


\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 17 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm]
\small лекция 17: кольцо ростков комплексно-аналитических функций}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва
\\[2mm] 18 апреля 2011
}
\end{center}

\newpage

{\бф \блуе Кольцо ростков комплексно-аналитических функций}

\упражнение
Пусть $U \subset U'$ -- открытые, связные подмножества
комплексного многообразия. Докажите, что тогда {\бф \пурпле соответствующие
кольца голоморфных функций} тоже вложены: $\Gamma(\calo_{U'})
\subset \Gamma(\calo_{U})$.

\определение
Пусть $М$ -- комплексное многообразие, $x\in M$.
{\бф \блуе Кольцо ростков} комплексно-аналитических функций
в $x$ есть объединение колец $\Gamma(\calo_U)$ для всех 
связных открытых подмножеств $M$, содержащих $x$.
Кольцо ростков аналитических функций на $(\C^n, 0)$
обозначается $\calo_n$.

\определение
Кольцо называется {\бф \блуе локальным}, если в нем
есть идеал $I$ (называемый {\бф \блуе максимальным
идеалом кольца}) такой, что каждый элемент $a\not\in I$
обратим. 

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле 
кольцо ростков комплексно-анали\-ти\-ческих функций
локально.}




\newpage

{\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (формулировка)}

\определение
Пусть $z_1, ..., z_n$ -- координаты на $\C^n$.
{\бф \блуе Полином Вейерштрасса} есть  
функция вида $A_0 + z_n A_1 + ... + z_n^k A_k$,
где $A_i\in \calo_{n-1}$ -- аналитические функции, зависящие
только от $z_1, ..., z_{n-1}$. Полином Вейерштрасса
часто записывается в виде $P(z, z_n)$,
где $z$ обозначает совокупность координат
$z_1, ..., z_{n-1}$.

\теорема {\бф \блуе (Подготовительная теорема Вейерштрасса)}\\
Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности 0 в $\C^n$,
такая, что $\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0.
{\бф \пурпле Тогда для какого-то полидиска, $F$ можно
разложить как $F=u(z)P(z, z_n)$, где $u$ обратима, а $P$ --
полином Вейерштрасса со старшим коэффициентом 1.}
Более того, такое разложение единственно.

\замечание
Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности $\C^n$, которая
имеет в 0 нуль порядка $k$ (и не больше). Тогда для любого 
выбора координат, $\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ конечен, и 
для почти любого - $\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}\neq 0$, что ясно
из разложения Тейлора (проверьте). То есть {\бф \ред
подготовительная теорема Вейерштрасса применима
к любой комплексно-аналитической функции}.



\newpage

{\бф \блуе Формула Ньютона}


\определение
Пусть $\alpha_1, ..., \alpha_l$ -- набор независимых
переменных, а $e_i$ -- коэффициенты многочлена
$t^l+ e_{l-1}t^{l-1}+ ... + e_1 t + e_l:= \prod_i (t+\alpha_i)$.
Тогда $e_j$ называются {\бф \блуе элементарными
симметрическими полиномами} от $\alpha_i$.

\теорема {\бф \блуе (Тождества Ньютона)}
Пусть $Q_j:= \sum_i \alpha^j$.
{\бф \пурпле Тогда элементарные симметрические
полиномы $e_0, ..., e_{l-1}$ полиномиально 
выражаются через $Q_1, ..., Q_l$,} с рациональными
коэффициентами.

\доказательство
Имеет место {\бф \блуе тождество Ньютона}: 
\[ k e_k = \sum_{i=0}^{k-1} (-1)^ie_{k-i}Q_i.\]
Чтобы это усмотреть, напишем производящую функцию
$E(t):= \prod_i (1-t \alpha_i) = \sum_i (-1)^i t^i e_i$.
Дифференцируя по $t$, получаем 
\[ 
  \frac{E'(t)}{E(t)}=\sum_i\frac{-\alpha_i}{1-t\alpha_it}=
  -\sum_i\sum_{j=1}^\infty \alpha_i^j t^{j-1}.
\] 
Пусть $Q(t):= \sum_{j=1}^\infty  Q_j t^j$.
Из предыдущей формулы получаем $tE'= -EQ$,
что доказывает тождество Ньютона.
 \ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (доказательство)}


\замечание
Для доказательства подготовительной теоремы Вейерштрасса,
{\бф \пурпле мы рассматриваем множество нулей $F$ как особое подмногообразие
$\C^n$, которое снабжено $k$-листным разветвленным
накрытием над $\C^{n-1}$}, и строим полином Вейерштрасса
с тем же множеством нулей.


\упражнение
Пусть $f$ -- голоморфная функция на диске, ненулевая на
его границе $\6\Delta$, а $S_k(f):= \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6\Delta} \frac
{f'}f z^k dz$. Тогда $S_k(f)= \sum \alpha_i^k$, где
$\alpha_i$ -- все нули $f$, взятые с кратностями.

\указание 
Формула Коши.

{\бф \греен Доказательство подготовительной теоремы
Вейерштрасса:}\\
Поскольку $\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел
в 0, в некотором полидиске $\Delta(n-1,1):= B_r(z_1,
... z_{n-1}) \times \Delta_{r'}(z_n)$
бирадиуса $r, r'$, $F(z, z_n)\neq 0$, когда $|z_n|=r'$.
В этом полидиске мы построим разложение $F=u P$.

{\бф\греен Шаг 1:} Пусть ${\goth S}_k(z):= S_k(F(z, \cdot))$.
где $z\in B_r(z_1, ... z_{n-1})$. В силу формулы Руше
(или упражнения выше),
{\бф \пурпле ${\goth S}_0(z)$ равно числу нулей $F(z, \cdot)$
на диске $\Delta_{r'}$.} Поскольку ${\goth S}_0(z)$
непрерывно зависит от $z$, {\бф \ред число нулей постоянно.}

\newpage

{\бф \блуе Доказательство подготовительной теоремы Вейерштрасса \\(продолжение)}


{\бф \греен Шаг 2:} Пусть
$e_l(z)$ -- элементарные полиномы от этих нулей,
обозначенных за $\alpha_i(z)$.
В силу упражнения выше, сумма $l$-х степеней
$\alpha_i(z)$ равна ${\goth S}_l(z)$.
{\bf \purple Воспользовавшись тождеством Ньютона,
мы выразим $e_l(z)$ через ${\goth S}_l(z)$,
получив голоморфные функции от $z_1, ..., z_{n-1}$.}


{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть $P(z, z_n):= z_n^k + \sum_{i=0}^{k-1} (-1)^{i} e_i(z) z^i$.
Поскольку $P(z, z_n)$ имеет те же нули, что и $F$,
и с теми же кратностями, {\bf \red их частное обратимо в $\Delta(n-1,1)$.}
\endproof


\newpage

{\бф \блуе Tеорема Вейерштрасса о делении}

\теорема {\бф \блуе (Tеорема Вейерштрасса о делении)}
Пусть $P(z, z_n)$ -- полином Вейерштрасса степени $k$. 
{\бф \пурпле Тогда каждая голоморфная функция
$F$, заданная в окрестности 0, может быть представлена
в виде $F=fP +Q$,} где $Q(z,z_n)$ -- полином Вейерштрасса,
степени, меньшей $k$.

\доказательство
После замены системы координат на $z', z'_n$, можно
считать, что $F= u F'$, и $P=v P'$, где
$F'(z', z_n')$ и $P'(z', z_n')$ -- полиномы
Вейерштрасса. Деление в столбик дает
$F=fP+Q'$, где $Q'(z', z_n')$ -- полином
Вейерштрасса степени, меньшей $k$.
Значит, $Q'$ имеет в 0 нуль порядка,
который меньше, чем порядок нуля у $F$.
Воспользовавшись индукцией по порядку
нуля у $F$, можно считать, что $Q'$ уже
разложили: $Q'=gP +Q''$. \ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Факториальность кольца $\calo_n$ }

\утверждение
Пусть $f\in \calo_n$ -- элемент кольца ростков
голоморфных функций он $n$ переменных. 
{\бф \пурпле Тогда $f$ разлагается в 
произведение $f=f_1 ... f_N$
неразложимых функций,} причем {\бф \ред такое
разложение единственно.}

\доказательство
Достаточно доказать это, когда $f$ -- полином
Вейерштрасса. Разложив $f$ в произведение
неприводимых полиномов, получим искомое
разложение $f=f_1 ... f_N$. Осталось доказать
единственность. 

{\бф \греен Шаг 1:} Воспользовавшись индукцией,
{\бф \пурпле можно считать, что $\calo_{n-1}$ факториально.}
Из этого, по лемме Гаусса, 
следует факториальность $\calo_{n-1}[z_n]$.

{\бф \греен Шаг 2:} 
Пусть $g$ -- неразложимый элемент, который
делит произведение неразложимых элементов $ff'$.
Воспользовавшись подготовительной теоремой
Вейерштрасса, можно считать, что $f,f',g$ --
полиномы Вейерштрасса. Тогда {\бф \пурпле $g$ делит
$ff'$ в кольце $\calo_{n-1}[z_n]$.}
Поскольку это кольцо факториально,
из этого следует, что $f$ либо $f'$ делит $g$.
\ендпрооф

\замечание
Иначе говоря, кольцо $\calo_n$ {\bf \blue факториально}
(в нем однозначно разложение на простые сомножители).


\newpage

{\бф \блуе Нетеровы кольца}


\определение
Коммутативное кольцо $R$ называется {\бф \блуе нетеровым},
если каждый идеал в $R$ конечно порожден.

\упражнение
Пусть $R$ -- нетерово кольцо, а $M$ -- конечно-порожденный
$R$-модуль. Докажите, что любой подмнодуль $M$
конечно порожден.

\теорема {\бф \блуе (Emanuel Lasker, 1905)}
{\бф \ред Кольцо $\calo_n$ ростков голоморфных функций 
нетерово.}

{\bf \green Доказательство. Шаг 1:}
Пусть $I\subset \R$ -- идеал, а $P\in I$ -- ненулевой
элемент. По подготовительной теореме Вейерштрасса,
$P$ есть полином Вейерштрасса, с точностью до обратимой
функции; поэтому можно считать, что $P=P(z,z_n)$ есть
полином Вейерштрасса, степени $k$. По теореме о делении, 
{\бф \пурпле кольцо $\calo_n/(P)$
порождено $1, z_n, z_n^2, ..., z_n^{k-1}$ над 
$\calo_{n-1}$. }

{\бф \греен Шаг 2:} Значит, {\бф \пурпле $\calo_n/(P)$
конечно-порожден как модуль над $\calo_{n-1}$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Воспользовавшись индукцией, можно
считать, что $\calo_{n-1}$ нетерово. Поэтому 
{\бф \пурпле образ $\pi(I)$ в $\calo_n/(P)$ конечно порожден
над $\calo_{n-1}$. }


{\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\xi_1, ..., \xi_N$
образующие $\pi(I)$, а $\tilde \xi_1, ..., \tilde \xi_N$
их прообразы в $I$. Тогда $P,  \tilde \xi_1, ..., \tilde \xi_N$
{\бф \ред порождает $I$.} \ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Комплексно-аналитические множества и их ростки}

\определение
{\бф \блуе Комплексно-аналитическое подмножество}
комплексного многообразия $M$ есть замкнутое подмножество
$Z\subset M$, которое локально биголоморфно 
подмножеству в $U\subset \C^n$, заданному как
множество общих нулей какого-то идеала $I\subset \calo_U$.


\определение
Пусть $Z_1, Z_2\subset M$ комплесно-аналитические
подмногообразия. Они называются {\бф \блуе эквивалентными
в $x$}, если $Z_1 \cap U = Z_2 \cap U$ для какой-то окрестности
$U\ni x$. {\бф \блуе Росток комплексно-аналитического подмножества}
в $x\in M$ есть класс эквивалентности комплексно-анали\-тических
подмножеств $Z\subset U\ni x$ по отношению к  "эквивалентности в $x$."

\определение
Росток комплексно-аналитического подмножества $Z$
в $x\in M$ называется {\бф \блуе неприводимым}, если
не существует нетривиального разложения $Z= A_1 \cup A_2$
на два комплексно-аналитических подмножества.

\newpage

{\бф \блуе Примарное разложение ростков \\ комплексно-аналитических множеств}

\утверждение
Росток комплексно-аналитического подмножества $Z$
{\бф \ред неприводим тогда и только тогда, когда идеал $I_Z$ ростков функций,
зануляющихся в $Z$, простой.}

\доказательство
Если есть нетривиальное разложение $Z= A_1 \cup A_2$, то найдутся
функции $f_1, f_2$, зануляющиеся на одном из $A_i$, но не
на другом; {\бф \пурпле в этом случае $f_1f_2\in I_Z$, значит, $I_Z$
не простой.}

Наоборот, если идеал $I_Z$ не простой, найдутся
$f_1, f_2\not \in I_Z$, такие, что $f_1f_2\in I_Z$;
тогда {\бф \пурпле соответствующие множества нулей удовлетворяют
$V_{f_1}\cup V_{f_2}\supset I_Z$,
значит, $(V_{f_1}\cap I_Z)\cup (V_{f_2}\cap I_Z)$ -- нетривиальное
разложение.}
\ендпрооф

\утверждение
Пусть $Z_1\supsetneq Z_2\supsetneq Z_3 \supsetneq ...$ -- убывающая
цепочка ростков комплексно-аналитических множеств.
{\бф \ред Тогда она обрывается.}

\доказательство
Следует из нетеровости. \ендпрооф

\следствие
{\бф \пурпле Каждый росток комплексно-аналитического множества
разлагается в конечное объединение неприводимых.}
\ендпрооф




\end{document}
