \ (4) $f$ {\bf \пурпле разлагается в ряд Тэйлора} по комплексным координатам в окрестности каждой точки $x\in M$. \определение Пусть $(M, I_M)$ и $(N, I_N)$ -- почти комплексные многообразия, а $f:\; M \arrow N$ -- гладкое отображение. Оно называется {\бф\блуе голоморфным}, если $f^*(\Lambda^{1,0}(N))\subset \Lambda^{1,0}(M)$. \следствие (*) Пусть заданы открытые подмножества $M\subset \C^m, N \subset \C^n$, а $f:\; M \arrow N$ -- гладкое отображение. Предположим, что для любой голоморфной функции на $N$, соответствующая функция $f^* \phi$ голоморфна на $M$. {\бф \ред Тогда $f$ -- голоморфное отображение}. \newpage {\бф \блуе Комплексные многообразия (повторение)} \определение {\бф \блуе Окольцованное пространство} есть топологическое пространство с заданным на нем пучком колец. \пример {\бф \пурпле Открытый шар $B\subset \C^n$ с пучком $\calo_B$ голоморфных функций является окольцованным пространством.} \определение {\бф \блуе Комплексное многообразие} $(M, \calo_M)$ есть окольцованное пространство, которое локально изоморфно (как окольцованное пространство) открытому шару $(B, \calo_B)$ \замечание Пусть $U_1, U_2$ -- два открытых подмножества в комплексном многообразии, a $f_1, f_2$ -- изоморфизмы $U_1, U_2$ с открытым шаром. Композиция $f_1 f^{-1}_2$ задает изоморфизм окольцованных пространств $f_1(U_1\cap U_2) \arrow f_2(U_1\cap U_2)$. {\бф \пурпле В силу Следствия (*), этот изоморфизм голоморфен.} \следствие Мы получаем, что {\бф \ред комплексное многообразие имеет атлас из открытых подмножеств, которые гомеоморфны открытым шарам в $\C^n$, а функции перехода голоморфны. } \newpage {\бф \блуе Интегрируемость почти комплексных структур (повторение)} \определение Пусть $(M, I)$ -- почти комплексное многообразие, а $\calo_M$ пучок голоморфных функций на нем. Оно называется {\бф \блуе интегрируемым}, если $(M, \calo_M)$ -- комплексное многообразие. \замечание {\бф \ред Почти комплексная структура восстанавливается из комплексной структуры на $M$ следующим образом.} (1) Рассмотрим {\бф \пурпле расслоение $\Lambda^{1,0}(M)\subset \Lambda^1(M, \C)$, порожденное дифференциалами голоморфных функций, } и пусть $\Lambda^{0,1}(M) := \overline{\Lambda^{1,0}(M)}$. (2) Определим $I\in \End(\Lambda^1 M\otimes \C)$ таким образом, что $I\restrict \Lambda^{1,0}(M)=\1$ и $I\restrict \Lambda^{0,1}(M)=-\1$. {\бф \пурпле Очевидно, $I^2 = -\Id$.} (3) Этот эндоморфизм вещественный, поскольку $\bar I=I$ в силу его определения. Поэтому {\бф \пурпле он переводит $\Lambda^1 (M, \R)$ в себя.} Мы получили функтор (строгий, полный) из категории комплексных многообразий в категорию почти комплексных. \определение Почти комплексная структура $I$ на $M$ называется {\бф \блуе интергрируемой}, если $(M,I)$ получено из комплексного многообразия вышеописанным образом. \newpage {\бф \блуе Формальная интегрируемость (повторение)} \упражнение Докажите, что в комплексных координатах $z_1, ..., z_n$ на $\C^n$, {\бф \пурпле голоморфные векторные поля записываются в виде $X= \sum \phi_i \frac d{dz_i}$,} где $\phi_1,..., \phi_n$ -- голоморфные функции. \следствие {\бф \пурпле Голоморфные векторные поля на комплексном многообразии порождают $T^{1,0}M$ над $C^\infty M$.} \следствие На комплексном многообразии, {\бф \ред коммутатор векторных полей типа $(1,0)$ имеет тип $(1,0)$: $[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$.} \определение Почти комплексное многообразие называется {\бф \блуе формально интегрируемым}, если $[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$ \теорема (Newlander-Nirenberg) {\бф \ред Формально интегрируемое почти комплексное многообразие гладкости $C^2$ интегрируемо.} \замечание Я докажу эту теорему {\бф \пурпле для вещественно-аналитических многообразий}. \newpage {\бф \блуе Распределения} \определение {\бф \блуе Распределение} на гладком многообразии $М$ есть гладкое подрасслоение $B\subset TM$. \замечание Пусть $\Pi:\; TM \arrow TM/ B$ -- проекция, а $x,y \in B$ -- векторные поля. Тогда $[fx, y]= f[x,y] - D_y (f) x$. Следовательно,. {\бф \пурпле $\Pi([x,y])$ зависит от $x,y$ $C^\infty(M)$-линейно.} \определение Построенное отображение $[B,B]\arrow TM/B$ называется {\бф \блуе форма Фробениуса} ("Frobenius bracket"); это косо-симметричная $C^\infty(M)$-линейная 2-форма на $B$. \определение Распределение называется {\бф \блуе интегрируемым}, или же {\бф \блуе инволютивным}, если его форма Фробениуса равна нулю. \newpage {\бф \блуе Гладкие субмерсии} \определение Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкое отображение. Оно называется {\бф\блуе субмерсией}, если в каждой точке $M$ дифференциал $D\pi$ сюрьективен. \утверждение Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкая субмерсия. Тогда у каждой точки $m\in M$ есть окрестность $U\cong V\times W$, где $U,W$ -- гладкие многообразия, такая, что {\бф \ред $\pi \restrict U$ есть проекция на $W$.} {\бф \греен Доказательство:} Теорема о неявной функции. \упражнение ("Ehresmann's fibration theorem")\\ Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкая субмерсия компактных многообразий. {\бф \пурпле Докажите, что это локально тривиальное расслоение.} \определение {\бф\блуе Вертикальное касательное пространство} субмерсии есть ядро $D\pi$. \утверждение {\бф \ред Это инволютивное подрасслоение.} {\бф \греен Доказательство:} Коммутатор перестановочен с проекцией потому что. \замечание Вертикальное подрасслоение обозначается $T_\pi M$. \newpage {\бф \блуе Теорема Фробениуса} {\бф \греен Теорема Фробениуса:} Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение. Оно {\бф \purple является инволютивным тогда и только тогда}, когда у каждой точки $x\in M$ {\бф \purple есть окрестность $U$ и гладкая субмерсия $U\stackrel \pi \arrow V$ такая, что $B$ есть вертикальное касательное подрасслоение:} $B = T_\pi M$. \замечание Слои $\pi$ называются {\бф \блуе листами}, или {\бф \блуе интегральными подмногообразиями} распределения $B$. Если $B$ интегрируема, совокупность всех листов (а также само $B$) называют {\бф \блуе слоением}. \замечание Для доказательства теоремы Фробениуса {\бф \пурпле достаточно убедиться, что через каждую точку проходит интегральное подмногообразие.} В этом случае, гладкая субмерсия $U\stackrel \pi \arrow V$ -- это проекция на пространство листов слоения. \newpage {\бф \блуе Ве\-ще\-ст\-вен\-но \-ана\-ли\-ти\-чес\-кие многообразия} \определение {\бф \блуе Антиголоморфная функция} есть функция $f$ такая, что $\bar f$ голоморфна. \определение {\бф \блуе Антикомплексной инволюцией} на комплексном многообразии называется непрерывная инволюция $\iota$, $\iota^2=\Id$, переводящая голоморфные функции на $U\subset M$ в антиголоморфные на $\iota(U)$. \упражнение Проверьте, что множество неподвижных точек $X_\iota$ антикомплексной инволюции -- {\бф \пурпле гладкое многообразие, причем $\dim_\R X_\iota = \dim_\C X$.} \определение Пусть $Y\subset X$ -- замкнутое множество в комплексном многообразии, и $X'\supset Y'$ многообразие, которое содержит замкнутое множество, гомеоморфное $Y$. Если гомеоморфизм $Y\arrow Y'$ продолжается до голоморфного диффеоморфизма их окрестностей, мы пишем $X\sim_Y X'$. \утверждение {\бф \пурпле Это отношение эквивалентности.} \определение {\бф \блуе Ростком} $X$ в $Y$ называется класс эквивалентности $X$ относительно $\sim_Y$. \newpage {\бф \блуе Ве\-ще\-ст\-вен\-но \-ана\-ли\-ти\-чес\-кие многообразия (2)} \определение Функция на открытом подмножестве $\R^n$ называется {\бф \блуе ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кой}, если она разлагается в ряд Тэйлора в окрестности каждой точки. {\бф \греен Определение 1:} Пусть задано комплексное многообразие, снабженное антикомплексной инволюцией, и $X_\iota$ -- ее неподвижное множество. Тогда росток $X$ в $X_\iota$ называется {\бф \блуе ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кое многообразие}. {\бф \греен Определение 2:} Пусть $M$ -- окольцованное пространство, локально изоморфное $(B,\calo_B)$, где $B\subset \R^n$ -- открытый шар, а $\calo_B$ -- пучок ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-ких функций. Тогда $M$ называется {\бф \блуе ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кое многообразие}. \замечание Вещественно-аналитические тензоры на $X_\iota$ {\бф \пурпле продолжаются до голоморфных, $\iota$-инвариантных тензоров в какой-то окрестности $X_\iota\subset X$.} \newpage {\бф \блуе Ве\-ще\-ст\-вен\-но \-ана\-ли\-ти\-чес\-кие многообразия (3)} \теорема {\бф \ред Эти определения эквивалентны.} {\бф \греен (1) $\Rightarrow$ (2):} Пусть $U_\iota\subset X_\iota$ -- открытое множество. Возьмем в качестве $\calo_{X_\iota}$ пучок, порожденный $f_i$, где $f_i$ -- $\iota$-инвариантные голоморфные функции в открытом множестве $U\supset U_\iota$. Каждая такая функция ве\-ще\-ст\-вен\-но-аналитична в $U$, значит, {\бф \пурпле ее ограничение на открытые вещественные шары, содержащиеся в $U_\iota$, тоже ве\-ще\-ст\-вен\-но-аналитично.} {\бф \греен (2) $\Rightarrow$ (1):} Возьмем покрытие $M$ открытыми шарами $B_\R\subset \R^n$, такое, что все функции перехода $\phi_{ij}$ ве\-ще\-ст\-вен\-но-аналитичны. Ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кая функция $\phi_{ij}$ на $B_\R$ продолжается до голоморфной $\phi_{ij}^\C$ в некоторой окрестности $B_\R$ в $\C^n \supset \R^n$. Пусть $X^i$ - такие окрестности этих шаров в $\C^n$, что все $\phi_{ij}^\C$ определны в $X_i$. {\bf \red Они задают атлас на многообразии, полученном из $X^i$ склейкой по $\phi_{ij}^\C$.} Уравнение коцикла $\phi_{ij}\phi{jk}=\phi_{ik}$ {\бф \пурпле следует из теоремы об аналитическом продолжении.} \endproof \newpage {\бф \блуе Теорема об аналитическом продолжении} \утверждение Пусть $X$ -- открытый шар в $\C^n$, снабженный стандартной антикомплексной инволюцией $z\arrow \bar z$, а $\alpha$ -- голоморфный тензор на $X$, который зануляется в $M=X_\iota$. {\bf\purple Тогда $\alpha=0$}. \доказательство Достаточно проверить утверждение, когда $n=1$. Мы получаем такой факт: голоморфная функция, определенная в окрестности отрезка, которая равна нулю на отрезке, зануляется. Это следует из разложения Тэйлора. \endproof \newpage {\бф \блуе Тензор Ниенхойса} \определение Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие, $T^{1,0}\subset TM\otimes \C$ -- подрасслоение векторов типа $(1,0)$, а $[T^{1,0},T^{1,0}] \stackrel N\arrow TM\otimes \C / T^{1,0}$ -- скобка Фробениуса. Отождествив $TM\otimes \C / T^{1,0}$ с $T^{0,1}$, мы представим $N$ как оператор \[ N:\; \Lambda^2(T^{1,0}M) \arrow T^{0,1}M. \] \определение Этот оператор называется {\бф\блуе тензором Ниейхойса} (Nijenhuis tensor). Его можно преставить как сечение $N\in \Lambda^{2,0}M\otimes T^{0,1}M$. \замечание {\бф \пурпле Тензор Ниенхойса вещественно-аналитического многообразия тоже вещественно-аналитичен.} \замечание Теорема Ньюлендера-Ниренберга выводит интегрируемость из $N=0$. \newpage {\бф \блуе Теорема Ньюлендера-Ниренберга} \теорема Пусть $(M,I)$ -- ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кое почти комплексное многообразие, причем $[T^{1,0}, T^{1,0}] \subset T^{1,0}$. {\bf \red Тогда почти комплексная структура $I$ интегрируема.} \доказательство Достаточно доказывать утверждение локально. Пусть $M= B_\R$ -- вещественный шар, а $X=B_\C$ -- комплексный шар, снабженный антикомплексной инволюцией, причем $M=X_\iota$. {\бф \греен Шаг 1:} Пусть \[ \Pi^{1,0}:\; TX\restrict M=TM\otimes \C \arrow T^{1,0}M\subset TX\restrict M \] -- естественная проекция вдоль $T^{0,1}$. Продолжим $\Pi^{1,0}$ до голоморфного тензора на $X$ (если не продолжается, заменим $M$ и $X$ на меньшую окрестность). Сделаем то же самое с $\Pi^{1,0}$. {\bf \purple Получим разложение $TX\restrict M = \im \Pi^{1,0}\oplus \im \Pi^{0,1}$.} Обозначим $T^{1,0}X:=\im \Pi^{1,0}$, $T^{0,1}X:=\im\Pi^{0,1}$. {\бф \греен Шаг 2:} Перейдя к меньшей окрестности, если нужно, можно считать, что {\bf \purple разложение $TX=T^{1,0}X \oplus T^{0,1}X$ определено на всем $X$ и голоморфно.} \newpage {\бф \блуе Теорема Ньюлендера-Ниренберга (2)} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $\alpha$ -- голоморфный тензор на $X$, который зануляется в $M=X_\iota$. {\bf\purple Тогда $\alpha=0$} (теорема об аналитическом продолжении). {\бф \греен Шаг 4:} Тензор Фробениуса $\Phi$ для $T^{1,0}X\subset TX$, ограниченный на $M=X_\iota$, дает тензор Ниенхойса. В силу шага 3, $\Phi=0$. {\бф \греен Шаг 5:} По теореме Фробениуса, локально по $X$ {\бф \purple существует голоморфная субмерсия $\pi:\; X \arrow X^{1,0}$, со слоями, касательными $T^{0,1}X$.} {\бф \греен Шаг 6:} Пусть $f$ -- голоморфная функция на $X^{1,0}$. Тогда $D_x(\pi^* f)=0$ для любого $x \in T^{0,1}X$. {\бф \purple Поэтому $d (\pi^* f)$ имеет тип $(1,0)$.} {\бф \греен Шаг 7:} Мы получили, что {\бф \ред ограничение $\pi$ на $M\subset X^{1,0}$ голоморфно} {\бф \пурпле (потому что $\pi^* f$ от голоморфной функции $f$ голоморфен)}. Ядро дифференциала этого отображения лежит в $TM \cap T^{0,1}X=0$. По теореме об обратной функции, {\бф \purple $\pi\restrict M:\; M \arrow X^{1,0}$ -- диффеоморфизм.} \endproof %Предположим, что %тензор $I\in \End(TM)$ продолжается до голоморфного, %$\iota$-инвариантного тензора $I_\C \in \End(TX)$ %(если не продолжается, заменим $M$ на меньшую %окрестность). Поскольку $I_\C^2 = - \Id$ на %$M$, это соотношение выполняется на всем %$X$ (в силу шага 1). \end{document}