

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\sing}{{\operatorname{\text{\sf sing}}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 19 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm]
\small лекция 19: теорема Чжоу}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва
\\[2mm] 16 мая 2011
}
\end{center}

\newpage

{\бф \блуе Комплексно-аналитические множества и их ростки (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Комплексно-аналитическое подмножество}
комплексного многообразия $M$ есть замкнутое подмножество
$Z\subset M$, которое локально биголоморфно 
подмножеству в $U\subset \C^n$, заданному как
множество общих нулей какого-то идеала $I\subset \calo_U$.


\определение
Пусть $Z_1, Z_2\subset M$ комплесно-аналитические
подмногообразия. Они называются {\бф \блуе эквивалентными
в $x$}, если $Z_1 \cap U = Z_2 \cap U$ для какой-то окрестности
$U\ni x$. {\бф \блуе Росток комплексно-аналитического подмножества}
в $x\in M$ есть класс эквивалентности комплексно-анали\-тических
подмножеств $Z\subset U\ni x$ по отношению к  "эквивалентности в $x$."

\определение
Росток комплексно-аналитического подмножества $Z$
в $x\in M$ называется {\бф \блуе неприводимым}, если
не существует нетривиального разложения $Z= A_1 \cup A_2$
на два комплексно-аналитических подмножества.

\утверждение
Росток комплексно-аналитического подмножества $Z$
{\бф \ред неприводим тогда и только тогда, когда идеал $I_Z$ ростков функций,
зануляющихся в $Z$, простой.}

\следствие
{\бф \пурпле Каждый росток комплексно-аналитического множества
разлагается в конечное объединение неприводимых.}

\невпаге

{\бф \блуе Регулярная система координат для идеала (повторение)}

\теорема
Пусть $J$ -- простой идеал в $\calo_n$
{\бф \ред Тогда найдется система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$
в окрестности 0, такая, что}

1.  $J_d=0$, где
$J_d$ -- множество функций $f\in J$, которые зависят только
от первых $d$ координат. \\
\ \ \ 2.  Для каждого $k>d$, найдется полином Вейерштрасса
$P_k\in J_k$ вида $P_k(z_1, ..., z_{k-1}, z_k) =z_k^{s_k}+ 
\sum_{i=0}^{s_k-1} \alpha_i z_k^i$,
где $\alpha_i$ -- аналитические функции, которые
зависят только от первых $k-1$ координат.
\\
\ \ \ 3. {\бф \ред Идеал $J$ порожден $P_i$.}


Более того, система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$
может быть выбрана таким образом, что {\бф \ред 
векторы $\frac d {dz_i}\restrict 0$
будут сколь угодно близки к любому заданному базису в $T_0 \C^n$.}

\теорема
{\бф \блуе (Tеорема о конечности)}\\
Пусть $z_1, ..., z_n$ -- регулярная система координат для
идеала $J\subset \calo_n$,
а $\calo_d$ -- голоморфные функции, зависящие только от
$z_1, ..., z_d$. Тогда
{\бф \ред кольцо $\calo_n/J$ конечно порождено как $\calo_d$-модуль.}

\следствие
Каждый росток комплексно-аналитического множества
{\бф \пурпле допускает конечное, сюрьективное отображение на диск.}


\невпаге

{\бф \блуе Комплексные многообразия (повторение)}

\определение
Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое
подмножество. Назовем точку $z\in Z$ {\бф \блуе гладкой},
если в окрестности $z$, $Z$ -- гладкое подмногообразие,
и {\бф \блуе особой} в противном случае.

\теорема
Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое
подмножество, а $Z_{\sing}\subset Z$ -- множество
особых точек $Z$. {\бф \ред Тогда $Z_{\sing}$ --
комплексно-аналитическое подмножество,}
а его дополнение плотно  в $Z$.

\определение
{\бф \блуе Комплексное многообразие} (``variety'')
есть окольцованное пространство, локально изоморфное
комплексно-аналитичес\-кому подмножеству с пучком
голоморфных функций на нем.

\пример Если $X$ -- комплексное многообразие,
то {\бф \пурпле $X_\sing$ -- комплексное подмногообразие в нем.}

\определение Комплексное многообразие 
называется {\бф \блуе неприводимым}, если его 
нельзя разложить в нетривиальное конечное объединение замкнутых
комплексных подмногообразий.

\упражнение
Докажите, что комплексное многообразие {\бф \пурпле неприводимо
тогда и только тогда, когда множество его гладких точек
связно.}

\невпаге

{\бф \блуе ``Принцип максимума''}

\теорема {\бф \блуе (``Принцип максимума для голоморфных функций'')}
Пусть $f$ -- голоморфная функция на компактном, неприводимом
комплексном многообразии $Z$, причем $|f|$ достигает
максимума в какой-то точке $Z$. {\бф \ред Тогда  $f$ постоянна.}

Немедленно вытекает из следующего утверждения.

\утверждение
Пусть $f$ -- непостоянная голоморфная функция на неприводимом
комплексном многообразии $Z$. {\бф \ред Тогда $f$ открыто,}
то есть переводит открытые множества в открытые.

\доказательство
Пусть $x \in Z$
Воспользовавшись регулярными координатами, найдем
неприводимый росток гладкой кривой $C\arrow Z_x$, на которой $f$
непостоянно. {\bf \purple Тогда $f\restrict C$ содержит окрестность $f(x)$.}
\ендпрооф

\следствие
Пусть $Z\subset \C^n$ -- компактное комплексное
подмногообразие. {\бф \ред Тогда $Z$ -- конечное множество.}

\доказательство
Голоморфные функции разделяют точки $Z$. \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Конечные отображения и размерность (повторение)}


\определение
{\бф \блуе Собственное отображение}
топологических пространств есть непрерывное
отображение, такое, что прообраз любого компакта компактен.

\определение
{\бф \блуе Конечное отображение} комплексных многообразий 
есть голоморфное отображение, которое собственно,
причем прообраз любой точки -- конечное множество.

\определение
{\бф \блуе Размерность} 
неприводимого комплексного многообразия есть
размерность множества его гладких точек. Размерность
приводимого многообразия есть максимум размерностей
всех его компонент.

\утверждение
{\бф \ред $\dim X > \dim X_{\sing}$.}

\теорема {\бф \блуе ("теорема о постоянном ранге")}
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение,
причем $X$ гладко, а ранг $\rk F:= \rk dF$ постоянный. Тогда {\bf \red у каждой
точки $x\in X$ есть окрестность $U\ni x$, такая, что $F(U)$ -
гладкое многообразие размерности $\rk F$, а слои $F^{-1}(z)\cap U$ --
гладкие подмногообразия размерности $\ker dF$.}

\доказательство Следует из теоремы об обратной функции.

\невпаге

{\бф \блуе Свойства конечных отображений}


\лемма
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение
комплексных многообразий, которое {\бф \блуе конечно},
то есть собственно и имеет конечные слои. {\бф \ред Тогда
$\dim X \leq \dim Y$.}

\доказательство
Воспользовавшись теоремой о конечности,
найдем конечное отображение из $Y$ в диск $D$ той же размерности.
Заменив $Y$ на $D$, можно считать, что $Y$ это диск.
Пусть $x\in X$ -- гладкая точка, в которой $dF$ имеет
максимальный ранг. 
Тогда {\бф \пурпле слой $F$ в $x$ имеет ту же размерность,
что и $\ker dF\restrict x$, по теореме о постоянном
ранге.} Следовательно, $\ker dF=0$. \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Свойства конечных отображений (продолжение)}

(*) \утверждение
Пусть $F:\; \C^n \arrow \C^m$ -- линейное,
сюрьективное отображение, а $Z\subset \C^n$ -- росток
комплексно-аналитического подмножества, такой, что
$F^{-1}(0)\cap Z=0$. {\бф \red Тогда $F:\; Z\cap U\arrow U'$ 
конечно для каких-то окрестностей нуля в $\C^n$, $\C^m$.}

\доказательство
Возьмем окрестность 0 в $\C^n$ в виде полидиска
$D \times D'$, где $F$ проектирует $D \times D'$
на $D'$ вдоль $D$. Выбрав $D'$ достаточно маленьким,
можно считать, что $Z\cap \6 D \times D'=\emptyset$.
Из этого следует, что 
$F\restrict {Z\cap  D \times D'}:\;Z\cap  D \times D\arrow D' $ --
собственное отображение. {\bf \purple Конечность слоев 
$F\restrict {Z\cap  D \times D'}$
следует из принципа максимума} (компактное
подмногообразие диска конечно). \endproof

\невпаге

{\бф \блуе Ранг голоморфного отображения}


\определение
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение
комплексных многообразий. Определим {\бф \блуе ранг $F$ в $x$}
 как $\rk_x F:=\dim (X,x) - \dim (F^{-1}(F(x)),x)$.

\теорема
{\бф \ред Ранг $\rk_x F$ полунепрерывен сверху как функция $x$.}

\доказательство
Пусть $F:\; (X,x) \arrow (Y,y)$ -- росток голоморфного
отображения, причем $F^{-1}(y)$ имеет размерность $k$.
Будем считать, что $(X,x)$ вложено в $(\C^n,0)$.
Рассмотрим общую гиперплоскость $V\subset \C^n$ размерности
$n-k$, которая проходит через $x$ и пересекается с $F^{-1}(y)$ по конечному
множеству. {\бф \пурпле Тогда $F\restrict V\cap X$ -- конечное
отображение в некоторой
окрестности $x$, в силу  утверждения (*), поэтому $F^{-1}(F(x'))$
пересекается с $V$ по конечному множеству для
любого $x'$ в окрестности $x$.} Следовательно.
$\dim F^{-1}(F(x'))\leq  \dim (F^{-1}(F(x)),x)$.
\endproof

\замечание
Мы доказали, что
{\бф \ред множество точек $x$, где $\rk F$ максимален, открыто.}

\невпаге

{\бф \блуе Теорема о ранге отображения}

\теорема
{\бф \блуе ("теорема о ранге")}
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- сюрьективное голоморфное
отображение комплексных многообразий. {\bf \red Тогда
\[ \dim Y = \sup_{x\in X} \rk(F,x).\]}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
Пусть $X_1\subset X$ --  множество
гладких точек $X$, где ранг максимален. 
 Тогда $\dim F(X_1)= \sup_{x\in X} \rk(F,x)$
по теореме о постоянном ранге. Значит, {\бф \purple замыкание 
$F(X_1)$ имеет размерность $\sup_{x\in X} \rk(F,x)$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $X_1'$ -- множество
гладких точек в дополнении
к замыканию $X_1$; это открытое, гладкое
подмногообразие в $X$. Обозначим за $X_2$
множество точек $X_1'$, где $\rk (F\restrict{X_1'})$
максимален. Повторив эту процедуру, получим
{\bf \purple набор непересекающихся, открытых, гладких подмногообразий
$\overline{X_1 \coprod X_2 \coprod X_3 \coprod ...}=X$,
причем $\rk F\restrict{X_i}$ постоянный на каждом
$X_i$ и убывает как функция $i$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Снова применив теорему о постоянном
ранге, получим, что $\dim F(X_i)< \dim F(X_1)$,
значит, {\bf \purple $F(X)$ есть замыкание объединения комплексных
подмногообразий ранга $\leq \sup_{x\in X} \rk(F,x)$.}
\endproof

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Реммерта и Реммерта-Штейна (схема доказательства)}

\теорема {\бф \блуе ("Теорема Реммерта-Штейна")}
Пусть $X$ -- комплексное многообразие, 
$A\subset X$ -- комплексно-аналитическое
подмножество, а $Z$ -- неприводимое 
комплексно-аналитическое подмножество
в $X\backslash A$. Предположим, что 
$\dim Z> \dim A$. {\бф \ред Тогда замыкание $\bar Z$
комплексно-аналитично в $X$.}

\теорема {\бф \блуе ("Теорема Реммерта о собственном отображении")}
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- собственный морфизм
комплексных многообразий. {\бф \ред Тогда $F(X)$ комплексно-аналитично
в $Y$.}

Доказательство этих теорем ведется индуктивно.\\
{\бф \блуе (РШ$_m$):}  утверждение теоремы Реммерта-Штейна
верно для  $\dim X\leq m$.\\
{\бф \блуе (Р$_m$):} утверждение теоремы Реммерта
верно для  $\dim X\leq m$.

Мы доказываем два утверждения:

{\бф \греен А.} (РШ$_m$) и (Р$_{m-1}$) влечет
(Р$_m$). \\
{\бф \греен Б.} (Р$_{m-1}$) влечет (РШ$_m$).

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Реммерта и Реммерта-Штейна: утверждение А.}

{\бф \греен Доказательство импликации А:
(РШ$_m$) и (Р$_{m-1}$) $\Rightarrow$ (Р$_m$):}

{\бф \греен Шаг 1:}
Пусть $X_1$ -- множество всех точек $X$, где $rk(F)$ не максималльный,
а $X':= X \backslash (X_\sing\cup X_1)$.
По теореме о постоянном ранге, 
{\бф \пурпле $F(X')$ аналитическое в окрестности каждой точки, которая
не принадлежит $F(X_1) \cup F(X_\sing)$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Воспользовавшись (Р$_{m-1}$),
можно считать, что {\бф \пурпле $F(X_1)$ и $F(X_\sing)$ комплексно-аналитические.}

{\бф \греен Шаг 3:} По теореме о ранге,
\begin{multline*} 
  \dim F(X_\sing) = \sup_{x\in X_\sing} \rk (F\restrict {X_\sing},x)=\\
  \dim X_\sing - \inf_{x\in X_\sing } \dim F^{-1}(F(x)) < 
  \rk\sup_{x\in X} \rk (F,x)= \dim F(X').
\end{multline*}
Аналогично, $\dim F(X_1) = \sup_{x\in X_1} 
\rk (F\restrict {X_1},x)< \sup_{x\in X}\rk (F,x)=\dim F(X')$.

{\бф \греен Шаг 4:} Теперь утверждение А
{\бф \пурпле 
получается применением РШ$_{m}$ к $Z=F(X')$ и $A=F(X_1) \cup F(X_\sing)$.}

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Реммерта и Реммерта-Штейна: утверждение Б.}


{\бф \греен Доказательство импликации Б:
 (Р$_{m-1}$) $\Rightarrow$ (РШ$_m$):}

{\бф \греен Шаг 1:} Воспользовавшись индукцией по 
$\dim A$, {\бф \пурпле можно считать, что $A$ гладко,
а $Z$ неприводимо.}

{\бф \греен Шаг 2:} Применив подходящий голоморфный 
диффеоморфизм, можно считать, что $Z$ вложено
в диск $B\subset \C^n$, а $A\subset B$ -- линейное
подпространство там же. Рассмотрим линейную форму,
которая не равна тождественно нулю на $Z$.
Она высекает на $Z$ подмногообразие положительной
коразмерности. Воспользовавшись индукцией, мы {\бф \пурпле построим
линейную проекцию $F:\; B \arrow \C^{\dim Z}$ такую, что
$F^{-1}(0) \cap (Z\cup A)$ имеет размерность ноль.}

{\бф \греен Шаг 3:} Применив тот же аргумент, что доказывает
утверждение (*), найдем полидиск $D\times D'\subset B$
такой, что проекция $F$ отображает $D\times D'$ в $D'$,
причем 
{\бф \пурпле $F\restrict {(Z\cup A)\cap  D \times D'}:\;(Z\cup A)\cap  D \times D\arrow D' $
конечно} (собственно и с конечными слоями).
Заменим $Z$ на $Z\cap D \times D'$ и $A$ на $A\cap D \times D'$.

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Реммерта и Реммерта-Штейна: утверждение Б (продолжение).}


{\бф \греен Шаг 4:} Пусть $A'$ -- объединение $A$ и множества
всех точек, где $F\restrict Z$ не диффеоморфизм, а $Z':= Z \backslash F^{-1}(F(A'))$.
Тогда $F\restrict Z$ -- конечное и неразветвленное накрытие,
следовательно, оно $q$-листно. Множество $A'\cap Z$ аналитично
потому что это дискриминант голоморфного отображения. 
{\бф \ред  В силу (Р$_{m-1}$),
образ $F(A'\cap Z)$ -- комплексно-аналитический.}  

{\бф \греен Шаг 5:} Пусть $F_1:\; D \times D'\arrow D_1\times D'$ --
линейная проекция, тождественная на $D'$, причем диск $D_1$
одномерен. Для доказательства (РШ$_m$),
достаточно убедиться, что $F_1(\bar Z)$ комплексно-аналитическое.
Поэтому {\бф \пурпле можно считать, что диск $D$ одномерен.}

{\бф \греен Шаг 6:} В этой ситуации, $Z'$ есть график
$q$-листного отображения \[ D'\backslash F(A')\arrow \Sym^q(\C),\ \ \ 
\zeta_1, ..., \zeta_q:\; D'\backslash F(A')\arrow \C.
\]
Коэффициенты элементарных симметрических полиномов
от $\zeta_1, ..., \zeta_q$ -- голоморфные функции
на $D'\backslash F(A')$, которые ограничены на $D'$,
значит, {\бф \пурпле продолжаются до голоморфных функций $e_0, ..., e_{q-1}$
на $D'$. }

{\бф \греен Шаг 7:} Мы получили, что замыкание $Z$ 
{\бф \ред задается уравнением \\ $t^q + e_1 t^{q-1}+ ...  + e_q=0$
в $\C \times D'$,} значит, $Z'$ комплексно-аналитично.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Чжоу.}

\определение
Подмножество $\C P^n$ называется
{\бф \блуе проективным подмногообразием}, если это
множество общих нулей однородного идеала в кольце
однородных полиномов на $\C^{n+1}$.

\теорема
Пусть $Z\subset \C P^n$ -- замкнутое комплексно-аналитическое
подмножество. {\бф \ред Тогда $Z$ проективно.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
Рассмотрим естественную проекцию \\ $\C^{n+1}\backslash 0 \arrow \C P^n$,
и пусть $C_0(Z)$ -- прообраз $Z$. {\бф \ред Применив Реммерта-Штейна,
получим, что его замыкание $C(Z)$ -- комплексное подмногообразие.}

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $I_Z$ -- идеал $C(Z)$ в кольце ростков.
Рассмотрим действие $\C^*$ на $\C^{n+1}$ растяжениями.
Поскольку $Z$ $\C^*$-инвариантно, {\бф \пурпле идеал $I_Z$ $\C^*$-инвариантен.}

{\бф \греен Шаг 3:} Пусть $f\in I_Z$, а $f= \sum P_i$
ее разложение в ряд Тэйлора, где $P_i$ -- однородные полиномы
степени $i$ на $\C^{n+1}$. Тогда $\C^*$ действует на $f$
по формуле $\rho_\lambda(f) = \sum \lambda^i P_i$.
Поскольку $I_Z$ $\C^*$-инвариантно,
{\бф \пурпле функции 
$\frac {d^s}{d\lambda^s}\rho_\lambda(f)= \sum_{r=s}^\infty\binom r s \lambda^{r-s}P_r$
лежат в $I_Z$.}

{\бф \греен Шаг 4:}
Положив $\lambda=0$, получим, что {\бф \ред $P_r\in I_Z$ для любого $r\geq 0$.}
\ендпрооф




\end{document}
