\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 5 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm] \small лекция 5} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва \\[2mm] 18 октября 2010 }\\[3mm] {\Large\bf\red Лекции 25-го октября не будет!\\ 1-го ноября будет.} \end{center} \newpage {\bf \блуе Градуированные векторные пространства и алгебры} \определение {\бф \блуе Градуированное векторное пространство} есть пространство $V^* =\bigoplus_{i\in \Z} V^i$. \замечание Еслу $V^*$ градуировано, пространство эндоморфизмов $\End(V^*)=\bigoplus_{i\in \Z} \End^i(V^*)$ тоже градуировано, \[ \End^i(V^*)= \bigoplus_{j\in \Z} \Hom(V^j, V^{i+j}).\] \определение {\бф \блуе Градуированная алгебра} (или "градуированная ассоциативная алгебра") есть алгебра $A^*=\bigoplus_{i\in \Z} A^i$ с умножением, которое совместимо с градуировкой: $A^i \cdot A^j \subset A^{i+j}$. \замечание Билинейное отображение градуированных пространств, которое удовлетворяет $A^i \cdot B^j \subset C^{i+j}$, называется {\бф\блуе градуированным}, или {\бф \блуе совместимым с градуировкой}. \замечание Категорию градуированных векторных пространств можно определить как {\бф \пурпле категорию векторных пространств с действием $U(1)$}; весовое разложение определяет градуировку по формуле $\rho(t)\restrict{A^n}=e^{2\pi \1 nt}$. Тогда {\бф \пурпле градуированная алгебра есть ассоциативная алгебра в категории пространств с $U(1)$-действием.} \newpage {\bf \blue Суперкоммутатор} \определение Оператор на градуированном пространстве называется {\бф \блуе четным} ({\бф \блуе нечетным}), если он сдвигает градуировку на четное (нечетное) число. {\бф \блуе Четность} $\tilde a$ оператора $a$ есть 0, если он четный, 1 если нечетный. Мы говорим, что оператор {\бф \блуе чистый} если он четный или нечетный. \определение {\бф \блуе Суперкоммутатор} чистых элементов определяется формулой $\{a,b\} = ab- (-1)^{\tilde a \tilde b}ba$. \определение Градуированная ассоциативная алгебра $A^*$ называется {\бф \блуе суперкоммутативной} если в $A^*$ суперкоммутатор равен нулю. \пример {\bf \purple Алгебра Грассмана $\Lambda^* V$ суперкоммутативна.} \newpage {\bf \blue Супералгебры Ли} \определение {\бф \блуе Супералгебра Ли} есть градуированное векторное пространство $\g^*$ снабженное билинейным градуированным произведением $\{\cdot,\cdot\}:\; \g^*\times \g^* \arrow \g^*$, которое супер-антикоммутативно: \[ \{a,b\} = - (-1)^{\tilde a \tilde b}\{b,a\} \] и удовлетворяет {\бф \блуе супер-тождеству Якоби} \[ \{c, \{a,b\}\} = \{\{c, a\},b\}+ (-1)^{\tilde a \tilde c}\{a,\{c, b\}\} \] \пример Рассмотрим алгебру $\End^* (V^*)$ всех эндоморфизмов градуированного векторного пространства, с суперкоммутатором, определенным выше. Тогда {\бф \пурпле $\End^* (V^*), \{\cdot,\cdot\}$ есть супер-алгебра Ли}. {\bf \green Лемма 1:} Пусть $d$ есть нечетный элемент супералгебры Ли над полем характеристики $\neq 2$, удовлетворяющий $\{d,d\}=0$. {\бф \ред Тогда $\{\{L,d\},d\}=0$} для любого $L$. {\бф \греен Доказательство:} \[ 0=\{L,\{d,d\}\}= \{\{L, d\}, d\}+(-1)^{\tilde L}\{d,\{L, d\}\}=2\{\{L, d\}, d\}. \] \newpage {\бф \блуе Дифференциал де Рама} \определение Пусть $M$ -- гладкое многообразие, $\Lambda^*M$ - его алгебра де Рама. Оператор $d:\; \Lambda^i(M) \arrow \Lambda^{i+1}(M)$ называется {\бф \блуе дифференциалом де Рама}, если он удовлетворяет следующим условиям 1. {\бф \блуе Градуированное соотношение Лейбница} \[ d(\alpha \wedge \beta) = d(\alpha) \wedge \beta + (-1)^{\tilde \alpha} \alpha \wedge d\beta \] 2. $d^2=0$ 3. На функциях, $d:\; C^\infty M \arrow \Lambda^1 (M)$ -- обычный дифференциал. \замечание {\бф \ред Единственность дифференциала де Рама очевидна.} Действительно, $d$ определяется своими значениями на образующих $\Lambda^*(M)$. Но эта алгебра порождена $C^\infty M$ и $d C^\infty M$. {\бф \ред Существование $d$:} Достаточно доказать существование $d$ локально, и воспользоваться единственностью для склейки. На $\R^n$, $d$ определяется формулой $d(f P) = \sum_i \frac {df}{dx_i} dx_i \wedge P$ для любого координатного монома $P= dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_k}$. \newpage {\бф \блуе Теорема Стокса} {\бф \греен Теорема Стокса:} $\int_M d\eta = \int_{\6 M}\eta$, если $M$ -- гладкое многообразие с краем $\6 M$. \определение Форма $\eta$ называется {\бф \блуе точной}, если $\eta = d\alpha$, и {\бф \блуе замкнутой}, если $d\eta=0$. \замечание Поскольку $d^2=0$, {\бф \пурпле любая точная форма замкнута}. \определение $H^i(M):= \frac{\text{закнутые $i$-формы на $M$}}{\text{точные $i$-формы}}$ называется {\бф \блуе группой $i$-х когомологий}. \замечание Для замкнутой $i$-формы $\eta$ и подмногообразия $X\subset M$, {\бф \пурпле интеграл $\int_X\eta$ зависит только от класса когомологий $\eta$ и от класса гомотопии $X$.} \newpage {\bf \блуе Оператор Ходжа $*$} Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство. {\бф \пурпле Метрика на $V$ индуцирует метрику на его тензорных пространствах}, $g(x_1\otimes x_2 \otimes ... \otimes x_k, x_1'\otimes x_2' \otimes ... \otimes x_k') = g(x_1, x'_1)g(x_2, x'_2) ... g(x_k, x'_k)$ Это задает {\бф \греен невырожденное, положительно определенное скалярное произведение на дифференциальных формах} на римановом многообразии: $g(\alpha, \beta) := \int_M g(\alpha, \beta) \Vol_M$ Другая невырожденная форма задается формулой $\alpha, \beta \arrow \int_M \alpha \wedge \beta$\\ {\бф \блуе (спаривание Пуанкаре).} \определение Пусть $M$ -- риманово $n$-мерное многообразие. Определим {\бф \блуе оператор Ходжа} $*:\; \Lambda^k M \arrow \Lambda^{n-k} M$ формулой {\bf \red $g(\alpha, \beta) = \int_M \alpha \wedge *\beta.$} \замечание {\бф \ред Оператор Ходжа всегда существует}. В ортонормальном базисе $\xi_1, ..., \xi_n \in \Lambda^1 M$, его можно задать на мономах \[ * (\xi_{i_1}\wedge\xi_{i_2} \wedge ... \wedge\xi_{i_k}) = (-1)^s \xi_{j_1}\wedge\xi_{j_2} \wedge ... \wedge\xi_{j_{n-k}}, \] где $\xi_{j_1},\xi_{j_2}, ..., \xi_{j_{n-k}}$ -- дополнительный набор ковекторов, а $s$ -- сигнатура перестановки $(i_1, ..., i_k, j_1, ..., j_{n-k})$. \замечание $*^2\restrict{\Lambda^k(M)}=(-1)^{k(n-k)}\Id_{\Lambda^k(M)}$ \newpage {\бф \блуе Теория Ходжа} \утверждение На компактном римановом многообразии, имеем\\ $d^*\restrict{\Lambda^k M} = (-1)^{nk} *d*,$ где $d^*$ -- {\бф \блуе сопряженный оператор} к $d$, $(d\alpha, \gamma) = (\alpha, d^*\gamma)$. \доказательство По теореме Стокса, \[ 0=\int_M d(\alpha\wedge \beta) = \int_M d(\alpha)\wedge \beta + (-1)^{\tilde \alpha} \alpha \wedge d(\beta), \] значит $(d\alpha, *\beta) = (-1)^{\tilde \alpha} (\alpha, *d\beta)$. Написав $\gamma:= *\beta$, получаем \[ (d\alpha, \gamma) = (-1)^{\tilde \alpha} (\alpha, *d(*)^{-1}\gamma)= (-1)^{\tilde \alpha} (-1)^{\tilde \alpha(\tilde n-\tilde\alpha)} (\alpha, *d*\gamma)= (-1)^{\tilde \alpha\tilde n}(\alpha, *d*\gamma). \] \endproof \определение Антикоммутатор $\Delta:=\{d, d^*\}= dd^* + d^* d$ называется {\бф \блуе оператор Лапласа} на $M$. Это самосопряженный, положительно определенный оператор: $(\Delta x, x)= (dx, dx) + (d^*x, d^*x).$ {\бф \греен Основная теорема теории Ходжа:} Существует {\бф \ред базис в гильбертовом пространстве} $L^2(\Lambda^*(M))$, состоящий из собственных векторов $\Delta$, и каждое собственное пространство конечномерно. \теорема {\бф \блуе (``Эллиптическая регулярность'')} Пусть $\alpha \in L^2(\Lambda^k(M))$ -- собственный вектор $\Delta$. {\бф \ред Тогда $\alpha$ -- гладкая $k$-форма.} \newpage {\бф \блуе Теория Ходжа и когомологии} {\бф \греен Определение:} Форма $\alpha$ называется {\бф \блуе гармонической}, если $\Delta(\alpha)=0$. \замечание Для любой гармонической формы $\alpha$, $0=(\Delta \alpha, \alpha)= (d\alpha, d\alpha) + (d^*\alpha, d^*\alpha),$ значит, $\alpha \in \ker d \cap \ker d^*$. Получаем, что {\бф \ред любая гармоническая форма на компактном многообразии замкнута.} \теорема Пусть $M$ -- компактное, риманово. Тогда естественное отображение ${\cal H}^i(M) \arrow H^i(M)$ из гармонических форм в когомологии -- изоморфизм. {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Поскольку $\ker d^*= (\im d)^\bot$, {\бф \пурпле естественное отображение ${\cal H}^i(M) \arrow H^i(M)$ инъективно.} {\бф \греен Шаг 2:} $\{d, \{d, d^*\}\} = 0$ по Лемме 1. Поэтому {\бф \пурпле $d$ коммутирует с $\Delta$.} {\бф \греен Шаг 3:} Рассмотрим весовое разложение $\Lambda^*(M) \tilde = \bigoplus_\alpha {\cal H}^*_\alpha(M)$, где $\alpha$ пробегает через все собственные значения $\Delta$. Для каждого $\alpha$, {\бф \ред дифференциал де Рама сохраняет собственные пространства $\Delta$,} что дает комплекс \[ {\cal H}^0_\alpha(M) \stackrel d \arrow {\cal H}^1_\alpha(M) \stackrel d \arrow {\cal H}^2_\alpha(M) \stackrel d \arrow ... \] \newpage {\бф \блуе Теория Ходжа и когомологии (продолжение)} {\бф \греен Шаг 4:} На ${\cal H}^*_\alpha(M)$, имеем $dd^* + d^* d= \alpha$. Когда $\alpha \neq 0$, и $\eta$ замкнута, это дает $dd^*(\eta) + d^* d(\eta)= dd^* \eta = \alpha\eta$, значит $\eta= d\xi$, где $\xi:= \alpha^{-1}d^* \eta$. Значит, для ненулевых $\alpha$, {\бф \пурпле комплексы $({\cal H}^*_\alpha(M), d)$ не дают вклада в когомологии} {\бф \греен Шаг 5:} Мы доказали, что \[ H^i(\Lambda^* M, d) = \bigoplus_\alpha H^i ({\cal H}^*_\alpha(M),d)= H^i ({\cal H}^*_0(M),d)={\cal H}^i(M). \] \endproof \замечание Из этой теоремы сразу следует {\bf \блуе двойственность Пуанкаре между $H^i(M)$ и $H^{n-i}(M)$:} $\int_M \eta \wedge *\eta \neq 0$ для любого $\eta$, что дает {\бф \ред невырожденность спаривания $H^i(M)\otimes H^{n-i}(M)\arrow H^n(M)=H^0(M)=\R$.} Здесь используется то, что для гармоничного $\eta$, форма $*\eta$ тоже гармонична, следовательно, замкнута. \newpage {\бф \блуе Суперсимметрия в кэлеровой геометрии} Пусть $(M, I, \omega)$ -- кэлерово многообразие. Рассмотрим операторы, действующие на $\Lambda^*(M)$: 1. $d$, $d^*$, $\Delta$ 2. {\бф\блуе Оператор Ходжа} $L(\alpha):= \omega\wedge \alpha$ и его сопряженный $\Lambda(\alpha) := * L * \alpha$. 3. {\бф\блуе Оператор Вейля:} ${\cal W}\restrict{\Lambda^{p,q}(M)}=\1(p-q)$ \замечание {\бф \пурпле Это вещественный оператор.} \теорема Эти операторы порождают 9-мерную супералгебру Ли $\goth a$, действующую на $\Lambda^*(M)$. Лапласиан $\Delta$ лежит в центре $\goth a$, значит, {\бф \пурпле $\goth a$ действует на когомологиях $M$.} \замечание Это удобный способ задавать {\бф \блуе "соотношения Кэлера"} между всеми этими операторами. \newpage {\bf \blue Координатные операторы} Пусть $V$ -- евклидово пространство, $v_i$ -- его базис, $e_{v_i}:\; \Lambda^k V \arrow \Lambda^{k+1} V$ оператор умножения на $v_i$, $e_{v_i}(\eta) = e_i \wedge \eta$. а $i_{v_i}:\; \Lambda^k V \arrow \Lambda^{k-1} V$ сопряженный оператор, $i_{v_i}= * e_{v_i} *$. \утверждение Операторы $e_{v_i}$, $i_{v_i}$, $\Id$ задают базис в {\бф \блуе нечетной супералгебре Гейзенберга $\goth H$}, где единственный нетривиальный суперкоммутатор задается $\{ e_{v_i}, i_{v_j}\} = \delta_{i,j}\Id$. Пусть теперь $V,I,g$ -- эрмитово $n$-мерное векторное пространство, а $\omega= \sum_{i=1}^n v_{2i-1} \wedge v_{2i}$ эрмитова форма. Определим {\бф \блуе операторы Ходжа} $L(\alpha) = \omega \wedge \alpha$, и $\Lambda:= L^*$. \замечание Из соотношений в $\goth H$, немедленно следует, что \[ H:=[L, \Lambda] = \left [\sum e_{v_{2i-1}} e_{v_{2i}}, \sum i_{v_{2i-1}} i_{v_{2i}}\right] = \sum_{i=1}^{2n} e_{v_i} i_{v_i} - \sum_{i=1}^{2n} i_{v_i} e_{v_i}, \] {\бф \ред скалярный оператор, действующий на $k$-формах умножением на $n-k$.} \newpage {\bf \blue $\goth{sl}(2)$-действие Лефшеца} \следствие Операторы $L, \Lambda, H$ образуют алгебру Ли, изоморфную ${\goth sl}(2)$, с соотношениями $[L, \Lambda] =H, \ \ [H, L]= 2 L, \ \ [H, \Lambda] = -2 \Lambda.$ \определение $L, \Lambda, H$ называется {\бф \блуе $\goth{sl}(2)$-тройкой Лефшеца}. \замечание Конечномерные представления $\goth{sl}(2)$ {\бф \ред полупросты}.. \замечание Неприводимое представление $V$ алгебры $\goth{sl}(2)$ порождено {\бф \блуе младшим вектором} $v\in V$ $\Lambda (v) =0$, $H (v) = - p v$, где $p\in \Z^{\geq 0}$, и вектора $v, L(v), L^2(v), ..., L^p(v)$ образуют его базис. {\бф \ред Такое представление однозначно задается числом $p$}, и обозначается $V_p$. \замечание В таком базисе, {\бф \пурпле $H$ действует диагонально:} $H(L^i(v))= (2i-p)L^i(v)$. \замечание Имеем $V_p= \Sym^p V_1$, где $V_1$ -- стандартное (тавтологическое, фундаментальное) 2-мерное представление $\goth{sl}(2)$. \следствие Для конечномерного представления ${\goth sl}(2)$, обозначим за $V^{(i)}$ собственное пространство $H$, $H\restrict{V^{(i)}}=i$. Тогда {\бф \пурпле $L^i$ определяет изоморфизм $V^{(-i)} \stackrel{L^i}\arrow V^{(i)}$ для любого $i>0$.} \newpage {\bf \blue Теорема Лефшеца.} \замечание {\пурпле \бф Следующая теорема сразу следует из теоремы о суперсимметрии} (недоказанной). \теорема На компактном кэлеровом многообразии {\бф \ред $\goth{sl}(2)$-операторы Лефшеца и оператор Вейля сохраняют дифференциальные формы.} \следствие Любой класс когомологий представим как сумма замкнутых $(p,q)$-форм, что дает разложение $H^i(M) = \bigoplus_{p+q=i}H^{p,q}(M)$, причем $\overline{H^{p,q}(M)} = H^{q,p}(M)$. \следствие {\бф \пурпле Нечетные когомологии кэлерова многообразия четномерны.} \следствие Пусть $M$ -- компактное, кэлерово, комплексной размерности $n$, а $i+p+q=n$. Тогда $L^i$ определяет {\бф \блуе изоморфизм Лефшеца} $H^{p,q} \stackrel{L^i}\arrow H^{p+2i,q+2i}(M)$ \newpage \begin{center} {\bf \blue Ромб Ходжа} \[ \begin{array}{ccccc} &&H^{n,n}&& \\[5mm] &H^{n,n-1}&&H^{n-1,n}& \\[5mm] H^{n,n-2}&&H^{n-1,n-1}&&H^{n-2,n} \\[5mm] \vdots &&\vdots &&\vdots\\[5mm] H^{2,0}&&H^{1,1}&&H^{0,2} \\[5mm] &H^{1,0}&&H^{0,1}& \\[5mm] &&H^{0,0}&& \\[5mm] \end{array} \] {\Large\bf \red Лекции 25-го октября не будет!\\ 1-го ноября будет. } \end{center} \vfil \end{document}