\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 2 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm] \small лекция 2} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва \\[2mm] 20 сентября 2010 } \end{center} \newpage {\бф \блуе Группы Ли} \определение Пусть $G$ -- гладкое многообразие с заданной на нем групповой структурой. Оно называется {\бф \блуе группой Ли}, если групповые операции (умножение $G\times G\arrow G$ и взятие обратного $G\arrow G$) -- гладкие. \определение {\бф \блуе Левоинвариантное векторное поле} на $G$ есть такое векторное поле $x\in TG$, что для каждого $g\in G$, операция умножения на $g$ слева удовлетворяет $D_g(x) = x$. \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле естественное отображение из пространства левоинвариантных векторных полей в $T_gG$ -- изоморфизм, для каждого $g\in G$.} \newpage {\бф \блуе Алгебры Ли} \определение {\бф\блуе Алгебра Ли} есть пространство с заданной на нем билинейной, кососимметричной операцией $A\otimes A \arrow A$, удовлетворяющей {\bf \блуе тождеству Якоби} $[x,[y,z]]=[[x,y],z]+[y, [x,z]]$. \замечание {\бф \пурпле Коммутатор левоинвариантных векторных полей левоинвариантен.} \определение {\бф\блуе Алгебра Ли} группы Ли $G$ есть алгебра Ли ее левоинвариантных векторных полей. \замечание Основная теорема теории групп и алгебр Ли утверждает, что {\бф \ред односвязная группа Ли однозначно с точностью до изоморфизма задается своей алгеброй Ли.} \упражнение Пусть $G$ -- связная группа Ли с коммутативной алгеброй Ли. Докажите, что $G$ коммутативна. \newpage {\бф \блуе Локальное действие группы} \определение Пусть $M$ -- гладкое многообразие, а $G$ -- группа Ли. {\бф\блуе Локальное действие $G$ на $M$} есть отображение $W\stackrel \mu \arrow M$, определенное для какого-то открытого подмножества $W\subset G\times M$, и удовлетворяющее следующим аксиомам. 1. {\bf \blue Единица:} $W$ содержит $e \times M$, где $e$ -- единица. 2. {\бф \блуе Ассоциативность:} Если $(g,m)\in W$, и $(g', \phi(g,m))\in W$, то $(g'g,m)\in W$, и $\phi((g', \phi(g,m))= \phi(g'g,m)$. \теорема Пусть $M$ -- гладкое многообразие, $A\subset TM$ -- конечномерная алгебра Ли векторных полей, а $G$ -- ее группа Ли. {\бф \ред Тогда существует локальное действие группы $G$ на $M$,} такое, что левоинвариантные векторные поля переходят в $A$. \упражнение Пусть $M$ -- гладкое многообразие, а $x_1, ..., x_r$ -- коммутирующие векторные поля. {\бф \пурпле Тогда $x_i$ можно локально проинтегрировать до действия потока из $r$ коммутирующих диффеоморфизмов $\R^r \times M \stackrel \phi \arrow M$.} \замечание В этой лекции, из всей теории групп Ли нам понадобится только это утверждение. \newpage {\бф \блуе Распределения} \определение {\бф \блуе Распределение} на гладком многообразии $М$ есть гладкое подрасслоение $B\subset TM$. \замечание Пусть $\Pi:\; TM \arrow TM/ B$ -- проекция, а $x,y \in B$ -- векторные поля. Тогда $[fx, y]= f[x,y] - D_y (f) x$. Следовательно,. {\бф \пурпле $\Pi([x,y])$ зависит от $x,y$ $C^\infty(M)$-линейно.} \определение Построенное отображение $[B,B]\arrow TM/B$ называется {\бф \блуе форма Фробениуса} ("Frobenius bracket"); это косо-симметричная $C^\infty(M)$-линейная 2-форма на $B$. \определение Распределение называется {\бф \блуе интегрируемым}, или же {\бф \блуе инволютивным}, если форма Фробениуса равна нулю. \newpage {\бф \блуе Гладкие субмерсии} \определение Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкое отображение. Оно называется {\бф\блуе субмерсией}, если в каждой точке $M$ дифференциал $D\pi$ сюрьективен. \утверждение Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкая субмерсия. Тогда у каждой точки $m\in M$ есть окрестность $U\cong V\times W$, где $U,W$ -- гладкие многообразия, такая, что {\бф \ред $\pi \restrict U$ есть проекция на $W$.} {\бф \греен Доказательство:} Теорема о неявной функции. \упражнение ("Ehresmann's fibration theorem")\\ Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкая субмерсия компактных многообразий. {\бф \пурпле Докажите, что это локально тривиальное расслоение.} \определение {\бф\блуе Вертикальное касательное пространство} субмерсии есть ядро $D\pi$. \утверждение {\бф \ред Это инволютивное подрасслоение.} {\бф \греен Доказательство:} Коммутатор перестановочен с проекцией потому что. \замечание Вертикальное подрасслоение обозначается $T_\pi M$. \newpage {\бф \блуе Теорема Фробениуса} {\бф \греен Теорема Фробениуса:} Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение. Оно {\бф \purple является инволютивным тогда и только тогда}, когда у каждой точки $x\in M$ {\бф \purple есть окрестность $U$ и гладкая субмерсия $U\stackrel \pi \arrow V$ такая, что $B$ есть вертикальное касательное подрасслоение:} $B = T_\pi M$. \замечание Слои $\pi$ называются {\бф \блуе листами}, или {\бф \блуе интегральными подмногообразиями} распределения $B$. Если $B$ интегрируема, совокупность всех листов (а также само $B$) называют {\бф \блуе слоением}. \замечание Для доказательства теоремы Фробениуса {\бф \пурпле достаточно убедиться, что через каждую точку проходит интегральное подмногообразие.} В этом случае, гладкая субмерсия $U\stackrel \pi \arrow V$ -- это проекция на пространство листов слоения. \замечание {\бф \блуе Пусть в $B$ есть базис $b_1, ..., b_r$ линейно-независимых, коммутирующих векторных полей.} Обозначим за $\tau(t, b_i):\; M \times \R \arrow M$ соответствующие потоки диффеоморфизмов. {\бф \пурпле Поскольку $b_i$ коммутируют, потоки $\tau(t, b_i)$ тоже коммутируют.} Это задает локальное действие группы $\tau(t_1, ..., t_r):\; M \times \R^n\arrow M$, причем для каждого $m\in M$, касательное пространство $Т\tau(\R^r, m)$ порождено $\langle b_1, ..., b_r\rangle$. {\бф \ред Значит, $\tau(\R^r, m)$ -- интегральные подмногообразия.} \newpage {\бф \блуе Теорема Фробениуса (доказательство)} \следствие Мы получили, что теорема Фробениуса следует из такой леммы. \лемма Пусть $B\subset TM$ -- инволютивное подрасслоение. Тогда {\бф \ред в окрестности каждой точки $x\in M$ есть базис из линейно-независимых, коммутирующих векторных полей.} \доказательство Ведется по индукции. Предположим, что задано подрасслоение $B_0\subset B$, порожденное коммутирующими векторными полями $b_1, ..., b_{k-1}$. Нужно найти векторное поле $b_k\in B$, линейно независимое и коммутирующее с $b_1, ..., b_{k-1}$. {\bf \purple Рассмотрим локальное действие группы $\beta:\; \R^{k-1} \times M \arrow M$. и пусть $\pi:\; U \arrow V$ -- субмерсия на пространство листов.} Возьмем ее {\бф \блуе сечение} $V \stackrel \rho \arrow U$, то есть такое отображение, что $\pi\circ \rho = \Id_V$ ({\bf \red локально такое сечение всегда существует,} по теореме о неявной функции). {\бф \греен Шаг 0:} Образ $\rho$ -- гладкое подмногообразие в $U$. \newpage {\бф \блуе Теорема Фробениуса (продолжение)} {\бф \греен Шаг 1:} {\бф \пурпле Отображение $\beta(\R^{k-1}\times \im \rho)\arrow U$ -- изоморфизм} (локально), потому что \[ D\beta:\; \langle b_1, ..., b_{k-1}\rangle \oplus T\im\rho\arrow TU \] изоморфизм. {\бф \греен Шаг 2:} Для каждого векторного поля $v$ на $\im\rho$, действие $\beta$ разносит $v$ на $U$, {\бф \пурпле превращая его в $\beta$-инвариантное векторное поле.} {\бф \греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Подрасслоение $B\subset TU$ является $\beta$-инвариантным,} ибо $[b_i, B]\subset B$. {\бф \греен Шаг 4:} Возьмем невырожденное векторное поле $v\in B \cap T\im \rho$ (локально, оно существует, потому что $\codim \im\rho = k-1 < \dim B=r$, значит, $\dim (T\im \rho\cap B) \geq \dim B-\codim \im\rho = r-k+1$). Продолжим его до $\beta$-инвариантного векторного поля $b_k$ на $U$ (шаг 3). {\бф \ред Будучи $\beta$-инвариантным, $\beta_k$ коммутирует с $b_1, ..., b_{k-1}$, а в силу шага 4, оно лежит в $B$.} \endproof \newpage {\бф \блуе Ве\-ще\-ст\-вен\-но \-ана\-ли\-ти\-чес\-кие многообразия} \определение {\бф \блуе Антиголоморфная функция} есть функция $f$ такая, что $\bar f$ голоморфна. \определение {\бф \блуе Антикомплексной инволюцией} на комплексном многообразии называется непрерывная инволюция $\iota$, $\iota^2=\Id$, переводящая голоморфные функции на $U\subset M$ в антиголоморфные на $\iota(U)$. \упражнение Проверьте, что множество неподвижных точек $X_\iota$ антикомплексной инволюции -- {\бф \пурпле гладкое многообразие, причем $\dim_\R X_\iota = \dim_\C X$.} \определение Пусть $Y\subset X$ -- замкнутое множество в комплексном многообразии, и $X'\supset Y'$ многообразие, которое содержит замкнутое множество, гомеоморфное $Y$. Если гомеоморфизм $Y\arrow Y'$ продолжается до голоморфного диффеоморфизма их окрестностей, мы пишем $X\sim_Y X'$. \утверждение {\бф \пурпле Это отношение эквивалентности.} \определение {\бф \блуе Ростком} $X$ в $Y$ называется класс эквивалентности $X$ относительно $\sim_Y$. \newpage {\бф \блуе Ве\-ще\-ст\-вен\-но \-ана\-ли\-ти\-чес\-кие многообразия (2)} \определение Функция на открытом подмножестве $\R^n$ называется {\бф \блуе ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кой}, если она разлагается в ряд Тэйлора в окрестности каждой точки. {\бф \греен Определение 1:} Пусть задано комплексное многообразие, снабженное антикомплексной инволюцией, и $X_\iota$ -- ее неподвижное множество. Тогда росток $X$ в $X_\iota$ называется {\бф \блуе ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кое многообразие}. {\бф \греен Определение 2:} Пусть $M$ -- окольцованное пространство, локально изоморфное $(B,\calo_B)$, где $B\subset \R^n$ -- открытый шар, а $\calo_B$ -- пучок ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-ких функций. Тогда $M$ называется {\бф \блуе ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кое многообразие}. \замечание Вещественно-аналитические тензоры на $X_\iota$ продолжаются до голоморфных, $\iota$-инвариантных тензоров в какой-то окрестности $X_\iota\subset X$. \newpage {\бф \блуе Ве\-ще\-ст\-вен\-но \-ана\-ли\-ти\-чес\-кие многообразия (3)} \теорема {\бф \ред Эти определения эквивалентны.} {\бф \греен (1) $\Rightarrow$ (2):} Пусть $U_\iota\subset X_\iota$ -- открытое множество. Возьмем в качестве $\calo_{X_\iota}$ пучок, порожденный $f_i$, где $f_i$ -- $\iota$-инвариантные голоморфные функции в открытом множестве $U\supset U_\iota$. Каждая такая функция -- ве\-ще\-ст\-вен\-но-аналитична в $U$, значит, {\бф \пурпле ее ограничение на открытые вещественные шары, содержащиеся в $U_\iota$, тоже ве\-ще\-ст\-вен\-но-аналитично.} {\бф \греен (2) $\Rightarrow$ (1) (набросок):} Возьмем покрытие $M$ открытыми шарами $B_\R\subset \R^n$, такое, что все функции перехода $\phi_{ij}$ ве\-ще\-ст\-вен\-но-аналитичны. Ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кая функция $\phi_{ij}$ на $B_\R$ продолжается до голоморфной $\phi_{ij}^\C$ в некоторой окрестности $B_\R$ в $\C^n \supset \R^n$. Пусть и пусть $X^i$ - такие окрестности этих шаров в $\C^n$. {\bf \red Они задают атлас на многообразии, полученном из $X^i$ склейкой по $\phi_{ij}^\C$.} \замечание Мы не используем этой эквивалентности (используем аналогичное локальное утверждение, которое очевидно). \упражнение Докажите ее самостоятельно. \newpage {\бф \блуе Тензор Ниенхойса} \определение Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие, $T^{1,0}\subset TM\otimes \C$ -- подрасслоение векторов типа $(1,0)$, а $[T^{1,0},T^{1,0}] \stackrel N\arrow TM\otimes \C / T^{1,0}$ -- скобка Фробениуса. Отождествив $TM\otimes \C / T^{1,0}$ с $T^{0,1}$, мы представим $N$ как оператор \[ N:\; \Lambda^2(T^{1,0}M) \arrow T^{0,1}M. \] \определение Этот оператор называется {\бф\блуе тензором Ниейхойса} (Nijenhuis tensor). Его можно преставить как сечение $N\in \Lambda^{2,0}M\otimes T^{0,1}M$. \замечание {\бф \пурпле Тензор Ниенхойса вещественно-аналитического многообразия тоже вещественно-аналитичен.} \замечание Теорема Ньюлендера-Ниренберга выводит интегрируемость из $N=0$. \замечание Рассмотрим вещественную часть $\Re N$ как оператор \[ \frac 12 (N+ \bar N):\; \Lambda^2 TM \arrow TM.\] {\bf \red Из $\Re N=0$ следует $N=0$} (проверьте). \newpage {\бф \блуе Теорема Ньюлендера-Ниренберга} \теорема Пусть $(M,I)$ -- ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кое почти комплексное многообразие, причем $[T^{1,0}, T^{1,0}] \subset T^{1,0}$. {\bf \red Тогда почти комплексная структура $I$ интегрируема.} \доказательство Поскольку утверждение локально по $M$, {\bf \purple можно считать, что для $M$ верны оба определения ве\-ще\-ст\-вен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-ких многообразий.} Пусть $M= B_\R$ -- вещественный шар, а $X=B_\C$ -- комплексный шар, снабженный антикомплексной инволюцией, причем $M=X_\iota$. {\бф \греен Шаг 1:} Пусть \[ \Pi^{1,0}:\; ТХ\restrict M=TM\otimes \C \arrow T^{1,0}M\subset TX\restrict M \] -- естественная проекция вдоль $T^{0,1}$. Продолжим $\Pi^{1,0}$ до голоморфного тензора на $X$ (если не продолжается, заменим $M$ и $X$ на меньшую окрестность). Сделаем то же самое с $\Pi^{1,0}$. {\bf \red Получим разложение $TX\restrict M = \im \Pi^{1,0}\oplus \im \Pi^{0,1}$.} Обозначим $T^{1,0}X:=\im \Pi^{1,0}$, $T^{0,1}X:=\im\Pi^{0,1}$. \newpage {\бф \блуе Теорема Ньюлендера-Ниренберга (2)} {\бф \греен Шаг 2:} Перейдя к меньшей окрестности, если нужно, можно считать, что {\bf \red разложение $TX=T^{1,0}X \oplus T^{0,1}X$ определено на всем $X$ и голоморфно.} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $\alpha$ -- голоморфный, $\iota$-инвариантный тензор на $X$, который зануляется в $M=X_\iota$. {\bf\red Тогда $\alpha=0$} (чтобы убедиться, разложим в ряд Тэйлора). {\бф \греен Шаг 4:} Тензор Фробениуса для $T^{1,0}X$, ограниченный на $M=X_\iota$, дает тензор Ниенхойса. Его вещественная часть есть сумма тензоров Фробениуса для $T^{1,0}X$ и $T^{0,1}X$. {\bf\red Поэтому $T^{1,0}X$ и $T^{0,1}X$ интегрируемы.} {\бф \греен Шаг 5:} По теореме Фробениуса, локально по $X$ {\бф \ред существует голоморфная субмерсия $\pi:\; X \arrow X^{1,0}$, со слоями, касательными $T^{0,1}X$.} {\бф \греен Шаг 6:} Пусть $f$ -- голоморфная функция на $X^{1,0}$. Тогда $D_x(\pi^* f)=0$ для любого $x \in T^{0,1}X$. {\бф \ред Поэтому $d (\pi^* f)$ имеет тип $(1,0)$.} {\бф \греен Шаг 7:} Мы получили, что {\бф \ред ограничение $\pi$ на $M\subset X^{1,0}$ голоморфно} {\бф \пурпле (потому что $\pi^* f$ от голоморфной функции $f$ голоморфен)}. Ядро дифференциала этого отображения лежит в $TM \cap T^{0,1}X=0$. По теореме об обратной функции, {\бф \ред $\pi\restrict M:\; M \arrow X^{1,0}$ -- диффеоморфизм.} \endproof %Предположим, что %тензор $I\in \End(TM)$ продолжается до голоморфного, %$\iota$-инвариантного тензора $I_\C \in \End(TX)$ %(если не продолжается, заменим $M$ на меньшую %окрестность). Поскольку $I_\C^2 = - \Id$ на %$M$, это соотношение выполняется на всем %$X$ (в силу шага 1). \end{document}