

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 18 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm]
\small лекция 18: комплексно-аналитические множества}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва
\\[2mm] 25 апреля 2011
}
\end{center}

\newpage

{\бф \блуе Кольцо ростков комплексно-аналитических функций (повторение)}


\определение
Пусть $М$ -- комплексное многообразие, $x\in M$.
{\бф \блуе Кольцо ростков} комплексно-аналитических функций
в $x$ есть объединение колец $\Gamma(\calo_U)$ для всех 
связных открытых подмножеств $M$, содержащих $x$.
Кольцо ростков аналитических функций на $(\C^n, 0)$
обозначается $\calo_n$.

\определение
Кольцо называется {\бф \блуе локальным}, если в нем
есть идеал $I$ (называемый {\бф \блуе максимальным
идеалом кольца}) такой, что каждый элемент $a\not\in I$
обратим. 

\определение
Кольцо $R$ называется {\бф \блуе нетеровым},
если каждый идеал в $R$ конечно порожден.

\определение
Кольцо $R$ называется {\бф \блуе факториальным},
если в нем имеет место однозначность разложения на простые
сомножители, то есть мультипликативная группа есть произведение
свободной абелевой полугруппы и группы обратимых элементов.

\теорема
Кольцо ростков аналитических функций -- {\бф \ред локальное, нетерово,
факториальное кольцо.}


\newpage

{\бф \блуе Комплексно-аналитические множества и их ростки (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Комплексно-аналитическое подмножество}
комплексного многообразия $M$ есть замкнутое подмножество
$Z\subset M$, которое локально биголоморфно 
подмножеству в $U\subset \C^n$, заданному как
множество общих нулей какого-то идеала $I\subset \calo_U$.


\определение
Пусть $Z_1, Z_2\subset M$ комплесно-аналитические
подмногообразия. Они называются {\бф \блуе эквивалентными
в $x$}, если $Z_1 \cap U = Z_2 \cap U$ для какой-то окрестности
$U\ni x$. {\бф \блуе Росток комплексно-аналитического подмножества}
в $x\in M$ есть класс эквивалентности комплексно-анали\-тических
подмножеств $Z\subset U\ni x$ по отношению к  "эквивалентности в $x$."

\определение
Росток комплексно-аналитического подмножества $Z$
в $x\in M$ называется {\бф \блуе неприводимым}, если
не существует нетривиального разложения $Z= A_1 \cup A_2$
на два комплексно-аналитических подмножества.

\newpage

{\бф \блуе Примарное разложение ростков \\ комплексно-аналитических множеств
(повторение)}

\утверждение
Росток комплексно-аналитического подмножества $Z$
{\бф \ред неприводим тогда и только тогда, когда идеал $I_Z$ ростков функций,
зануляющихся в $Z$, простой.}

\доказательство
Если есть нетривиальное разложение $Z= A_1 \cup A_2$, то найдутся
функции $f_1, f_2$, зануляющиеся на одном из $A_i$, но не
на другом; {\бф \пурпле в этом случае $f_1f_2\in I_Z$, значит, $I_Z$
не простой.}

Наоборот, если идеал $I_Z$ не простой, найдутся
$f_1, f_2\not \in I_Z$, такие, что $f_1f_2\in I_Z$;
тогда {\бф \пурпле соответствующие множества нулей удовлетворяют
$V_{f_1}\cup V_{f_2}\supset I_Z$,
значит, $(V_{f_1}\cap I_Z)\cup (V_{f_2}\cap I_Z)$ -- нетривиальное
разложение.}
\ендпрооф

\утверждение
Пусть $Z_1\supsetneq Z_2\supsetneq Z_3 \supsetneq ...$ -- убывающая
цепочка ростков комплексно-аналитических множеств.
{\бф \ред Тогда она обрывается.}

\доказательство
Следует из нетеровости кольца ростков голоморфных функций. \ендпрооф

\следствие
{\бф \пурпле Каждый росток комплексно-аналитического множества
разлагается в конечное объединение неприводимых.}
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (повторение)}

\определение
Пусть $z_1, ..., z_n$ -- координаты на $\C^n$.
{\бф \блуе Полином Вейерштрасса} есть  
функция вида $A_0 + z_n A_1 + ... + z_n^k A_k$,
где $A_i\in \calo_{n-1}$ -- аналитические функции, зависящие
только от $z_1, ..., z_{n-1}$. Полином Вейерштрасса
часто записывается в виде $P(z, z_n)$,
где $z$ обозначает совокупность координат
$z_1, ..., z_{n-1}$.

\теорема {\бф \блуе (Подготовительная теорема Вейерштрасса)}\\
Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности 0 в $\C^n$,
такая, что $\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0.
{\бф \ред Тогда для какого-то полидиска, $F$ можно
разложить как $F=u(z)P(z, z_n)$, где $u$ обратима, а $P$ --
полином Вейерштрасса со старшим коэффициентом 1.}
Более того, такое разложение единственно. 

{\бф \греен Замечание о выборе системы координат. } В качестве 
$z_n$ можно выбрать любой вектор, для которого
функция $F(0, z_n)$ имеет нуль минимально возможного порядка,
а в качестве $z_1, ..., z_{n-1}$ -- любую систему координат,
дополнительную к $z_n$.


{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
Пусть $f$ -- голоморфная функция на одномерном диске, ненулевая на
его границе $\6\Delta$, а $S_k(f):= \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6\Delta} \frac
{f'}f z^k dz$. {\бф \пурпле Тогда $S_k(f)= \sum \alpha_i^k$, где
$\alpha_i$ -- все нули $f$, взятые с кратностями.}

\newpage

{\бф \блуе Доказательство подготовительной теоремы 
Вейерштрасса\\ (повторение)}

{\бф \греен Шаг 2:} Поскольку $\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел
в 0, для некоторого полидиска $\Delta(n-1,1):= B_r(z_1,
... z_{n-1}) \times \Delta_{r'}(z_n)$
бирадиуса $r, r'$, функция $F$ не равна нулю на части
границы: {\бф \ред $F(z, z_n)\neq 0$, когда $|z_n|=r'$.}
В этом полидиске мы построим разложение $F=u P$.


{\бф\греен Шаг 3:} Пусть ${\goth S}_k(z):= S_k(F(z, \cdot))$.
где $z\in B_r(z_1, ... z_{n-1})$. В силу формулы Руше
(или упражнения выше),
{\бф \пурпле ${\goth S}_0(z)$ равно числу нулей $F(z, \cdot)$
на диске $\Delta_{r'}$.} Поскольку ${\goth S}_0(z)$
непрерывно зависит от $z$, {\бф \ред число нулей постоянно.}


{\бф \греен Шаг 4:} Пусть
$e_l(z)$ -- элементарные полиномы от этих нулей,
обозначенных за $\alpha_i(z)$.
В силу шага 1, сумма $l$-х степеней
$\alpha_i(z)$ равна ${\goth S}_l(z)$.
{\bf \purple Воспользовавшись тождеством Ньютона,
мы выразим $e_l(z)$ через ${\goth S}_l(z)$,
получив голоморфные функции от $z_1, ..., z_{n-1}$.}


{\бф \греен Шаг 5:}
Пусть $P(z, z_n):= z_n^k + \sum_{i=0}^{k-1} (-1)^{i} e_i(z) z^i$.
Поскольку $P(z, z_n)$ имеет те же нули, что и $F$,
и с теми же кратностями, {\bf \red их частное обратимо в $\Delta(n-1,1)$.}
\endproof

\невпаге

{\бф \блуе Регулярная система координат для идеала}

\теорема
Пусть $J$ -- простой идеал в $\calo_n$
{\бф \ред Тогда найдется система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$
в окрестности 0, такая, что}

1.  $J_d=0$, где
$J_d$ -- множество функций $f\in J$, которые зависят только
от первых $d$ координат. 

2.  Для каждого $k>d$, найдется полином Вейерштрасса
$P_k\in J_k$ вида $P_k(z_1, ..., z_{k-1}, z_k) =z_k^{s_k}+ 
\sum_{i=0}^{s_k-1} \alpha_i z_k^i$,
где $\alpha_i$ -- аналитические функции, которые
зависят только от первых $k-1$ координат.

3. {\бф \ред Идеал $J$ порожден $P_i$.}


Более того, система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$
может быть выбрана таким образом, что {\бф \ред 
векторы $\frac d {dz_i}\restrict 0$
будут сколь угодно близки к любому заданному базису в $T_0 \C^n$.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} \\
Пусть $d$ -- самое большое число, для которого $J_d=0$.
Если $d=n$, доказывать нечего. {\бф \пурпле Если $d <n$, можно
считать, что для $J_{n-1}\subset \calo_{n-1}$
утверждение теоремы уже доказано} (индукцией по $n$).

\невпаге

{\бф \блуе Регулярные координаты для комплексно-аналитических множеств
(продолжение)}

{\бф \греен Шаг 2:} Возьмем $P\in J\backslash J_{n-1}$ с
минимальным порядком зануления в 0
и применим к нему подготовительную теорему Вейерштрасса. 
Если $J\neq \langle P, J_{n-1}\rangle$, возьмем в
$P' \in J\backslash \langle P, J_{n-1}\rangle$,
и применим к $P, P'$ алгоритм Евклида, получив
полином меньшей степени. \ендпрооф


\определение В такой ситуации, $z_1, ..., z_n$ называется
{\бф \блуе регулярной системой координат} для идеала $J$.



\замечание
Если $J$ -- идеал функций, зануляющихся на ростке 
аналитического подмножества $Z$,
первое условие теоремы равносильно следующему.
Рассмотрим проекцию $P_d$ на первые $d$ координат.
{\бф \пурпле Тогда $Z$ не содержится в $P^{-1}_d(Z')$,
для какого-то нетривиального аналитического
подмножества $Z' \subset \C^d$} (докажите это).

\замечание
В этой ситуации, второе условие -- алгебраическая версия
следующего геометрического факта. 
Рассмотрим проекцию на первые $d$ координат, $P_d:\; Z \arrow \C^d$.
{\бф \ред Тогда прообраз каждой точки -- конечное множество,
в общей точке состоящее из $N:=\prod_{k=d+1}^ns^k$ точек}
(если считать с кратностями),
причем функция, которая переводит $z\in \C^d$
в соответствующую точку $\Sym^N \C^n$ 
комплексно-аналитична.

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Артина о примитивном элементе}

\теорема
{\бф \блуе (теорема Артина о примитивном элементе)}\\
Пусть $K:k$ -- конечное расширение 
полей, содержащих $\C$, 
а $x_1, ..., x_n\in K$ мультипликативно порождают $K$ над $k$.
{\бф \ред Тогда для общей линейной комбинации
$u:=\sum \lambda_i x_i$, $\lambda_i \in \C$,
$u$ порождает $K$} (такой $u$ называется
{\бф \блуе примитивным}).

\доказательство
Пусть $K_j\subsetneq K$ -- множество всех
промежуточных подполей, не равных $K$.
Нам нужно доказать, что для общих $\lambda_j$,
$u(\lambda_1, ..., \lambda_n)$ не содержится ни в одном из
$K_j$.

Если $u(\lambda_1, ..., \lambda_n)$ содержится
в $K_j$, то $x_i$ не порождают $K$. {\бф \пурпле Поэтому для
каждого из подполей $K_j$ найдется набор
$(\lambda_1, ..., \lambda_n)$ такой, что
$u(\lambda_1, ..., \lambda_n)\notin K_j$.}

{\бф \пурпле Множество $U_{K_j}$ таких $(\lambda_1, ..., \lambda_n)$
-- дополнение к гиперпространству положительной
коразмерности}. Взяв точку $(\lambda_1, ...,
\lambda_n)$ в пересечении
$\bigcap_{K_j} U_{K_j}$, получим примитивную
линейную комбинацию $x_i$.
\ендпрооф



\невпаге

{\бф \блуе Теорема Вейерштрасса о делении и ее применения}


\теорема {\бф \блуе (Tеорема Вейерштрасса о делении)}\\
Пусть $P(z, z_n)$ -- полином Вейерштрасса степени $k$. 
{\бф \пурпле Тогда каждая голоморфная функция
$F$, заданная в окрестности 0, может быть представлена
в виде $F=fP +Q$,} где $Q(z,z_n)$ -- полином Вейерштрасса,
степени, меньшей $k$.

\доказательство
См. лекцию 17. \ендпрооф

\следствие
Пусть $P_{d+1}, ..., P_{n}$ -- полиномы Вейерштрасса, построенные
в теореме о регулярной системе координат. 
{\бф \ред Тогда каждая голоморфная функция
$F\in \calo_n$ по модулю $P_{d+1}, ..., P_{n}$
равна линейной комбинации мономов от $z_{d+1}, ..., z_n$
степени меньше $(s_{d+1}, ..., s_n)$ с коэффициентами из $\calo_d$.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} 
Воспользовавшись индукцией по $n$, можно считать, что {\бф 
\пурпле утверждение
следствия доказано для каждой функции, которая зависит
только от $z_1, ..., z_{n-1}$.}

\невпаге

{\бф \блуе Теорема о конечности}

{\бф \греен Шаг 2:} Применив теорему
Вейерштрасса о делении, запишем $F=fP_n +Q$,
где $Q$ -- полином Вейерштрасса,
степени, меньшей $s_n$. {\бф \пурпле Коэффициенты $Q$
зависят только от $z_1, ..., z_{n-1}$,
и в силу шага 1 для них утверждение
следствия уже доказано.}
\ендпрооф

\следствие
{\бф \блуе (Tеорема о конечности)}\\
Пусть $z_1, ..., z_n$ -- регулярная система координат для
идеала $J\subset \calo_n$,
а $\calo_d$ -- голоморфные функции, зависящие только от
$z_1, ..., z_d$. Тогда
{\бф \ред кольцо $\calo_n/J$ конечно порождено как $\calo_d$-модуль.}

\доказательство
Оно порождено конечным числом координатных мономов. \ендпрооф


\теорема
{\бф \блуе (теорема о примитивном элементе)}
Пусть $J\subset \calo_n$ -- простой идеал,
такой, что $\calo_n/J$ конечно над $\calo_d$.
{\бф \ред Тогда для почти всех линейных
комбинаций $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i\in \calo_n/J$, 
функция $u$ порождает
поле частных $k(\calo_n/J)$ над полем частных $k(\calo_d)$.}

\доказательство
Следует из теоремы Артина, примененной к $K=k(\calo_n/J)$.
\ендпрооф



\невпаге


{\бф \блуе Теорема Гильберта о нулях, для простого идеала}


\теорема 
Пусть $J\subset \calo_n$ -- простой идеал, $Z$ -- множество
общих нулей $J$, а $J_Z$ -- множество всех функций, зануляющихся
в $Z$. {\бф \ред Тогда $J_Z = J$.}

{\бф\греен Доказательство. \\ Шаг 1:}
Возьмем регулярную систему координат, и
рассмотрим проекцию $P_d:\; Z \arrow \C^d$ на первые $d$
координат. Пусть $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- 
примитивный элемент, порождающий поле частных 
$k(\calo_n/J)$ над $k(\calo_d)$, а ${\cal P}_u(t)\in \calo_d[t]$ -- его
минимальный полином. Поскольку $u$ целый, ${\cal P}_u(t)$ унитарный
(имеет старшим коэффициентом 1). 

{\бф \греен Шаг 2:}
 Отображение ${\goth u}:\; \C^n \arrow \C^{d+1}$,
\[ (z_1, ..., z_n) \stackrel{\goth u}\arrow (z_1, ..., z_d, 
u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i) 
\]
{\бф \пурпле переводит
$Z$ в множество $Z_{{\cal P}_u}$ общих нулей ${\cal P}_u(u)$. }
Действительно, если в точке $(z_1, ..., z_n)$ зануляются
все элементы $J$, то ${\cal P}_u(u)\in J$ тоже
зануляется в $(z_1, ..., z_n)$.




\невпаге


{\бф \блуе Теорема Гильберта о нулях (продолжение)}


{\бф \греен Шаг 3:} 
Поскольку $u$ примитивный,
имеем ${\goth u}^*({\cal P}_u)= J$ в $\calo_n\otimes k(\calo_d)$,
то есть все образующие $J$ выражаются через ${\goth u}^*{\cal P}_u$
как полиномы с коэффициентами из $k(\calo_d)$.
Пусть $\xi:=(z_1, ..., z_d, u)$ -- точка, где все знаменатели
этих коэффициентов ненулевые, и ${\cal P}_u(u)=0$.
{\бф \пурпле Тогда все образующие $J$ зануляются в ${\goth u}^{-1}(\xi)$.}.


{\бф \греен Шаг 4:}
Поскольку ${\cal P}_u(u)$ -- полином
Вейерштрасса, проекция его нулей в $\C^d$ сюрьективна. 
Следовательно проекция $Z$ на первые $d$ координат имеет
образ, который плотен по Зарискому в $\C^d$.
Мы получили, что
{\бф \ред ненулевая функция $f\in \calo_d$ не может 
зануляться на $Z$.} 

{\бф \греен Шаг 5:}
Понятно, что $J_Z \supset J$.
В силу теоремы о конечности, 
$\calo_n/J$ -- конечное расширение $\calo_d$.
Для каждого $f\in J_Z$, {\бф \пурпле $f$ удовлетворяет 
уравнению вида $P(f)=0$, где 
$P= t^n + a_{n-1} t^{n-1} + ... + a_0\in \calo_d[t]$ --
неприводимый полином.} Поскольку $f$ зануляется на $Z$,
$a_0$ также зануляется на $Z$. В силу шага 3, из этого
следует, что $a_0=0$. Но тогда $P$ не может быть неприводим.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Гильберта о нулях (общая форма)}

\определение
Пусть $J$ -- идеал.
Определим {\бф \блуе радикал} $\sqrt J$ как пересечение
всех простых идеалов, содержащих $J$.

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле $a\in \sqrt J$ тогда и только тогда, когда
$a^n \in J$ для какого-то $n>0$.}

\теорема
Пусть $J\subset \calo_n$ -- идеал,
а $Z_J$ множество общих нулей $J$. Тогда 
{\бф \ред $f$ зануляется на $Z_J$ тогда и только тогда,
когда $f\in \sqrt J$.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
В силу предыдущего упражнения, $Z_J=Z_{\sqrt J}$.

{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть ${\goth P}$ -- множество простых идеалов,
содержащих $J$. В силу шага 1, имеем
 $Z_J =Z_{\sqrt J}=\bigcup_{J'\in \goth P}Z_{J'}$, так как
$\sqrt J= \bigcap_{J'\in \goth P}J'$.

{\бф \греен Шаг 3:} Если функция зануляется на
$Z_J$, она лежит каком-то из $Z_{J'}$, и в силу
теоремы, доказнной выше, принадлежит $J'$. \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Дискриминант минимального многочлена}

\определение
Пусть $P(t)=\prod_i(t-\alpha_i)$ -- полином.
{\бф\блуе Дискриминант} $P$ есть произведение
вида $\prod_{i< j} (\alpha_i-\alpha_j)^2$,
которое выражается как полином от коэффициентов $P$.


\лемма
Пусть $Z$ -- росток неприводимого
комплексно-аналитического подмножества, 
$z_1, ..., z_n$ регулярные координаты, 
$u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- примитивный
элемент, ${\cal P}_u(t)$ -- его минимальный
многочлен,  а $D({\cal P}_u)\in \calo_d$ -- дискриминант
${\cal P}_u(t)$. Тогда {\бф \ред $D({\cal
P}_u)$ ненулевой.}


\доказательство
Если $D({\cal P}_u)$ равен нулю, то ${\cal P}_u(t)$
имеет общий делитель с его производной, что противоречит
минимальности. \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Дискриминант минимального многочлена (продолжение)}

\теорема
Пусть $Z$ -- росток неприводимого
комплексно-аналитического подмножества, 
$z_1, ..., z_n$ регулярные координаты, 
$u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- примитивный
элемент, ${\cal P}_u(t)$ -- его минимальный
многочлен, степени $N$, а $D({\cal P}_u)\in \calo_d$ -- дискриминант
${\cal P}_u(t)$. Обозначим за $D_Z\subset \calo_d$ множество, где 
$D({\cal P}_u)=0$, и пусть $P_d$ -- проекция на
первые $d$ координат. Тогда в какой-то окрестности нуля
{\бф \ред  проекция  $Z\backslash D_Z \stackrel {P_d} 
\arrow \C^d\backslash D_Z$ -- неразветвленное
$N$-листное накрытие.}

\доказательство
Воспользовавшись отображением ${\goth u}$, построенным
в доказательстве теоремы Гильберта о нулях, можно
считать, что $n=d+1$. Тогда $Z$ есть множество нулей
многочлена ${\cal P}_u(t)$, который имеет
в $Z\backslash D_Z$ ненулевую производную.
Применяя теорему об обратной функции, получаем, что
{\бф \пурпле вне $D_Z$, отображение $Z\stackrel {P_d} \arrow
\C^d$ этально} (то есть локально является 
диффеоморфизмом).  Наконец, {\бф \пурпле $N$-листность этого накрытия
в некоторой окрестности 0 следует из аргумента, 
доказывающего подготовительную теорему Вейерштрасса.}


\невпаге

{\бф \блуе Неособые точки ростка комплексно-аналитического
множества}

\определение
Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое
подмножество. Назовем точку $z\in Z$ {\бф \блуе гладкой},
если в окрестности $z$, $Z$ -- гладкое подмногообразие,
и {\бф \блуе особой} в противном случае

\теорема
Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое
подмножество, а $Z_{sing}\subset Z$ -- множество
особых точек $Z$. {\бф \ред Тогда $Z_{sing}$ --
комплексно-аналитическое подмножество,
а его дополнение плотно и открыто в $Z$.}

\доказательство
Поскольку результат локальный, можно считать,
что $Z$ -- росток комплексно-аналитического
множества. Возьмем регулярные координаты,
и пусть $D_Z$ -- множество нулей дискриминанта
$Z$. {\bf \purple Вне $D_Z$, $Z$ неособо, что доказывает
плотность и открытость множества гладких точек.}

Пусть теперь $f_1, ..., f_n$ порождают идеал
функций, зануляющихся в $Z$. Тогда 
{\бф \пурпле $Z_{sing}$ есть множество, где ранг 
$\langle df_1, ..., df_n\rangle$ меньше $\codim Z$,}
значит, оно комплексно-аналитично. \ендпрооф




\end{document}
