\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 7 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm] \small лекция 7} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва \\[2mm] 8 ноября 2010 } \end{center} \newpage {\бф \блуе $dd^c$-лемма} \теорема Пусть $\eta$ - форма на компактном кэлеровом многообразии, которая удовлетворяет какому-то из условий\\ 1. $\eta$ -- точная (p,q)-форма. 2. $\eta$ -- $d^c$-точная, $d$-замкнутая. \\ 3. $\eta$ -- $\6$-точная, $\bar\6$-замкнутая.\\ {\бф \ред Тогда $\eta \in \im dd^c=\im \6\bar \6$.} \доказательство Отметим сразу, что во всех трех случаях {\бф \пурпле $\eta$ замкнута и ортогональна ядру Лапласа, значит, ее класс когомологий равен нулю.} Поскольку $\eta$ точна, она лежит в образе $\Delta$. Оператор $G_{\Delta}:=\Delta^{-1}$ определен на образе $\Delta$ (который замкнут) и коммутирует с $d, d^c$. Значит, $\eta':= G_{\Delta}(\eta)$ тоже точно. $\Delta = [\Lambda, dd^c]$ дает \[ \eta = \Delta(\eta')= [\Lambda, dd^c](\eta') = dd^c \Lambda \eta'. \] \endproof \замечание \[ \Delta G_\Delta(\eta) = dd^* + d^* dG_\Delta(\eta) = d^* G_\Delta(d \eta) + dd^* G_\Delta(\eta)=\eta \] для любой точной формы $\eta$. Значит, {\бф \блуе $d^* G_\Delta$ обращает $d$ на точных формах.} \newpage {\бф \блуе Операции Масси} \замечание Пусть $a, b, c\in \Lambda^*(M)$ замкнутые формы, классы когомологий которых удовлетворяют $[a][b]=[b][c]=0$, а $\alpha, \gamma\in \Lambda^*(M)$ такие формы, что $d(\alpha)= a\wedge b$, $d(\gamma) = b \wedge c$. {\bf \red Тогда $\alpha \wedge c - a\wedge \gamma$ -- замкнутая форма, и ее класс когомологий определен однозначно} по модулю $\im L_{[a]}+\im L_{[c]}$ (по модулю умножения на классы $[a]$, $[c]$). \определение Класс когомологий $\alpha \wedge c + a\wedge \gamma$ называется {\бф \блуе произведением Масси} $a,b,c$. \утверждение На кэлеровом многообразии, произведения Масси равны нулю. \доказательство Пусть $a,b,c$ -- гармонические $p,q$-формы, тогда $ab$ и $bc$ -- $dd^c$-точные $p,q$-формы, значит, $\alpha:=d^* G_\Delta(ab)$ и $\gamma:=d^* G_\Delta(bc)$ $d^c$-точные. Поэтому $\mu:=\alpha \wedge c - a\wedge \gamma$ -- $d^c$-точная, $d$-замкнутая форма. В силу $dd^c$-леммы, $I(\mu)$ $dd^c$-точна, значит $\mu$ тоже $dd^c$-точна. \ендпрооф \замечание $I^{-1} dd^c I = dd^c$. \newpage {\bf \блуе Теорема Хартогса} \теорема Пусть $f$ -- голоморфная функция на $\C^n \backslash K$, где $K\subset \C^n$ -- компакт, а $n>1$. {\бф \ред Тогда $f$ продолжается до голоморфной функции на $\C^n$.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Продолжим $f$ до гладкой функции $\tilde f$, голоморфной вне компакта $K' \subset \C^n$. {\бф \пурпле Тогда $\alpha:=\bar\6\tilde f$ -- (0,1)-форма с компактным носителем.} {\бф \греен Шаг 2:} Вложив $\C^n$ в $\C P^n$, представим $\alpha$ как (0,1)-форму с компактным носителем на $\C P^n$. Поскольку $H^1(\C P^n)=0$, получаем $\im \bar\6=\ker \bar\6$, это дает $\alpha =\bar\6\phi$, где $\phi$ -- ограниченная функция на $\C^n$. {\бф \греен Шаг 3:} $\phi$ голоморфна и ограниченна на любой прямой, не пересекающей $K'$, значит, {\bf \purple $\phi$ постоянна на каждой комплексной прямой, не пересекающей $K'$. } {\бф \греен Шаг 4:} Поэтому $\phi=\const$ вне выпуклой оболочки $U(1)\cdot K'$. Вычтем константу, получим, что {\бф \ред $\phi$ -- функция с компактным носителем.} {\бф \греен Шаг 5:} $\bar\6(\tilde f -\phi)= \alpha-\alpha=0$, {\бф \ред значит, $\tilde f -\phi$ -- голоморфная функция.} \ендпрооф \newpage {\bf \блуе Обобщенные функции} \определение Рассмотрим векторное пространство, снабженное набором норм $|\cdot|_i$, $i=0, 1, 2, ...$ и топологией, которая задана метрикой вида \[ d(x,y) = \sum_{i=0}^\infty 2^{-i}\min(|x-y|_i, 1). \] Такое пространство называется {\бф \блуе пространством Фреше}, если эта метрика полна. \замечание {\бф \пурпле Базой топологии Фреше будут бесконечные пересечения $\epsilon$-шаров} вида $\bigcup_{i=0}^\infty B_x(\epsilon,|\cdot|_i), $ во всех метриках $|\cdot|_i$. \определение Пусть $M$ --- риманово многообразие, а \[ \nabla^i:\; C^{\infty}(M) \arrow \Lambda^1(M)^{\otimes i}\] -- $i$-я степень связности. Топология $C^k$ на пространстве $C^\infty(M)_c$ функций с компактным носителем задается нормой \[ |\phi|_{C^k}:= \sup_M \sum_{i=0}^k |\nabla^i\phi|. \] \newpage {\bf \блуе Обобщенные функции (2)} \определение {\бф \блуе Пространство тест-функций} -- пространство функций с компактным носителем, с метрикой вида \[ d(x,y) = \sum_{i=0}^\infty 2^{-i}\min(|x-y|_{C^i}, 1). \] \упражнение Докажите, что это пространство Фреше. \определение {\бф\блуе Обобщенная функция} (распределение) это функционал на пространстве тест-функций, непрерывный в одной из топологий $C^i$. \замечание {\бф \пурпле Это то же самое, что непрерывность функционала в топологии Фреше.} \пример {\бф \блуе Дельта-функция} $\delta_t$ -- функционал, ставящий $\phi$ в соответствие $\phi(t)$, где $t\in M$ -- точка. {\бф \пурпле Дельта-функция непрерывна в топологии $C^0$, ее производная непрерывна в $C^1$, и так далее.} \newpage {\bf \блуе Потоки на многообразиях} \замечание {\бф \блуе $C^i$-топологии} определяются на пространстве сечений любого расслоения, той же формулой. \определение {\бф \блуе Пространство тест-форм типа $(p,q)$} на комплексном многообразии -- это пространство $(p,q)$-форм с компактным носителем, снабженное структурой пространства Фреше, где нормы $|\cdot|_i$ равны $C^i$. \определение {\бф \блуе $(p,q)$-поток} на комплексном $n$-мерном многообразии есть функционал на пространстве $\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$ $(n-p, n-q)$-форм с компактным носителем, непрерывный в одной из $C^i$-\-то\-по\-ло\-гий. \замечание Потоки это $(p,q)$-\-фор\-мы с коэффициентами в обобщенных функциях. \замечание {\бф \ред Гладкая $(p,q)$-форму $\psi$ определяет $(p,q)$-поток:} для любой тест-формы $\alpha\in\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$, рассмотрим функционал $\alpha \arrow \int_M \psi \wedge\alpha$. Это задает вложение $\Lambda^{p,q}(M)\hookrightarrow {\cal D}^{p,q}(M)$ из форм в потоки. \замечание {\бф \пурпле Потоки это пополнение $\Lambda^{p,q}(M)$ в топологии, двойственной топологии на тест-формах.} \newpage {\bf \блуе Когомологии потоков} \определение Дифференцирование вдоль векторного поля непрерывно в топологии потоков, значит, {\бф \блуе на пространстве потоков определен дифференциал де Рама,} продолженный по непрерывности из пространства форм, а также дифференциалы Дольбо $\6$ и $\bar\6$ \замечание {\бф \пурпле Дифференциал де Рама на потоках можно определить формулой $\langle d\alpha, \tau\rangle := -(-1){\tilde\alpha}\langle \alpha, d\tau\rangle$,} где $\alpha$ -- поток, а $\tau$ -- тест-форма. \упражнение Докажите лемму Пуанкаре для потоков. \определение Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- собственный морфизм комплексных многообразий, $\dim_\C X = \dim_\C Y +k$ а $\alpha$ -- поток на $X$. Определим {\bf \blue прямой образ} $f_*\alpha$ формулой $\langle f_*\alpha, \tau\rangle := \langle \alpha, f^*\tau\rangle$ Легко видеть, что {\бф \ред $f_*\alpha$ имеет размерность $(p-k,q-k)$.} \замечание $d f_* \alpha= f_* d\alpha$, $\6 f_* \alpha= f_* \6\alpha$, и так далее. \замечание У потоков {\бф \ред не определен} обратный образ, зато определен прямой. У форм нет прямого образа, зато есть обратный. \newpage {\bf \блуе Формула Пуанкаре-Лелонга} \утверждение (Формула Пуанкаре-Лелонга) Рассмотрим поток на $\C$, заданный формулой $\frac 1{\pi z}d z $. {\бф \red Тогда $d \left(\frac 1 {\pi z}d z\right ) = \delta_0\Vol$,} где $\delta_0$ есть $\delta$-функция в 0. \доказательство {\bf \blue Формула Коши:} для любой функции $f$ на диске $D$, i $w\in D$, имеем \[ f(w) = \frac 1 {2\pi \1} \int_{\6 D}\frac{f(z)}{z-w} dz - \frac 1 \pi \int_D \frac {\bar \6 f}{z-w} \wedge dz \] применив это к тест-функции $f$ с компактным носителем внутри $D$, получим $f(w)=- \langle\frac 1 {\pi z} dz, \bar \6 f\rangle = \langle\bar \6 (\frac 1 {\pi z}) d z, f\rangle. $ \следствие Пусть $\pi_1, \pi_2:\; \C^2 \arrow \C$ -- проекции, а $\xi$ -- (2,1)-поток на $\C^2$, заданный формулой $\frac1{\pi(z-w)}dz \wedge d w \wedge d\bar w$. Рассмотрим {\бф \блуе свертку с потоком $\xi$}, заданную формулой $P_\xi(\tau):= {\pi_2}_*(\pi^*_1 \tau\wedge \xi)$. Тогда $\bar\6 P_\xi(\alpha)=\alpha$, для любой $(0,1)$-формы $\alpha$ с компактным носителем. \доказательство \[ \bar\6 P_\xi(\alpha)= {\pi_2}_*(\pi^*_1 \tau\wedge \bar\6\xi)= {\pi_2}_*(\pi^*_1 \tau \wedge \delta_{\triangle})= \tau, \] где $\delta_{\triangle}$ есть дельта-функция диагонали $\triangle$, определенная формулой $\langle \kappa, \delta_{\triangle}\rangle := \int_\triangle \kappa$. \ендпрооф \end{document}