\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 9 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm] \small лекция 9} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва \\[2mm] 22 ноября 2010 } \end{center} \newpage {\bf \blue Векторные расслоения} \определение {\бф \блуе Векторное расслоение} на гладком многообразии $М$ есть локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей. \определение {\бф \блуе Тотальное пространство} $\Tot B$ векторного расслоения есть пространство всех пар $x\in M, b \in B_x/{\goth m}_x B$, где $B_x$ означает пространство ростков $B$ в $x$, а ${\goth m}_x$ -- максимальный идеал, снабженное естественной топологией и гладкой структурой. {\бф \пурпле Тотальное пространство расслоения гладко расслоено над $M$} со слоем $B_x/{\goth m}_x B=\R^n$, где $n$ есть ранк $B$. {\бф \блуе Слой} векторного расслоения в точке $x$ есть $B_x/{\goth m}_x B$. \определение {\бф \блуе Сечением} гладкого расслоения называется гладкое отображение $M \arrow \Tot B$, переводящее $x\in M$ в точку $(x\in M, b \in B_x/{\goth m}_x B)$. \утверждение Множество сечений гладкого расслоения {\бф \ред естественно отождествено с множеством сечений соответствующего пучка.} \newpage {\bf \blue Голоморфные расслоения} \определение {\бф \блуе Голоморфное векторное расслоение} на гладком многообразии $М$ есть локально тривиальный пучок $\calo_M$-модулей. \определение {\бф \блуе Тотальное пространство} голоморфного расслоения есть пространство всех пар $x\in M, b \in B_x/{\goth m}_x B$, где $B_x$ означает пространство ростков $B$ в $x$, а ${\goth m}_x$ -- максимальный идеал, снабженное естественной топологией и голоморфной структурой. \утверждение Множество голоморфных сечений голоморфного расслоения {\бф \ред естественно отождествено с множеством сечений соответствующего пучка.} \утверждение Пусть $B$ -- голоморфное расслоение. Рассмотрим пучок $B_{C^\infty}:=B \otimes_{\calo_M} C^\infty M$. {\бф \пурпле Тогда $B_{C^\infty}$ - локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей.} \определение $B_{C^\infty}$ называется {\бф\блуе гладкое векторное расслоение, ассоциированное с голоморфным расслоением $B$.} \замечание Естественное отображение $\Tot(B)\arrow \Tot(B_{C^\infty})$ задает изоморфизм гладких многообразий \newpage {\bf \blue $\bar\6$-оператор на расслоении} \замечание Пусть $M$ -- комплексное многообразие. Тогда {\бф \пурпле оператор $\bar\6:\; C^\infty M \arrow \Lambda^{0,1}(M)$ $\calo_M$-линейный}. \определение Пусть $B$ -- голоморфное расслоение. Рассмотрим оператор $\bar\6:\; B_{C^\infty}\arrow B_{C^\infty}\otimes \Lambda^{0,1}(M)$, переводящий $b\otimes f$ в $b\otimes \bar\6 f$, где $b\in B$ голоморфное сечение, а $f$ гладкая функция. Этот оператор зовется {\бф\блуе оператор голоморфной структуры} на голоморфном расслоении. {\бф \ред Он определен корректно в силу $\calo_M$-линейности $\bar\6$.} \замечание Ядро $\bar\6:\; B_{C^\infty}\arrow B_{C^\infty}\otimes \Lambda^{0,1}(M)$ {\bf \red совпадает с образом $B$} при естественном вложении $B\hookrightarrow B_{C^\infty}$, $b \arrow b \otimes 1$. \определение {\бф \блуе $\bar\6$-оператор} на гладком комплексном векторном расслоении $V$ над есть оператор $V \stackrel {\bar\6}\arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$, удовлетворяющий $\bar\6(fb) = \bar\6(f)\otimes b + f\bar\6(b)$ для любых $f\in C^\infty M, b\in V$. \замечание $\bar\6$-оператор {\бф \пурпле можно продолжить до \[ \bar\6:\; \Lambda^{0,i}(M)\otimes V \arrow \Lambda^{0,i+1}(M)\otimes V,\] } по формуле $\bar\6 (\eta \otimes b) = \bar\6(\eta)\otimes b + (-1)^{\tilde \eta}\eta\wedge\bar\6(b)$, где $b\in V$ и $\eta \in \Lambda^{0,i}(M)$. \newpage {\bf \blue Оператор голоморфной структуры} \[ V \stackrel{\bar\6}\arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V \stackrel{\bar\6}\arrow \Lambda^{0,2}(M)\otimes V \stackrel{\bar\6}\arrow \Lambda^{0,3}(M)\otimes V \stackrel{\bar\6}\arrow ... \] \замечание {\bf \purple Легко видеть, что $\bar\6^2=0$,} если $\bar\6$ -- оператор голоморфной структуры на голоморфном расслоении $B$. \теорема (Атья-Ботт) Пусть $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$ -- $\bar\6$-оператор на комплексном векторном расслоении, причем $\bar\6^2=0$. {\бф \ред Тогда $B:=\ker \bar\6\subset V$ есть голоморфное расслоение того же ранга, и $V=B_{\C^\infty}$.} \замечание Это нетривиальное утверждение выводится из теоремы Ньюлендера-Ниренберга. \замечание Мы получили {\bf \purple эквивалентность категории голоморфных расслоений, и категории гладких комплексных расслоений, снабженных $\bar\6$-оператором $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$ таким, что $\bar\6^2=0$.} \определение $\bar\6$-оператор $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$ на гладком расслоении называется {\бф\блуе оператором голоморфной структуры}, если $\bar\6^2=0$ \newpage {\bf \blue Связность и голоморфная структура} \определение Пусть $V$ -- гладкое комплексное расслоение со связностью $\nabla:\; V \arrow \Lambda^1(M)\otimes V$ и голоморфной структурой $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$. Рассмотрим разложение $\nabla$ по типам, $\nabla= \nabla^{0,1} + \nabla^{1,0}$, где \[ \nabla^{0,1}:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V, \ \ \ \nabla^{1,0}:\; V \arrow \Lambda^{1,0}(M)\otimes V. \] Говорится, что $\nabla$ {\бф \блуе совместима с голоморфной структурой}, если $\nabla^{0,1}=\bar\6$. \определение {\бф \блуе Эрмитово голоморфное расслоение} есть гладкое комплексное расслоение, снабженное эрмитовой метрикой и голоморфной структурой. \определение {\бф \блуе Связность Черна} на эрмитовом голоморфном расслоении есть связность, совместимая с голоморфной структурой и сохраняющая метрику. \newpage {\bf \blue Связность Черна} \теорема На каждом голоморфном эрмитовом расслоении {\бф \ред связность Черна существует и единственна.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Для данного комплексного векторного расслоения $V$, определим {\бф \блуе комплексно сопряженное расслоение} как то же самое $\R$-расслоение с комплексно сопряженным действием $\C$. Легко видеть, что {\бф \пурпле связность $\nabla$ на $V$ задает связность $\bar\nabla$ на $\bar V$,} причем $\bar\nabla^{1,0}=\overline{\nabla^{0,1}}$ и $\bar\nabla^{0,1}=\overline{\nabla^{1,0}}$. {\бф \греен Шаг 2:} Определим {\бф \блуе $\nabla^{1,0}$-оператор} на расслоении $B$ как отображение $B \stackrel {\nabla^{1,0}}\arrow \Lambda^{1,0}(M)\otimes B$, удовлетворяющий $\Lambda^{1,0}(fb) = \6(f)\otimes b + f\nabla^{1,0}(b)$ для любых $f\in C^\infty M, b\in B$. {\бф \пурпле Тогда $\bar\6$-оператор на $B$ задает $\nabla^{1,0}$-оператор на $\bar B$, и наоборот.} {\бф \греен Шаг 3:} Эрмитова форма задает изоморфизм комплексных векторных расслоений $B \stackrel g \arrow \bar B^*$. Голоморфная структура $\bar\6$ на $B$ определяет $\bar\6$-оператор $\bar\6_{\bar B^*}:= g \bar\6 g^{-1}$ на $\bar B^*$. Из него по формуле $\langle \bar\6_{\bar B} x, y\rangle + \langle x, \bar\6_{\bar B^*} y\rangle = \bar \6 \langle x,y\rangle$ {\бф \пурпле получается $\bar\6$-оператор $\bar\6_{\bar B}$ на $\bar B$, то есть $\nabla^{1,0}$-оператор $\nabla^{1,0}_g$ на $B$.} \newpage {\bf \blue Связность Черна (2)} {\бф \греен Шаг 4:} {\бф \ред Мы получили оператор связности $\nabla:= \bar\6 + \nabla^{1,0}_g$ на $B$.} Осталось доказать, что она эрмитова. {\бф \греен Шаг 5:} Пусть $b,b'$ -- сечения, $g^\C$ -- комплексно-линейное спаривание $B$ и $\bar B$, полученное из $g$, а $\bar b'$ -- соответствующее сечение $\bar B$. По построению, $\nabla$ удовлетворяет $d g(b,b')= d g^\C(b, \bar b') = g(\nabla b, \bar b') + g(b, \bar\nabla \bar b')$, что дает (для голоморфного $b$) \[ d g(b,b)= g^\C(\nabla^{1,0} b,\bar b) + g^\C(b, \bar\6_{\bar B} \bar b)= 2\Re g(\nabla b, b). \] {\бф \греен Шаг 6:} Поскольку эрмитовость достаточно проверять на голоморфных сечениях, {\бф \ред $d g(b,b) =2\Re g(\nabla b, b)$ гарантирует эрмитовость $\nabla$.} \endproof \пример Пусть $L$ -- линейное расслоение, $b \in L$ -- нигде не зануляющееся голоморфное сечение. {\бф \пурпле Тогда существует $(1,0)$-форма $\eta$ такая, что $\nabla^{1,0} b=\eta\otimes b$.} Это дает $d|b|^2= \Re g(\nabla^{1,0} b, b) = \Re\eta|b|^2$. {\бф \ред Мы получили \[ \nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b= 2\6\log|b| b.\]} \newpage {\bf \blue Кривизна связности} \определение Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ связность на гладком расслоении. Продолжим $\nabla$ до оператора на формах \[ V \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes V \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes V \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes V \stackrel{\nabla}\arrow ... \] по формуле $\nabla(\eta \otimes b) = d\eta + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$. Тогда оператор $\nabla^2:\; B \arrow B\otimes \Lambda^{2}(M)$ называется {\бф\блуе кривизной} $\nabla$. \замечание {\бф \пурпле Алгебра форм с коэффициентами в $\End B$ действует на $\Lambda^* M \otimes B$} по формуле $\eta \otimes a (\eta' \otimes b) = \eta \wedge \eta' \otimes a(b)$, где $a\in \End(B)$ эндоморфизм, а $b\in B$ сечение. Обозначим такое действие формулой $\eta \otimes a (\eta' \otimes b)= \eta \otimes a\wedge \eta' \otimes b$. \замечание $\nabla^2(fb) = d^2 f b + df \wedge \nabla b - df \wedge \nabla b + f \nabla^2 b$, то есть {\бф \пурпле кривизна линейна над $C^\infty M$}. {\бф \ред Мы будем рассматривать кривизну $B$ как 2-форму со значениями в $\End B$.} Тогда $\nabla^2 := \Theta_B \in \Lambda^2 M \otimes \End B$, где $\nabla^2(\eta \otimes b) = \Theta_B \wedge \eta \otimes b$, причем $\End B$-компонента $\Theta_B$ действует на $b$ как указано выше. \newpage {\bf \blue Тождество Бьянки} \замечание $[\nabla, \{\nabla, \nabla\}]=[\{\nabla, \nabla\},\nabla]+ [\nabla, \{\nabla, \nabla\}]=0$ по супер-тождеству Якоби. Это дает {\бф \ред тождество Бианки}: $\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$. Если $B$ -- линейное расслоение, то $\End B$ тривиально, и $\Theta_B$ есть 2-форма. \утверждение {\бф \ред Кривизна линейного расслоения -- замкнутая 2-форма.} \доказательство Для любой $2i$-формы $\theta$ имеем $\nabla(\theta \wedge \eta) = d\theta \wedge \eta + \theta \wedge \nabla(\eta)$ (правило Лейбница). Тождество Бьянки дает $\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$. Следовательно, $d\Theta_B=0$. \ендпрооф \замечание Аналогично доказывается, что {\бф \ред $\Tr_B \Theta_B^i$ есть замкнутая форма,} где $\Tr_B$ обозначает след в $\End(B)$, а $\Theta_B^i$ -- $i$-я степень $\End(B)$-значной формы. \определение Классы когомологий $\Tr_B \Theta_B^i$ называются {\бф \блуе характеристическими классами} расслоения ("формула Гаусса-Бонне"). Если $B$ -- линейное расслоение, то класс $-\1 \Theta_B$ называется {\бф\блуе первым классом Черна $B$}, и обозначается $c_1(B)$. \newpage {\bf \blue Кривизна связности Черна} \утверждение {\бф \ред Кривизна $\Theta_B$ связности Черна есть (1,1)-форма.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Пусть $B$ -- эрмитово расслоение. Рассмотрим оператор $\phi \stackrel \iota \arrow -\phi^\bot$, действующий на $\End B$, где $\phi \arrow \phi^\bot$ - сопряжение. Поскольку $\iota^2=\Id$ и этот оператор антикомплексный, {\бф \пурпле $\iota$ задает вещественную структуру на $\End B$.} {\бф \греен Шаг 2:} Неподвижные точки $\iota$ суть антиэрмитовы матрицы. Обозначим расслоение антиэрмитовых матриц за ${\goth u}_B$. Поскольку связность Черна сохраняет $g$, для ее кривизны имеем $\Theta_B(g)=0$. Значит, $\Theta_B\in \Lambda^2 M \otimes {\goth u}_B$, и {\бф \пурпле эта форма вещественна относительно вещественной структуры, заданной $\iota$.} {\бф \греен Шаг 3:} $(0,2)$-часть кривизны равна нулю, поскольку $\bar\6^2=0$, а {\бф \ред $(2,0)$-часть кривизны равна нулю, потому что $\iota(\Theta_B) = \Theta_B$,} а {\бф \пурпле любая вещественная структура на расслоении переставляет $(2,0)$ и $(0,2)$-формы.} \ендпрооф \следствие Для связности Черна $\nabla$, имеем $\Theta_B= \{\nabla^{1,0}, \bar\6\}$. \следствие {\бф \ред Кривизна линейного голоморфного расслоения - замкнутая (1,1)-форма.} \newpage {\bf \blue Кривизна линейного расслоения} \замечание Пусть $B$ -- линейное эрмитово расслоение, а $b$ - незануляющееся голоморфное сечение. Тогда $\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b= 2\6\log|b| b$, что дает $\Theta_B(b)= 2\bar\6\6\log|b| b$, то есть $\Theta_B = -2 \6\bar\6\log|b|$ \следствие Если $g' = e^{2f} g$ -- две метрики на голоморфном линейном расслоении, а $\Theta, \Theta'$ -- соответствующая кривизна, то $\Theta' - \Theta = -2 \6\bar\6 f$. \утверждение Пусть $\omega$ -- (1,1)-форма с целочисленным классом когомологий на компактном кэлеровом многообразии. {\бф\ред Тогда $\omega$ есть кривизна голоморфного линейного расслоения.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Экспоненциальная точная последовательность $0 \arrow \Z_M \arrow \calo_M \arrow \calo^*_M\arrow 0$ дает \[ H^1(\calo^*_M) \stackrel c \arrow H^2(M, \Z) \stackrel p \arrow H^2(M, \calo_M), \] причем $H^1(\calo^*_M)= \Pic(M)$ есть группа линейных расслоений, $c$ -- отображение, переводящее расслоение в его первый класс Черна, а $p$ -- проекция $H^2(M)$ на компоненту Ходжа $H^2(M, \calo_M)= H^{0,2}(M)$. Значит, {\бф \ред для любого целочисленного класса $[\omega]\in H^{1,1}(M)$, $[\omega]$ является первым классом Черна линейного расслоения $L$.} \newpage {\bf \blue Кривизна линейного расслоения (2)} {\бф \греен Шаг 2:} Возьмем любую метрику $h$ на $L$. Ее кривизна $\omega_h$ есть замкнутая $(1,1)$-форма, когомологичная $\omega$. В силу $dd^c$-леммы, {\бф \пурпле $\omega_h -\omega = -2 \6\bar\6 f$ для какой-то функции $f$. } {\бф \греен Шаг 3:} В силу доказанного выше, если $g' = e^{2f} g$ -- две метрики на голоморфном линейном расслоении, а $\Theta, \Theta'$ -- соответствующая кривизна, то {\бф \пурпле $\Theta' - \Theta = -2 \6\bar\6 f$}. {\бф \греен Шаг 4:} Рассмотрим метрику $h':=e^{2f}h$ на $L$. {\бф \ред Соответствующая ей кривизна удовлетворяет $\omega_h -\omega_{h'}= -2 \6\bar \6 f$, значит, $\omega= \omega_{h'}$.} \ендпрооф \end{document}