


\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}

\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 16 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm]
\small лекция 16: оператор Дирака на многообразиях Калаби-Яу}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва
\\[2mm] 11 апреля 2011
}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Связность Леви-Чивита и ее кривизна (повторение)}

\определение
Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется
{\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$,
и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она 
ортогональна и без кручения.

\теорема
("основная теорема дифференциальной геометрии")
Каждое риманово многообразие {\бф \ред 
допускает связность Леви-Чивита, и она единственна.
}

\определение
{\бф \блуе Пространство алгебраических тензоров кривизны}
$V_{2,2}$ есть ядро отображения внешнего умножения
$\Sym^2(\Lambda^2V)\arrow \Lambda^4V$

\теорема
Рассмотрим тензор кривизны
связности Леви-Чивита, $R^l_{ijk} \in \Lambda^2 M \otimes \goth{so}(TM)$.
Отождествляя $\goth{so}(TM)$ и $\Lambda^2(TM)$, получим 
тензор кривизны $R_{ijkl} \in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^2 M$.
{\бф \ред Тогда $R_{ijkl}\in V_{2,2}$.}


\newpage

{\bf \blue Кэлеровы многообразия (повторение)}


\замечание
Пусть $\nabla$ -- связность без кручения.
Тогда {\бф \пурпле из $\nabla \omega=0$ сразу следует $d\omega=0$.}

\теорема
Пусть $(M,I, g)$ -- почти комплексное, эрмитово
многообразие, а $\nabla$ -- связность Леви-Чивита. 
Тогда {\бф \ред равносильны:}

{\бф \блуе (i) $\nabla(I)=0$

(ii) $d\omega=0$, и почти комплексная структура 
$I$ интегрируема.}

\замечание
(i) $\Rightarrow$ (ii) следует из выше доказанного, 
(ii) $\Rightarrow$ (i) -- {\бф \ред нетривиальная теорема.}

\определение
Почти комплексное, эрмитово
многообразие многообразие $(M,I, g)$
называется {\бф \блуе кэлеровым}, если 
выполнено любое из условий (i), (ii).
Класс когомологий $[\omega]\in H^2(M)$
называется {\бф\блуе кэлеровым классом} $M$.

\определение
{\бф\блуе Симплектическая форма} на многообразии
есть невырожденная, замкнутая 2-форма.

\замечание {\бф \пурпле Кэлерово многообразие всегда 
симплектично.}


\newpage



{\bf \blue Связность и голоморфная структура (повторение)}

\определение
Пусть $B$ -- гладкое комплексное расслоение 
со связностью $\nabla:\; V \arrow \Lambda^1(M)\otimes V$
и голоморфной структурой $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$.
Рассмотрим разложение $\nabla$ по типам,
$\nabla= \nabla^{0,1} + \nabla^{1,0}$, где
\[
\nabla^{0,1}:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V, \ \ \ 
\nabla^{1,0}:\; V \arrow \Lambda^{1,0}(M)\otimes V.
\]
Говорят что $\nabla$ {\бф \блуе совместима с голоморфной структурой},
если $\nabla^{0,1}=\bar\6$.


\определение
{\бф \блуе Эрмитово голоморфное расслоение}
есть гладкое комплексное расслоение, снабженное
эрмитовой метрикой и голоморфной структурой.

\определение
{\бф \блуе Связность Черна} на эрмитовом голоморфном
расслоении есть связность, совместимая с 
голоморфной структурой и сохраняющая метрику.

\теорема
На каждом голоморфном эрмитовом расслоении
{\бф \ред связность Черна существует и единственна.}

\утверждение
{\бф \ред Кривизна $\Theta_B$ связности Черна есть (1,1)-форма.}

\следствие
Для связности Черна $\nabla$, имеем
$\Theta_B= \{\nabla^{1,0}, \bar\6\}$.




\невпаге

{\бф \блуе Кривизна кэлерова многообразия}

\утверждение
{\бф \ред Связность Леви-Чивита на кэлеровом многообразии
совпадает со связностью Черна.}

\доказательство
В силу отсутствия кручения у $\nabla$,
$\Alt(\nabla^{0,1}(\eta)) = \nabla^{0,1}(\eta)$.
Но {\бф \пурпле умножение 
$\Alt\;  \Lambda^{0,1}(M)\otimes \Lambda^{1,0}(M)\Lambda^{1,1}(M)$
- изоморфизм.}
Значит,
{\бф \ред $\bar\6=\nabla^{0,1}$ на (1,0)-формах.}
Связность Леви-Чивита ортогональна
по определению.
\ендпрооф


\утверждение
Пусть $M$ -- кэлерово многообразие,
а $R\in \Sym^2(\Lambda^2 M)$ --
тензор кривизны. {\бф \ред Тогда $R\in \Sym^2(\Lambda^{1,1} M)$.}

{\бф\греен Первое доказательство:}
Связность (а значит, и кривизна) принимает значения
в $\Lambda^2 M \otimes \goth u(TM)$.
При отождествлении $\Lambda^2 M \cong \goth{so}(TM)$,
подалгебра $\goth u(M)$ переходит в $\Lambda^{1,1}(M)$.
Значит, $R\in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^{1,1} M$.
Теперь {\бф \пурпле все следует из симметрий тензора кривизны.}

{\бф\греен Второе доказательство:}
Поскольку $\nabla$ есть связность Черна,
ее кривизна лежит в $\Lambda^{1,1}M \otimes \Lambda^2  M$.
Теперь {\бф \пурпле все следует из симметрий тензора кривизны.}
\ендпрооф



\newpage

{\bf \blue Гауссова кривизна и кривизна Риччи (повторение)}

\определение
Пусть $V$ - векторное пространство с невырожденным
скалярным произведением $g$. {\бф \блуе След} 
$\Tr_{12}:\;V^{\otimes^n} \arrow V^{\otimes^{n-2}}$ определяется
как отображение, двойственное к умножению $A \arrow g\otimes A$.
$\Tr_{ij}:\;V^{\otimes^n} \arrow V^{\otimes^{n-2}}$ 
определяется как отображение, действующее по 
$i$-му и $j$-му сомножителю как $\Tr_{12}$ на
первом и втором:
\[
\Tr_{ij}(a_{123...n})= \sum_{i,j}g^{ij}a_{123...n}.
\]


\определение
{\бф \блуе Гауссова} 
(она же {\бф \блуе скалярная}) кривизна 
риманова многообразия есть $\Tr_{13}\Tr_{24}(\Theta_\nabla)$,
где $\Theta_\nabla\in \Sym^2(\Lambda^2 TM)$ -- тензор
римановой кривизны.

\определение\\
{\бф \блуе Кривизна Риччи} риманова многообразия есть 
$\Tr_{13}(\Theta_\nabla)$.

\замечание
{\бф \пурпле Это симметрическая 2-форма,} в силу симметрий тензора кривизны.


\невпаге

{\бф \блуе Кривизна детерминантного расслоения}

\определение
Пусть $B$ -- векторное расслоение размерности $n$.
Тогда линейное расслоение $\Lambda^n B$ обозначается $\det B$, и называется
{\бф\блуе детерминантное расслоение $B$}.

\лемма
Пусть $z_1, ..., z_n$ -- базис в $B$, a 
$\zeta:=z_1\wedge z_2\wedge ...\wedge z_n$ -- соответствующее сечение $\det B$.
Рассмотрим связность $\nabla_0$ в $B$, и пусть $\nabla:= \nabla_0 +A$ --
другая связность, где $A\in \Lambda^1 M \otimes \End B$.
{\бф \пурпле Тогда $\nabla(\zeta) = \nabla_0(\zeta) + \zeta \otimes \Tr(A)$.}

\доказательство
$\nabla(\zeta) = \nabla_0(\zeta) + 
\sum_i z_1\wedge z_2\wedge ... \wedge A(z_i) \wedge ... \wedge z_n$.
\ендпрооф

\следствие
{\бф \пурпле Кривизна $\det B$ выражается через кривизну $B$}
по формуле $\Theta_{\det B} = \Tr(\Theta_B)$.

\доказательство
Возьмем {\бф \блуе плоскую} (без кривизны) связность
$\nabla_0$, и пусть $z_i$ -- базис, удовлетворяющий
$\nabla_0 z_i=0$. Тогда $\nabla(\zeta)= \zeta \wedge \Tr(A)$,
и $\nabla^2 = d \Tr(A) = \Tr(A\wedge A + dA)$,
потому что {\бф \пурпле $\Tr([X,Y])=0$ для любых матриц $X,Y$. }
\ендпрооф




\невпаге

{\бф \блуе Кривизна Риччи кэлерова многообразия}

\лемма
Пусть $M$ -- кэлерово многообразие,
$x,y\in T^{1,0}(M)$, а $R\in \Sym^2(\Lambda^2 M)$ --
тензор кривизны. {\бф \пурпле
Тогда $R(x,\bar y, \bar x, y)=R(x, \bar x, y, \bar y)$.}


{\bf \green Доказательство:}
Алгебраическое тождество Бьянки дает
$R(x,\bar y, \bar x ,y) +R(\bar y,\bar x,x, y)+ R(\bar x,x,\bar y, y)=0.$
Поскольку $R\in \Sym^2(\Lambda^{1,1} M)$,
$R(\bar y,\bar x,\cdot, \cdot)=0$ для $y\in T^{1,0}(M)$. 
Это дает
$0 = R(x,\bar y, \bar x, y)+R(\bar x,x,\bar y, y)$.
\endproof

\теорема
 {\бф \purple Кривизна Риччи кэлерова многообразия выражается по формуле
$\Ric = - \Tr_{34} R(\cdot, I\cdot, \cdot, I\cdot)$ (*)}


{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
Пусть $z_i \in T^{1,0} M$ -- ортонормальный базис.
Тогда 
$\Ric = \Tr_{13} R = \sum_i R(z_i, \cdot, \bar z_i, \cdot).$
Поскольку \[ \Ric(Ia, Ib) = \sum_i R(z_i, I(a), \bar z_i, I(b))=
\sum R(I(z_i), a, I(\bar z_i), b) =\Ric,\]
{\бф \purple кривизна Риччи $I$-инвариантна.}

{\бф \греен Шаг 2:} Получаем, что 2-формы 
с обеих сторон (*)
{\бф \блуе псевдо-эрмитовы}, то есть вещественные, 
симметрические, $I$-инвариантные.
{\bf \purple Поэтому достаточно проверить 
$\Ric(y,\bar y) = \Tr_{34} R(y, I(\bar y), \cdot, I\cdot)$ 
для всех $y\in T^{1,0}(M)$.}


\невпаге

{\бф \блуе Кривизна Риччи кэлерова многообразия (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 3:}
Пусть $x_i$ -- ортонормированный базис в $T^{1,0}(M)$. 
В силу предыдущей леммы,
\[ 
  \Ric(y, \bar y)=\sum_i R(x_i,\bar y, \bar x_i, y)=
  \sum_i R(x_i, \bar x_i, y, \bar y)
= - \sum_i R(x_i, I(\bar x_i), y, I(\bar y)) .
\]
\endproof


\следствие
Для любого кэлерова многообразия, {\bf \red кривизна $\Theta_K$ канонического
расслоения выражается через кривизну Риччи} по формуле
$\1\Theta_K(x,y) = \Ric(x,y)$.

\доказательство
Пусть $z_i\in T^{1,0}(M)$  -- ортонормальный базис.
В силу предыдущей теоремы, 
$\Ric(x,y)=-\Tr_{34} R(\cdot, I\cdot, \cdot, I\cdot)$.
Из вычисления кривизны детерминантного расслоения ясно, что
\[ \Theta_K(x,y)= -\1 \sum_i R(x,y)(z_i, \bar z_i)= \1\Ric(x, Iy).\]
\ендпрооф




\невпаге

{\бф \блуе Первый класс Черна (повторение)}

\замечание
Пусть $B$ -- линейное расслоение на многообразии,
$U_\alpha$ -- его покрытие, на котором $B$ тривиализовано,
а $\phi_{\alpha\beta}$ -- функции перехода, определенные
на $U_\alpha \cap U_\beta$. На пересечении
$U_\alpha \cap U_\beta\cap U_\gamma$ имеем
$\phi_{\alpha\beta}\phi_{\beta\gamma}=
\phi_{\alpha\gamma}$
то есть {\бф \пурпле $B$ задает $(C^\infty M)^*$-значный
1-коцикл.}


\утверждение {\bf \red Классы изоморфизма расслоений
взаимно однозначно соответствуют  $H^1(M, (C^\infty M)^*)$.}

\замечание
Из экспоненциальной точной последовательности
\[ 
0 \arrow \Z_M \arrow C^\infty M \arrow (C^\infty M)^* \arrow 0,
\] 
{\бф \пурпле получаем 
$0 \arrow H^1(M, (C^\infty M)^*) \stackrel {c_1^\Z}\arrow H^2(M, \Z) \arrow 0$.}


\замечание Из определения ясно, что
{\bf \purple комплексное линейное расслоение топологически тривиально
$\Leftrightarrow$ $c_1^\Z(B)=0$.}

\невпаге

{\бф \блуе Многообразия Калаби-Яу (повторение)}


\определение
{\бф \блуе Многообразие Калаби-Яу} есть компактное
кэлерово многообразие с $c_1^\Z(M)=0$.

\теорема
(Калаби-Яу) 
Пусть $(M,I)$ -- многообразие Калаби-Яу. {\bf \red Тогда
в каждом кэлеровом классе существует единственная  кэлерова метрика,
индуцирующая плоскую связность на каноническом расслоении}
$K(M)=\Lambda^{n,0}(M)$, $n =\dim_\C M$.

\замечание 
{\бф \purple Кривизна канонического расслоения равна нулю тогда и только тогда,
когда кривизна Риччи равна нулю.}

\определение
Кэлерова метрика называется {\бф\блуе метрикой Калаби-Яу},
если она риччи-плоская.

\замечание
Поскольку скалярная кривизна есть след кривизны Риччи,
{\бф \ред метрика Калаби-Яу имеет нулевую скалярную кривизну.}



\невпаге

{\бф \блуе Оператор Дирака на многообразиях Калаби-Яу (повторение)}

\замечание
{\бф \пурпле На многообразии Калаби-Яу, спиноры отождествляются
с $\Lambda^{*,0}(M)$, }а клиффордово умножение  действует так:
\[ \Lambda^{p,0}(M)\otimes \Lambda^{1,0} M \stackrel\sigma\arrow
\Lambda^{p+1,0}(M)
\]
есть внешнее умножение,
а 
\[ 
 \Lambda^{p,0}(M)\otimes \Lambda^{0,1} M \stackrel\sigma\arrow
\Lambda^{p-1,0}(M)
\]
делает из $\eta\otimes x$ подстановку $\eta \cntrct x^\sharp$,
где $x^\sharp\in T^{1,0}M$ есть векторное поле,
двойственное $x$.

\следствие
На многообразии Калаби-Яу, {\бф \ред оператор Дирака
действует как $\6 \oplus \6^*:\; \Lambda^{*,0}(M)\arrow
\Lambda^{*,0}(M)$.}

\следствие
{\bf \purple На многообразии Калаби-Яу,
гармонические спиноры есть гармоническе $(p,0)$-формы.}

\newpage

{\бф \блуе Грубый лапласиан}

\newcommand{\Rough}{\text{\fontencoding{T1}\selectfont \DH
\fontencoding{T2A}\selectfont}}
\определение
{\бф \блуе Грубый лапласиан}, он же
{\бф \блуе лапласиан Бохнера} на расслоении $B$ со связностью
над римановым многообразием определяется как
$\Rough(s):= \Tr_{12}(\nabla^2 s)$.

\теорема

$\Rough(s)=0$ $\Leftrightarrow$ $\nabla s=0$.

\доказательство
Поскольку $\nabla(\nabla s, s) = (\nabla^2 s, s) +
(\nabla(s), \nabla(s))$, а $(\nabla s, s)= 1/2 d(s,s')$,
имеем 
\begin{align*}
  \int_M(\Rough(s), s)\Vol= &
- \int_M \Tr_{12}(\nabla(s), \nabla(s))\Vol + 
\int_M\Tr_{12}(\nabla d|s|^2) \Vol \\ = &- \int_M |\nabla s|^2 \Vol +
\int_M\Tr \mathop{Hess}|s|^2\Vol.
\end{align*}
Поскольку $\Tr\mathop{Hess} f\Vol = d(d^*(f\Vol))$,
последний интеграл не дает вклада, из чего получаем
$\|\nabla s\|^2 =0$.
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Формула Вайценбека (повторение)}

\newcommand{\Sc}{\operatorname{\sf Sc}}
\теорема {\бф \блуе (формула Лихнеровича)}\\
Пусть $M$ -- риманово многообразие со спин-структурой,
$S$ -- расслоение спиноров,
$\Rough:\; S\arrow S$ -- грубый лапласиан, $\Sc$ -- 
оператор умножения на скалярную кривизну, а
а $D:\; S\arrow S$ -- оператор Дирака. {\бф \ред Тогда
$D^2 = \Rough + \Sc$.}

\теорема
{\бф \блуе (теорема Бохнера о занулении)}\\
Пусть $M$ -- компактное риманово многообразие с неотрицательной
скалярной кривизной $\Sc$. {\бф \ред Тогда $\nabla(s)=0$ для любого гармонического
спинора.} {\бф \пурпле Если к тому же $\Sc>0$ в какой-то точке, то $s=0$.}

\доказательство
В силу формулы Вайценбека, 
\[ 0=g(D^2(s),s) = g(\Rough(s), s) + \int_M \Sc\cdot g(s,s) =
\int_M g(\nabla(s), \nabla(s)) +\int_M \Sc \cdot g(s,s).
\]
{\бф \ред Значит, $\nabla(s)=0$.} Если в окрестности $m\in M$,
$\Sc>0$, то в этой окрестности $s=0$, и {\бф \пурпле в силу
$\nabla(s)=0$, $s=0$ на всем $M$.}
\ендпрооф.

\следствие
Пусть $M$ -- компактное кэлерово многообразие
с метрикой Калаби-Яу. Тогда {\бф \ред $\nabla\Omega=0$
для любой голоморфной формы $\Omega$} на $M$.


\newpage

{\бф \блуе Топология риччи-плоских многообразий}


\теорема
{\бф \блуе (Чигер-Громолл)}
Пусть $M$ -- полное, риччи-плоское риманово
многообразие с бесконечной фундаментальной группой.
Тогда {\бф \ред универсальное накрытие $M$
есть произведение $\R$ и риччи-плоского многообразия
меньшей размерности}.

\следствие
Фундаментальная группа компактного риччи-плоского
риманова многообразия {\бф \блуе виртуально полициклическая}
{\бф \пурпле (сюрьективно проектируется в свободную
абелеву группу с конечным ядром)}.

\замечание
Эквивалентное утверждение: {\бф \пурпле каждое 
компактное риччи-плоское многообразие
имеет конечное накрытие со свободной абелевой
фундаментальной группой.}

\замечание
Это утверждение содержит в себе решение
18-ой проблемы Гильберта о классификации 
кристаллографических групп (Бибербах).

\невпаге

{\bf \blue Теорема де Рама о разложении}

\теорема (де Рама) Полное, односвязное риманово
многообразие с приводимой голономией
{\bf \red расщепляется в произведение римановых
многообразий с неприводимой голономией}.


\теорема (теорема Берже, 1955)
Пусть $G$ -- неприводимая группа голономий
риманова многообразия, которое не локально симметрично.
Тогда $G$ принадлежит списку Берже:

{
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{\bf \color[rgb]{0,0,0.6}Список Берже}\\[1mm]
\hline
\it Голономия  & \it Геометрия\\[1mm]
\hline
$SO(n)$ действующее на $\R^n$ & риманово многообразие\\[1mm]
\hline
$U(n)$ действующее на $\R^{2n}$ & кэлерово многообразие\\[1mm]
\hline
$SU(n)$ действующее на $\R^{2n}$, $n>2$ & многообразие Калаби-Яу\\[1mm]
\hline
$Sp(n)$ действующее на $\R^{4n}$ & гиперкэлерово многообразие\\[1mm]
\hline
$Sp(n)\times Sp(1)/\{\pm 1\}$ & 
кватернионно-кэлерово \\[1mm] действующее на $\R^{4n}$, $n>1$ &  многообразие \\[1mm]
\hline
$G_2$ действующее на $\R^7$ & $G_2$-многообразие \\[1mm]
\hline
$Spin(7)$ действующее на $\R^8$ & $Spin(7)$-многообразие\\[1mm]
\hline
\end{tabular}
}



\невпаге


{\бф \блуе Теорема Богомолова о разложении}


\теорема
{\бф \блуе (теорема Богомолова о разложении)}
Пусть $M$ -- компактное, риччи-плоское кэлерово
многообразие. Тогда {\bf \red существует конечное накрытие
$\tilde M$, которое разлагается в произведение
кэлеровых многообразий:}
\[
\tilde M = T \times M_1 \times ... \times M_i
\times K_1 \times ... \times K_j,
\]
причем все $M_i$, $K_i$ односвязны,
$T$ тор, а  $\Hol(M_l) = Sp(n_l)$, $\Hol(K_l)=SU(m_l)$.

\доказательство
Из теоремы Чигера-Громолла и виртуальной полицикличности
фундаментальной группы $M$ следует, что 
{\bf \purple конечное накрытие $M$ разлагается в произведение
тора и односвязного многообразия Калаби-Яу.}
Затем {\bf \purple применяем теорему Берже о классификации
голономий и теорему де Рама о разложении.}
\ендпрооф


\невпаге


{\бф \блуе Теорема Богомолова о разложении (продолжение)}


\теорема
1. Компактные $2n$-мерные многообразия с $\Hol=SU(2n)$
{\бф \purple односвязны, и удовлетворяют
\[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{для $p=0,2n$}\\
0&  \text{для всех других $p$.} 
\end{cases}
\]}
2. Компактные $2n$-мерные многообразия с  $\Hol = Sp(n)$
{\бф \purple односвязны, и удовлетворяют 
\[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{для $p=0,2,4,6,..., 2n$}\\
0&  \text{для всех других $p$.} 
\end{cases}
\]}
3. Компактные $2n+1$-мерные многообразия с 
$\Hol=SU(2n+1)$ {\бф \пурпле имеют конечную фундаментальную 
группу, и удовлетворяют 
\[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{для $p=0,2n+1$}\\
0&  \text{для всех других $p$.} 
\end{cases}
\]}
\доказательство
Утверждение о размерности $H^{p,0}(M)$
следует из теории инвариантов. Действительно,
{\бф \пурпле $(p,0)$-форма гармонична тогда и только тогда,
когда она параллельна,} а это {\бф \ред равносильно
$\Hol(M)$-инвариантности.} Односвязность см.
следующий слайд.


\невпаге

{\бф \блуе Голоморфная эйлерова характеристика}

\определение
{\бф \блуе Голоморфная эйлерова характеристика}
комплексного многообразия есть 
$\sum(-1)^p\dim H^{0,p}(M)$.

\теорема
(Римана-Роха-Хирцебруха)
Для $n$-мерного компактного комплексного многообразия,
{\бф \ред голоморфную эйлерову характеристику можно выразить через
классы Черна,} $\chi(M)=\int_M td_{n}$, где
$td_n$ есть $n$-я компонента полинома Тодда,
{\small \[
td(M) = 
1 + \frac1 {2}c_1 + \frac{1}{12}(c_1^2+c_2) + \frac{1}{24}c_1c_2 + 
\frac1{720}(-c_1^4 + 4c_1^2c_2 + c_1c_3 + 3c_2^22 - c_4) + ...
\]}
\vspace{-10mm}

\замечание
Классы Черна выражаются через полиномы
от кривизны. Поэтому {\бф \ред $\chi(\tilde M)= p\chi(M)$
для $p$-листного неразветвленного расслоения
$\tilde M\arrow M$.}

{\бф\греен Доказательство односвязности четномерных
многообразий Калаби-Яу с неприводимой голономией:}

Пусть $M$ -- многообразие с $\Hol(M)=SU(2n)$.
Тогда $\chi(M)=2$, поэтому для любого накрытия
$\tilde M\arrow M$ имеем $2= \chi(\tilde M)= p\chi(M)=2p$.

Аналогично, для $\Hol(M)=Sp(n)$,
$\chi(M)=n+1$, поэтому для любого накрытия
$\tilde M\arrow M$ имеем $n+1= \chi(\tilde M)= p\chi(M)=p(n+1)$.



\end{document}
