\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 2 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексная алгебраическая геометрия, \\[15mm]
\small лекция 2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва
\\[2mm] 14 февраля 2014
}
\end{center}



\newpage

{\бф \блуе Комплексные структуры (повторение)}

\определение 
{\бф \блуе Комплексной структурой} на вещественном векторном
пространстве $V$ называется эндоморфизм
$I\in \End(V)$, удовлетворяющий $I^2=-\Id_V$. 


\замечание
Все собственные значения $I$ простые (то есть
$I$ {\бф \ред полупрост}, другими словами,
диагонализуется). Поскольку $I^2=-1$, 
собственные значения равны $\pm \1$.


\определение
{\бф \блуе Собственное пространство $I$, соответствующее $\1$,
обозначается $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$, а соответствующее $-\1$
обозначается $V^{0,1}$.} Очевидно, $V\otimes_\R \C=V^{1,0}\oplus V^{0,1}$.

\замечание 
Поскольку, к тому же, $I$ вещественный, получаем,
что $\overline{V^{1,0}} = V^{0,1}$. 
{\бф \пурпле В частности, это пространства одинаковой размерности.}


\упражнение
Докажите, что оператор комплексной структуры
{\бф \ред однозначно задается подпространством
$V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$
половинной размерности,} которое не
пересекается с $V\subset V\otimes_\R \C$.

\невпаге

{\bf \blue Разложение Ходжа (повторение)}

Обозначим за $\Lambda^* V$ грассманову алгебру,
порожденную $V$. 

\упражнение 
Проверьте, что $\Lambda^*(V \oplus W)$ изоморфно
как векторное пространство $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W$.
Изоморфизм $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W \arrow \Lambda^*(V \oplus W)$ 
задается отображением $x\otimes y \arrow x\wedge y$.

\определение
Пусть $(V,I)$ -- пространство, снабженное комплексной структурой,
а $V_\C:= V\otimes_\R \C$ его комплексификация. Тогда
$\Lambda^* V_\C \cong (\Lambda^*V^{1,0})\otimes (\Lambda^*V^{0,1})$.
Рассмотрим разложение
$\Lambda^* V_\C \cong \bigoplus_{p,q}\Lambda^{p,q} V_\C $,
где $\Lambda^{p,q} V_\C = \Lambda^pV^{1,0}\bigwedge \Lambda^qV^{0,1}$
Оно называется {\бф \блуе разложением Ходжа}.

\замечание
Комплексная структура на $V$ {\bf \blue однозначно задает комплексную
структуру на $V^*$ (и наоборот). }

\невпаге

{\bf \blue Почти комплексные многообразия (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Почти комплексная структура} на многообразии $М$
есть оператор $I\in \End TM$ в эндоморфизмах касательного
расслоения, удовлетворяющий $I^2=-\Id_{TM}$. 

\пример
Возьмем $\C^n$, с комплексными координатами $z_i = x_i + \1 y_i$.
Тогда $I(x_i) = y_i$, $I(y_i) = - x_i$ -- почти
комплексная структура.



Пусть $(M, I)$ -- почти комплексное многообразие.
Обозначим за
\[ \Lambda^{*,0}(M):=\bigoplus_p\Lambda^{p,0}(M), \ \ 
\Lambda^{0,*}(M):=\bigoplus_q\Lambda^{0,q}(M)
\] подалгебры
в алгебре де Рама, порожденные $\Lambda^{1,0}(M)= (T^*M)^{1,0}$
и $\Lambda^{0,1}(M)= (T^*M)^{0,1}$ соответственно.

\определение
{\бф \blue Разложение Ходжа} на дифференциальных
формах записывается $\Lambda^*(M) = \bigoplus_{p,q} \Lambda^{p,q}(M)$,
причем $\Lambda^{p,q}(M) = \Lambda^{p,0}(M) \bigwedge
\Lambda^{0,q}(M)$.


\newpage

{\бф \блуе Голоморфные отображения (повторение)}


\определение
Функция $f:\; M \arrow \C$ на
почти комплексном многообразии называется
{\бф\блуе голоморфной}, если $df \in \Lambda^{1,0}(M)$.


\теорема
Пусть $f:\; M \arrow \C$  -- дифференцируемая
функция на открытом подмножестве
$M\subset \C^n$, с естественной комплексной
структурой. {\bf \blue Тогда следующие
свойства $f$ равносильны.}\\
\ \ (1) {\bf \пурпле $f$ голоморфна} (в смысле вышеприведенного
определения)\\
\ \ (2) Дифференциал $Df\in TM^* \otimes_\R \C$
рассматриваемый как $\C$-значная функция на 
$T_x M = T_x \C^n$, {\bf \пурпле является $\C$-линейным.}\\
\ \  (3) Для каждой комплексной аффинной прямой $L\subset \C^n$,
ограничение $f\restrict L$ {\bf \пурпле голоморфно как функция одного переменного}\\
\ \ (4) $f$ {\bf \пурпле разлагается в ряд Тэйлора} по комплексным
координатам в окрестности каждой точки $x\in M$.


\определение
Пусть $(M, I_M)$ и $(N, I_N)$ -- почти комплексные
многообразия, а $f:\; M \arrow N$ -- гладкое
отображение. Оно называется {\бф\блуе голоморфным},
если $f^*(\Lambda^{1,0}(N))\subset \Lambda^{1,0}(M)$.



\следствие (*)
Пусть заданы открытые подмножества
$M\subset \C^m, N \subset \C^n$, а $f:\; M \arrow N$ --
гладкое отображение. Предположим, что для любой
голоморфной функции на $N$, соответствующая
функция $f^* \phi$ голоморфна на $M$.
{\бф \ред Тогда $f$ -- голоморфное отображение}.


\newpage

{\бф \блуе Комплексные многообразия (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Окольцованное пространство} есть 
топологическое пространство с заданным на нем пучком колец.

\пример 
{\бф \пурпле Открытый шар $B\subset \C^n$ с пучком $\calo_B$
голоморфных функций является окольцованным пространством.}


\определение
{\бф \блуе Комплексное многообразие} $(M, \calo_M)$ есть окольцованное
пространство, которое локально изоморфно (как
окольцованное пространство) открытому шару 
$(B, \calo_B)$

\замечание
Пусть $U_1, U_2$ -- два открытых подмножества
в комплексном многообразии, a $f_1, f_2$ -- изоморфизмы
$U_1, U_2$ с открытым шаром. Композиция $f_1 f^{-1}_2$
задает изоморфизм окольцованных пространств
$f_1(U_1\cap U_2) \arrow f_2(U_1\cap U_2)$.
{\бф \пурпле В силу Следствия (*), этот изоморфизм
голоморфен.} 

\следствие
Мы получаем, что {\бф \ред комплексное многообразие
имеет атлас из открытых подмножеств, которые
гомеоморфны открытым шарам в $\C^n$, а функции
перехода голоморфны. }

\newpage

{\бф \блуе Интегрируемость почти комплексных структур (повторение)}


\определение
Пусть $(M, I)$ --  
почти комплексное многообразие,
а $\calo_M$ пучок голоморфных функций на нем. 
Оно называется {\бф \блуе интегрируемым},
если $(M, \calo_M)$ -- комплексное многообразие.


\замечание
{\бф \ред Почти комплексная структура восстанавливается
из комплексной структуры на $M$ следующим образом.}

(1) Рассмотрим {\бф \пурпле
расслоение $\Lambda^{1,0}(M)\subset \Lambda^1(M, \C)$, 
порожденное дифференциалами голоморфных функций, }
и пусть $\Lambda^{0,1}(M) := \overline{\Lambda^{1,0}(M)}$.

(2) Определим $I\in \End(\Lambda^1 M\otimes \C)$
таким образом, что $I\restrict \Lambda^{1,0}(M)=\1$ и 
$I\restrict \Lambda^{0,1}(M)=-\1$. {\бф \пурпле Очевидно, $I^2 = -\Id$.}

(3) Этот эндоморфизм вещественный, поскольку $\bar I=I$
в силу его определения. Поэтому {\бф \пурпле он переводит $\Lambda^1 (M, \R)$
в себя.}

Мы получили функтор (строгий, полный) из категории
комплексных многообразий в категорию почти комплексных.

\определение
Почти комплексная структура $I$ на $M$ называется {\бф \блуе
интергрируемой}, если $(M,I)$ получено из комплексного 
многообразия вышеописанным образом.


\newpage

{\бф \блуе Формальная интегрируемость (повторение)}


\упражнение
Докажите, что в комплексных координатах
$z_1, ..., z_n$ на $\C^n$, {\бф \пурпле  голоморфные
векторные поля записываются в виде
$X= \sum \phi_i \frac d{dz_i}$,} где 
$\phi_1,..., \phi_n$ -- голоморфные 
функции.

\следствие
{\бф \пурпле Голоморфные векторные поля на комплексном
многообразии порождают $T^{1,0}M$ над $C^\infty M$.}

\следствие 
На комплексном многообразии,
{\бф \ред коммутатор векторных полей типа $(1,0)$ имеет
тип $(1,0)$: $[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$.}

\определение
Почти комплексное многообразие называется
{\бф \блуе формально интегрируемым}, если
$[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$


\теорема
(Newlander-Nirenberg) {\бф \ред Формально интегрируемое
почти комплексное многообразие гладкости $C^2$
интегрируемо.}

\замечание Я докажу эту теорему {\бф \пурпле для
вещественно-аналитических многообразий}.



\newpage

{\бф \блуе Распределения}

\определение
{\бф \блуе Распределение} на гладком многообразии $М$ есть 
гладкое подрасслоение $B\subset TM$.

\замечание
Пусть $\Pi:\; TM \arrow TM/ B$ -- проекция,
а $x,y \in B$ -- векторные поля. Тогда
$[fx, y]= f[x,y] - D_y (f) x$. Следовательно,.
{\бф \пурпле $\Pi([x,y])$ зависит
от $x,y$ $C^\infty(M)$-линейно.}

\определение
Построенное отображение $[B,B]\arrow TM/B$ называется
{\бф \блуе форма Фробениуса} ("Frobenius bracket"); это косо-симметричная
$C^\infty(M)$-линейная 2-форма на $B$.

\определение
Распределение называется {\бф \блуе интегрируемым},
или же {\бф \блуе инволютивным}, если его форма Фробениуса равна нулю.

\newpage

{\бф \блуе Гладкие субмерсии}

\определение
Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкое отображение.
Оно называется {\бф\блуе субмерсией}, если в каждой точке
$M$ дифференциал $D\pi$ сюрьективен.

\утверждение
Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкая субмерсия.
Тогда у каждой точки $m\in M$ есть окрестность $U\cong V\times W$,
где $U,W$ -- гладкие многообразия, 
такая, что {\бф \ред $\pi \restrict U$ есть проекция на $W$.}

{\бф \греен Доказательство:}
Теорема о неявной функции.

\упражнение
("Ehresmann's fibration theorem")\\
Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкая субмерсия компактных
многообразий. {\бф \пурпле 
Докажите, что это локально тривиальное расслоение.}

\определение
{\бф\блуе Вертикальное касательное пространство} субмерсии
есть ядро $D\pi$. 

\утверждение
{\бф \ред Это инволютивное подрасслоение.}

{\бф \греен Доказательство:}
Коммутатор перестановочен с проекцией потому что.

\замечание
Вертикальное подрасслоение обозначается $T_\pi M$.

\newpage

{\бф \блуе Теорема Фробениуса}

{\бф \греен Теорема Фробениуса:} Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение.
Оно {\бф \purple является инволютивным тогда и только тогда}, когда у 
каждой точки $x\in M$ {\бф \purple есть окрестность $U$ и
гладкая субмерсия $U\stackrel \pi \arrow V$ такая, что
$B$ есть вертикальное касательное подрасслоение:}
$B = T_\pi M$.

\замечание
Слои $\pi$ называются {\бф \блуе листами}, или
{\бф \блуе интегральными подмногообразиями}
распределения $B$. Если $B$ интегрируема,
совокупность всех листов (а также само $B$)
называют {\бф \блуе слоением}.

\замечание
Для доказательства теоремы Фробениуса {\бф \пурпле достаточно
убедиться, что через каждую точку проходит
интегральное подмногообразие.} В этом случае, 
гладкая субмерсия $U\stackrel \pi \arrow V$ -- это
проекция на пространство листов слоения.

\newpage

{\бф \блуе Ве\-ще\-ст\-вен\-но \-ана\-ли\-ти\-чес\-кие многообразия}

\определение
{\бф \блуе Антиголоморфная функция} есть функция $f$ такая,
что $\bar f$ голоморфна.

\определение
{\бф \блуе Антикомплексной инволюцией} на 
комплексном многообразии называется непрерывная 
инволюция $\iota$, $\iota^2=\Id$, переводящая голоморфные функции
на $U\subset M$ в антиголоморфные на $\iota(U)$.

\упражнение
Проверьте, что множество неподвижных точек $X_\iota$
антикомплексной инволюции -- {\бф \пурпле гладкое многообразие,
причем $\dim_\R X_\iota = \dim_\C X$.}

\определение
Пусть $Y\subset X$ -- замкнутое множество
в комплексном многообразии, и $X'\supset Y'$
многообразие, которое содержит замкнутое 
множество, гомеоморфное $Y$. Если
гомеоморфизм $Y\arrow Y'$ продолжается
до голоморфного диффеоморфизма их окрестностей,
мы пишем $X\sim_Y X'$. 

\утверждение
{\бф \пурпле Это отношение эквивалентности.}

\определение
{\бф \блуе Ростком} $X$ в $Y$ называется
класс эквивалентности $X$ относительно $\sim_Y$.


\newpage

{\бф \блуе Ве\-ще\-ст\-вен\-но \-ана\-ли\-ти\-чес\-кие многообразия (2)}

\определение
Функция на открытом подмножестве
$\R^n$ называется {\бф \блуе ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кой},
если она разлагается в ряд Тэйлора в окрестности
каждой точки.

{\бф \греен Определение 1:} 
Пусть задано комплексное многообразие,
снабженное антикомплексной инволюцией, 
и $X_\iota$ -- ее неподвижное множество.
Тогда  росток $X$ в $X_\iota$ называется
{\бф \блуе ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кое многообразие}.

{\бф \греен Определение 2:} 
Пусть $M$ -- окольцованное пространство,
локально изоморфное $(B,\calo_B)$, где
$B\subset \R^n$ -- открытый шар, а $\calo_B$ -- пучок
ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-ких функций. Тогда
$M$ называется {\бф \блуе ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кое многообразие}.

\замечание
Вещественно-аналитические тензоры на $X_\iota$
{\бф \пурпле продолжаются до голоморфных, $\iota$-инвариантных
тензоров в какой-то окрестности $X_\iota\subset X$.}

\newpage

{\бф \блуе Ве\-ще\-ст\-вен\-но \-ана\-ли\-ти\-чес\-кие многообразия (3)}

\теорема
{\бф \ред Эти определения эквивалентны.}

{\бф \греен (1) $\Rightarrow$ (2):}
Пусть $U_\iota\subset X_\iota$ -- открытое множество.
Возьмем в качестве $\calo_{X_\iota}$ пучок,
порожденный $f_i$, где $f_i$ -- $\iota$-инвариантные
голоморфные функции в открытом множестве $U\supset U_\iota$. 
Каждая такая функция ве\-ще\-ст\-вен\-но-аналитична
в $U$, значит, {\бф \пурпле ее ограничение на открытые вещественные шары, 
содержащиеся в $U_\iota$, тоже ве\-ще\-ст\-вен\-но-аналитично.}

{\бф \греен (2) $\Rightarrow$ (1):}
Возьмем покрытие $M$ открытыми шарами $B_\R\subset \R^n$, такое,
что все функции перехода $\phi_{ij}$ ве\-ще\-ст\-вен\-но-аналитичны.
Ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кая функция $\phi_{ij}$ на $B_\R$ продолжается
до голоморфной $\phi_{ij}^\C$ 
в некоторой окрестности $B_\R$ в $\C^n \supset \R^n$. Пусть
$X^i$ - такие окрестности этих шаров в $\C^n$, что все
$\phi_{ij}^\C$ определны в $X_i$.
{\bf \red Они задают атлас на многообразии, полученном из $X^i$
склейкой по $\phi_{ij}^\C$.} Уравнение коцикла $\phi_{ij}\phi{jk}=\phi_{ik}$
{\бф \пурпле следует из теоремы об аналитическом продолжении.} \endproof

\newpage


{\бф \блуе Теорема об аналитическом продолжении}

\утверждение
Пусть $X$ -- открытый шар в $\C^n$, снабженный 
стандартной антикомплексной инволюцией $z\arrow \bar z$,
а $\alpha$ -- голоморфный тензор на $X$, который зануляется в $M=X_\iota$. 
{\bf\purple Тогда $\alpha=0$}.

\доказательство
Достаточно проверить утверждение, когда $n=1$.
Мы получаем такой факт: голоморфная функция, определенная
в окрестности отрезка, которая равна нулю на отрезке, зануляется.
Это следует из разложения Тэйлора.
\endproof



\newpage

{\бф \блуе Тензор Ниенхойса}

\определение
Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие,
$T^{1,0}\subset TM\otimes \C$ -- подрасслоение векторов
типа $(1,0)$, а $[T^{1,0},T^{1,0}] \stackrel N\arrow TM\otimes \C / T^{1,0}$ --
скобка Фробениуса. Отождествив $TM\otimes \C / T^{1,0}$ с $T^{0,1}$,
мы представим $N$ как оператор
\[
N:\; \Lambda^2(T^{1,0}M) \arrow T^{0,1}M.
\]
\определение
Этот оператор называется {\бф\блуе тензором Ниейхойса}
(Nijenhuis tensor). Его можно преставить как сечение
$N\in \Lambda^{2,0}M\otimes T^{0,1}M$.

\замечание
{\бф \пурпле Тензор Ниенхойса вещественно-аналитического многообразия
тоже вещественно-аналитичен.}

\замечание
Теорема Ньюлендера-Ниренберга выводит интегрируемость
из $N=0$.


\newpage

{\бф \блуе Теорема Ньюлендера-Ниренберга}

\теорема
Пусть $(M,I)$ -- ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кое
почти комплексное многообразие, причем $[T^{1,0}, T^{1,0}] \subset T^{1,0}$.
{\bf \red Тогда почти комплексная структура $I$ интегрируема.}

\доказательство
Достаточно доказывать утверждение локально.
Пусть $M= B_\R$ -- вещественный шар, а
$X=B_\C$ -- комплексный шар, снабженный антикомплексной инволюцией,
причем $M=X_\iota$. 

{\бф \греен Шаг 1:} 
Пусть 
\[ \Pi^{1,0}:\; TX\restrict M=TM\otimes \C \arrow T^{1,0}M\subset
TX\restrict M  
\] --
естественная проекция вдоль $T^{0,1}$. Продолжим
$\Pi^{1,0}$ до голоморфного тензора на $X$ (если 
не продолжается, заменим $M$ и $X$ на меньшую
окрестность). Сделаем то же самое с $\Pi^{1,0}$.
{\bf \purple Получим разложение 
$TX\restrict M = \im \Pi^{1,0}\oplus \im \Pi^{0,1}$.}
Обозначим $T^{1,0}X:=\im \Pi^{1,0}$, $T^{0,1}X:=\im\Pi^{0,1}$.


{\бф \греен Шаг 2:} 
Перейдя к меньшей окрестности, если нужно,
можно считать, что {\bf \purple разложение
$TX=T^{1,0}X \oplus T^{0,1}X$
определено на всем $X$ и голоморфно.}


\newpage

{\бф \блуе Теорема Ньюлендера-Ниренберга (2)}



{\бф \греен Шаг 3:}
Пусть $\alpha$ -- голоморфный
тензор на $X$, который зануляется в $M=X_\iota$. 
{\bf\purple Тогда $\alpha=0$} (теорема об аналитическом
продолжении).


{\бф \греен Шаг 4:}
Тензор Фробениуса $\Phi$ для $T^{1,0}X\subset TX$,
ограниченный на $M=X_\iota$, дает
тензор Ниенхойса. В силу шага 3, $\Phi=0$.

{\бф \греен Шаг 5:}
По теореме Фробениуса, локально по $X$ 
{\бф \purple существует голоморфная
субмерсия $\pi:\; X \arrow X^{1,0}$,
со слоями, касательными $T^{0,1}X$.}

{\бф \греен Шаг 6:}
Пусть $f$ -- голоморфная функция на
$X^{1,0}$. Тогда $D_x(\pi^* f)=0$ для
любого $x \in T^{0,1}X$. {\бф \purple Поэтому
$d (\pi^* f)$ имеет тип $(1,0)$.}

{\бф \греен Шаг 7:}
Мы получили, что {\бф \ред ограничение $\pi$ на $M\subset X^{1,0}$
голоморфно} {\бф \пурпле (потому что $\pi^* f$ от голоморфной функции
$f$ голоморфен)}. Ядро дифференциала этого отображения
лежит в $TM \cap T^{0,1}X=0$. По теореме об обратной функции,
{\бф \purple $\pi\restrict M:\; M \arrow X^{1,0}$ -- диффеоморфизм.}
\endproof


%Предположим, что
%тензор $I\in \End(TM)$ продолжается до голоморфного,
%$\iota$-инвариантного тензора $I_\C \in \End(TX)$
%(если не продолжается, заменим $M$ на меньшую
%окрестность). Поскольку $I_\C^2 = - \Id$ на
%$M$, это соотношение выполняется на всем
%$X$ (в силу шага 1).
















\end{document}

