\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 8 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm] \small лекция 8} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва \\[2mm] 15 ноября 2010 } \end{center} \newpage {\bf \blue Лемма Пуанкаре-Дольбо-Гротендика} \определение {\бф \блуе Полидиск} $D^n$ есть произведение дисков $D\subset \C$. \теорема {\бф \блуе (Лемма Пуанкаре-Дольбо-Гротендика)}\\ Пусть $\eta \in \Lambda^{0,p}(D^n)$ -- $\bar\6$-замкнутая форма на полидиске, гладко продолжающаяся в окрестность $D^n \subset \C^n$, и $p>0$. Тогда $\eta$ $\bar\6$-точна. \замечание В прошлой лекции, мы доказали, что для любой $(0,1)$-формы $\eta$ с компактным носителем на $\C$, {\бф \ред $\eta= \bar\6\alpha$, где $\alpha\in C^\infty \C$ гладкая функция} (не обязательно с компактным носителем, но убывающая как $1/|z|$). \замечание Из этого следует {\бф \ред лемма Пуанкаре-Дольбо-Гротендика для $n=1$.} Действительно, любая форма $\eta$ на диске, продолжающаяся в окрестность $D\subset \C$, продолжается до формы на $\C$ с компактным носителем, значит, {\бф \пурпле лежит в образе $\bar\6$. } \замечание Воспользовавшись разложением $\Lambda^{p,q}(D^n) \cong \Lambda^{p,0}(D^n) \otimes \Lambda^{0,q}(D^n)$, каждую форму можно предствить в виде суммы вида $\sum \alpha^{0,q}_i \wedge P^{p,0}_i$, где $P_i$ -- полиномы от координатных ковекторов $d z_i$ с постоянными коэффициентами. Поскольку $\bar\6(\alpha^{0,q}_i \wedge P^{p,0}_i) = \bar\6(\alpha^{0,q}_i) \wedge P^{p,0}_i$, {\бф \пурпле лемму Пуанкаре-Дольбо-Гротендика достаточно доказывать для $(0,q)$-форм.} \newpage {\bf \blue Доказательство леммы Пуанкаре-Дольбо-Гротендика} %\замечание %Для доказательства того, что когомологии %$\bar\6:\; \Lambda^{0,q}(M) \arrow\Lambda^{0,q+1}(M)$ %зануляются, необходимо и достаточно найти {\бф \блуе %оператор гомотопии}, то есть оператор %$\bar\6:\; \Lambda^{0,q}(M) \arrow\Lambda^{0,q-1}(M)$, удовлетворяющий %$\{\bar\6, \gamma\}=\Id$. {\бф\греен Шаг 1:} Пусть $\bar\6_i:\; \Lambda^{0,q}(D^n) \arrow\Lambda^{0,q+1}(D^n)$ есть оператор $\alpha \arrow d\bar z_i \wedge \frac {d}{d\bar z_i}\alpha$, где $z_i$ есть $i$-я координата на $D^n$. {\бф \пурпле Тогда $\bar\6= \sum_i \bar\6_i$}. {\бф\греен Шаг 2:} В силу леммы Пуанкаре-Дольбо-Гротендика для $n=1$, когомологии $\bar\6_i$ равны нулю. Обозначим за $\gamma_i$ соответствующий оператор $P_\xi$, построенный в прошлой лекции. Если $\alpha= d\bar z_i\wedge \beta$, то $\{\bar\6_i, \gamma_i\}(\alpha)=\alpha$, если в разложении $\alpha$ нет членов с $d\bar z_i$, то $ \bar \6_i \{\bar\6_i, \gamma_i\}(\alpha)=0$. Из этого следует, что {\бф \пурпле $\im \big[\{\bar\6_i, \gamma_i\}-\Id\big]$ лежит в пространстве $R_i$ форм, в разложении которых нет $d\bar z_i$, а все коэффициенты голоморфны по $z_i$.} {\бф\греен Шаг 3:} Свойства $\gamma_i$: \\ {\бф \пурпле 1. $\im \big[\{\bar\6_i, \gamma_i\}-\Id\big]\subset R_i$. 2. $\{\bar\6_i, \gamma_j\}=0$, если $i\neq j$. 3. $\big[\{\bar\6_i, \gamma_i\}\big]\restrict {R_i}=0$. 4. $\gamma_i(R_j)\subset R_j$, $\bar\6_i(R_j) \subset R_j$ для $i\neq j$.}\\ Свойство 1 доказано в шаге 2, 3 следует из того, что на формах $\alpha$ без $d\bar z_i$ в разложении имеем $\{\gamma_i, \bar\6\}(\alpha) = \gamma_i(\bar\6_i(\alpha))$. Свойства 2 и 4 следуют из явной формулы для $\gamma_i$. {\бф\греен Шаг 4:} В силу свойств 1, 3 и 4, \[ \left[\{\bar\6_i, \gamma_i\}-\Id\right]( {R_{i_1}\cap R_{i_2} \cap ...\cap R_{i_k}}) \subset R_i\cap R_{i_1}\cap R_{i_2} \cap ...\cap R_{i_k}\] для $i\neq i_1, i_2, ..., i_k$, и $\{\bar\6_i, \gamma_i\}\restrict {R_{i_1}\cap R_{i_2} \cap ...\cap R_{i_k}}=0$ в противном случае. \newpage {\bf \blue Доказательство леммы Пуанкаре-Дольбо-Гротендика (2)} {\бф\греен Шаг 4:} {\bf \purple $\left[\{\bar\6_i, \gamma_i\}-\Id\right]( {R_{i_1}\cap R_{i_2} \cap ...\cap R_{i_k}}) \subset R_i\cap R_{i_1}\cap R_{i_2} \cap ...\cap R_{i_k}$ для $i\neq i_1, i_2, ..., i_k$, и $\{\bar\6_i, \gamma_i\}\restrict {R_{i_1}\cap R_{i_2} \cap ...\cap R_{i_k}}=0$ в противном случае.} {\бф\греен Шаг 5:} Пусть $\gamma:= \sum_i\gamma_i$. Поскольку $\{\bar\6_i, \gamma_j\}=0$ при $i\neq j$, шаг 4 дает \[ \big[\{\bar\6, \gamma\}-(n-k)\Id\big] (R_{i_1}\cap R_{i_2} \cap ...\cap R_{i_k}) \subset \sum_{i\neq i_1, i_2, ..., i_k} R_i\cap R_{i_1}\cap R_{i_2} \cap ...\cap R_{i_k} \] {\бф\греен Шаг 6:} Пусть $W_0$ есть пространство $(0,q)$-форм на $D^n$, допускающих продолжение в некоторую окрестность $D^n$, а $W_k\subset W_{k-1} \subset ...$ -- подпространство, порожденное всеми $R_{i_1}\cap R_{i_2} \cap ...\cap R_{i_k}$ для $i_1 < i_2 < ... < i_k$. В силу предыдущего шага, {\бф \пурпле $\big[\{\bar\6, \gamma\} -(n-k)\Id\big]\restrict{W_k}\subset W_{k+1}$.} {\бф\греен Шаг 7:} Легко видеть, что $W_0$ состоит из голоморфных функций, которые являются $(0,p)$-формами, то есть пусто в силу $p>0$. {\bf \purple Воспользовавшись индукцией, можно считать, что каждая $\bar\6$-замкнутая форма в $W_{k+1}$ $\bar\6$-точна.} Пусть $\alpha\in W_k$ $\bar\6$-замкнута. Тогда $(n-k)\alpha - \{\bar\6, \gamma\}(\alpha) = (n-k)\alpha - \bar\6\gamma(\alpha)$ лежит в $W_{k+1}$, то есть точна. {\bf \red Получаем $(n-k)\alpha - \bar\6\gamma(\alpha) = \bar\6\eta$.} \endproof \невпаге {\bf \blue Пучки} \определение {\бф\блуе Пучок} ${\cal F}$ на топологическом пространстве $M$ -- это набор векторных пространств ${\cal F}(U)$, заданных для каждого открытого подмножества $U\subset M$, с {\бф \блуе отображениями ограничения} ${\cal F}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal F}(U')$ для каждого $U'\subset U$, и следующими свойствами (1) {\бф \пурпле Композиция ограничений -- снова ограничение:} если $U_1\subset U_2 \subset U_3$ вложенные открытые множества, а ${\phi_{U_1,U_2}}$, ${\phi_{U_2,U_3}}$ соответствующие отображения ограничений, то $\phi_{U_1,U_2}\circ \phi_{U_2,U_3}=\phi_{U_1,U_3}$. (2) {\пурпле Если $U=\bigcup U_i$, а ограничение $f\in {\cal F}(U)$ на все $U_i$ равно нулю, то $f=0$.} (3) ("склейка сечений") Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$ набор сечений, заданных для каждого элемента покрытия, и удовлетворяющих условию $f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j},$ для любой пары элементов покрытия. {\бф\пурпле Тогда существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения $f$ на $U_i$ дает $f_i$.} Пространство ${\cal F}(U)$ называется {\бф\блуе пространство сечений пучка ${\cal F}$ над $U$}, оно также обозначается ${\cal F}\restrict U$. \невпаге {\бф \блуе Паракомпактные многообразия} \определение {\бф \блуе Покрытие} топологического пространства $M$ есть набор открытых множеств $\{U_i\}$ такой, что $\bigcup U_i =M$. {\бф \блуе Измельчение} покрытия $\{U_i\}$ есть покрытие $\{V_i\}$, такое, что каждый $V_i$ содержится в каком-то из $U_i$. \определение Топологическое пространство $M$ называется {\бф \блуе паракомпактным}, если любое покрытие $M$ допускает локально конечное измельчение. \замечание Любое паракомпактное многообразие $M$ обладает следующим свойством. Каждое покрытие $M$ допускает пару конечных измельчений $\{U_i\}$, и $\{V_i\}$ пронумерованных тем же набором индексов, причем все замыкания $\overline U_i$ компактны и содержатся в $V_i$. \замечание {\бф \ред В дальнейшем все многообразия предполагаются паракомпактными.} \невпаге {\бф \блуе Носитель сечения пучка} \определение {\бф \блуе Носитель} сечения $f$ пучка есть дополнение к объединению всех открытых множеств $U\subset M$ таких, что $f\restrict U=0$. \утверждение Пусть $f\in {\cal F}\restrict U$ -- сечение пучка на многообразии $M \ni U$, причем носитель $К$ сечения $f$ замкнут в $M$. {\bf \purple Тогда $f$ принадлежит образу отображения ограничения $\Gamma_M({\cal F})\arrow \Gamma_U({\cal F})$.} \доказательство Рассмотрим покрытие $\{U_1:=U, U_2:=M \backslash K\}$, и пусть $f_1\in \Gamma_{U_1}({\cal F})=f$, а $f_2 \in \Gamma_{U_2}({\cal F})=0$. Тогда $f_i \restrict {U_1 \cap U_2}=0$, склеив их, обретем искомое. \endproof \невпаге {\бф \блуе Разбиение единицы на пучке} \определение Пусть $\{U_i\}$, $\{V_i\}$ -- пара локально конечных покрытий $M$, пронумерованных тем же набором индексов, причем для любого $i$ замыкание $V_i$ компактно, а замыкание $U_i$ компактно и содержится в $V_i$. Обозначим за $F^c\restrict U$ группу сечений с компактным носителем над $U$. {\бф \блуе Разбиение единицы} для пучка $F$ есть такой набор гомоморфизмов $\psi_i:\; F\restrict V_i \arrow F^c\restrict V_i$, и $\phi_i:\; F\restrict V_i \arrow F^c\restrict V_i$, что (i) {\bf \purple $\sum_i \psi_i(f)=f$ для любого сечения $f$} (ii) {\bf \purple $\psi_i$ обратимо на $U_i$:} $\phi_i (\psi_i(f))\restrict {U_i} = f\restrict {U_i}$ Пучок называется {\бф \блуе тонким}, если он допускает разбиение единицы для любой пары таких покрытий. \замечание {\бф \purple Все пучки модулей над $C^\infty(M)$ и $C^i(M)$ -- тонкие.} \невпаге {\бф \блуе Ростки пучка} \определение {\бф \блуе Росток} пучка ${\cal F}$ в замкнутом множестве $Z\subset M$ есть класс эквивалентности сечений ${\cal F}$ в окрестностях $Z$, по следующему отношению эквивалентности. Сечения $f\in {\cal F}\restrict U$ и $f'\in {\cal F}\restrict U'$ эквивалентны, если $f\restrict U= f'\restrict U$ для окрестности $Z$, $U\subset U_1 \cap U_2$. \утверждение Если ${\cal F}$ -- тонкий пучок, а $x\subset M$ -- точка то {\бф \ред естественное отображение $\Gamma_M({\cal F})\arrow \Gamma_х({\cal F})$ в соответствующее пространство ростков сюрьективно.} {\бф \доказательство:} Возьмем росток $f$, определенный в $U\ni x$, ограничим его на $V_i\supset U_i \ni x$ в покрытии, связанном с разбиением единицы, тогда $\phi_i(\psi_i(f))\restrict U_i= f\restrict U_i$. Значит, {\bf \purple $f':= \phi_i(\psi_i(f))$ имеет тот же росток.} Это сечение продолжается до сечения $\Gamma_M({\cal F})$, потому что у него компактный носитель.\endproof \невпаге {\бф \блуе Ацикличные пучки} \замечание {\бф \пурпле $0 \arrow A \arrow B \arrow C \arrow 0$ является точной последовательностью пучков \ \ $\Leftrightarrow$\ \ соответствующие последовательности ростков точные для каждого $x\in M$.} \определение Функтор $\Phi$ из категории пучков в векторные пространства называется {\бф \блуе точным слева} если любая точная последовательность пучков $0 \arrow A \arrow B \arrow C \arrow 0$ переводится в точную слева последовательность $0 \arrow \Phi(A) \arrow \Phi(B) \arrow \Phi(C)$. \пример {\bf \purple Функтор глобальных сечений ${\cal F} \arrow \Gamma_M({\cal F})$ точен слева.} \определение Пучок $A$ называется {\бф \блуе ацикличным }, если для любого $U\subset M$ и точной последовательности пучков $0 \arrow A \arrow B \arrow C \arrow 0$, последовательность $0 \arrow \Gamma_U(A) \arrow \Gamma_U(B) \arrow \Gamma_U(C) \arrow 0$ точна. \утверждение {\бф \ред Любой тонкий пучок ацикличен.} \определение Пусть $0\arrow F\arrow F_1 \arrow F_2 \arrow ... $ -- точная последовательность пучков, которые ацикличны, начиная с $F_1$. Такая последовательность называется {\бф \блуе ацикличной резольвентой} $F$. \невпаге {\бф \блуе Когомологии пучков} \замечание В силу леммы Пуанкаре-Дольбо-Гротендика, {\бф \purple $\Omega^p(M) \hookrightarrow \Lambda^{p,0}(M) \stackrel {\bar\6} \arrow \Lambda^{p,1}(M) \stackrel {\bar\6} \arrow \Lambda^{p,2}(M) \stackrel {\bar\6} \arrow ...$ -- ацикличная резольвента пучка голоморфных дифференциальных форм.} \определение Пусть $F\arrow F_1 \arrow F_2 \arrow ... $ -- ацикличная резольвента. {\бф \блуе Группа когомологий $H^i(F)$} определяется как $i$-я группа когомологий соответствующего комплекса глобальных сечений, \[ \Gamma_M(F)\arrow \Gamma_M(F_1) \arrow \Gamma_M(F_2) \arrow ... \] \утверждение {\бф \блуе (Свойства когомологий)}: 1. Группы $H^i(F)$ {\bf \purple не зависят от выбора ацикличной резольвенты.} 2. {\bf \purple $H^i(F)=0$ для всех $i>0$ тогда и только тогда, когда $F$ ацикличен.} 3. Для любой точной последовательности пучков $0 \arrow A \arrow B \arrow C \arrow 0$ имеет место {\бф \блуе длинная точная последовательность} \[ 0 \arrow H^0(A) \arrow H^0(B)\arrow H^0(C) \arrow H^1(A) \arrow H^1(B)\arrow H^1(C) \arrow ... \] \end{document} %\newpage % %{\bf \блуе Ядро Ньютона и Бохнера-Мартинелли} % %Пусть $Х$ есть $\R^n$, с плоской метрикой. Определим %обобщенную функцию $N$ на $X$ формулой %\[ N(x):=\begin{cases}\frac 1 {2\pi} \log |x|, & \text{\ если\ $n=2$}\\ %- \frac 1 {(m-2) \sigma_{n-1}}|x|^{2-n}, & \text{\ если\ %$n\neq 2$} %\end{cases} %\] %где $\sigma_{n-1}$ -- объем $n$-мерной сферы. % %\упражнение $\Delta(N)= \delta_0$ % %\определение $N$ называется {\бф \блуе ядром Ньютона}. % %\определение %Рассмотрим на $\C^n$ поток, заданный функцией %