\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small ����������� ���������, ������ 4 \hfil
  \tiny ���� ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ����������� ������������, \\[15mm]
\small ������ 4}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ��������� } 
\\[20mm]

{\tiny\bf ���/���, ������
\\[2mm] 11 ������� 2010
}
\end{center}

\newpage

{\�� \���� ��������� � ��������}


\���������
{\�� \������ ������������ ������� ���������� $B$ �� �������
������������ ������������ $B$.}

\�����������
{\�� \���� ���������} �� ��������� ���������� $B$
���� ����������� $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$
��������������� $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$
��� �����  $b\in B$, $f\in C^\infty M$.

\���������
���� $X\in TM$ -- ��������� ����, $b\in B$, �� 
{\�� \������ $\nabla_X b$ -- ������� $B$, ���������� 
��� $\langle\nabla b, X\rangle$.}


\���������
��� ������ ���������� ����������
${\cal B}_1:=
B^*\otimes B^* \otimes ... \otimes B^* \otimes B\otimes B \otimes ... \otimes B$
{\bf \������ ��������� �� $B$ ���������� ��������� �� ${\cal B}_1$}
�� {\�� \���� ������� ��������:}
\[
\nabla(b_1 \otimes b_2) = \nabla(b_1) \otimes b_2 + b_1 \otimes \nabla(b_2).
\]

\���������
��������� �������� {\�� \��� �������� ������������} ���
������������� ������� ���������� $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$.

\newpage

{\bf \blue ��������}

\����������� 
����� $\nabla$ -- ��������� �� $\Lambda^1M$, 
\[ \Lambda^1 \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\]
 {\��\���� �������� $\nabla$} 
�������� �������� $T_\nabla:=\Alt \circ \nabla - d$,
��� \[ \Alt:\;  \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M\]
- ������� ���������. �������� ���� �����������
$T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$.

\���������
\begin{align*}
T_\nabla(f\eta) = & \Alt(f\nabla\eta + df\otimes \eta) - d(f\eta)\\
= &f\bigg [\Alt(\nabla\eta) - d\eta\bigg] + df\wedge \eta - df\wedge \eta=
f T_\nabla(\eta).
\end{align*}
{\�� \������ ������, $T_\nabla$ �������.}

\��������� \\
{\�� \��� �������� ����� ���������� ��� �����������
$\Lambda^2 TM \arrow TM$ ��������
$\nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]$.}
{\�� \���� ��� ��������, ������������ ������������� ����.}


\newpage

{\bf \blue �������� ������������}


\�����������
{\�� \���� ������} ��� ������� $G$ ���� ������������
$X$, ���������� ��������� � ������������ ��������� $G$,
$g,x \arrow \rho(g,x).$

\�����������
{\�� \���� �������} �������� $(X,G,\rho) \stackrel \Psi \arrow (X',G',\rho')$
���� ���� $\Psi_X:\; X\arrow X', \Psi_G:\; G \arrow G'$,
��� $\Psi_G$ ���� ����������� �����, � �������������
� ��������� $G,G'$ �� $X, X'$ ���:
$\Psi_X(\rho(g,x)) = \rho'(\Psi_G(g),\Psi_X(x))$

\���������
{\�� \������ ������� �������� ���������.}

\�����������
{\�� \���� �������� ������������} ����
������ ��� �������� ������������� $V$,
������� ���������� ��� {\�� \���� �������������}.

\���������
{\�� \������ �������� $V$ �� $A$ ������������ $a,v \arrow a +v$.}

\�����������
{\��\���� �������} �������� ����������� ����
������� ��������������� ��������.

\���������
��� �� �� �����, ��� 
����������� $A \stackrel {\Psi_A} \arrow A'$, ���� �����������
������������ $L\stackrel {\Psi_L} \arrow L'$
�����, ��� $\Psi_A(a+l) = \Psi_A(a) + \Psi_L(l)$.

\newpage

{\bf \blue ������������ ��������}


\���������
���� $\nabla_1$ � $\nabla_2$ -- ��������� �� ����������
$B$, �� �������� ���� ������� $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$.
{\�� \���� ������������ ${\cal A}(B)$ ���������� �� $B$
���� �������� ������������}, �� ���� ������ ��� 
������������� ������� $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$.

\���������
{\�� \������ �������� ���� �������� �����������}
\[ {\cal A}(\Lambda^1 M) 
\arrow \Hom(\Lambda^1M, \Lambda^2 M)= TM \otimes\Lambda^2 M .
\]
������ ��� $T(\nabla + \alpha) = T(\nabla) + \Alt_{12}(\alpha)$,
��� $\Alt_{12}:\; \Lambda^1M \otimes \End(\Lambda^1M) \arrow
\Lambda^2M \otimes TM$ ���� ��������������� �� ������ ���� ��������.

\�����������
{\�� \���� ��������������� ��������} ���� �����������\\
$T_{lin}=\Alt$,
\[
T_{lin}:\; \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^1(M) \otimes TM
\arrow \Lambda^2 M  \otimes TM
\]
���������� ��� ������������ ��������.


\newpage

{\bf \blue ��������� ����-������}

\�����������
��������� �� ��������� ������������ $(M,g)$ ����������
{\�� \���� �������������}, ���� $\nabla(g)=0$,
� {\�� \���� ���������� ����-������}, ���� ��� 
������������ � ��� ��������.

\�����������
����� $B$ -- ���������� � ��������. {\�� \��� ����� �� 
$B$ ������ ���������� ������������� ���������.}

\��������������
������� �������� $\{U_i\}$, � ������� $B$
���������� � ��������� �������������� �����.
�� ������ $U_i$ ������� ��������� $\nabla_i$,
������� ��������� ���� �����. ����� $\psi_i$ --
��������� �������, ����������� $\{U_i\}$.
����� {\�� \������ ������� $\nabla(b):= \sum \nabla_i(\psi_i b)$
���������� ������������� ���������.}
\endproof


\�������
("�������� ������� ���������������� ���������")
������ �������� ������������ {\�� \��� 
��������� ��������� ����-������, � ��� �����������.
}

\newpage

{\bf \blue ��������� ����-������ (������������� � ��������������)}


\��������������
������� ������������� ��������� $\nabla$ �� $\Lambda^1 M$.
������������ ������������� ���������� -- ��������, � {\��
\������ ��� ������������ ���� $\Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)$.}

{\�� \����� ��� 1:} ������������ $TM$ � $\Lambda^1 M$, ��������
${\goth so}(TM) =\Lambda^2 M$.

{\�� \����� ��� 2:} ��������������� �������� ���� 
�����������
\[ T_{lin} :\; \Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)=
\Lambda^1(M) \otimes \Lambda^2 M
\stackrel{\Alt} \arrow \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1M =
\Lambda^2 M \otimes T M.
\]
{\�� \��� ��� ����������.} ������ � �����
���������� ����� �����������, ��� ��� {\�� \������ ����������
��������, ��� $T_{lin}$ ��� ����.} �� ���� $\eta \in \ker T_{lin}$,
{\�� \����� $\eta$ ����������� �� ������ ���� ����������
� ��������������� �� ���������,} ��� ����
$\eta(x,y,z) = \eta(y,x,z) = - \eta (y,z, x).$
{\�� \������ �� ���� $\sigma(\eta) =-\eta$, ��� $\sigma$ ����
����������� ������������ ����������.} ���������
$\sigma^3=1$, �� ����� �������, ��� $\eta=0$.

{\bf \green ��� 3:} 
�� ��������, ��� {\�� \purple ������������� ���������
���������� �������� ����� ���������,} ��� �������� ������ ����������
�������� �����������.

{\�� \����� ��� 4:} ������� $\nabla:= \nabla_0 -T_{lin}^{-1}(T_{\nabla_0})$.
����� $T_\nabla= T_{\nabla_0}-T_{lin}(T_{lin}^{-1}(T_{\nabla_0}))=0$,
������ {\bf \red $\nabla$ -- ��������� ��� ��������}. \endproof

\newpage

{\bf \blue ��������� ����-������ �� ��������� ������������}

\�������
����� $(M,I,g)$ -- ����� ����������� ��������
������������. {\�� \������ ����� ��������� ������� ��������������:}

(i) {\bf \red ����������� ��������� $I$ ������������, � 
�������� ����� $\omega$ ��������.}

(ii) {\bf \red $\nabla(I)=0$,} ��� $\nabla$ ���� ���������
����-������.

\���������
{\bf \purple ���������� (ii) $\Rightarrow$ (i) ��������
��������.} �������������, $[X,Y]=\nabla_X Y - \nabla_Y X$,
������, ���������� $(1,0)$-��������� ����� -- ����� ���� $(1,0)$,
��� ������ ��������������� $I$. �����, {\bf \purple
$\nabla$ -- ��������� ���
��������, ��� ������ 
$d\omega= \Alt(\nabla\omega)$,} ������, $d\omega=0$.


\newpage

{\bf \blue ��������� �������}


\��������� �� ��������� ������������, ��������
$T_\nabla\in \Lambda^2 M \otimes TM$ ������
������������� ��� ������� $T_\nabla'\in \Lambda^2 M
\otimes\Lambda^1 M$, ������������ $TM$ � $\Lambda^1M$
� ������� $g$.

�������������� ���������� (i) $\Rightarrow$ (ii).
���������� �������� �� ������� �������.

\�������
(������) ����� $(M,I, g)$ -- ����������� ��������
����������. {\�� \��� ����� ���������� � ����������� ���������
$\nabla_b$,  ����������� $I$ � $g$, �����, ��� ������ ��������
$T_{\nabla_b}' \in\Lambda^2 M \otimes \Lambda^1 M$
���������������. � ���� ��������, $T_{\nabla_b}' =
-I(d\omega)$.}

\�����������
����� ��������� ���������� {\�� \���� ���������� �������}.

\��������� �������������� ��������� ������� �������
�� ����, ��� {\�� \������ 
 ������������� ��������� ���������� �������� ����� ���������.}

\newpage

{\bf \blue ������������ �������� �� ��������� ������������}


{\�� \����� �������������� ������� �������. ��� 1:}
������� ��������� $\nabla$, ����������� $I$ � $g$.
�������� $\alpha$ ���� ����� ���������� ���� 1-����� �
�������������� � ������������ ������������� ������,
$\alpha\in\Lambda^1 \otimes {\goth u}(TM)$.
������, {\�� \������ ������������ ����������, 
����������� $I$ � $g$, ���� �������� ������������
��� ������������� ������� 
$\Lambda^1 \otimes {\goth u}(TM)$.}

{\�� \����� ��� 2:} {\�� \��� ${\goth u}(TM)$ ���������������
� $\Lambda^{1,1}M$.} ����� ������������ �������� ����
�����������
\[
T_{lin}:\; \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^{1,1}(M)
\stackrel\Alt \arrow \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1(M).
\]

{\�� \����� ��� 3:}
{\bf \purple $\nabla$ ��������� ���������� �����, 
� $I$ ������������}, ��� ���� $T_{\nabla}(X^{1,0},
Y^{1,0}) \subset T^{1,0}(M)$ ��� ����� $X^{1,0},
Y^{1,0}\in T^{1,0}(M)$. ��� ������� ��
\[
T_\nabla(X,Y) =\nabla_X Y - \nabla_Y X
\]

{\�� \����� ��� 4:} ������, $T'_\nabla$ �����������
\[
  \Lambda^{1,1} (M) \otimes \Lambda^1(M) \oplus
   \Lambda^{2,0}  \otimes \Lambda^{0,1}(M) \oplus
   \Lambda^{0,2}  \otimes \Lambda^{1,0}(M)
\]
������ ��� {\�� \������ ��� ����������� ���� ���� $(1,0)$-��������
��� ���� $(0,1)$-�����.}

\newpage

{\bf \blue ������������ �������� �� ��������� ������������
(2)}

{\�� \����� ��� 5:} 
��� $\alpha \in \Lambda^1 M \otimes {\goth{so}}(TM)$,
��������� $\alpha$ �� $\Lambda^* M$ �� ������� ��������
$\alpha(\eta \wedge \eta') = \alpha(\eta) \wedge \eta' + 
(-1)^{\deg \eta}\alpha(\eta')$. ������� ���������
����-������ �������� $\nabla_{LC} =\nabla + \alpha$.
{\�� \������ ����� $\alpha= T_{lin}^{-1}(T_\nabla')$.} ��� ����
{\�� \��� \[
d\omega= \Alt(\nabla_{LC} \omega) = \Alt(\nabla \omega + \alpha\omega)
= \Alt(T_{lin}^{-1}(T_\nabla')(\omega)).
\]}



{\�� \����� ��� 6:} 
��������� �� $A:\; \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1 M$
��������, ����������� $\tau$ � $\Alt(T_{lin}^{-1}(\tau)(\omega))$.
��������� $A(T_\nabla') = d\omega$,  
$A(T_\nabla')$ �� ������� ������ ��������� $\nabla$, 
����������� $I,g$. ������, $T_{lin}\circ A=0$, �
{\�� \��� ������������ �������� ������ 
�������� ����������}
\begin{multline*}
\Lambda^1(M) \otimes \Lambda^{1,1}(M)\\ \ \ \ \ \ \ \ \ 
\stackrel {T_{lin}} \arrow  \Lambda^{1,1} M \otimes \Lambda^1(M) \oplus
 \Lambda^{2,0}  \otimes \Lambda^{0,1}(M) \oplus
   \Lambda^{0,2}  \otimes \Lambda^{1,0}(M)\ \ \ \ \ \ \ \ (*)\\ \stackrel A
   \arrow \Lambda^{2,1}(M) \oplus \Lambda^{1,2}(M).
\end{multline*}

{\�� \����� ��� 7:} 
����� 
$\tau\in \Lambda^1 M \otimes \Lambda^2 M = 
\Lambda^1 M \otimes {\goth{so}}(TM)$.
���������� $\tau$  ��� ����������� 
$V_\tau:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1 M$
� ��������� �� ����������� $\Lambda^i M \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^i M$
�� ������� ��������, $V_\tau(\eta \wedge \eta') = V_\tau(\eta) \wedge \eta' + 
(-1)^{\deg \eta}V_\tau(\eta')$. {\�� \��� ����� 
$V_\tau(\omega)(\cdot, \cdot, \cdot) = \tau(\cdot, \cdot, I\cdot)$}
(��������� ���).

\newpage

{\bf \blue ������������ �������� �� ��������� ������������
(3)}


{\�� \����� ��� 8:} 
���� $\tau$ -- 3-�����, 
$\tau\in \Lambda^3 M \subset \Lambda^1 M \otimes \Lambda^2 M = 
\Lambda^1 M \otimes {\goth{so}}(TM)$,
�� $T_{lin}(\tau)=\tau$, ������, 
\[ 
   A(\tau)= \Alt(T_{lin}^{-1}(\tau)(\omega))=
\Alt(V_\tau(\omega)) = \Alt(\tau(\cdot, \cdot, I\cdot)).
\]
{\�� \������ ��� ���� $A(\tau)= {\cal I}(\tau)$,}
��� ${\cal I}(\tau)(\cdot, \cdot, \cdot) = 
    \tau(I \cdot, \cdot, \cdot) + \tau(\cdot, I \cdot, \cdot) +
    \tau(\cdot, \cdot, I\cdot).$
������� {\�� \��� ��� ����������������� ������� $\tau$
����� $A(\tau)={\cal I}(\tau)$.}

{\�� \����� ��� 9:} ��������� $A(T'_\nabla) = d(\omega)$ (��� 6)
��� ��������� � ���������������� ��������� $\tau$, �����
$d(\omega) = {\cal I}(\tau)$ (��� 8). � ������ �������
{\bf \purple $d\omega$ ����� � $\Lambda^{2,1}(M) \oplus \Lambda^{1,2}(M)$
� ���� ���������������, ������, ${\cal I}(d\omega)= I(d\omega)$.}
{\�� \��� ��� ������ $\tau = {\cal I}^{-1}(d\omega)= - I d\omega$.}
{\�� \���� �� �������� ������� ��� �������� � �����������
������� �������.}

{\�� \����� ��� 10:} ��������� 
${\cal I}:\; \Lambda^3(M)\arrow \Lambda^3(M)$
����������, �� ����������� ���� ��������, ��� 
$A\restrict{\Lambda^{2,1}(M)\oplus \Lambda^{1,2}(M)}
\arrow \Lambda^{2,1}(M)\oplus \Lambda^{1,2}(M)$ -- ����������.
{\�� \������ ������, ������ ������� ��������� (*) -- ���������.}

\newpage

{\bf \blue ������������ �������� �� ��������� ������������
(4)}


{\�� \����� ��� 11:} �� 
���������� ������������, ������������� ����� �������
� �������������� ������ ��������, ���  {\�� \������ (*) - ������
������������������.}

\begin{multline*}
\Lambda^1(M) \otimes \Lambda^{1,1}(M)\\ \ \ \ \ \ \ \ \ 
\stackrel {T_{lin}} \arrow  \Lambda^{1,1} M \otimes \Lambda^1(M) \oplus
 \Lambda^{2,0}  \otimes \Lambda^{0,1}(M) \oplus
   \Lambda^{0,2}  \otimes \Lambda^{1,0}(M)\ \ \ \ \ \ \ \ (*)\\ \stackrel A
   \arrow \Lambda^{2,1}(M) \oplus \Lambda^{1,2}(M).
\end{multline*}

{\�� \����� ��� 12:}
����� ${\cal A}(I,g)$ ���� ������������ ����������
�� $\Lambda^1 M$, ����������� $I$ � $g$. ���������
$A(T_\nabla') = d\omega$ (��� 6), ����������� $\nabla \arrow T'_\nabla$
���������� ������� �������� �����������
\[
{\cal A}(I,g)\stackrel {\cal T} \arrow A^{-1}(d\omega).
\]
{\�� \������ ��������� (*) -- ������ ������������������, ${\cal T}$ ��������
������������.}

{\�� \����� ��� 13:}
��� �������� �� ���� 9, $A(-Id\omega)= d\omega$.
��������� ${\cal T}$ ���� ����������, {\�� \��� ����������
� ����������� ��������� ${\cal T}^{-1}(-Id\omega)$,
�������� ������� ������������� $T'_\nabla= -Id\omega$.}

\end{document}

