\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 2 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm]
\small лекция 2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва
\\[2mm] 20 сентября 2010
}
\end{center}

\newpage

{\бф \блуе Группы Ли}

\определение
Пусть $G$ -- гладкое многообразие с заданной
на нем групповой структурой. Оно называется
{\бф \блуе группой Ли}, если групповые операции
(умножение $G\times G\arrow G$ и взятие обратного
$G\arrow G$) -- гладкие.

\определение
{\бф \блуе Левоинвариантное векторное поле} на $G$ есть такое
векторное поле $x\in TG$, что для каждого $g\in G$,
операция умножения на $g$ слева удовлетворяет
$D_g(x) = x$.

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле естественное отображение
из пространства левоинвариантных векторных
полей в $T_gG$ -- изоморфизм, для каждого $g\in G$.}

\newpage

{\бф \блуе Алгебры Ли}

\определение
{\бф\блуе Алгебра Ли} есть пространство с заданной на нем
билинейной, кососимметричной операцией $A\otimes A \arrow A$,
удовлетворяющей {\bf \блуе тождеству Якоби} $[x,[y,z]]=[[x,y],z]+[y, [x,z]]$.

\замечание 
{\бф \пурпле Коммутатор левоинвариантных векторных полей левоинвариантен.}

\определение
{\бф\блуе Алгебра Ли} группы Ли $G$ есть алгебра Ли ее
левоинвариантных векторных полей.

\замечание
Основная теорема теории групп и алгебр Ли утверждает,
что {\бф \ред односвязная группа Ли однозначно 
с точностью до изоморфизма задается своей
алгеброй Ли.}

\упражнение
Пусть $G$ -- связная группа Ли с коммутативной
алгеброй Ли. Докажите, что $G$ коммутативна.


\newpage

{\бф \блуе Локальное действие группы}

\определение
Пусть $M$ -- гладкое многообразие, а $G$ -- группа Ли.
{\бф\блуе Локальное действие $G$ на $M$} есть 
отображение $W\stackrel \mu \arrow M$, определенное для какого-то
открытого подмножества $W\subset G\times M$, и 
удовлетворяющее следующим аксиомам.

1. {\bf \blue Единица:} $W$ содержит $e \times M$, где $e$ -- единица.

2. {\бф \блуе Ассоциативность:}
Если $(g,m)\in W$, и $(g', \phi(g,m))\in W$, то  $(g'g,m)\in W$, и
$\phi((g', \phi(g,m))= \phi(g'g,m)$.

\теорема
Пусть $M$ -- гладкое многообразие, 
$A\subset TM$ -- конечномерная алгебра Ли векторных полей,
а $G$ -- ее группа Ли. {\бф \ред Тогда существует 
локальное действие группы $G$ на $M$,} такое, что левоинвариантные
векторные поля переходят в $A$.

\упражнение
Пусть $M$ -- гладкое многообразие, а $x_1, ..., x_r$ --
коммутирующие векторные поля. {\бф \пурпле Тогда $x_i$ можно
локально проинтегрировать до действия 
потока из $r$ коммутирующих диффеоморфизмов 
$\R^r \times M \stackrel \phi \arrow M$.}

\замечание
В этой лекции, из всей теории групп Ли 
нам понадобится только это утверждение.

\newpage

{\бф \блуе Распределения}

\определение
{\бф \блуе Распределение} на гладком многообразии $М$ есть 
гладкое подрасслоение $B\subset TM$.

\замечание
Пусть $\Pi:\; TM \arrow TM/ B$ -- проекция,
а $x,y \in B$ -- векторные поля. Тогда
$[fx, y]= f[x,y] - D_y (f) x$. Следовательно,.
{\бф \пурпле $\Pi([x,y])$ зависит
от $x,y$ $C^\infty(M)$-линейно.}

\определение
Построенное отображение $[B,B]\arrow TM/B$ называется
{\бф \блуе форма Фробениуса} ("Frobenius bracket"); это косо-симметричная
$C^\infty(M)$-линейная 2-форма на $B$.

\определение
Распределение называется {\бф \блуе интегрируемым},
или же {\бф \блуе инволютивным}, если форма Фробениуса равна нулю.

\newpage

{\бф \блуе Гладкие субмерсии}

\определение
Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкое отображение.
Оно называется {\бф\блуе субмерсией}, если в каждой точке
$M$ дифференциал $D\pi$ сюрьективен.

\утверждение
Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкая субмерсия.
Тогда у каждой точки $m\in M$ есть окрестность $U\cong V\times W$,
где $U,W$ -- гладкие многообразия, 
такая, что {\бф \ред $\pi \restrict U$ есть проекция на $W$.}

{\бф \греен Доказательство:}
Теорема о неявной функции.

\упражнение
("Ehresmann's fibration theorem")\\
Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкая субмерсия компактных
многообразий. {\бф \пурпле 
Докажите, что это локально тривиальное расслоение.}

\определение
{\бф\блуе Вертикальное касательное пространство} субмерсии
есть ядро $D\pi$. 

\утверждение
{\бф \ред Это инволютивное подрасслоение.}

{\бф \греен Доказательство:}
Коммутатор перестановочен с проекцией потому что.

\замечание
Вертикальное подрасслоение обозначается $T_\pi M$.

\newpage

{\бф \блуе Теорема Фробениуса}

{\бф \греен Теорема Фробениуса:} Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение.
Оно {\бф \purple является инволютивным тогда и только тогда}, когда у 
каждой точки $x\in M$ {\бф \purple есть окрестность $U$ и
гладкая субмерсия $U\stackrel \pi \arrow V$ такая, что
$B$ есть вертикальное касательное подрасслоение:}
$B = T_\pi M$.

\замечание
Слои $\pi$ называются {\бф \блуе листами}, или
{\бф \блуе интегральными подмногообразиями}
распределения $B$. Если $B$ интегрируема,
совокупность всех листов (а также само $B$)
называют {\бф \блуе слоением}.

\замечание
Для доказательства теоремы Фробениуса {\бф \пурпле достаточно
убедиться, что через каждую точку проходит
интегральное подмногообразие.} В этом случае, 
гладкая субмерсия $U\stackrel \pi \arrow V$ -- это
проекция на пространство листов слоения.

\замечание
{\бф \блуе Пусть в $B$ есть базис $b_1, ..., b_r$ линейно-независимых,
коммутирующих векторных полей.} Обозначим за 
$\tau(t, b_i):\; M \times \R \arrow M$ соответствующие
потоки диффеоморфизмов. {\бф \пурпле Поскольку $b_i$ коммутируют, потоки
$\tau(t, b_i)$ тоже коммутируют.} Это задает локальное действие группы
$\tau(t_1, ..., t_r):\; M \times \R^n\arrow M$,
причем для каждого $m\in M$, касательное пространство
$Т\tau(\R^r, m)$ порождено $\langle b_1, ..., b_r\rangle$. {\бф \ред Значит,
$\tau(\R^r, m)$ -- интегральные подмногообразия.}

\newpage

{\бф \блуе Теорема Фробениуса (доказательство)}

\следствие
Мы получили, что теорема Фробениуса следует из 
такой леммы.

\лемма
Пусть $B\subset TM$ -- инволютивное подрасслоение.
Тогда {\бф \ред в окрестности каждой точки $x\in M$  
есть базис из линейно-независимых, коммутирующих 
векторных полей.}


\доказательство
Ведется по индукции. Предположим, что задано 
подрасслоение $B_0\subset B$, порожденное коммутирующими
векторными полями $b_1, ..., b_{k-1}$. Нужно найти векторное
поле $b_k\in B$, линейно независимое и коммутирующее
с $b_1, ..., b_{k-1}$. {\bf \purple Рассмотрим локальное
действие группы $\beta:\;  \R^{k-1} \times M \arrow M$.
и пусть $\pi:\; U \arrow V$ -- субмерсия на пространство
листов.} Возьмем ее {\бф \блуе сечение} $V \stackrel \rho \arrow U$,
то есть такое отображение, что $\pi\circ \rho = \Id_V$
({\bf \red локально такое сечение всегда существует,} по теореме
о неявной функции). 

{\бф \греен Шаг 0:} 
Образ $\rho$ -- гладкое подмногообразие в $U$.

\newpage

{\бф \блуе Теорема Фробениуса (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 1:}
{\бф \пурпле Отображение $\beta(\R^{k-1}\times \im \rho)\arrow U$ -- изоморфизм}
(локально), потому что 
\[ 
  D\beta:\; \langle b_1, ..., b_{k-1}\rangle \oplus T\im\rho\arrow TU
\]
изоморфизм.

{\бф \греен Шаг 2:}
Для каждого векторного поля $v$ на $\im\rho$, действие
$\beta$ разносит $v$ на $U$, {\бф \пурпле превращая его в $\beta$-инвариантное
векторное поле.}


{\бф \греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Подрасслоение $B\subset TU$ является
$\beta$-инвариантным,} ибо $[b_i, B]\subset B$.


{\бф \греен Шаг 4:} Возьмем невырожденное векторное
поле $v\in B \cap T\im \rho$ (локально, оно существует, 
потому что $\codim \im\rho = k-1 < \dim B=r$, значит, 
$\dim (T\im \rho\cap B) \geq \dim B-\codim \im\rho = r-k+1$).
Продолжим его до $\beta$-инвариантного векторного поля
$b_k$ на $U$ (шаг 3). {\бф \ред Будучи $\beta$-инвариантным, 
$\beta_k$ коммутирует с $b_1, ..., b_{k-1}$, а в силу 
шага 4, оно лежит в $B$.} \endproof


\newpage

{\бф \блуе Ве\-ще\-ст\-вен\-но \-ана\-ли\-ти\-чес\-кие многообразия}

\определение
{\бф \блуе Антиголоморфная функция} есть функция $f$ такая,
что $\bar f$ голоморфна.

\определение
{\бф \блуе Антикомплексной инволюцией} на 
комплексном многообразии называется непрерывная 
инволюция $\iota$, $\iota^2=\Id$, переводящая голоморфные функции
на $U\subset M$ в антиголоморфные на $\iota(U)$.

\упражнение
Проверьте, что множество неподвижных точек $X_\iota$
антикомплексной инволюции -- {\бф \пурпле гладкое многообразие,
причем $\dim_\R X_\iota = \dim_\C X$.}

\определение
Пусть $Y\subset X$ -- замкнутое множество
в комплексном многообразии, и $X'\supset Y'$
многообразие, которое содержит замкнутое 
множество, гомеоморфное $Y$. Если
гомеоморфизм $Y\arrow Y'$ продолжается
до голоморфного диффеоморфизма их окрестностей,
мы пишем $X\sim_Y X'$. 

\утверждение
{\бф \пурпле Это отношение эквивалентности.}

\определение
{\бф \блуе Ростком} $X$ в $Y$ называется
класс эквивалентности $X$ относительно $\sim_Y$.


\newpage

{\бф \блуе Ве\-ще\-ст\-вен\-но \-ана\-ли\-ти\-чес\-кие многообразия (2)}

\определение
Функция на открытом подмножестве
$\R^n$ называется {\бф \блуе ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кой},
если она разлагается в ряд Тэйлора в окрестности
каждой точки.

{\бф \греен Определение 1:} 
Пусть задано комплексное многообразие,
снабженное антикомплексной инволюцией, 
и $X_\iota$ -- ее неподвижное множество.
Тогда  росток $X$ в $X_\iota$ называется
{\бф \блуе ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кое многообразие}.

{\бф \греен Определение 2:} 
Пусть $M$ -- окольцованное пространство,
локально изоморфное $(B,\calo_B)$, где
$B\subset \R^n$ -- открытый шар, а $\calo_B$ -- пучок
ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-ких функций. Тогда
$M$ называется {\бф \блуе ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кое многообразие}.

\замечание
Вещественно-аналитические тензоры на $X_\iota$
продолжаются до голоморфных, $\iota$-инвариантных
тензоров в какой-то окрестности $X_\iota\subset X$.

\newpage

{\бф \блуе Ве\-ще\-ст\-вен\-но \-ана\-ли\-ти\-чес\-кие многообразия (3)}

\теорема
{\бф \ред Эти определения эквивалентны.}

{\бф \греен (1) $\Rightarrow$ (2):}
Пусть $U_\iota\subset X_\iota$ -- открытое множество.
Возьмем в качестве $\calo_{X_\iota}$ пучок,
порожденный $f_i$, где $f_i$ -- $\iota$-инвариантные
голоморфные функции в открытом множестве $U\supset U_\iota$. 
Каждая такая функция -- ве\-ще\-ст\-вен\-но-аналитична
в $U$, значит, {\бф \пурпле ее ограничение на открытые вещественные шары, 
содержащиеся в $U_\iota$, тоже ве\-ще\-ст\-вен\-но-аналитично.}

{\бф \греен (2) $\Rightarrow$ (1) (набросок):}
Возьмем покрытие $M$ открытыми шарами $B_\R\subset \R^n$, такое,
что все функции перехода $\phi_{ij}$ ве\-ще\-ст\-вен\-но-аналитичны.
Ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кая функция $\phi_{ij}$ на $B_\R$ продолжается
до голоморфной $\phi_{ij}^\C$ 
в некоторой окрестности $B_\R$ в $\C^n \supset \R^n$. Пусть
и пусть $X^i$ - такие окрестности этих шаров в $\C^n$.
{\bf \red Они задают атлас на многообразии, полученном из $X^i$
склейкой по $\phi_{ij}^\C$.}

\замечание 
Мы не используем этой эквивалентности (используем
аналогичное локальное утверждение, которое очевидно). 

\упражнение Докажите ее самостоятельно.

\newpage

{\бф \блуе Тензор Ниенхойса}

\определение
Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие,
$T^{1,0}\subset TM\otimes \C$ -- подрасслоение векторов
типа $(1,0)$, а $[T^{1,0},T^{1,0}] \stackrel N\arrow TM\otimes \C / T^{1,0}$ --
скобка Фробениуса. Отождествив $TM\otimes \C / T^{1,0}$ с $T^{0,1}$,
мы представим $N$ как оператор
\[
N:\; \Lambda^2(T^{1,0}M) \arrow T^{0,1}M.
\]
\определение
Этот оператор называется {\бф\блуе тензором Ниейхойса}
(Nijenhuis tensor). Его можно преставить как сечение
$N\in \Lambda^{2,0}M\otimes T^{0,1}M$.

\замечание
{\бф \пурпле Тензор Ниенхойса вещественно-аналитического многообразия
тоже вещественно-аналитичен.}

\замечание
Теорема Ньюлендера-Ниренберга выводит интегрируемость
из $N=0$.

\замечание
Рассмотрим вещественную часть $\Re N$ как оператор
\[ \frac 12 (N+ \bar N):\; \Lambda^2 TM \arrow TM.\]
{\bf \red Из $\Re N=0$ следует $N=0$} (проверьте).

\newpage

{\бф \блуе Теорема Ньюлендера-Ниренберга}

\теорема
Пусть $(M,I)$ -- ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кое
почти комплексное многообразие, причем $[T^{1,0}, T^{1,0}] \subset T^{1,0}$.
{\bf \red Тогда почти комплексная структура $I$ интегрируема.}

\доказательство
Поскольку утверждение локально по $M$, {\bf \purple можно считать,
что для $M$ верны оба определения
ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-ких многообразий.}
Пусть $M= B_\R$ -- вещественный шар, а
$X=B_\C$ -- комплексный шар, снабженный антикомплексной инволюцией,
причем $M=X_\iota$. 

{\бф \греен Шаг 1:} 
Пусть 
\[ \Pi^{1,0}:\; ТХ\restrict M=TM\otimes \C \arrow T^{1,0}M\subset
TX\restrict M  
\] --
естественная проекция вдоль $T^{0,1}$. Продолжим
$\Pi^{1,0}$ до голоморфного тензора на $X$ (если 
не продолжается, заменим $M$ и $X$ на меньшую
окрестность). Сделаем то же самое с $\Pi^{1,0}$.
{\bf \red Получим разложение 
$TX\restrict M = \im \Pi^{1,0}\oplus \im \Pi^{0,1}$.}
Обозначим $T^{1,0}X:=\im \Pi^{1,0}$, $T^{0,1}X:=\im\Pi^{0,1}$.

\newpage

{\бф \блуе Теорема Ньюлендера-Ниренберга (2)}


{\бф \греен Шаг 2:} 
Перейдя к меньшей окрестности, если нужно,
можно считать, что {\bf \red разложение
$TX=T^{1,0}X \oplus T^{0,1}X$
определено на всем $X$ и голоморфно.}


{\бф \греен Шаг 3:}
Пусть $\alpha$ -- голоморфный, $\iota$-инвариантный 
тензор на $X$, который
зануляется в $M=X_\iota$. {\bf\red Тогда $\alpha=0$} (чтобы
убедиться, разложим в ряд Тэйлора).

{\бф \греен Шаг 4:}
Тензор Фробениуса для $T^{1,0}X$,
ограниченный на $M=X_\iota$, дает
тензор Ниенхойса. Его вещественная часть
есть сумма тензоров Фробениуса для
$T^{1,0}X$ и $T^{0,1}X$.
{\bf\red Поэтому $T^{1,0}X$ и $T^{0,1}X$
интегрируемы.}

{\бф \греен Шаг 5:}
По теореме Фробениуса, локально по $X$ 
{\бф \ред существует голоморфная
субмерсия $\pi:\; X \arrow X^{1,0}$,
со слоями, касательными $T^{0,1}X$.}

{\бф \греен Шаг 6:}
Пусть $f$ -- голоморфная функция на
$X^{1,0}$. Тогда $D_x(\pi^* f)=0$ для
любого $x \in T^{0,1}X$. {\бф \ред Поэтому
$d (\pi^* f)$ имеет тип $(1,0)$.}

{\бф \греен Шаг 7:}
Мы получили, что {\бф \ред ограничение $\pi$ на $M\subset X^{1,0}$
голоморфно} {\бф \пурпле (потому что $\pi^* f$ от голоморфной функции
$f$ голоморфен)}. Ядро дифференциала этого отображения
лежит в $TM \cap T^{0,1}X=0$. По теореме об обратной функции,
{\бф \ред $\pi\restrict M:\; M \arrow X^{1,0}$ -- диффеоморфизм.}
\endproof


%Предположим, что
%тензор $I\in \End(TM)$ продолжается до голоморфного,
%$\iota$-инвариантного тензора $I_\C \in \End(TX)$
%(если не продолжается, заменим $M$ на меньшую
%окрестность). Поскольку $I_\C^2 = - \Id$ на
%$M$, это соотношение выполняется на всем
%$X$ (в силу шага 1).

















\end{document}

