\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small ����������� ���������, ������ 5 \hfil
  \tiny ���� ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ����������� ������������, \\[15mm]
\small ������ 5}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ��������� } 
\\[20mm]

{\tiny\bf ���/���, ������
\\[2mm] 18 ������� 2010
}\\[3mm]
{\Large\bf\red ������ 25-�� ������� �� �����!\\
1-�� ������ �����.}
\end{center}

\newpage

{\bf \���� �������������� ��������� ������������ � �������}

\�����������
{\�� \���� �������������� ��������� ������������}
���� ������������ $V^* =\bigoplus_{i\in \Z} V^i$.

\���������
���� $V^*$ ������������, ������������ �������������
$\End(V^*)=\bigoplus_{i\in \Z} \End^i(V^*)$ ���� ������������,
\[ \End^i(V^*)= \bigoplus_{j\in \Z} \Hom(V^j, V^{i+j}).\]

\�����������
{\�� \���� �������������� �������} (��� "��������������
������������� �������") ���� ������� $A^*=\bigoplus_{i\in \Z} A^i$
� ����������, ������� ���������� � ������������: $A^i \cdot A^j \subset A^{i+j}$.

\���������
���������� ����������� �������������� �����������, �������
������������� $A^i \cdot B^j \subset C^{i+j}$, ����������
{\��\���� ��������������}, ��� {\�� \���� ����������� � ������������}.

\���������
��������� �������������� ��������� �����������
����� ���������� ��� {\�� \������ ��������� ��������� �����������
� ��������� $U(1)$}; ������� ���������� ���������� �����������
�� ������� $\rho(t)\restrict{A^n}=e^{2\pi \1 nt}$.
����� {\�� \������ �������������� ������� ���� �������������
������� � ��������� ����������� � $U(1)$-���������.}


\newpage 

{\bf \blue ���������������}

\�����������
�������� �� �������������� ������������ ����������
{\�� \���� ������} ({\�� \���� ��������}), ����
�� �������� ����������� �� ������ (��������) �����.
{\�� \���� ��������} $\tilde a$ ��������� $a$ ���� 0, ���� �� ������,
1 ���� ��������. �� �������, ��� �������� {\�� \���� ������}
���� �� ������ ��� ��������.

\�����������
{\�� \���� ���������������} ������ ��������� ������������
�������� $\{a,b\} = ab- (-1)^{\tilde a \tilde b}ba$.

\����������� 
�������������� ������������� ������� $A^*$
���������� {\�� \���� ������������������} ���� 
� $A^*$ ��������������� ����� ����.

\������
{\bf \purple ������� ��������� $\Lambda^* V$ �����������������.}

\newpage 

{\bf \blue ������������ ��}

\����������� 
{\�� \���� ������������ ��} ���� ��������������
��������� ������������ $\g^*$ ���������� ����������
�������������� ������������� $\{\cdot,\cdot\}:\; \g^*\times \g^* \arrow \g^*$,
������� �����-����������������: 
\[ \{a,b\} = - (-1)^{\tilde a \tilde b}\{b,a\}
\]
� ������������� {\�� \���� �����-��������� �����}
\[
\{c, \{a,b\}\} = \{\{c, a\},b\}+ (-1)^{\tilde a \tilde c}\{a,\{c, b\}\}
\]

\������
���������� ������� $\End^* (V^*)$ ���� �������������
��������������� ���������� ������������, � �����������������,
������������ ����. ����� {\�� \������ $\End^* (V^*), \{\cdot,\cdot\}$
���� �����-������� ��}.


{\bf \green ����� 1:}
����� $d$ ���� �������� ������� ������������ �� ���
����� �������������� $\neq 2$, ��������������� $\{d,d\}=0$.
{\�� \��� ����� $\{\{L,d\},d\}=0$} ��� ������ $L$.

{\�� \����� ��������������:} 
\[ 
0=\{L,\{d,d\}\}= \{\{L, d\}, d\}+(-1)^{\tilde L}\{d,\{L, d\}\}=2\{\{L, d\}, d\}.
\]



\newpage

{\�� \���� ������������ �� ����}


\����������� 
����� $M$ -- ������� ������������, $\Lambda^*M$ - ��� ������� �� ����.
�������� $d:\; \Lambda^i(M) \arrow \Lambda^{i+1}(M)$
���������� {\�� \���� �������������� �� ����}, ���� ��
������������� ��������� ��������

1. {\�� \���� �������������� ����������� ��������}
\[ d(\alpha \wedge \beta) = 
d(\alpha) \wedge \beta + (-1)^{\tilde \alpha} \alpha \wedge d\beta
\]
2. $d^2=0$

3. �� ��������, $d:\; C^\infty M \arrow \Lambda^1 (M)$ -- �������
������������.

\���������
{\�� \��� �������������� ������������� �� ���� ��������.}
�������������, $d$ ������������ ������ ���������� ��
���������� $\Lambda^*(M)$. �� ��� ������� ���������
$C^\infty M$ � $d C^\infty M$.

{\�� \��� ������������� $d$:} ���������� �������� �������������
$d$ ��������, � ��������������� ��������������� ��� �������.
�� $\R^n$, $d$ ������������ �������� 
$d(f P) = \sum_i \frac {df}{dx_i} dx_i \wedge P$
��� ������ ������������� ������ $P= dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_k}$.

\newpage

{\�� \���� ������� ������}

{\�� \����� ������� ������:} $\int_M d\eta = \int_{\6 M}\eta$,
���� $M$ -- ������� ������������ � ����� $\6 M$.

\�����������
����� $\eta$ ���������� {\�� \���� ������}, ���� $\eta = d\alpha$,
� {\�� \���� ���������}, ���� $d\eta=0$. 

\��������� ��������� $d^2=0$, {\�� \������ ����� ������ ����� ��������}.

\����������� 
$H^i(M):= \frac{\text{�������� $i$-����� �� $M$}}{\text{������ $i$-�����}}$
���������� {\�� \���� ������� $i$-� �����������}.

\��������� ��� ��������� $i$-����� $\eta$ � ���������������
$X\subset M$, {\�� \������ �������� $\int_X\eta$ ������� ������ �� 
������ ����������� $\eta$ � �� ������ ��������� $X$.}

\newpage

{\bf \���� �������� ����� $*$}

����� $V$ -- ������������ ��������� ������������.
{\�� \������ ������� �� $V$ ���������� ������� �� 
��� ��������� �������������}, 
$g(x_1\otimes x_2 \otimes ... \otimes x_k, x_1'\otimes x_2' \otimes ... \otimes x_k') = g(x_1, x'_1)g(x_2, x'_2) ... g(x_k, x'_k)$

��� ������ {\�� \����� �������������, ������������
������������ ��������� ������������ �� ���������������� ������}
�� ��������� ������������:
$g(\alpha, \beta) := \int_M g(\alpha, \beta) \Vol_M$

������ ������������� ����� �������� ��������
$\alpha, \beta \arrow \int_M \alpha \wedge \beta$\\
{\�� \���� (���������� ��������).}

\�����������
����� $M$ -- �������� $n$-������ ������������.
��������� {\�� \���� �������� �����} 
$*:\; \Lambda^k M \arrow \Lambda^{n-k} M$
�������� {\bf \red $g(\alpha, \beta) = \int_M \alpha \wedge *\beta.$}

\��������� {\�� \��� �������� ����� ������ ����������}.
� �������������� ������ $\xi_1, ..., \xi_n \in \Lambda^1 M$, ��� ����� ������ 
�� �������
\[ * (\xi_{i_1}\wedge\xi_{i_2} \wedge ... \wedge\xi_{i_k}) =
(-1)^s \xi_{j_1}\wedge\xi_{j_2} \wedge ... \wedge\xi_{j_{n-k}},
\]
��� $\xi_{j_1},\xi_{j_2}, ...,  \xi_{j_{n-k}}$ -- ��������������
����� ����������,  � $s$ -- ��������� ������������ 
$(i_1, ..., i_k, j_1, ..., j_{n-k})$.

\���������
 $*^2\restrict{\Lambda^k(M)}=(-1)^{k(n-k)}\Id_{\Lambda^k(M)}$

\newpage

{\�� \���� ������ �����}

\�����������
�� ���������� ��������� ������������, �����\\
$d^*\restrict{\Lambda^k M} = (-1)^{nk} *d*,$
��� $d^*$ -- {\�� \���� ����������� ��������} � $d$,
$(d\alpha, \gamma) = (\alpha, d^*\gamma)$.

\�������������� �� ������� ������,
\[ 
  0=\int_M d(\alpha\wedge \beta) = \int_M d(\alpha)\wedge \beta +
  (-1)^{\tilde \alpha} \alpha \wedge d(\beta),
\]
������  $(d\alpha, *\beta) = (-1)^{\tilde \alpha} (\alpha, *d\beta)$.
������� $\gamma:= *\beta$, ��������
\[
  (d\alpha, \gamma) = (-1)^{\tilde \alpha} (\alpha, *d(*)^{-1}\gamma)=
  (-1)^{\tilde \alpha} (-1)^{\tilde \alpha(\tilde n-\tilde\alpha)}
  (\alpha, *d*\gamma)= (-1)^{\tilde \alpha\tilde n}(\alpha, *d*\gamma).
\]
\endproof

\�����������
�������������� $\Delta:=\{d, d^*\}= dd^* + d^* d$
���������� {\�� \���� �������� �������} �� $M$.
��� ���������������, ������������ ������������
��������: $(\Delta x, x)= (dx, dx) + (d^*x, d^*x).$

{\�� \����� �������� ������� ������ �����:}
���������� {\�� \��� ����� � ������������ ������������}
$L^2(\Lambda^*(M))$, ��������� �� ����������� ��������
$\Delta$, � ������ ����������� ������������ ������������.

\������� {\�� \���� (``������������� ������������'')}
����� $\alpha \in L^2(\Lambda^k(M))$ -- ����������� ������
$\Delta$. {\�� \��� ����� $\alpha$ -- ������� $k$-�����.}

\newpage

{\�� \���� ������ ����� � �����������}

{\�� \����� �����������:} ����� 
$\alpha$ ���������� {\�� \����
�������������}, ���� $\Delta(\alpha)=0$.

\��������� ��� ����� ������������� ����� $\alpha$,
$0=(\Delta \alpha, \alpha)= (d\alpha, d\alpha) + (d^*\alpha, d^*\alpha),$
������, $\alpha \in \ker d \cap \ker d^*$.
��������, ��� {\�� \��� ����� ������������� ����� 
�� ���������� ������������ ��������.}

\�������
����� $M$ -- ����������, ��������.
����� ������������ ����������� 
${\cal H}^i(M) \arrow H^i(M)$
�� ������������� ���� � 
����������� -- ����������.

{\�� \����� ��������������. ��� 1:}
��������� $\ker d^*= (\im d)^\bot$, {\�� \������ 
������������ �����������
${\cal H}^i(M) \arrow H^i(M)$ ����������.}

{\�� \����� ��� 2:}  $\{d, \{d, d^*\}\} = 0$ �� ����� 1. �������
{\�� \������ $d$ ����������� � $\Delta$.}

{\�� \����� ��� 3:} ���������� ������� ����������
$\Lambda^*(M) \tilde = \bigoplus_\alpha {\cal H}^*_\alpha(M)$,
��� $\alpha$ ��������� ����� ��� ����������� ��������
$\Delta$. ��� ������� $\alpha$, {\�� \��� ������������ �� ����
��������� ����������� ������������ $\Delta$,} ��� ���� ��������
\[
{\cal H}^0_\alpha(M) \stackrel d \arrow 
{\cal H}^1_\alpha(M) \stackrel d \arrow 
{\cal H}^2_\alpha(M) \stackrel d \arrow ...
\]

\newpage

{\�� \���� ������ ����� � ����������� (�����������)}

{\�� \����� ��� 4:} �� ${\cal H}^*_\alpha(M)$, �����
$dd^* + d^* d= \alpha$. ����� $\alpha \neq 0$, � $\eta$
��������, ��� ���� $dd^*(\eta) + d^* d(\eta)= dd^* \eta = \alpha\eta$,
������ $\eta= d\xi$, ��� $\xi:= \alpha^{-1}d^* \eta$.
������, ��� ��������� $\alpha$,
{\�� \������ ��������� $({\cal H}^*_\alpha(M), d)$ �� ����
������ � �����������}

{\�� \����� ��� 5:} �� ��������, ���
\[
H^i(\Lambda^* M, d) = \bigoplus_\alpha H^i ({\cal H}^*_\alpha(M),d)=
H^i ({\cal H}^*_0(M),d)={\cal H}^i(M).
\]
\endproof

\��������� �� ���� ������� ����� �������
{\bf \���� �������������� �������� ����� $H^i(M)$ � $H^{n-i}(M)$:}
$\int_M \eta \wedge *\eta \neq 0$ ��� ������ $\eta$, ��� ����
{\�� \��� ���������������
���������� $H^i(M)\otimes H^{n-i}(M)\arrow H^n(M)=H^0(M)=\R$.}
����� ������������ ��, ��� ��� ������������ $\eta$, ����� $*\eta$
���� ����������, �������������, ��������.


\newpage

{\�� \���� �������������� � ��������� ���������}

����� $(M, I, \omega)$ -- �������� ������������.
���������� ���������, ����������� �� $\Lambda^*(M)$:

1. $d$, $d^*$, $\Delta$

2. {\��\����  �������� �����} $L(\alpha):= \omega\wedge \alpha$
� ��� ����������� $\Lambda(\alpha) := * L * \alpha$.

3. {\��\���� �������� �����:} ${\cal W}\restrict{\Lambda^{p,q}(M)}=\1(p-q)$

\���������
{\�� \������ ��� ������������ ��������.}


\�������
��� ��������� ��������� 9-������ ������������ ��
$\goth a$, ����������� �� $\Lambda^*(M)$. ���������
$\Delta$ ����� � ������ $\goth a$, ������, 
{\�� \������ $\goth a$ ��������� �� ������������ $M$.}

\���������
��� ������� ������ �������� {\�� \���� "����������� ������"} ����� 
����� ����� �����������.

\newpage

{\bf \blue ������������ ���������}

�����  $V$ -- ��������� ������������, $v_i$ -- ��� �����,
$e_{v_i}:\; \Lambda^k V  \arrow \Lambda^{k+1} V$
�������� ��������� �� $v_i$, $e_{v_i}(\eta) = e_i \wedge \eta$.
� $i_{v_i}:\; \Lambda^k V  \arrow \Lambda^{k-1} V$
����������� ��������, $i_{v_i}= * e_{v_i} *$.

\�����������
��������� $e_{v_i}$, $i_{v_i}$, $\Id$
������ ����� � {\�� \���� �������� ������������ ����������� $\goth H$},
��� ������������ ������������� ��������������� ��������
$\{ e_{v_i}, i_{v_j}\} = \delta_{i,j}\Id$.

����� ������ $V,I,g$ -- �������� $n$-������ ��������� ������������,
� $\omega= \sum_{i=1}^n v_{2i-1} \wedge v_{2i}$ �������� �����.
��������� {\�� \���� ��������� �����} 
$L(\alpha) = \omega \wedge \alpha$, � $\Lambda:= L^*$.

\��������� 
�� ����������� �  $\goth H$, ���������� �������, ���
\[
H:=[L, \Lambda] = 
\left [\sum e_{v_{2i-1}} e_{v_{2i}}, \sum i_{v_{2i-1}} i_{v_{2i}}\right]
= \sum_{i=1}^{2n} e_{v_i} i_{v_i} - \sum_{i=1}^{2n} i_{v_i} e_{v_i},
\]
{\�� \��� ��������� ��������, ����������� �� $k$-������ ���������� ��
$n-k$.}

\newpage

{\bf \blue $\goth{sl}(2)$-�������� �������}

\���������
��������� $L, \Lambda, H$ �������� ������� ��,
���������� ${\goth sl}(2)$, � �������������
$[L, \Lambda] =H, \ \ [H, L]= 2 L, \ \ [H, \Lambda] = -2 \Lambda.$

\�����������
$L, \Lambda, H$ ���������� {\�� \���� 
$\goth{sl}(2)$-������� �������}.

\���������
������������� ������������� $\goth{sl}(2)$ {\�� \��� ����������}..

\��������� 
������������ ������������� $V$ ������� $\goth{sl}(2)$ ���������
{\�� \���� ������� ��������} $v\in V$ 
$\Lambda (v) =0$, $H (v) = - p v$, ��� $p\in \Z^{\geq 0}$,
� ������� $v, L(v), L^2(v), ..., L^p(v)$ �������� ��� �����.
{\�� \��� ����� ������������� ���������� �������� ������ $p$},
� ������������ $V_p$.

\���������
� ����� ������, {\�� \������ $H$ ��������� �����������:}
$H(L^i(v))= (2i-p)L^i(v)$.

\���������
����� $V_p= \Sym^p V_1$, ��� $V_1$ -- �����������
(���������������, ���������������) 2-������ ������������� $\goth{sl}(2)$.

\���������
��� �������������� ������������� ${\goth sl}(2)$,
��������� ��  $V^{(i)}$  ����������� ������������ $H$,
$H\restrict{V^{(i)}}=i$. ����� {\�� \������ $L^i$ ����������
���������� $V^{(-i)} \stackrel{L^i}\arrow V^{(i)}$ ��� ������
$i>0$.}

\newpage

{\bf \blue ������� �������.}

\���������
{\������ \�� ��������� ������� ����� ������� �� �������
� ��������������} (������������).

\�������
 �� ���������� ��������� ������������
{\�� \��� $\goth{sl}(2)$-��������� ������� � �������� �����
��������� ���������������� �����.}

\���������
����� ����� ����������� ����������
��� ����� ��������� $(p,q)$-����, ��� ���� ����������
$H^i(M) = \bigoplus_{p+q=i}H^{p,q}(M)$, ������
$\overline{H^{p,q}(M)} = H^{q,p}(M)$.

\��������� {\�� \������ �������� ����������� �������� ������������
����������.}

\��������� ����� $M$ -- ����������, ��������, 
����������� ����������� $n$, � $i+p+q=n$. ����� $L^i$ ����������
{\�� \���� ���������� �������} $H^{p,q} \stackrel{L^i}\arrow H^{p+2i,q+2i}(M)$


\newpage
\begin{center}

{\bf \blue ���� �����}

\[
\begin{array}{ccccc}
&&H^{n,n}&& \\[5mm]
&H^{n,n-1}&&H^{n-1,n}& \\[5mm]
H^{n,n-2}&&H^{n-1,n-1}&&H^{n-2,n} \\[5mm]
\vdots &&\vdots &&\vdots\\[5mm]
H^{2,0}&&H^{1,1}&&H^{0,2} \\[5mm]
&H^{1,0}&&H^{0,1}& \\[5mm]
&&H^{0,0}&& \\[5mm]
\end{array}
\]



{\Large\bf \red ������ 25-�� ������� �� �����!\\
1-�� ������ �����.
}
\end{center}

\vfil

\end{document}

