\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} \usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 16 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm] \small лекция 16: оператор Дирака на многообразиях Калаби-Яу} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва \\[2mm] 11 апреля 2011 } \end{center} \newpage {\bf \blue Связность Леви-Чивита и ее кривизна (повторение)} \определение Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется {\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$, и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она ортогональна и без кручения. \теорема ("основная теорема дифференциальной геометрии") Каждое риманово многообразие {\бф \ред допускает связность Леви-Чивита, и она единственна. } \определение {\бф \блуе Пространство алгебраических тензоров кривизны} $V_{2,2}$ есть ядро отображения внешнего умножения $\Sym^2(\Lambda^2V)\arrow \Lambda^4V$ \теорема Рассмотрим тензор кривизны связности Леви-Чивита, $R^l_{ijk} \in \Lambda^2 M \otimes \goth{so}(TM)$. Отождествляя $\goth{so}(TM)$ и $\Lambda^2(TM)$, получим тензор кривизны $R_{ijkl} \in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^2 M$. {\бф \ред Тогда $R_{ijkl}\in V_{2,2}$.} \newpage {\bf \blue Кэлеровы многообразия (повторение)} \замечание Пусть $\nabla$ -- связность без кручения. Тогда {\бф \пурпле из $\nabla \omega=0$ сразу следует $d\omega=0$.} \теорема Пусть $(M,I, g)$ -- почти комплексное, эрмитово многообразие, а $\nabla$ -- связность Леви-Чивита. Тогда {\бф \ред равносильны:} {\бф \блуе (i) $\nabla(I)=0$ (ii) $d\omega=0$, и почти комплексная структура $I$ интегрируема.} \замечание (i) $\Rightarrow$ (ii) следует из выше доказанного, (ii) $\Rightarrow$ (i) -- {\бф \ред нетривиальная теорема.} \определение Почти комплексное, эрмитово многообразие многообразие $(M,I, g)$ называется {\бф \блуе кэлеровым}, если выполнено любое из условий (i), (ii). Класс когомологий $[\omega]\in H^2(M)$ называется {\бф\блуе кэлеровым классом} $M$. \определение {\бф\блуе Симплектическая форма} на многообразии есть невырожденная, замкнутая 2-форма. \замечание {\бф \пурпле Кэлерово многообразие всегда симплектично.} \newpage {\bf \blue Связность и голоморфная структура (повторение)} \определение Пусть $B$ -- гладкое комплексное расслоение со связностью $\nabla:\; V \arrow \Lambda^1(M)\otimes V$ и голоморфной структурой $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$. Рассмотрим разложение $\nabla$ по типам, $\nabla= \nabla^{0,1} + \nabla^{1,0}$, где \[ \nabla^{0,1}:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V, \ \ \ \nabla^{1,0}:\; V \arrow \Lambda^{1,0}(M)\otimes V. \] Говорят что $\nabla$ {\бф \блуе совместима с голоморфной структурой}, если $\nabla^{0,1}=\bar\6$. \определение {\бф \блуе Эрмитово голоморфное расслоение} есть гладкое комплексное расслоение, снабженное эрмитовой метрикой и голоморфной структурой. \определение {\бф \блуе Связность Черна} на эрмитовом голоморфном расслоении есть связность, совместимая с голоморфной структурой и сохраняющая метрику. \теорема На каждом голоморфном эрмитовом расслоении {\бф \ред связность Черна существует и единственна.} \утверждение {\бф \ред Кривизна $\Theta_B$ связности Черна есть (1,1)-форма.} \следствие Для связности Черна $\nabla$, имеем $\Theta_B= \{\nabla^{1,0}, \bar\6\}$. \невпаге {\бф \блуе Кривизна кэлерова многообразия} \утверждение {\бф \ред Связность Леви-Чивита на кэлеровом многообразии совпадает со связностью Черна.} \доказательство В силу отсутствия кручения у $\nabla$, $\Alt(\nabla^{0,1}(\eta)) = \nabla^{0,1}(\eta)$. Но {\бф \пурпле умножение $\Alt\; \Lambda^{0,1}(M)\otimes \Lambda^{1,0}(M)\Lambda^{1,1}(M)$ - изоморфизм.} Значит, {\бф \ред $\bar\6=\nabla^{0,1}$ на (1,0)-формах.} Связность Леви-Чивита ортогональна по определению. \ендпрооф \утверждение Пусть $M$ -- кэлерово многообразие, а $R\in \Sym^2(\Lambda^2 M)$ -- тензор кривизны. {\бф \ред Тогда $R\in \Sym^2(\Lambda^{1,1} M)$.} {\бф\греен Первое доказательство:} Связность (а значит, и кривизна) принимает значения в $\Lambda^2 M \otimes \goth u(TM)$. При отождествлении $\Lambda^2 M \cong \goth{so}(TM)$, подалгебра $\goth u(M)$ переходит в $\Lambda^{1,1}(M)$. Значит, $R\in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^{1,1} M$. Теперь {\бф \пурпле все следует из симметрий тензора кривизны.} {\бф\греен Второе доказательство:} Поскольку $\nabla$ есть связность Черна, ее кривизна лежит в $\Lambda^{1,1}M \otimes \Lambda^2 M$. Теперь {\бф \пурпле все следует из симметрий тензора кривизны.} \ендпрооф \newpage {\bf \blue Гауссова кривизна и кривизна Риччи (повторение)} \определение Пусть $V$ - векторное пространство с невырожденным скалярным произведением $g$. {\бф \блуе След} $\Tr_{12}:\;V^{\otimes^n} \arrow V^{\otimes^{n-2}}$ определяется как отображение, двойственное к умножению $A \arrow g\otimes A$. $\Tr_{ij}:\;V^{\otimes^n} \arrow V^{\otimes^{n-2}}$ определяется как отображение, действующее по $i$-му и $j$-му сомножителю как $\Tr_{12}$ на первом и втором: \[ \Tr_{ij}(a_{123...n})= \sum_{i,j}g^{ij}a_{123...n}. \] \определение {\бф \блуе Гауссова} (она же {\бф \блуе скалярная}) кривизна риманова многообразия есть $\Tr_{13}\Tr_{24}(\Theta_\nabla)$, где $\Theta_\nabla\in \Sym^2(\Lambda^2 TM)$ -- тензор римановой кривизны. \определение\\ {\бф \блуе Кривизна Риччи} риманова многообразия есть $\Tr_{13}(\Theta_\nabla)$. \замечание {\бф \пурпле Это симметрическая 2-форма,} в силу симметрий тензора кривизны. \невпаге {\бф \блуе Кривизна детерминантного расслоения} \определение Пусть $B$ -- векторное расслоение размерности $n$. Тогда линейное расслоение $\Lambda^n B$ обозначается $\det B$, и называется {\бф\блуе детерминантное расслоение $B$}. \лемма Пусть $z_1, ..., z_n$ -- базис в $B$, a $\zeta:=z_1\wedge z_2\wedge ...\wedge z_n$ -- соответствующее сечение $\det B$. Рассмотрим связность $\nabla_0$ в $B$, и пусть $\nabla:= \nabla_0 +A$ -- другая связность, где $A\in \Lambda^1 M \otimes \End B$. {\бф \пурпле Тогда $\nabla(\zeta) = \nabla_0(\zeta) + \zeta \otimes \Tr(A)$.} \доказательство $\nabla(\zeta) = \nabla_0(\zeta) + \sum_i z_1\wedge z_2\wedge ... \wedge A(z_i) \wedge ... \wedge z_n$. \ендпрооф \следствие {\бф \пурпле Кривизна $\det B$ выражается через кривизну $B$} по формуле $\Theta_{\det B} = \Tr(\Theta_B)$. \доказательство Возьмем {\бф \блуе плоскую} (без кривизны) связность $\nabla_0$, и пусть $z_i$ -- базис, удовлетворяющий $\nabla_0 z_i=0$. Тогда $\nabla(\zeta)= \zeta \wedge \Tr(A)$, и $\nabla^2 = d \Tr(A) = \Tr(A\wedge A + dA)$, потому что {\бф \пурпле $\Tr([X,Y])=0$ для любых матриц $X,Y$. } \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Кривизна Риччи кэлерова многообразия} \лемма Пусть $M$ -- кэлерово многообразие, $x,y\in T^{1,0}(M)$, а $R\in \Sym^2(\Lambda^2 M)$ -- тензор кривизны. {\бф \пурпле Тогда $R(x,\bar y, \bar x, y)=R(x, \bar x, y, \bar y)$.} {\bf \green Доказательство:} Алгебраическое тождество Бьянки дает $R(x,\bar y, \bar x ,y) +R(\bar y,\bar x,x, y)+ R(\bar x,x,\bar y, y)=0.$ Поскольку $R\in \Sym^2(\Lambda^{1,1} M)$, $R(\bar y,\bar x,\cdot, \cdot)=0$ для $y\in T^{1,0}(M)$. Это дает $0 = R(x,\bar y, \bar x, y)+R(\bar x,x,\bar y, y)$. \endproof \теорема {\бф \purple Кривизна Риччи кэлерова многообразия выражается по формуле $\Ric = - \Tr_{34} R(\cdot, I\cdot, \cdot, I\cdot)$ (*)} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Пусть $z_i \in T^{1,0} M$ -- ортонормальный базис. Тогда $\Ric = \Tr_{13} R = \sum_i R(z_i, \cdot, \bar z_i, \cdot).$ Поскольку \[ \Ric(Ia, Ib) = \sum_i R(z_i, I(a), \bar z_i, I(b))= \sum R(I(z_i), a, I(\bar z_i), b) =\Ric,\] {\бф \purple кривизна Риччи $I$-инвариантна.} {\бф \греен Шаг 2:} Получаем, что 2-формы с обеих сторон (*) {\бф \блуе псевдо-эрмитовы}, то есть вещественные, симметрические, $I$-инвариантные. {\bf \purple Поэтому достаточно проверить $\Ric(y,\bar y) = \Tr_{34} R(y, I(\bar y), \cdot, I\cdot)$ для всех $y\in T^{1,0}(M)$.} \невпаге {\бф \блуе Кривизна Риччи кэлерова многообразия (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $x_i$ -- ортонормированный базис в $T^{1,0}(M)$. В силу предыдущей леммы, \[ \Ric(y, \bar y)=\sum_i R(x_i,\bar y, \bar x_i, y)= \sum_i R(x_i, \bar x_i, y, \bar y) = - \sum_i R(x_i, I(\bar x_i), y, I(\bar y)) . \] \endproof \следствие Для любого кэлерова многообразия, {\bf \red кривизна $\Theta_K$ канонического расслоения выражается через кривизну Риччи} по формуле $\1\Theta_K(x,y) = \Ric(x,y)$. \доказательство Пусть $z_i\in T^{1,0}(M)$ -- ортонормальный базис. В силу предыдущей теоремы, $\Ric(x,y)=-\Tr_{34} R(\cdot, I\cdot, \cdot, I\cdot)$. Из вычисления кривизны детерминантного расслоения ясно, что \[ \Theta_K(x,y)= -\1 \sum_i R(x,y)(z_i, \bar z_i)= \1\Ric(x, Iy).\] \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Первый класс Черна (повторение)} \замечание Пусть $B$ -- линейное расслоение на многообразии, $U_\alpha$ -- его покрытие, на котором $B$ тривиализовано, а $\phi_{\alpha\beta}$ -- функции перехода, определенные на $U_\alpha \cap U_\beta$. На пересечении $U_\alpha \cap U_\beta\cap U_\gamma$ имеем $\phi_{\alpha\beta}\phi_{\beta\gamma}= \phi_{\alpha\gamma}$ то есть {\бф \пурпле $B$ задает $(C^\infty M)^*$-значный 1-коцикл.} \утверждение {\bf \red Классы изоморфизма расслоений взаимно однозначно соответствуют $H^1(M, (C^\infty M)^*)$.} \замечание Из экспоненциальной точной последовательности \[ 0 \arrow \Z_M \arrow C^\infty M \arrow (C^\infty M)^* \arrow 0, \] {\бф \пурпле получаем $0 \arrow H^1(M, (C^\infty M)^*) \stackrel {c_1^\Z}\arrow H^2(M, \Z) \arrow 0$.} \замечание Из определения ясно, что {\bf \purple комплексное линейное расслоение топологически тривиально $\Leftrightarrow$ $c_1^\Z(B)=0$.} \невпаге {\бф \блуе Многообразия Калаби-Яу (повторение)} \определение {\бф \блуе Многообразие Калаби-Яу} есть компактное кэлерово многообразие с $c_1^\Z(M)=0$. \теорема (Калаби-Яу) Пусть $(M,I)$ -- многообразие Калаби-Яу. {\bf \red Тогда в каждом кэлеровом классе существует единственная кэлерова метрика, индуцирующая плоскую связность на каноническом расслоении} $K(M)=\Lambda^{n,0}(M)$, $n =\dim_\C M$. \замечание {\бф \purple Кривизна канонического расслоения равна нулю тогда и только тогда, когда кривизна Риччи равна нулю.} \определение Кэлерова метрика называется {\бф\блуе метрикой Калаби-Яу}, если она риччи-плоская. \замечание Поскольку скалярная кривизна есть след кривизны Риччи, {\бф \ред метрика Калаби-Яу имеет нулевую скалярную кривизну.} \невпаге {\бф \блуе Оператор Дирака на многообразиях Калаби-Яу (повторение)} \замечание {\бф \пурпле На многообразии Калаби-Яу, спиноры отождествляются с $\Lambda^{*,0}(M)$, }а клиффордово умножение действует так: \[ \Lambda^{p,0}(M)\otimes \Lambda^{1,0} M \stackrel\sigma\arrow \Lambda^{p+1,0}(M) \] есть внешнее умножение, а \[ \Lambda^{p,0}(M)\otimes \Lambda^{0,1} M \stackrel\sigma\arrow \Lambda^{p-1,0}(M) \] делает из $\eta\otimes x$ подстановку $\eta \cntrct x^\sharp$, где $x^\sharp\in T^{1,0}M$ есть векторное поле, двойственное $x$. \следствие На многообразии Калаби-Яу, {\бф \ред оператор Дирака действует как $\6 \oplus \6^*:\; \Lambda^{*,0}(M)\arrow \Lambda^{*,0}(M)$.} \следствие {\bf \purple На многообразии Калаби-Яу, гармонические спиноры есть гармоническе $(p,0)$-формы.} \newpage {\бф \блуе Грубый лапласиан} \newcommand{\Rough}{\text{\fontencoding{T1}\selectfont \DH \fontencoding{T2A}\selectfont}} \определение {\бф \блуе Грубый лапласиан}, он же {\бф \блуе лапласиан Бохнера} на расслоении $B$ со связностью над римановым многообразием определяется как $\Rough(s):= \Tr_{12}(\nabla^2 s)$. \теорема $\Rough(s)=0$ $\Leftrightarrow$ $\nabla s=0$. \доказательство Поскольку $\nabla(\nabla s, s) = (\nabla^2 s, s) + (\nabla(s), \nabla(s))$, а $(\nabla s, s)= 1/2 d(s,s')$, имеем \begin{align*} \int_M(\Rough(s), s)\Vol= & - \int_M \Tr_{12}(\nabla(s), \nabla(s))\Vol + \int_M\Tr_{12}(\nabla d|s|^2) \Vol \\ = &- \int_M |\nabla s|^2 \Vol + \int_M\Tr \mathop{Hess}|s|^2\Vol. \end{align*} Поскольку $\Tr\mathop{Hess} f\Vol = d(d^*(f\Vol))$, последний интеграл не дает вклада, из чего получаем $\|\nabla s\|^2 =0$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Формула Вайценбека (повторение)} \newcommand{\Sc}{\operatorname{\sf Sc}} \теорема {\бф \блуе (формула Лихнеровича)}\\ Пусть $M$ -- риманово многообразие со спин-структурой, $S$ -- расслоение спиноров, $\Rough:\; S\arrow S$ -- грубый лапласиан, $\Sc$ -- оператор умножения на скалярную кривизну, а а $D:\; S\arrow S$ -- оператор Дирака. {\бф \ред Тогда $D^2 = \Rough + \Sc$.} \теорема {\бф \блуе (теорема Бохнера о занулении)}\\ Пусть $M$ -- компактное риманово многообразие с неотрицательной скалярной кривизной $\Sc$. {\бф \ред Тогда $\nabla(s)=0$ для любого гармонического спинора.} {\бф \пурпле Если к тому же $\Sc>0$ в какой-то точке, то $s=0$.} \доказательство В силу формулы Вайценбека, \[ 0=g(D^2(s),s) = g(\Rough(s), s) + \int_M \Sc\cdot g(s,s) = \int_M g(\nabla(s), \nabla(s)) +\int_M \Sc \cdot g(s,s). \] {\бф \ред Значит, $\nabla(s)=0$.} Если в окрестности $m\in M$, $\Sc>0$, то в этой окрестности $s=0$, и {\бф \пурпле в силу $\nabla(s)=0$, $s=0$ на всем $M$.} \ендпрооф. \следствие Пусть $M$ -- компактное кэлерово многообразие с метрикой Калаби-Яу. Тогда {\бф \ред $\nabla\Omega=0$ для любой голоморфной формы $\Omega$} на $M$. \newpage {\бф \блуе Топология риччи-плоских многообразий} \теорема {\бф \блуе (Чигер-Громолл)} Пусть $M$ -- полное, риччи-плоское риманово многообразие с бесконечной фундаментальной группой. Тогда {\бф \ред универсальное накрытие $M$ есть произведение $\R$ и риччи-плоского многообразия меньшей размерности}. \следствие Фундаментальная группа компактного риччи-плоского риманова многообразия {\бф \блуе виртуально полициклическая} {\бф \пурпле (сюрьективно проектируется в свободную абелеву группу с конечным ядром)}. \замечание Эквивалентное утверждение: {\бф \пурпле каждое компактное риччи-плоское многообразие имеет конечное накрытие со свободной абелевой фундаментальной группой.} \замечание Это утверждение содержит в себе решение 18-ой проблемы Гильберта о классификации кристаллографических групп (Бибербах). \невпаге {\bf \blue Теорема де Рама о разложении} \теорема (де Рама) Полное, односвязное риманово многообразие с приводимой голономией {\bf \red расщепляется в произведение римановых многообразий с неприводимой голономией}. \теорема (теорема Берже, 1955) Пусть $G$ -- неприводимая группа голономий риманова многообразия, которое не локально симметрично. Тогда $G$ принадлежит списку Берже: { \begin{tabular}{|l|l|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf \color[rgb]{0,0,0.6}Список Берже}\\[1mm] \hline \it Голономия & \it Геометрия\\[1mm] \hline $SO(n)$ действующее на $\R^n$ & риманово многообразие\\[1mm] \hline $U(n)$ действующее на $\R^{2n}$ & кэлерово многообразие\\[1mm] \hline $SU(n)$ действующее на $\R^{2n}$, $n>2$ & многообразие Калаби-Яу\\[1mm] \hline $Sp(n)$ действующее на $\R^{4n}$ & гиперкэлерово многообразие\\[1mm] \hline $Sp(n)\times Sp(1)/\{\pm 1\}$ & кватернионно-кэлерово \\[1mm] действующее на $\R^{4n}$, $n>1$ & многообразие \\[1mm] \hline $G_2$ действующее на $\R^7$ & $G_2$-многообразие \\[1mm] \hline $Spin(7)$ действующее на $\R^8$ & $Spin(7)$-многообразие\\[1mm] \hline \end{tabular} } \невпаге {\бф \блуе Теорема Богомолова о разложении} \теорема {\бф \блуе (теорема Богомолова о разложении)} Пусть $M$ -- компактное, риччи-плоское кэлерово многообразие. Тогда {\bf \red существует конечное накрытие $\tilde M$, которое разлагается в произведение кэлеровых многообразий:} \[ \tilde M = T \times M_1 \times ... \times M_i \times K_1 \times ... \times K_j, \] причем все $M_i$, $K_i$ односвязны, $T$ тор, а $\Hol(M_l) = Sp(n_l)$, $\Hol(K_l)=SU(m_l)$. \доказательство Из теоремы Чигера-Громолла и виртуальной полицикличности фундаментальной группы $M$ следует, что {\bf \purple конечное накрытие $M$ разлагается в произведение тора и односвязного многообразия Калаби-Яу.} Затем {\bf \purple применяем теорему Берже о классификации голономий и теорему де Рама о разложении.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Теорема Богомолова о разложении (продолжение)} \теорема 1. Компактные $2n$-мерные многообразия с $\Hol=SU(2n)$ {\бф \purple односвязны, и удовлетворяют \[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{для $p=0,2n$}\\ 0& \text{для всех других $p$.} \end{cases} \]} 2. Компактные $2n$-мерные многообразия с $\Hol = Sp(n)$ {\бф \purple односвязны, и удовлетворяют \[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{для $p=0,2,4,6,..., 2n$}\\ 0& \text{для всех других $p$.} \end{cases} \]} 3. Компактные $2n+1$-мерные многообразия с $\Hol=SU(2n+1)$ {\бф \пурпле имеют конечную фундаментальную группу, и удовлетворяют \[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{для $p=0,2n+1$}\\ 0& \text{для всех других $p$.} \end{cases} \]} \доказательство Утверждение о размерности $H^{p,0}(M)$ следует из теории инвариантов. Действительно, {\бф \пурпле $(p,0)$-форма гармонична тогда и только тогда, когда она параллельна,} а это {\бф \ред равносильно $\Hol(M)$-инвариантности.} Односвязность см. следующий слайд. \невпаге {\бф \блуе Голоморфная эйлерова характеристика} \определение {\бф \блуе Голоморфная эйлерова характеристика} комплексного многообразия есть $\sum(-1)^p\dim H^{0,p}(M)$. \теорема (Римана-Роха-Хирцебруха) Для $n$-мерного компактного комплексного многообразия, {\бф \ред голоморфную эйлерову характеристику можно выразить через классы Черна,} $\chi(M)=\int_M td_{n}$, где $td_n$ есть $n$-я компонента полинома Тодда, {\small \[ td(M) = 1 + \frac1 {2}c_1 + \frac{1}{12}(c_1^2+c_2) + \frac{1}{24}c_1c_2 + \frac1{720}(-c_1^4 + 4c_1^2c_2 + c_1c_3 + 3c_2^22 - c_4) + ... \]} \vspace{-10mm} \замечание Классы Черна выражаются через полиномы от кривизны. Поэтому {\бф \ред $\chi(\tilde M)= p\chi(M)$ для $p$-листного неразветвленного расслоения $\tilde M\arrow M$.} {\бф\греен Доказательство односвязности четномерных многообразий Калаби-Яу с неприводимой голономией:} Пусть $M$ -- многообразие с $\Hol(M)=SU(2n)$. Тогда $\chi(M)=2$, поэтому для любого накрытия $\tilde M\arrow M$ имеем $2= \chi(\tilde M)= p\chi(M)=2p$. Аналогично, для $\Hol(M)=Sp(n)$, $\chi(M)=n+1$, поэтому для любого накрытия $\tilde M\arrow M$ имеем $n+1= \chi(\tilde M)= p\chi(M)=p(n+1)$. \end{document}