


\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}

\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 15 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm]
\small лекция 15: оператор Дирака}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва
\\[2mm] 4 апреля 2011
}
\end{center}

\newpage

\newcommand{\Cl}{\operatorname{{\cal C}\!\ell}}
{\бф \блуе Алгебры Клиффорда (повторение)}


\определение
Пусть $V, g$ -- векторное пространство над $k:= \C, \R$
с билинейной, симметричной 2-формой, а $\Cl(V,g)$ --
алгебра с единицей, полученная как фактор {\бф \блуе тензорной
алгебры} $T^{\otimes} V:= k \oplus V \oplus
V\otimes V \oplus ... \oplus T^{\otimes i} V$ по идеалу,
порожденному $xy+ yx= g(x,y)$, где $x,y\in V$.
Алгебра $\Cl(V, g)$ называется {\бф \blue алгеброй Клиффорда}.

\пример
Если $g=0$, $\Cl(V,g)$ есть алгебра Грассманна.

\утверждение
$\dim \Cl(V,g)= 2^{\dim V}$.

\теорема
{\бф \блуе (периодичность Ботта над $\C$)} \\
\[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\] для $V=\C^{2n}$
и \[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\oplus \Mat(2^n, \C)\] для 
$V=\C^{2n+1}$ ($g$ невырожденная).
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Спинорная группа (четномерные пространства) --  повторение}

\теорема
{\бф \ред Группа автоморфизмов алгебры $\Mat(V)$ изоморфна 
$PGL(V)$} (фактора группы $GL(V)$ по центру).

\следствие
Пусть $V=\C^{2n}$, - векторное пространство над
$\C$ с невырожденным скалярным произведением.
Группа Ли $SO(V)$ действует на $\Cl(V)$ автоморфизмами,
что задает гомоморфизм
\[ SO(V) \hookrightarrow \Aut(\Mat(2^n, \C))= PGL(2^n, \C)\]
в силу теоремы, доказанной выше.

\определение
(Эли Картан, 1913)
{\бф \блуе Спинорное представление} алгебры Ли
$\goth{so}(V)$ есть ее представление в $\C^{2^n}$,
заданное изоморфизмом $\goth{pgl}(2^n)= \goth{sl}(2^n)$.

\определение
{\бф \блуе Спинорная группа} $\Spin(2n)$
есть накрытие $SO(2n)$, полученное интегрированием
спинорного представления.

\newpage

{\бф \блуе Спинорная группа (нечетномерные пространства)
-- повторение}

\определение
Для нечетномерного $V=\C^{2n+1}$, {\bf \blue $+$-спинорное представление
$\goth{so}(V)$ } есть действие $\goth{so}(V)$ в $\C^{2^n}$,
полученное из изоморфизма $\Cl^+(V) = \Mat(2^n, \C)$
и $\Aut(\Mat(2^n, \C))= PGL(2^n,\C)$, $\goth{pgl}(2^n)= \goth{sl}(2^n)$.

\определение
{\bf \blue $-$-спинорное представление
$\goth{so}(V)$ } определяется аналогично.

\утверждение Эти представления
{\бф \пурпле переводятся одно в другое сопряжением с
любым элементом $O(V) \backslash SO(V)$.}


\определение
{\бф \блуе Спинорная группа} $\Spin(2n+1)$
есть накрытие группы $SO(2n+1)$, полученное интегрированием
$+$- или $-$-спинорного представления.


\newpage


{\бф \блуе Спиноры над $V= W \oplus W^*$ (повторение)}

\пример
Пусть $V= W \oplus W^*$, с естественной метрикой.
Тогда $\Cl(W)= \Lambda^* W$, $\Cl(W^*) = \Lambda^* W^*$
и имеет место разложение $\Cl(W)=\Lambda^* W\otimes \Lambda^* W^*=\Lambda^* V$

\утверждение
Рассмотрим действие $\Lambda^* W$ на $\Lambda^* W$ внешними
умножениями, $x, y \arrow x\wedge y$, и $\Lambda^* W^*$ на
$\Lambda^* W$ подстановкой, $x, \xi \arrow x\cntrct \xi$.
{\бф \пурпле Это задает на $\Lambda^* W$ структуру $\Cl(V)$-модуля.}

\доказательство
Достаточно проверить на образующих:
$\omega\wedge x \wedge y = - \omega\wedge y \wedge x$,
$(\omega\cntrct \xi) \cntrct \zeta = - (\omega\cntrct \zeta) \cntrct \xi$,
и 
\[ (\omega\wedge x) \cntrct \xi + (\omega \cntrct \xi) \wedge x = 
   \omega \langle x, \xi\rangle.
\]
\ендпрооф

\следствие
{\бф \ред $\Lambda^* W$ канонически отождествляется со спинорным
представлением} $\Spin(W \oplus W^*)$.

\определение
{\бф \блуе Лагранжево подпространство} в векторном
пространстве со скалярным произведением $g$ есть 
подпространство половинной размерности, на которое
$g$ ограничивается тривиально.
Разложение $V = W_1 \oplus W_2$
в прямую сумму лагранжевых подпространств
называется {\бф \блуе лагранжевым разложением}.

\newpage

{\бф \блуе $\Spin^c$-структуры и $\Spin$-структуры (повторение)	}

\определение
Пусть $M$ -- четномерное риманово многообразие,
$\Cl(TM)$ -- соответствующее расслоение
клиффордовых алгебр, а $\Cl_\C(TM)$ -- его комплексификация. 
{\бф \блуе $\Spin^c$-структура} на $M$ есть расслоение
$\Cl_\C(T M)$-модулей {\бф \блуе \бф ($\C$-спиноров)}, 
которые изоморфны, как $\Cl_\C(TM)$-модули, спинорному
представлению. 

{\small \замечание
{\бф \ред $\Spin^c$-структура определена канонически с точностью
до подкрутки на линейное расслоение.}}

\замечание
Пусть $M$ -- почти комплексное эрмитово многообразие.
Тогда $\Lambda^{1,0}(M) \oplus \Lambda^{0,1}(M)$ -- лагранжево
разложение $TM\otimes_\R \C$. Это задает структуру 
$\Cl_\C(TM)$-модуля на $\Lambda^* (\Lambda^{1,0}(M))= \Lambda^{*,0}(M)$.

{\small 
\следствие 
{\бф \пурпле На почти комплексном эрмитовом многообразии задана 
стандартная $\Spin^c$-структура.}}

\определение
{\бф \блуе $\Spin$-структура} на многообразии
есть $\Spin^c$-структура $Е$ такая, что
ее детерминантное расслоение $\det E$ тривиально.
В этом случае $E$ называется {\бф \блуе расслоением
спиноров}.

\замечание
Пусть $М$ -- почти комплексное эрмитово многообразие,
$К$ его каноническое расслоение, а $L= K^{-1/2}$
линейное расслоение, такое, что $K \cong L^{-1}$. 
{\бф \пурпле Тогда на $М$ задана $\Spin$-структура
$E \cong \Lambda^{*,0}(M)\otimes L$.}


\newpage

{\бф \блуе Главные $G$-расслоения (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Главное $G$-расслоение}
есть гладкое расслоение  \\ $X \arrow M$
со свободным действием группы Ли $G$,
транзитивным на слоях.

\определение
{\бф \блуе Расслоенное произведение}
пространств $M_1, M_2$ с действием $G$ есть фактор 
$M_1 \times_G M_2:= (M_1 \times M_2)/G$
по диагональному действию.

\определение
Пусть $P$ есть $G$-расслоение,
а $V$ -- представление $G$. {\бф \блуе
Ассоциированное векторное расслоение}
есть $P\times_G V$.

\определение
Пусть $G_1 \arrow G$ -- гомоморфизм групп.
{\бф \блуе Редукция} $G$-расслоения $P$ к $G_1$
есть главное $G_1$-расслоение $P_1$ такое,
что $P_1 \times_{G_1} G= P$.

\определение
{\бф \блуе $G$-структура на гладком многообразии $M$}
есть редукция главного $GL(n)$-расслоения реперов
на $M$ к $G$.


\определение
{\бф \блуе Структурной группой риманова многообразия}
называется главное $O(n)$-расслоение, связанное
с римановой структурой.

\newpage

{\бф \блуе Главные расслоения и $\Spin$-структуры  (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Спин-структура} на римановом многообразии
есть редукция структурного расслоения к $\Spin(n) \arrow
O(n)$. Многообразие с выделенной спин-структурой
называется {\бф \блуе спин-многообразием}.

\замечание
Из длинной точной последовательности
\[
0 \arrow H^1(M, \Z/2\Z) \arrow H^1(M, \Spin(n) ) 
\arrow H^1(M, SO(n)) \arrow  H^2(M, \Z/2\Z)\arrow
\]
ясно, что препятствие к существованию спин-структуры
лежит в группе $H^2(M, \Z/2\Z)$ (оно называется {\бф \блуе 
вторым классом Штифеля-Уитни}). Также, {\бф \ред множество
спин-структур на 
спин-многообразии параметризуется $H^1(M, \Z/2\Z)$}.

\определение
{\бф \блуе Расслоение спиноров} на спин-многообразии
есть ассоциированное векторное расслоение, связанное
со спинорным представлением $\Spin(n)$.




\newpage

{\бф \блуе Связность на $G$-расслоениях (повторение)}

\определение
Связность $\nabla$ на главном $G$-расслоении $P$ есть 
$G$-инвариантное расщепление касательного $TP$ в прямую
сумму
$TP = T_\nabla P \oplus T_\ver P$,
где $T_\ver P$ -- касательные вектора к слоям $P\arrow M$.

\утверждение
Связности на главном $G$-расслоении $P$
{\бф \ред взаимно однозначно соответствуют $G$-инвариантным
связностям на ассоциированном векторном расслоении}, для
любого точного представления $G$.

\следствие
Пусть $M$ -- риманово многообразие с ортогональной
связностью. {\бф \ред Тогда на расслоении спиноров задана
каноническая связность,} которая называется {\бф \блуе 
спинорной связностью}.

\доказательство
Соответствующая $G$-структура получается из стандартной
$SO(n)$-структуры накрытием, значит, {\бф \пурпле связностей у них
столько же.} \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Кручение (повторение)}

\определение 
Пусть $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1M$, 
\[ \Lambda^1 \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\]
 {\бф\блуе Кручение $\nabla$} 
задается формулой $T_\nabla:=\Alt \circ \nabla - d$,
где \[ \Alt:\;  \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M\]
-- внешнее умножение. Кручение есть отображение
$T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$.

\упражнение
Докажите, что {\бф \ред кручение это тензор} 
(то есть $C^\infty$-линейное отображение). 

\упражнение
Докажите, что оператор $\Lambda^2 TM \arrow TM$, заданный как
\[ \nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]\] -- {\бф \ред тоже тензор, причем 
задает отображение, двойственное к $T_\nabla$.}

\newpage

{\bf \blue Связность Леви-Чивита (повторение)}

\определение
Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется
{\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$,
и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она 
ортогональна и без кручения.

\упражнение
Пусть $B$ -- расслоение с метрикой. {\бф \ред Докажите, что
на $B$ всегда существует ортогональная связность.}

\теорема
("основная теорема дифференциальной геометрии")
Каждое риманово многообразие {\бф \ред 
допускает связность Леви-Чивита, и она единственна.
}

\упражнение Докажите единственность.


\newpage

{\бф \блуе Оператор Дирака на многообразиях Калаби-Яу}

\определение
Пусть $M$ -- риманово многообразие с заданной на нем
спин-структурой, а $\nabla:\; S \arrow S \otimes \Lambda^1 M$ --
связность Леви-Чивита на спинорах. Отождествив $\Lambda^1 M$
и $TM$, можно считать, что $\nabla:\; S \arrow S \otimes TM$.
Рассмотрим оператор {\бф \блуе спинорного умножения}
$S \otimes TM\stackrel \sigma \arrow S$. {\бф \блуе Оператор Дирака}
$D$ есть композиция $\nabla:\; S \arrow S \otimes TM$ и $\sigma$.

{\small \определение
{\бф \блуе Гармонический спинор} есть спинор $\psi$ такой,
что $D(\psi)=0$.}

\замечание
{\бф \пурпле На многообразии Калаби-Яу, спиноры отождествляются
с $\Lambda^{*,0}(M)$, }а клиффордово умножение  действует так:
\[ \Lambda^{p,0}(M)\otimes \Lambda^{1,0} M \stackrel\sigma\arrow
\Lambda^{p+1,0}(M)
\]
есть внешнее умножение,
а 
\[ 
 \Lambda^{p,0}(M)\otimes \Lambda^{0,1} M \stackrel\sigma\arrow
\Lambda^{p-1,0}(M)
\]
делает из $\eta\otimes x$ подстановку $\eta \cntrct x^\sharp$,
где $x^\sharp\in T^{1,0}M$ есть векторное поле,
двойственное $x$.

\следствие
На многообразии Калаби-Яу, {\бф \ред оператор Дирака
действует как $\6 \oplus \6^*:\; \Lambda^{*,0}(M)\arrow
\Lambda^{*,0}(M)$.}

\следствие
{\bf \purple На многообразии Калаби-Яу,
гармонические спиноры есть гармоническе $(p,0)$-формы.}

\newpage

{\бф \блуе Пространство алгебраических тензоров кривизны}

\утверждение
Имеет место разложение $V\otimes V\otimes V\otimes V$
как представления $GL(V)$:
$V\otimes V\otimes V\otimes V= \Lambda^4 V \oplus \Sym^4 V\oplus V_{3,1}
\oplus V_{2,1,1} \oplus V_{2,2}$, где
$V_{3,1}=\ker\Sym_{34}\restrict { \Lambda^3 V \otimes V}$, 
$V_{2,1,1}= \ker\Alt_{34}\restrict { \Sym^3 V \otimes V}$, 
a
{\bf \blue $V_{2,2}$ -- пространство тензоров, которые антисимметричны 
по перестановкам 1 и 2, а также 3 и 4 множителя,
симметризованные по одновременным перестановкам 1 и 4, а также  2 и 3.}

\упражнение Докажите, что 
{\бф \red $V_{2,2}$ есть ядро умножения
$V_{2,2}=\ker \left( \Sym^2(\Lambda^2V)\arrow \Lambda^4V\right).$}

\определение
Пространство $V_{2,2}\subset V\otimes V\otimes V\otimes V$ называется 
{\бф \блуе пространством алгебраических тензоров кривизны}.

\теорема
Рассмотрим тензор кривизны
связности Леви-Чивита, $R^l_{ijk} \in \Lambda^2 M \otimes \goth{so}(TM)$.
Отождествляя $\goth{so}(TM)$ и $\Lambda^2(TM)$, получим 
тензор кривизны $R_{ijkl} \in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^2 M$.
{\бф \ред Тогда $R_{ijkl}\in V_{2,2}$.}

\доказательство 
См. следующий слайд.


\следствие 
{\бф \ред Кривизна связности Леви-Чивита симметрична:\\
$R_{ijkl}\in \Sym^2(\Lambda^2 TM)$.}

\newpage

{\бф \блуе Симметрии тензора кривизны}

\утверждение {\бф \блуе (алгебраическое тождество Бьянки)}\\
Пусть $ \Theta_\nabla\in \Lambda^2 M \otimes \goth{so}(TM)$ -- кривизна
связности Леви-Чивита. {\бф \ред Тогда
\[ \mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}(\Theta_\nabla):=
\Theta_\nabla(X,Y,Z, \cdot) +\Theta_\nabla(Y,Z,X, \cdot)+
\Theta_\nabla(Z,X,Y, \cdot)=0.
\]}
\доказательство
Выберем $X,Y,Z$, которые коммутируют. Тогда $\nabla_XY=\nabla_Y X$,
 etc., потому что $\nabla$ без кручения. Значит, 
\begin{multline*} \mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}(\Theta_\nabla(X,Y,Z))\\ =
 (\nabla_X\nabla_Y Z-\nabla_X\nabla_Z Y)+
 (\nabla_Y\nabla_Z X -\nabla_Y\nabla_X Y) +
 (\nabla_Z\nabla_X Y -\nabla_Z\nabla_Y X).
=0  
\end{multline*}
\endproof

\замечание
Тождество открыл Риччи через несколько лет после того, как
Бьянки доказал "дифференциальное тождество Бьянки"

\следствие
{\bf \red Тензор римановой кривизны лежит в $V_{2,2}$.}

\доказательство
Проекция ядра $\mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}\restrict 
{\Lambda^2 M \otimes \Lambda^2 M}$
на все остальные компоненты $V\otimes V \otimes V \otimes V$
зануляется. \endproof 

\newpage

{\bf \blue Гауссова кривизна}

\определение
Пусть $V$ - векторное пространство с невырожденным
скалярным произведением $g$. {\бф \блуе След} 
$\Tr_{12}:\;V^{\otimes^n} \arrow V^{\otimes^{n-2}}$ определяется
как отображение, двойственное к умножению $A \arrow g\otimes A$.
$\Tr_{ij}:\;V^{\otimes^n} \arrow V^{\otimes^{n-2}}$ 
определяется как отображение, действующее по 
$i$-му и $j$-му сомножителю как $\Tr_{12}$ на
первом и втором:
\[
\Tr_{ij}(a_{123...n})= \sum_{i,j}g^{ij}a_{123...n}.
\]
\определение
{\бф \блуе Гауссова} 
(она же {\бф \блуе скалярная}) кривизна 
риманова многообразия есть $\Tr_{13}\Tr_{24}(\Theta_\nabla)$,
где $\Theta_\nabla\in \Sym^2(\Lambda^2 TM)$ -- тензор
римановой кривизны.


\newpage

{\бф \блуе Клиффордово умножение на $\Sym^2(\Lambda^2 V)$}

{\бф \греен ЛЕММА 2}
Пусть $R\in \Sym^2(\Lambda^2 V)$, где $V$ -- пространство
со скалярным умножением $g$. Обозначим
клиффордово умножение за $\tau:\; V^{\otimes ^4}\arrow \Cl(V)$.
{\бф \пурпле Тогда \[ \tau(R)=\Tr_{13}\Tr_{24}R+ \tau(\Alt(R)),\]
где $\Alt:\; \Sym^2(\Lambda^2 V)\arrow \Lambda^4 V$ --
внешнее умножение. }

\доказательство
Пусть $x,y,z,t\in V$, а $R(x,y,z,t):= (xy-yx)(zt-tz)+(zt-tz)(xy-yx)$
соответствующий элемент $\Sym^2(\Lambda^2 V)$. Тогда

1. Если $x,y,z,t$ попарно ортогональны, то 
$\tau(R(x,y,z,t)) = \tau(\Alt(R))$, потому что
$x,y,z,t$ антикоммутируют в алгебре Клиффорда.

2. Если $x,y,z$ попарно ортогональны, a $y=t$, то 
$xy-yx$ антикоммутирует с $zt-tz$, значит,
$\tau(R(x,y,z,t))=0$.

3. Если $x,y$ ортогональны, а $y=t$ и $x=z$, 
то \[ \tau(R(x,y,z,t))=\tau((xy-yx))^2 = g(x,x)g(y,y).\]
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Оператор Дирака и грубый лапласиан}

\замечание
Пусть $D:\; S \arrow S$ -- оператор Дирака,
a $x_i\in TM$ -- ортонормированный репер. Тогда
$D(s)= \sum_i \sigma(x_i, \nabla_{x_i}(s))$,
где $\sigma:\; TM \otimes S\arrow S$ есть клиффордово
умножение.

\следствие
Обозначим за $\Theta\in \Lambda^2M \otimes \End(S)$ кривизну $S$.
Тогда
\[
  D^2(s)= \sum_{i,j} \sigma(x_i x_j,\nabla_{x_i}\nabla_{x_j}s)=
  \sum_{i,j} \sigma(x_i x_j,\Theta_{x_i, x_j} s) + 
   \sum_{i,j} \sigma(x_i x_j+x_j x_i, \nabla_{x_i}\nabla_{x_j}s)
\]
Поскольку $\sigma(x_i x_j+x_j x_i, v)= g(x_i,x_j)v$,
получаем
\[
D^2(s)= \sigma(\Theta,s) + \sum_i\nabla_{x_i}\nabla_{x_i}s.
\]
\newcommand{\Rough}{\text{\fontencoding{T1}\selectfont \DH
\fontencoding{T2A}\selectfont}}
\определение
{\бф \блуе Грубый лапласиан} на расслоении $B$ со связностью
над римановым многообразием определяется как
$\Rough(s):= \Tr_{12}(\nabla^2 s)$.

\замечание
Предыдущее следствие переписывается как
\[
D^2(s)= \sigma(\Theta,s) + \Rough (s).
\]


\newpage

{\бф \блуе Формула Вайценбека}

\newcommand{\Sc}{\operatorname{\sf Sc}}
\теорема {\бф \блуе (формула Вайценбека, формула Лихнеровича)}\\
Пусть $M$ -- риманово многообразие со спин-структурой,
$\Rough:\; S\arrow S$ -- грубый лапласиан, $\Sc$ -- 
оператор умножения на скалярную кривизну, а
а $D:\; S\arrow S$ -- оператор Дирака. {\бф \ред Тогда
$D^2 = \Rough + \Sc$.}

\доказательство $D^2(s)= \sigma(\Theta,s) + \Rough (s)$,
а $\sigma(\Theta,s)= \Sc(s)$ в силу Леммы 2.
\ендпрооф

\замечание
$g(\Rough(s), s)= \Tr_{12}(\nabla^2(s), s)= g(\nabla(s), \nabla(s))$.
Поэтому \\ $\int_М g(\Rough(s), s)= \int_M g(\nabla(s), \nabla(s))$.
Значит, {\бф \пурпле на компактном 
многообразии, если $\Rough(s)=0$, то $\nabla(s)=0$.}

\теорема
{\бф \блуе (теорема Бохнера о занулении)}\\
Пусть $M$ -- компактное риманово многообразие с неотрицательной
скалярной кривизной $\Sc$. {\бф \ред Тогда $\nabla(s)=0$ для любого гармонического
спинора.} {\бф \пурпле Если к тому же $\Sc>0$ в какой-то точке, то $s=0$.}

\доказательство
В силу формулы Вайценбека, 
\[ 0=g(D^2(s),s) = g(\Rough(s), s) + \int_M \Sc\cdot g(s,s) =
\int_M g(\nabla(s), \nabla(s)) +\int_M \Sc \cdot g(s,s).
\]
{\бф \ред Значит, $\nabla(s)=0$.} Если в окрестности $m\in M$,
$\Sc>0$, то в этой окрестности $s=0$, и {\бф \пурпле в силу
$\nabla(s)=0$, $s=0$ на всем $M$.}
\ендпрооф.




\end{document}

