\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} \usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 15 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm] \small лекция 15: оператор Дирака} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва \\[2mm] 4 апреля 2011 } \end{center} \newpage \newcommand{\Cl}{\operatorname{{\cal C}\!\ell}} {\бф \блуе Алгебры Клиффорда (повторение)} \определение Пусть $V, g$ -- векторное пространство над $k:= \C, \R$ с билинейной, симметричной 2-формой, а $\Cl(V,g)$ -- алгебра с единицей, полученная как фактор {\бф \блуе тензорной алгебры} $T^{\otimes} V:= k \oplus V \oplus V\otimes V \oplus ... \oplus T^{\otimes i} V$ по идеалу, порожденному $xy+ yx= g(x,y)$, где $x,y\in V$. Алгебра $\Cl(V, g)$ называется {\бф \blue алгеброй Клиффорда}. \пример Если $g=0$, $\Cl(V,g)$ есть алгебра Грассманна. \утверждение $\dim \Cl(V,g)= 2^{\dim V}$. \теорема {\бф \блуе (периодичность Ботта над $\C$)} \\ \[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\] для $V=\C^{2n}$ и \[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\oplus \Mat(2^n, \C)\] для $V=\C^{2n+1}$ ($g$ невырожденная). \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Спинорная группа (четномерные пространства) -- повторение} \теорема {\бф \ред Группа автоморфизмов алгебры $\Mat(V)$ изоморфна $PGL(V)$} (фактора группы $GL(V)$ по центру). \следствие Пусть $V=\C^{2n}$, - векторное пространство над $\C$ с невырожденным скалярным произведением. Группа Ли $SO(V)$ действует на $\Cl(V)$ автоморфизмами, что задает гомоморфизм \[ SO(V) \hookrightarrow \Aut(\Mat(2^n, \C))= PGL(2^n, \C)\] в силу теоремы, доказанной выше. \определение (Эли Картан, 1913) {\бф \блуе Спинорное представление} алгебры Ли $\goth{so}(V)$ есть ее представление в $\C^{2^n}$, заданное изоморфизмом $\goth{pgl}(2^n)= \goth{sl}(2^n)$. \определение {\бф \блуе Спинорная группа} $\Spin(2n)$ есть накрытие $SO(2n)$, полученное интегрированием спинорного представления. \newpage {\бф \блуе Спинорная группа (нечетномерные пространства) -- повторение} \определение Для нечетномерного $V=\C^{2n+1}$, {\bf \blue $+$-спинорное представление $\goth{so}(V)$ } есть действие $\goth{so}(V)$ в $\C^{2^n}$, полученное из изоморфизма $\Cl^+(V) = \Mat(2^n, \C)$ и $\Aut(\Mat(2^n, \C))= PGL(2^n,\C)$, $\goth{pgl}(2^n)= \goth{sl}(2^n)$. \определение {\bf \blue $-$-спинорное представление $\goth{so}(V)$ } определяется аналогично. \утверждение Эти представления {\бф \пурпле переводятся одно в другое сопряжением с любым элементом $O(V) \backslash SO(V)$.} \определение {\бф \блуе Спинорная группа} $\Spin(2n+1)$ есть накрытие группы $SO(2n+1)$, полученное интегрированием $+$- или $-$-спинорного представления. \newpage {\бф \блуе Спиноры над $V= W \oplus W^*$ (повторение)} \пример Пусть $V= W \oplus W^*$, с естественной метрикой. Тогда $\Cl(W)= \Lambda^* W$, $\Cl(W^*) = \Lambda^* W^*$ и имеет место разложение $\Cl(W)=\Lambda^* W\otimes \Lambda^* W^*=\Lambda^* V$ \утверждение Рассмотрим действие $\Lambda^* W$ на $\Lambda^* W$ внешними умножениями, $x, y \arrow x\wedge y$, и $\Lambda^* W^*$ на $\Lambda^* W$ подстановкой, $x, \xi \arrow x\cntrct \xi$. {\бф \пурпле Это задает на $\Lambda^* W$ структуру $\Cl(V)$-модуля.} \доказательство Достаточно проверить на образующих: $\omega\wedge x \wedge y = - \omega\wedge y \wedge x$, $(\omega\cntrct \xi) \cntrct \zeta = - (\omega\cntrct \zeta) \cntrct \xi$, и \[ (\omega\wedge x) \cntrct \xi + (\omega \cntrct \xi) \wedge x = \omega \langle x, \xi\rangle. \] \ендпрооф \следствие {\бф \ред $\Lambda^* W$ канонически отождествляется со спинорным представлением} $\Spin(W \oplus W^*)$. \определение {\бф \блуе Лагранжево подпространство} в векторном пространстве со скалярным произведением $g$ есть подпространство половинной размерности, на которое $g$ ограничивается тривиально. Разложение $V = W_1 \oplus W_2$ в прямую сумму лагранжевых подпространств называется {\бф \блуе лагранжевым разложением}. \newpage {\бф \блуе $\Spin^c$-структуры и $\Spin$-структуры (повторение) } \определение Пусть $M$ -- четномерное риманово многообразие, $\Cl(TM)$ -- соответствующее расслоение клиффордовых алгебр, а $\Cl_\C(TM)$ -- его комплексификация. {\бф \блуе $\Spin^c$-структура} на $M$ есть расслоение $\Cl_\C(T M)$-модулей {\бф \блуе \бф ($\C$-спиноров)}, которые изоморфны, как $\Cl_\C(TM)$-модули, спинорному представлению. {\small \замечание {\бф \ред $\Spin^c$-структура определена канонически с точностью до подкрутки на линейное расслоение.}} \замечание Пусть $M$ -- почти комплексное эрмитово многообразие. Тогда $\Lambda^{1,0}(M) \oplus \Lambda^{0,1}(M)$ -- лагранжево разложение $TM\otimes_\R \C$. Это задает структуру $\Cl_\C(TM)$-модуля на $\Lambda^* (\Lambda^{1,0}(M))= \Lambda^{*,0}(M)$. {\small \следствие {\бф \пурпле На почти комплексном эрмитовом многообразии задана стандартная $\Spin^c$-структура.}} \определение {\бф \блуе $\Spin$-структура} на многообразии есть $\Spin^c$-структура $Е$ такая, что ее детерминантное расслоение $\det E$ тривиально. В этом случае $E$ называется {\бф \блуе расслоением спиноров}. \замечание Пусть $М$ -- почти комплексное эрмитово многообразие, $К$ его каноническое расслоение, а $L= K^{-1/2}$ линейное расслоение, такое, что $K \cong L^{-1}$. {\бф \пурпле Тогда на $М$ задана $\Spin$-структура $E \cong \Lambda^{*,0}(M)\otimes L$.} \newpage {\бф \блуе Главные $G$-расслоения (повторение)} \определение {\бф \блуе Главное $G$-расслоение} есть гладкое расслоение \\ $X \arrow M$ со свободным действием группы Ли $G$, транзитивным на слоях. \определение {\бф \блуе Расслоенное произведение} пространств $M_1, M_2$ с действием $G$ есть фактор $M_1 \times_G M_2:= (M_1 \times M_2)/G$ по диагональному действию. \определение Пусть $P$ есть $G$-расслоение, а $V$ -- представление $G$. {\бф \блуе Ассоциированное векторное расслоение} есть $P\times_G V$. \определение Пусть $G_1 \arrow G$ -- гомоморфизм групп. {\бф \блуе Редукция} $G$-расслоения $P$ к $G_1$ есть главное $G_1$-расслоение $P_1$ такое, что $P_1 \times_{G_1} G= P$. \определение {\бф \блуе $G$-структура на гладком многообразии $M$} есть редукция главного $GL(n)$-расслоения реперов на $M$ к $G$. \определение {\бф \блуе Структурной группой риманова многообразия} называется главное $O(n)$-расслоение, связанное с римановой структурой. \newpage {\бф \блуе Главные расслоения и $\Spin$-структуры (повторение)} \определение {\бф \блуе Спин-структура} на римановом многообразии есть редукция структурного расслоения к $\Spin(n) \arrow O(n)$. Многообразие с выделенной спин-структурой называется {\бф \блуе спин-многообразием}. \замечание Из длинной точной последовательности \[ 0 \arrow H^1(M, \Z/2\Z) \arrow H^1(M, \Spin(n) ) \arrow H^1(M, SO(n)) \arrow H^2(M, \Z/2\Z)\arrow \] ясно, что препятствие к существованию спин-структуры лежит в группе $H^2(M, \Z/2\Z)$ (оно называется {\бф \блуе вторым классом Штифеля-Уитни}). Также, {\бф \ред множество спин-структур на спин-многообразии параметризуется $H^1(M, \Z/2\Z)$}. \определение {\бф \блуе Расслоение спиноров} на спин-многообразии есть ассоциированное векторное расслоение, связанное со спинорным представлением $\Spin(n)$. \newpage {\бф \блуе Связность на $G$-расслоениях (повторение)} \определение Связность $\nabla$ на главном $G$-расслоении $P$ есть $G$-инвариантное расщепление касательного $TP$ в прямую сумму $TP = T_\nabla P \oplus T_\ver P$, где $T_\ver P$ -- касательные вектора к слоям $P\arrow M$. \утверждение Связности на главном $G$-расслоении $P$ {\бф \ред взаимно однозначно соответствуют $G$-инвариантным связностям на ассоциированном векторном расслоении}, для любого точного представления $G$. \следствие Пусть $M$ -- риманово многообразие с ортогональной связностью. {\бф \ред Тогда на расслоении спиноров задана каноническая связность,} которая называется {\бф \блуе спинорной связностью}. \доказательство Соответствующая $G$-структура получается из стандартной $SO(n)$-структуры накрытием, значит, {\бф \пурпле связностей у них столько же.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Кручение (повторение)} \определение Пусть $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1M$, \[ \Lambda^1 \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\] {\бф\блуе Кручение $\nabla$} задается формулой $T_\nabla:=\Alt \circ \nabla - d$, где \[ \Alt:\; \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M\] -- внешнее умножение. Кручение есть отображение $T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$. \упражнение Докажите, что {\бф \ред кручение это тензор} (то есть $C^\infty$-линейное отображение). \упражнение Докажите, что оператор $\Lambda^2 TM \arrow TM$, заданный как \[ \nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]\] -- {\бф \ред тоже тензор, причем задает отображение, двойственное к $T_\nabla$.} \newpage {\bf \blue Связность Леви-Чивита (повторение)} \определение Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется {\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$, и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она ортогональна и без кручения. \упражнение Пусть $B$ -- расслоение с метрикой. {\бф \ред Докажите, что на $B$ всегда существует ортогональная связность.} \теорема ("основная теорема дифференциальной геометрии") Каждое риманово многообразие {\бф \ред допускает связность Леви-Чивита, и она единственна. } \упражнение Докажите единственность. \newpage {\бф \блуе Оператор Дирака на многообразиях Калаби-Яу} \определение Пусть $M$ -- риманово многообразие с заданной на нем спин-структурой, а $\nabla:\; S \arrow S \otimes \Lambda^1 M$ -- связность Леви-Чивита на спинорах. Отождествив $\Lambda^1 M$ и $TM$, можно считать, что $\nabla:\; S \arrow S \otimes TM$. Рассмотрим оператор {\бф \блуе спинорного умножения} $S \otimes TM\stackrel \sigma \arrow S$. {\бф \блуе Оператор Дирака} $D$ есть композиция $\nabla:\; S \arrow S \otimes TM$ и $\sigma$. {\small \определение {\бф \блуе Гармонический спинор} есть спинор $\psi$ такой, что $D(\psi)=0$.} \замечание {\бф \пурпле На многообразии Калаби-Яу, спиноры отождествляются с $\Lambda^{*,0}(M)$, }а клиффордово умножение действует так: \[ \Lambda^{p,0}(M)\otimes \Lambda^{1,0} M \stackrel\sigma\arrow \Lambda^{p+1,0}(M) \] есть внешнее умножение, а \[ \Lambda^{p,0}(M)\otimes \Lambda^{0,1} M \stackrel\sigma\arrow \Lambda^{p-1,0}(M) \] делает из $\eta\otimes x$ подстановку $\eta \cntrct x^\sharp$, где $x^\sharp\in T^{1,0}M$ есть векторное поле, двойственное $x$. \следствие На многообразии Калаби-Яу, {\бф \ред оператор Дирака действует как $\6 \oplus \6^*:\; \Lambda^{*,0}(M)\arrow \Lambda^{*,0}(M)$.} \следствие {\bf \purple На многообразии Калаби-Яу, гармонические спиноры есть гармоническе $(p,0)$-формы.} \newpage {\бф \блуе Пространство алгебраических тензоров кривизны} \утверждение Имеет место разложение $V\otimes V\otimes V\otimes V$ как представления $GL(V)$: $V\otimes V\otimes V\otimes V= \Lambda^4 V \oplus \Sym^4 V\oplus V_{3,1} \oplus V_{2,1,1} \oplus V_{2,2}$, где $V_{3,1}=\ker\Sym_{34}\restrict { \Lambda^3 V \otimes V}$, $V_{2,1,1}= \ker\Alt_{34}\restrict { \Sym^3 V \otimes V}$, a {\bf \blue $V_{2,2}$ -- пространство тензоров, которые антисимметричны по перестановкам 1 и 2, а также 3 и 4 множителя, симметризованные по одновременным перестановкам 1 и 4, а также 2 и 3.} \упражнение Докажите, что {\бф \red $V_{2,2}$ есть ядро умножения $V_{2,2}=\ker \left( \Sym^2(\Lambda^2V)\arrow \Lambda^4V\right).$} \определение Пространство $V_{2,2}\subset V\otimes V\otimes V\otimes V$ называется {\бф \блуе пространством алгебраических тензоров кривизны}. \теорема Рассмотрим тензор кривизны связности Леви-Чивита, $R^l_{ijk} \in \Lambda^2 M \otimes \goth{so}(TM)$. Отождествляя $\goth{so}(TM)$ и $\Lambda^2(TM)$, получим тензор кривизны $R_{ijkl} \in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^2 M$. {\бф \ред Тогда $R_{ijkl}\in V_{2,2}$.} \доказательство См. следующий слайд. \следствие {\бф \ред Кривизна связности Леви-Чивита симметрична:\\ $R_{ijkl}\in \Sym^2(\Lambda^2 TM)$.} \newpage {\бф \блуе Симметрии тензора кривизны} \утверждение {\бф \блуе (алгебраическое тождество Бьянки)}\\ Пусть $ \Theta_\nabla\in \Lambda^2 M \otimes \goth{so}(TM)$ -- кривизна связности Леви-Чивита. {\бф \ред Тогда \[ \mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}(\Theta_\nabla):= \Theta_\nabla(X,Y,Z, \cdot) +\Theta_\nabla(Y,Z,X, \cdot)+ \Theta_\nabla(Z,X,Y, \cdot)=0. \]} \доказательство Выберем $X,Y,Z$, которые коммутируют. Тогда $\nabla_XY=\nabla_Y X$, etc., потому что $\nabla$ без кручения. Значит, \begin{multline*} \mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}(\Theta_\nabla(X,Y,Z))\\ = (\nabla_X\nabla_Y Z-\nabla_X\nabla_Z Y)+ (\nabla_Y\nabla_Z X -\nabla_Y\nabla_X Y) + (\nabla_Z\nabla_X Y -\nabla_Z\nabla_Y X). =0 \end{multline*} \endproof \замечание Тождество открыл Риччи через несколько лет после того, как Бьянки доказал "дифференциальное тождество Бьянки" \следствие {\bf \red Тензор римановой кривизны лежит в $V_{2,2}$.} \доказательство Проекция ядра $\mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}\restrict {\Lambda^2 M \otimes \Lambda^2 M}$ на все остальные компоненты $V\otimes V \otimes V \otimes V$ зануляется. \endproof \newpage {\bf \blue Гауссова кривизна} \определение Пусть $V$ - векторное пространство с невырожденным скалярным произведением $g$. {\бф \блуе След} $\Tr_{12}:\;V^{\otimes^n} \arrow V^{\otimes^{n-2}}$ определяется как отображение, двойственное к умножению $A \arrow g\otimes A$. $\Tr_{ij}:\;V^{\otimes^n} \arrow V^{\otimes^{n-2}}$ определяется как отображение, действующее по $i$-му и $j$-му сомножителю как $\Tr_{12}$ на первом и втором: \[ \Tr_{ij}(a_{123...n})= \sum_{i,j}g^{ij}a_{123...n}. \] \определение {\бф \блуе Гауссова} (она же {\бф \блуе скалярная}) кривизна риманова многообразия есть $\Tr_{13}\Tr_{24}(\Theta_\nabla)$, где $\Theta_\nabla\in \Sym^2(\Lambda^2 TM)$ -- тензор римановой кривизны. \newpage {\бф \блуе Клиффордово умножение на $\Sym^2(\Lambda^2 V)$} {\бф \греен ЛЕММА 2} Пусть $R\in \Sym^2(\Lambda^2 V)$, где $V$ -- пространство со скалярным умножением $g$. Обозначим клиффордово умножение за $\tau:\; V^{\otimes ^4}\arrow \Cl(V)$. {\бф \пурпле Тогда \[ \tau(R)=\Tr_{13}\Tr_{24}R+ \tau(\Alt(R)),\] где $\Alt:\; \Sym^2(\Lambda^2 V)\arrow \Lambda^4 V$ -- внешнее умножение. } \доказательство Пусть $x,y,z,t\in V$, а $R(x,y,z,t):= (xy-yx)(zt-tz)+(zt-tz)(xy-yx)$ соответствующий элемент $\Sym^2(\Lambda^2 V)$. Тогда 1. Если $x,y,z,t$ попарно ортогональны, то $\tau(R(x,y,z,t)) = \tau(\Alt(R))$, потому что $x,y,z,t$ антикоммутируют в алгебре Клиффорда. 2. Если $x,y,z$ попарно ортогональны, a $y=t$, то $xy-yx$ антикоммутирует с $zt-tz$, значит, $\tau(R(x,y,z,t))=0$. 3. Если $x,y$ ортогональны, а $y=t$ и $x=z$, то \[ \tau(R(x,y,z,t))=\tau((xy-yx))^2 = g(x,x)g(y,y).\] \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Оператор Дирака и грубый лапласиан} \замечание Пусть $D:\; S \arrow S$ -- оператор Дирака, a $x_i\in TM$ -- ортонормированный репер. Тогда $D(s)= \sum_i \sigma(x_i, \nabla_{x_i}(s))$, где $\sigma:\; TM \otimes S\arrow S$ есть клиффордово умножение. \следствие Обозначим за $\Theta\in \Lambda^2M \otimes \End(S)$ кривизну $S$. Тогда \[ D^2(s)= \sum_{i,j} \sigma(x_i x_j,\nabla_{x_i}\nabla_{x_j}s)= \sum_{i,j} \sigma(x_i x_j,\Theta_{x_i, x_j} s) + \sum_{i,j} \sigma(x_i x_j+x_j x_i, \nabla_{x_i}\nabla_{x_j}s) \] Поскольку $\sigma(x_i x_j+x_j x_i, v)= g(x_i,x_j)v$, получаем \[ D^2(s)= \sigma(\Theta,s) + \sum_i\nabla_{x_i}\nabla_{x_i}s. \] \newcommand{\Rough}{\text{\fontencoding{T1}\selectfont \DH \fontencoding{T2A}\selectfont}} \определение {\бф \блуе Грубый лапласиан} на расслоении $B$ со связностью над римановым многообразием определяется как $\Rough(s):= \Tr_{12}(\nabla^2 s)$. \замечание Предыдущее следствие переписывается как \[ D^2(s)= \sigma(\Theta,s) + \Rough (s). \] \newpage {\бф \блуе Формула Вайценбека} \newcommand{\Sc}{\operatorname{\sf Sc}} \теорема {\бф \блуе (формула Вайценбека, формула Лихнеровича)}\\ Пусть $M$ -- риманово многообразие со спин-структурой, $\Rough:\; S\arrow S$ -- грубый лапласиан, $\Sc$ -- оператор умножения на скалярную кривизну, а а $D:\; S\arrow S$ -- оператор Дирака. {\бф \ред Тогда $D^2 = \Rough + \Sc$.} \доказательство $D^2(s)= \sigma(\Theta,s) + \Rough (s)$, а $\sigma(\Theta,s)= \Sc(s)$ в силу Леммы 2. \ендпрооф \замечание $g(\Rough(s), s)= \Tr_{12}(\nabla^2(s), s)= g(\nabla(s), \nabla(s))$. Поэтому \\ $\int_М g(\Rough(s), s)= \int_M g(\nabla(s), \nabla(s))$. Значит, {\бф \пурпле на компактном многообразии, если $\Rough(s)=0$, то $\nabla(s)=0$.} \теорема {\бф \блуе (теорема Бохнера о занулении)}\\ Пусть $M$ -- компактное риманово многообразие с неотрицательной скалярной кривизной $\Sc$. {\бф \ред Тогда $\nabla(s)=0$ для любого гармонического спинора.} {\бф \пурпле Если к тому же $\Sc>0$ в какой-то точке, то $s=0$.} \доказательство В силу формулы Вайценбека, \[ 0=g(D^2(s),s) = g(\Rough(s), s) + \int_M \Sc\cdot g(s,s) = \int_M g(\nabla(s), \nabla(s)) +\int_M \Sc \cdot g(s,s). \] {\бф \ред Значит, $\nabla(s)=0$.} Если в окрестности $m\in M$, $\Sc>0$, то в этой окрестности $s=0$, и {\бф \пурпле в силу $\nabla(s)=0$, $s=0$ на всем $M$.} \ендпрооф. \end{document}