
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 9 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm]
\small лекция 9}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва
\\[2mm] 22 ноября 2010
}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue Векторные расслоения}

\определение
{\бф \блуе Векторное расслоение} на гладком многообразии $М$
есть локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей.

\определение
{\бф \блуе Тотальное пространство} $\Tot B$ векторного расслоения есть
пространство всех пар $x\in M, b \in B_x/{\goth m}_x B$,
где $B_x$ означает пространство ростков $B$ в $x$, а
${\goth m}_x$ -- максимальный идеал, снабженное естественной
топологией и гладкой структурой. 
{\бф \пурпле Тотальное пространство расслоения гладко
расслоено над $M$} со слоем $B_x/{\goth m}_x B=\R^n$, где $n$ есть ранк $B$.
{\бф \блуе Слой} векторного расслоения в точке
$x$ есть $B_x/{\goth m}_x B$.

\определение
{\бф \блуе Сечением} гладкого расслоения называется
гладкое отображение $M \arrow \Tot B$, переводящее
$x\in M$ в точку $(x\in M, b \in B_x/{\goth m}_x B)$.

\утверждение
Множество сечений гладкого расслоения {\бф \ред естественно
отождествено с множеством сечений соответствующего пучка.}

\newpage

{\bf \blue Голоморфные расслоения}

\определение
{\бф \блуе Голоморфное векторное расслоение} на гладком многообразии $М$
есть локально тривиальный пучок $\calo_M$-модулей.

\определение
{\бф \блуе Тотальное пространство} голоморфного расслоения
 есть пространство всех пар $x\in M, b \in B_x/{\goth m}_x B$,
где $B_x$ означает пространство ростков $B$ в $x$, а
${\goth m}_x$ -- максимальный идеал, снабженное естественной
топологией и голоморфной структурой.

\утверждение
Множество голоморфных сечений голоморфного расслоения {\бф \ред естественно
отождествено с множеством сечений соответствующего пучка.}

\утверждение
Пусть $B$ -- голоморфное расслоение.
Рассмотрим пучок $B_{C^\infty}:=B \otimes_{\calo_M} C^\infty M$.
{\бф \пурпле 
Тогда $B_{C^\infty}$ - локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей.}

\определение
$B_{C^\infty}$ называется {\бф\блуе гладкое векторное расслоение,
ассоциированное с голоморфным расслоением $B$.}

\замечание
Естественное отображение $\Tot(B)\arrow \Tot(B_{C^\infty})$
задает изоморфизм гладких многообразий


\newpage

{\bf \blue $\bar\6$-оператор на расслоении}

\замечание
Пусть $M$ -- комплексное многообразие. Тогда
{\бф \пурпле оператор $\bar\6:\; C^\infty M \arrow \Lambda^{0,1}(M)$
$\calo_M$-линейный}.

\определение
Пусть $B$ -- голоморфное расслоение.
Рассмотрим оператор 
$\bar\6:\; B_{C^\infty}\arrow B_{C^\infty}\otimes \Lambda^{0,1}(M)$,
переводящий $b\otimes f$ в $b\otimes \bar\6 f$, где
$b\in B$ голоморфное сечение, а $f$ гладкая функция.
Этот оператор зовется {\бф\блуе оператор голоморфной структуры}
на голоморфном расслоении.
{\бф \ред Он определен корректно в силу $\calo_M$-линейности $\bar\6$.}

\замечание
Ядро $\bar\6:\; B_{C^\infty}\arrow B_{C^\infty}\otimes \Lambda^{0,1}(M)$
{\bf \red совпадает с образом $B$} при естественном вложении
$B\hookrightarrow B_{C^\infty}$, $b \arrow b \otimes 1$.

\определение
{\бф \блуе $\bar\6$-оператор} 
на гладком комплексном векторном расслоении $V$ над 
есть оператор $V \stackrel {\bar\6}\arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$,
удовлетворяющий $\bar\6(fb) = \bar\6(f)\otimes b + f\bar\6(b)$
для любых $f\in C^\infty M, b\in V$.

\замечание 
$\bar\6$-оператор {\бф \пурпле можно продолжить до 
\[ \bar\6:\; \Lambda^{0,i}(M)\otimes V \arrow \Lambda^{0,i+1}(M)\otimes V,\]
}
по формуле $\bar\6 (\eta \otimes b) = \bar\6(\eta)\otimes b + 
(-1)^{\tilde \eta}\eta\wedge\bar\6(b)$, 
где $b\in V$ и $\eta \in \Lambda^{0,i}(M)$.

\newpage

{\bf \blue Оператор голоморфной структуры}
\[
V \stackrel{\bar\6}\arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V
\stackrel{\bar\6}\arrow \Lambda^{0,2}(M)\otimes V 
\stackrel{\bar\6}\arrow \Lambda^{0,3}(M)\otimes V \stackrel{\bar\6}\arrow ...
\]
\замечание
{\bf \purple Легко видеть, что $\bar\6^2=0$,} если $\bar\6$ -- оператор
голоморфной структуры на голоморфном расслоении $B$.

\теорема (Атья-Ботт)
Пусть $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$
-- $\bar\6$-оператор на комплексном векторном расслоении,
причем $\bar\6^2=0$. {\бф \ред Тогда $B:=\ker \bar\6\subset V$
есть голоморфное расслоение того же ранга, и $V=B_{\C^\infty}$.}

\замечание
Это нетривиальное утверждение
выводится из теоремы Ньюлендера-Ниренберга.

\замечание
Мы получили {\bf \purple эквивалентность категории голоморфных расслоений,
и категории гладких комплексных расслоений, снабженных
$\bar\6$-оператором $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$
таким, что $\bar\6^2=0$.}

\определение
$\bar\6$-оператор $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$
на гладком расслоении называется {\бф\блуе оператором голоморфной
структуры}, если $\bar\6^2=0$


\newpage

{\bf \blue Связность и голоморфная структура}

\определение
Пусть $V$ -- гладкое комплексное расслоение 
со связностью $\nabla:\; V \arrow \Lambda^1(M)\otimes V$
и голоморфной структурой $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$.
Рассмотрим разложение $\nabla$ по типам,
$\nabla= \nabla^{0,1} + \nabla^{1,0}$, где
\[
\nabla^{0,1}:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V, \ \ \ 
\nabla^{1,0}:\; V \arrow \Lambda^{1,0}(M)\otimes V.
\]
Говорится, что $\nabla$ {\бф \блуе совместима с голоморфной структурой},
если $\nabla^{0,1}=\bar\6$.

\определение
{\бф \блуе Эрмитово голоморфное расслоение}
есть гладкое комплексное расслоение, снабженное
эрмитовой метрикой и голоморфной структурой.

\определение
{\бф \блуе Связность Черна} на эрмитовом голоморфном
расслоении есть связность, совместимая с 
голоморфной структурой и сохраняющая метрику.

\newpage

{\bf \blue Связность Черна}

\теорема
На каждом голоморфном эрмитовом расслоении
{\бф \ред связность Черна существует и единственна.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
Для данного комплексного векторного расслоения $V$,
определим {\бф \блуе комплексно сопряженное расслоение}
как то же самое $\R$-расслоение с комплексно сопряженным
действием $\C$. Легко видеть, что {\бф \пурпле связность $\nabla$ на $V$
задает связность $\bar\nabla$ на $\bar V$,} причем 
$\bar\nabla^{1,0}=\overline{\nabla^{0,1}}$ и
$\bar\nabla^{0,1}=\overline{\nabla^{1,0}}$.

{\бф \греен  Шаг 2:} Определим {\бф \блуе $\nabla^{1,0}$-оператор}
на расслоении $B$ как отображение $B \stackrel 
{\nabla^{1,0}}\arrow \Lambda^{1,0}(M)\otimes B$,
удовлетворяющий $\Lambda^{1,0}(fb) = \6(f)\otimes b + f\nabla^{1,0}(b)$
для любых $f\in C^\infty M, b\in B$.
{\бф \пурпле Тогда $\bar\6$-оператор на $B$ задает $\nabla^{1,0}$-оператор
на $\bar B$, и наоборот.}


{\бф \греен  Шаг 3:} Эрмитова форма задает изоморфизм
комплексных векторных расслоений $B \stackrel g \arrow \bar B^*$.
Голоморфная структура $\bar\6$ на $B$ определяет $\bar\6$-оператор
$\bar\6_{\bar B^*}:= g \bar\6 g^{-1}$ на $\bar B^*$. Из него по формуле
$\langle \bar\6_{\bar B} x, y\rangle + \langle x, \bar\6_{\bar B^*} y\rangle =
\bar \6 \langle x,y\rangle$
{\бф \пурпле получается $\bar\6$-оператор $\bar\6_{\bar B}$ на $\bar B$,
то есть $\nabla^{1,0}$-оператор $\nabla^{1,0}_g$ на $B$.}

\newpage

{\bf \blue Связность Черна (2)}


{\бф \греен  Шаг 4:} 
{\бф \ред Мы получили оператор связности $\nabla:= \bar\6 + \nabla^{1,0}_g$
на $B$.} Осталось доказать, что она эрмитова.

{\бф \греен  Шаг 5:} 
Пусть $b,b'$ -- сечения, $g^\C$ -- комплексно-линейное
спаривание $B$ и $\bar B$, полученное из $g$, а $\bar b'$ --
соответствующее сечение $\bar B$.
По построению, $\nabla$ удовлетворяет 
$d g(b,b')= d g^\C(b, \bar b') = g(\nabla b, \bar b') +
g(b, \bar\nabla \bar b')$, что дает (для голоморфного $b$)
\[
d g(b,b)= g^\C(\nabla^{1,0} b,\bar b) + g^\C(b, \bar\6_{\bar B} \bar b)= 
2\Re g(\nabla b, b).
\]

{\бф \греен  Шаг 6:} Поскольку эрмитовость достаточно
проверять на голоморфных сечениях, {\бф \ред $d g(b,b) =2\Re g(\nabla b, b)$
гарантирует эрмитовость $\nabla$.}
\endproof

\пример
Пусть $L$ -- линейное расслоение, $b \in L$ -- 
нигде не зануляющееся голоморфное сечение.
{\бф \пурпле Тогда существует $(1,0)$-форма $\eta$ такая, что
$\nabla^{1,0} b=\eta\otimes b$.} Это дает
$d|b|^2= \Re g(\nabla^{1,0} b, b) = \Re\eta|b|^2$.
{\бф \ред Мы получили \[ \nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b=
2\6\log|b| b.\]}

\newpage

{\bf \blue Кривизна связности}

\определение
Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ связность
на гладком расслоении. Продолжим $\nabla$ до оператора на
формах
\[
V \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes V
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes V 
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes V \stackrel{\nabla}\arrow ...
\]
по формуле 
$\nabla(\eta \otimes b) = d\eta + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$.
Тогда оператор $\nabla^2:\; B \arrow B\otimes \Lambda^{2}(M)$
называется {\бф\блуе кривизной} $\nabla$.

\замечание
{\бф \пурпле Алгебра форм с коэффициентами в $\End B$
действует на $\Lambda^* M \otimes B$} по формуле
$\eta \otimes a (\eta' \otimes b) = \eta \wedge \eta'
\otimes a(b)$, где $a\in \End(B)$ эндоморфизм, а
$b\in B$ сечение. Обозначим такое действие
формулой $\eta \otimes a (\eta' \otimes b)= \eta \otimes
a\wedge \eta' \otimes b$.

\замечание
$\nabla^2(fb) = d^2 f b + df \wedge \nabla b - df \wedge
\nabla b + f \nabla^2 b$, то есть {\бф \пурпле кривизна линейна
над $C^\infty M$}. {\бф \ред Мы будем рассматривать
кривизну $B$ как 2-форму со значениями в $\End B$.} Тогда
$\nabla^2 := \Theta_B \in \Lambda^2 M \otimes \End B$,
где $\nabla^2(\eta \otimes b) = \Theta_B \wedge \eta
\otimes b$, причем $\End B$-компонента $\Theta_B$
действует на $b$ как указано выше.

\newpage

{\bf \blue Тождество Бьянки}

\замечание 
$[\nabla, \{\nabla, \nabla\}]=[\{\nabla, \nabla\},\nabla]+
[\nabla, \{\nabla, \nabla\}]=0$ по супер-тождеству Якоби.
Это дает {\бф \ред тождество Бианки}:
$\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$.

Если $B$ -- линейное расслоение, то $\End B$ тривиально,
и $\Theta_B$ есть 2-форма. 

\утверждение
{\бф \ред Кривизна линейного расслоения -- замкнутая 2-форма.}

\доказательство Для любой $2i$-формы $\theta$ имеем 
$\nabla(\theta \wedge \eta) = d\theta \wedge \eta +
\theta \wedge \nabla(\eta)$ (правило Лейбница). Тождество
Бьянки дает $\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$.
Следовательно, $d\Theta_B=0$. \ендпрооф

\замечание
Аналогично доказывается, что {\бф \ред $\Tr_B \Theta_B^i$ есть
замкнутая форма,} где $\Tr_B$ обозначает след в $\End(B)$,
а $\Theta_B^i$ -- $i$-я степень $\End(B)$-значной формы.

\определение
Классы когомологий $\Tr_B \Theta_B^i$ называются {\бф \блуе 
характеристическими классами} расслоения ("формула Гаусса-Бонне"). 
Если $B$ -- линейное расслоение, то класс $-\1 \Theta_B$
называется {\бф\блуе первым классом Черна $B$}, и обозначается
$c_1(B)$.

\newpage

{\bf \blue Кривизна связности Черна}

\утверждение
{\бф \ред Кривизна $\Theta_B$ связности Черна есть (1,1)-форма.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
Пусть $B$ -- эрмитово расслоение. Рассмотрим
оператор $\phi \stackrel \iota \arrow -\phi^\bot$, действующий на $\End B$,
где $\phi \arrow \phi^\bot$ - сопряжение.
Поскольку $\iota^2=\Id$ и этот оператор антикомплексный,
{\бф \пурпле $\iota$ задает вещественную структуру на $\End B$.}

{\бф \греен Шаг 2:}
Неподвижные точки $\iota$ суть антиэрмитовы матрицы.
Обозначим расслоение антиэрмитовых матриц за ${\goth u}_B$.
Поскольку связность Черна 
сохраняет $g$, для ее кривизны имеем $\Theta_B(g)=0$.
Значит, $\Theta_B\in \Lambda^2 M \otimes {\goth u}_B$,
и {\бф \пурпле эта форма вещественна относительно вещественной
структуры, заданной $\iota$.}

{\бф \греен Шаг 3:} $(0,2)$-часть кривизны равна нулю,
поскольку $\bar\6^2=0$, а {\бф \ред $(2,0)$-часть кривизны равна
нулю, потому что $\iota(\Theta_B) = \Theta_B$,}
а {\бф \пурпле любая вещественная структура на расслоении 
переставляет $(2,0)$ и $(0,2)$-формы.} \ендпрооф

\следствие
Для связности Черна $\nabla$, имеем
$\Theta_B= \{\nabla^{1,0}, \bar\6\}$.

\следствие
{\бф \ред Кривизна линейного голоморфного расслоения - 
замкнутая (1,1)-форма.}

\newpage

{\bf \blue Кривизна линейного расслоения}

\замечание 
Пусть $B$ -- линейное эрмитово расслоение, а 
$b$ - незануляющееся голоморфное сечение. Тогда 
$\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b=
2\6\log|b| b$, что дает $\Theta_B(b)= 2\bar\6\6\log|b| b$,
то есть $\Theta_B = -2 \6\bar\6\log|b|$

\следствие
Если $g' = e^{2f} g$ -- две метрики на голоморфном  линейном 
расслоении, а $\Theta, \Theta'$ -- соответствующая
кривизна, то $\Theta' - \Theta = -2 \6\bar\6 f$.

\утверждение
Пусть $\omega$ -- (1,1)-форма с целочисленным
классом когомологий на компактном кэлеровом многообразии. 
{\бф\ред Тогда $\omega$ есть кривизна
голоморфного линейного расслоения.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Экспоненциальная точная
последовательность $0 \arrow \Z_M \arrow \calo_M \arrow \calo^*_M\arrow 0$
дает 
\[
H^1(\calo^*_M) \stackrel c \arrow H^2(M, \Z) \stackrel p \arrow H^2(M, \calo_M),
\]
причем $H^1(\calo^*_M)= \Pic(M)$ есть группа линейных расслоений,
$c$ -- отображение, переводящее расслоение в его первый класс Черна,
а $p$ -- проекция $H^2(M)$ на компоненту Ходжа $H^2(M, \calo_M)= H^{0,2}(M)$.
Значит, {\бф \ред для любого целочисленного класса $[\omega]\in H^{1,1}(M)$,
$[\omega]$ является первым классом Черна линейного расслоения $L$.}

\newpage

{\bf \blue Кривизна линейного расслоения (2)}

{\бф \греен Шаг 2:} Возьмем любую метрику $h$ на $L$. Ее кривизна $\omega_h$
есть замкнутая $(1,1)$-форма, когомологичная $\omega$.
В силу $dd^c$-леммы, {\бф \пурпле $\omega_h -\omega = -2 \6\bar\6 f$ 
для какой-то функции $f$. }

{\бф \греен Шаг 3:} В силу доказанного выше,
если $g' = e^{2f} g$ -- две метрики на голоморфном  линейном 
расслоении, а $\Theta, \Theta'$ -- соответствующая
кривизна, то {\бф \пурпле $\Theta' - \Theta = -2 \6\bar\6 f$}.

{\бф \греен  Шаг 4:} Рассмотрим метрику $h':=e^{2f}h$ на $L$.
{\бф \ред Соответствующая ей кривизна удовлетворяет
$\omega_h -\omega_{h'}= -2 \6\bar \6 f$,
значит, $\omega= \omega_{h'}$.} \ендпрооф



\end{document}

