\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\��������{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small ����������� ���������, ������ 7 \hfil
  \tiny ���� ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ����������� ������������, \\[15mm]
\small ������ 7}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ��������� } 
\\[20mm]

{\tiny\bf ���/���, ������
\\[2mm] 8 ������ 2010
}
\end{center}


\newpage

{\�� \���� $dd^c$-�����}

\�������
����� $\eta$ - ����� �� ���������� ���������
������������, ������� ������������� ������-�� �� �������\\
1. $\eta$ -- ������ (p,q)-�����. 2.  $\eta$ -- $d^c$-������, $d$-���������.
\\ 3. $\eta$ -- $\6$-������, $\bar\6$-���������.\\
{\�� \��� ����� $\eta \in \im dd^c=\im \6\bar \6$.}

\�������������� 
������� �����, ��� �� ���� ���� ������� 
{\�� \������ $\eta$ �������� � ������������ ���� �������,
������, �� ����� ����������� ����� ����.}

��������� $\eta$ �����, ��� ����� � ������ $\Delta$.
�������� $G_{\Delta}:=\Delta^{-1}$ ��������� �� ������ $\Delta$ 
(������� �������) � ����������� � $d, d^c$. ������, $\eta':= G_{\Delta}(\eta)$
���� �����. $\Delta = [\Lambda, dd^c]$ ����
\[
\eta = \Delta(\eta')= [\Lambda, dd^c](\eta') = dd^c \Lambda \eta'.
\]
\endproof

\��������� 
\[ 
 \Delta G_\Delta(\eta) = dd^* + d^* dG_\Delta(\eta) =
 d^* G_\Delta(d \eta) + dd^* G_\Delta(\eta)=\eta
\]
 ��� ����� ������
����� $\eta$. ������, {\�� \����
$d^* G_\Delta$ �������� $d$ �� ������ ������.}


\newpage

{\�� \���� �������� �����}


\���������
����� $a, b, c\in \Lambda^*(M)$ ��������� �����, 
������ ����������� ������� ������������� $[a][b]=[b][c]=0$, 
� $\alpha, \gamma\in \Lambda^*(M)$ ����� �����, ���
$d(\alpha)= a\wedge b$, $d(\gamma) = b \wedge c$.
{\bf \red ����� $\alpha \wedge c - a\wedge \gamma$ -- ���������
�����, � �� ����� ����������� ��������� ����������} �� ������
$\im L_{[a]}+\im L_{[c]}$ (�� ������ ���������
�� ������ $[a]$, $[c]$).

\�����������
����� ����������� $\alpha \wedge c + a\wedge \gamma$ 
���������� {\�� \���� ������������� �����} $a,b,c$.

\�����������
�� ��������� ������������, ������������ ����� ����� ����.

\�������������� ����� $a,b,c$ -- ������������� $p,q$-�����,
����� $ab$ � $bc$ -- $dd^c$-������ $p,q$-�����, ������, 
$\alpha:=d^* G_\Delta(ab)$ � $\gamma:=d^* G_\Delta(bc)$ $d^c$-������.
������� $\mu:=\alpha \wedge c - a\wedge \gamma$ -- $d^c$-������,
$d$-��������� �����. � ���� $dd^c$-�����, $I(\mu)$
$dd^c$-�����, ������ $\mu$  ���� $dd^c$-�����. \��������

\���������
$I^{-1} dd^c I = dd^c$. 


\newpage


{\bf \���� ������� ��������}

\�������
����� $f$ -- ����������� ������� �� $\C^n \backslash K$, ���
$K\subset \C^n$ -- �������, � $n>1$. {\�� \��� ����� $f$ ������������
�� ����������� ������� �� $\C^n$.}

{\�� \����� ��������������. ��� 1:} 
��������� $f$ �� ������� �������
$\tilde f$, ����������� ��� �������� $K' \subset \C^n$.
{\�� \������ ����� $\alpha:=\bar\6\tilde f$ -- (0,1)-����� � ����������
���������.}

{\�� \�����  ��� 2:} ������ $\C^n$ � $\C P^n$, ����������
$\alpha$ ��� (0,1)-����� � ���������� ��������� �� $\C P^n$.
���������  $H^1(\C P^n)=0$, �������� $\im \bar\6=\ker \bar\6$, 
��� ���� $\alpha =\bar\6\phi$,
��� $\phi$ -- ������������ ������� �� $\C^n$.

{\�� \�����  ��� 3:} $\phi$ ���������� � ����������� �� ����� ������,
�� ������������ $K'$, ������, {\bf \purple $\phi$ ��������� �� ������
����������� ������, �� ������������ $K'$. }

{\�� \�����  ��� 4:} ������� $\phi=\const$ ��� �������� ��������
$U(1)\cdot K'$. ������ ���������, �������, ��� {\�� \��� $\phi$ -- �������
� ���������� ���������.}

{\�� \�����  ��� 5:} $\bar\6(\tilde f -\phi)= \alpha-\alpha=0$,
{\�� \��� ������, $\tilde f -\phi$ -- ����������� �������.}
\��������


\newpage


{\bf \���� ���������� �������}

\�����������
���������� ��������� ������������,
���������� ������� ����  $|\cdot|_i$, $i=0, 1, 2, ...$
� ����������, ������� ������ �������� ����
\[
d(x,y) = \sum_{i=0}^\infty 2^{-i}\min(|x-y|_i, 1).
\]
����� ������������ ���������� {\�� \���� ������������� �����},
���� ��� ������� �����.

\���������
{\�� \������ ����� ��������� ����� ����� ����������� �����������
$\epsilon$-�����} ���� $\bigcup_{i=0}^\infty B_x(\epsilon,|\cdot|_i), $
�� ���� �������� $|\cdot|_i$.

\�����������
����� $M$ --- �������� ������������, �
\[ \nabla^i:\; C^{\infty}(M) \arrow
\Lambda^1(M)^{\otimes i}\] -- $i$-� ������� ���������.
��������� $C^k$ �� ������������ $C^\infty(M)_c$ 
������� � ���������� ��������� �������� ������
\[
  |\phi|_{C^k}:= \sup_M \sum_{i=0}^k |\nabla^i\phi|.
\]

\newpage


{\bf \���� ���������� ������� (2)}

\�����������
{\�� \���� ������������ ����-�������} -- ������������ 
������� � ���������� ���������, � �������� ����
\[
d(x,y) = \sum_{i=0}^\infty 2^{-i}\min(|x-y|_{C^i}, 1).
\]

\���������� ��������, ��� ��� ������������ �����.

\�����������
{\��\���� ���������� �������} (�������������)
��� ���������� �� ������������ ����-�������,
����������� � ����� �� ��������� $C^i$.

\��������� 
{\�� \������ ��� �� �� �����, ��� ������������� 
����������� � ��������� �����.}


\������
{\�� \���� ������-�������} $\delta_t$ -- ����������, 
�������� $\phi$ � ������������ $\phi(t)$, 
��� $t\in M$ -- �����. {\�� \������ ������-������� 
���������� � ��������� $C^0$, �� �����������
���������� � $C^1$, � ��� �����.}


\newpage


{\bf \���� ������ �� �������������}

\��������� {\�� \���� $C^i$-���������} ������������ �� ������������
������� ������ ����������, ��� �� ��������.

\�����������
{\�� \���� ������������ ����-����  ���� $(p,q)$}
�� ����������� ������������ -- ��� ������������
$(p,q)$-���� � ���������� ���������, ����������
���������� ������������ �����, ��� �����
$|\cdot|_i$ ����� $C^i$.

\�����������
{\�� \���� $(p,q)$-�����} �� ����������� $n$-������ 
������������ ����  ���������� ��
������������ $\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$ $(n-p, n-q)$-���� � ����������
���������, ����������� � ����� �� $C^i$-\-��\-��\-��\-���.

\���������
������ ��� $(p,q)$-\-���\-��
� �������������� � ���������� ��������.

\���������
{\�� \��� ������� $(p,q)$-����� $\psi$ ����������
$(p,q)$-�����:} ��� ����� ����-�����
$\alpha\in\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$, ����������
���������� $\alpha \arrow \int_M \psi \wedge\alpha$.
��� ������ �������� $\Lambda^{p,q}(M)\hookrightarrow {\cal D}^{p,q}(M)$
�� ���� � ������.

\���������
{\�� \������ ������ ��� ����������
$\Lambda^{p,q}(M)$ � ���������, ������������ ���������
�� ����-������.}

\newpage

{\bf \���� ����������� �������}

\�����������
����������������� ����� ����������
���� ���������� � ��������� �������, ������, {\�� \���� ��
������������ ������� ��������� ������������ �� ����,}
������������ �� ������������� �� ������������ ����,
� ����� ������������� ������ $\6$ � $\bar\6$

\���������
{\�� \������ ������������ �� ���� �� ������� ����� ���������� ��������
$\langle d\alpha, \tau\rangle := 
-(-1){\tilde\alpha}\langle \alpha, d\tau\rangle$,}
��� $\alpha$ -- �����, � $\tau$ -- ����-�����.

\����������
�������� ����� �������� ��� �������.


\�����������
����� $f:\; X \arrow Y$ -- ����������� ������� 
����������� ������������, 
$\dim_\C X = \dim_\C Y +k$ � $\alpha$ -- ����� �� $X$.
��������� {\bf \blue ������ �����}
$f_*\alpha$ �������� 
$\langle f_*\alpha, \tau\rangle := \langle \alpha, f^*\tau\rangle$
����� ������, ��� {\�� \��� $f_*\alpha$ ����� ����������� $(p-k,q-k)$.}

\���������
$d f_* \alpha= f_* d\alpha$, 
$\6 f_* \alpha= f_* \6\alpha$, � ��� �����.

\��������� � ������� {\�� \��� �� ���������} �������� �����,
���� ��������� ������. � ���� ��� ������� ������, ���� ����
��������.

\newpage

{\bf \���� ������� ��������-�������}

\�����������
(������� ��������-�������)
���������� ����� �� $\C$, �������� ��������
$\frac 1{\pi z}d z $. {\�� \red ����� 
$d \left(\frac 1 {\pi z}d z\right ) = \delta_0\Vol$,}
��� $\delta_0$ ���� $\delta$-������� � 0.

\��������������
{\bf \blue ������� ����:} ��� ����� ������� $f$ �� ����� $D$, i $w\in D$,
����� 
\[
f(w) = \frac 1 {2\pi \1} \int_{\6 D}\frac{f(z)}{z-w} dz -
      \frac 1 \pi \int_D \frac {\bar \6 f}{z-w} \wedge dz
\]
�������� ��� � ����-������� $f$ � ���������� ��������� ������ $D$,
�������
$f(w)=- \langle\frac 1 {\pi z} dz, \bar \6 f\rangle = 
\langle\bar \6 (\frac 1 {\pi z}) d z, f\rangle.
$

\���������
����� $\pi_1, \pi_2:\; \C^2 \arrow \C$ -- ��������, � $\xi$ -- (2,1)-�����
�� $\C^2$, �������� �������� $\frac1{\pi(z-w)}dz \wedge d w \wedge d\bar w$.
���������� {\�� \���� ������� � ������� $\xi$}, �������� ��������
$P_\xi(\tau):= {\pi_2}_*(\pi^*_1 \tau\wedge \xi)$. 
����� $\bar\6 P_\xi(\alpha)=\alpha$, ��� ����� $(0,1)$-����� $\alpha$
� ���������� ���������.

\��������������
\[
\bar\6 P_\xi(\alpha)= {\pi_2}_*(\pi^*_1 \tau\wedge \bar\6\xi)=
{\pi_2}_*(\pi^*_1 \tau \wedge \delta_{\triangle})= \tau,
\]
��� $\delta_{\triangle}$ ���� ������-������� ��������� $\triangle$,
������������ �������� 
$\langle \kappa, \delta_{\triangle}\rangle := \int_\triangle \kappa$.
\��������


\end{document}


