


\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\usepackage[table]{xcolor}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\��������{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small ����������� ���������, ������ 14 \hfil
  \tiny ���� ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ����������� ������������, \\[15mm]
\small ������ 14: �������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ��������� } 
\\[20mm]

{\tiny\bf ���/���, ������
\\[2mm] 28 ����� 2011
}
\end{center}

\newpage

\newcommand{\Cl}{\operatorname{{\cal C}\!\ell}}
{\�� \���� ������� ���������}


\�����������
����� $V, g$ -- ��������� ������������ ��� $k:= \C, \R$
� ����������, ������������ 2-������, � $\Cl(V,g)$ --
������� � ��������, ���������� ��� ������ {\�� \���� ���������
�������} $T^{\otimes} V:= k \oplus V \oplus
V\otimes V \oplus ... \oplus T^{\otimes i} V$ �� ������,
������������ $xy+ yx= g(x,y)$, ��� $x,y\in V$.
������� $\Cl(V, g)$ ���������� {\�� \blue �������� ���������}.

\������
���� $g=0$, $\Cl(V,g)$ ���� ������� ����������.

\�����������
$\dim \Cl(V,g)= 2^{\dim V}$.

\�������
{\�� \���� (������������� ����� ��� $\C$)} \\
\[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\] ��� $V=\C^{2n}$
� \[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\oplus \Mat(2^n, \C)\] ��� 
$V=\C^{2n+1}$ ($g$ �������������).
\��������

\newpage

{\�� \���� ��������� ������ (����������� ������������)}

\�������
������ ������������� ������� $\Mat(V)$ ��������� 
$PGL(V)$ (������� ������ $GL(V)$ �� ������).

\�����������
����� $V=\C^{2n}$, - ��������� ������������ ���
$\C$ � ������������� ��������� �������������.
������ �� $SO(V)$ ��������� �� $\Cl(V)$ ��������������,
��� ������ �����������
\[ SO(V) \hookrightarrow \Aut(\Mat(2^n, \C))= PGL(2^n, \C)\]
� ���� �������, ���������� ����.

\�����������
(��� ������, 1913)
{\�� \���� ��������� �������������} ������� ��
$\goth{so}(V)$ ���� �� ������������� � $\C^{2^n}$,
�������� ������������ $\goth{pgl}(2^n)= \goth{sl}(2^n)$.

\�����������
{\�� \���� ��������� ������} $\Spin(2n)$
���� �������� $SO(2n)$, ���������� ���������������
���������� �������������.

\newpage

{\�� \���� ��������� ������ (������������� ������������)}

\�����������
��� �������������� $V=\C^{2n+1}$, {\bf \blue $+$-��������� �������������
$\goth{so}(V)$ } ���� �������� $\goth{so}(V)$ � $\C^{2^n}$,
���������� �� ����������� $\Cl^+(V) = \Mat(2^n, \C)$
� $\Aut(\Mat(2^n, \C))= PGL(2^n,\C)$, $\goth{pgl}(2^n)= \goth{sl}(2^n)$.

\�����������
{\bf \blue $-$-��������� �������������
$\goth{so}(V)$ } ������������ ����������.

\����������� ��� �������������
{\�� \������ ����������� ���� � ������ ����������� �
����� ��������� $O(V) \backslash SO(V)$.}


\�����������
{\�� \���� ��������� ������} $\Spin(2n+1)$
���� �������� ������ $SO(2n+1)$, ���������� ���������������
$+$- ��� $-$-���������� �������������.

\��������� � ���� ����������� �����������,
��� ������������� ���������.

\newpage


{\�� \���� ��������� ������ (����� �����������)}

\�����
���������� ����������� $\goth{so}(V) \stackrel \Psi \arrow \Cl(V)$
����������� 2-����� $x\wedge y\in \goth{so}(V)= \Lambda^2 V$, $x\bot y$
� $xy\in \Cl(V)$. {\�� \��� ��� ����������� ������ ��.}

\��������������
��������� �� $L_x$ ��������� �� $x\in V$ � $\Cl(V)$.
���� $\langle x,y\rangle \bot \langle z,t\rangle$,
�� $[xy, zt]=0$, ��� ��� {\�� \������ $L_a, L_b$ ��������������� ���
$a \bot b$.} ��� ������� ������������� $x,y,t$, ����� $[xy, xt]= -2yt g(x,y).$
\��������

\����������
����� $x\bot y$ ����� � $V$.
{\�� \���� ��������, ��� $[xy, \cdot]$ ��������� $V\subset \Cl(V)$.}

\����������� ��������� �� $\Cl(V)^*$ ������ ���� ���������
��������� � $\Cl(V)$.

\�������
{\�� \��� $\Spin(V)$ ���������
������ ���� ��������� � ������ $\Cl(V)^*$, 
��������������� $g(V)\subset V$,} � �����������
�� $V$ � ����������� ���������� � ���������� ������������.

\�������������� 
���������� ����� ����������, ���
{\�� \������ $\Spin(V)\subset \Cl(V)^*$ ���������
���������� ���� $e^{xy}\in \Cl(V)$,
��� $x\bot y$ ����� � $V$.} ���������
$[xy, \cdot]$ ��������� $V$, ������
$\Spin(V)$ ��������� $V$. 

�������� ��������� ���������� �� ����������� �����������.
\��������


\newpage

{\�� \���� �������� ������}

\newcommand{\Pin}{\operatorname{Pin}}

\���������
����� $x\in V$ -- ������ ����� 1. ����� $x^2=1$,
� $y \arrow x^{-1}yx$ {\�� \������
��������� �� $V$ ����������� ������������ $x$.}

\�����������
������ $\Pin(V)$ {\�� \���� (�������� ������)} 
���� ��������� $\Cl(V)^*$, ����������� 
����������� �� ������� $x\in V$ ����� 1.

\���������
{\�� \������ ��� ������ ��������} � �������� ��������� $O(V)$.

\�����������
������� ���������� $\Pin(V)$ ����� $\Spin(V)$.

\��������������
$\Pin(V)$ ����������� ������������ � $O(V)$,
��� �������� ��� ���������. ������, ���������������
����������� ������� ��������� �����������.
��� ���� $K$ ������� �� ��������, ��� ����
�� ������������� ������������� ��������� �������.
��������� ������������ ��������� �� $x$
����� 1, $K$ ����������.
\��������

\���������
{\�� \��� �������� $\Spin(V) \arrow SO(V)$ ������������.}

\��������������
���������� �������� ����������� �����������
��� $\Pin(V)$, �� $x$ � $-x$ �����������
����� � ��� �� ���������� ��������� $\Pin(V)$
� ����������� � ���� � �� �� ��������� $V$.
\��������

%\newpage
%
%{\�� \���� ����-��������� � �������}
%
%\�����������
%{\�� \���� ����-���������} ������� $A$ ���� ���������,
%������� ������������� $i(xy) = i(y) i(x)$.
%
%\������
%���� �� $V$ ������ ������������� ��������� ������������,
%�� {\�� \������ ���������� $A \arrow A^\bot$ ��������
%����-���������� ������� ������.}
%
%\����������
%����� ��� ��������� ������������ ���������� ���� � �� ��
%����-���������. ��������, ��� ��� ���������������.
%
%\�����������
%{\�� \���� ����������� ����-���������}
%���� ����������� $\Cl(V)$, �����������
%������������ ���� $x_1 x_2 x_3 ... x_k$
%� $x_k x_{k-1} ... x_3 x_2 x_1$, ��� ����� $x_i \in V$.
%
%\�����������
%{\�� \���� ������������ ����������}
%$\Lambda^* V \arrow \Cl(V)$
%���� ���������� ��������� �����������,
%����������� $x_1 \wedge x_2 \wedge ... \wedge x_k$
%� $x_1 x_2 x_3 ... x_k$, ��� ����� �������
%������������� $x_i \in V$.
%
%\���������� ���������, ��� �� �� ������� �� ������ $x_i$.
%
%\�����������
%����������� ������� $\langle, \cdot, \cdot, \rangle$ 
%�� $\Cl(V)$ ���� ���������
%������������, �������������� �� ���������� �������
%�� $\Lambda^* V$ ����������� ������������� �����������.
%
%
%\newpage
%
%{\�� \���� ��������� �������}
%
%\�����������
%����������� �������
%����������� ��� $\langle, a, b, \rangle = \Tr(a \check b)$,
%��� $b \arrow \check b$ -- ����������� ����-���������.
%
%\��������������
%���������� ��������� ��� $x\in V$ � ���������������
%����������� � ������������� �����. \endproof
%
%\�����������
%{\�� \���� ��������� �������} (spinorial inner product)
%���� 2-����� �� ������������ �������� $S$,
%�������������� ��� ������������������, � ����������� �� ��������,
%� ������������ �� $\Cl(V)= \Mat(S)$ ����������� ����-���������.
%
%\���������
%�������, ���  ��� ������� {\�� \������ ���������� ������� � ���������
%�� ���������}.
%

\newpage

{\�� \���� ������� ��� $V= W \oplus W^*$}

\������
����� $V= W \oplus W^*$, � ������������ ��������.
����� $\Cl(W)= \Lambda^* W$, $\Cl(W^*) = \Lambda^* W^*$
� ����� ����� ���������� $\Cl(W)=\Lambda^* W\otimes \Lambda^* W^*=\Lambda^* V$

\�����������
���������� �������� $\Lambda^* W$ �� $\Lambda^* W$ ��������
�����������, $x, y \arrow x\wedge y$, � $\Lambda^* W^*$ ��
$\Lambda^* W$ ������������, $x, \xi \arrow x\cntrct \xi$.
{\�� \������ ��� ������ �� $\Lambda^* W$ ��������� $\Cl(V)$-������.}

\��������������
���������� ��������� �� ����������:
$\omega\wedge x \wedge y = - \omega\wedge y \wedge x$,
$(\omega\cntrct \xi) \cntrct \zeta = - (\omega\cntrct \zeta) \cntrct \xi$,
� 
\[ (\omega\wedge x) \cntrct \xi + (\omega \cntrct \xi) \wedge x = 
   \omega \langle x, \xi\rangle.
\]
\��������

\���������
{\�� \��� $\Lambda^* W$ ����������� ��������������� �� ���������
��������������} $\Spin(W \oplus W^*)$.

\�����������
{\�� \���� ���������� ���������������} � ���������
������������ �� ��������� ������������� $g$ ���� 
��������������� ���������� �����������, �� �������
$g$ �������������� ����������.
���������� $V = W_1 \oplus W_2$
� ������ ����� ����������� ��������������
���������� {\�� \���� ����������� �����������}.

\newpage

{\�� \���� $\Spin^c$-��������� � $\Spin$-���������	}

\�����������
����� $M$ -- ����������� �������� ������������,
$\Cl(TM)$ -- ��������������� ����������
������������ ������, � $\Cl_\C(TM)$ -- ��� ����������������. 
{\�� \���� $\Spin^c$-���������} �� $M$ ���� ����������
$\Cl_\C(T M)$-������� {\�� \���� \�� ($\C$-��������)}, 
������� ���������, ��� $\Cl_\C(TM)$-������, ����������
�������������. 

{\small \���������
{\�� \��� $\Spin^c$-��������� ���������� ����������� � ���������
�� ��������� �� �������� ����������.}}

\���������
����� $M$ -- ����� ����������� �������� ������������.
����� $\Lambda^{1,0}(M) \oplus \Lambda^{0,1}(M)$ -- ����������
���������� $TM\otimes_\R \C$. ��� ������ ��������� 
$\Cl_\C(TM)$-������ �� $\Lambda^* (\Lambda^{1,0}(M))= \Lambda^{*,0}(M)$.

{\small 
\��������� 
{\�� \������ �� ����� ����������� ��������� ������������ ������ 
����������� $\Spin^c$-���������.}}

\�����������
{\�� \���� $\Spin$-���������} �� ������������
���� $\Spin^c$-��������� $�$ �����, ���
�� �������������� ���������� $\det E$ ����������.
� ���� ������ $E$ ���������� {\�� \���� �����������
��������}.

\���������
����� $�$ -- ����� ����������� �������� ������������,
$�$ ��� ������������ ����������, � $L= K^{-1/2}$
�������� ����������, �����, ��� $K \cong L^{-1}$. 
{\�� \������ ����� �� $�$ ������ $\Spin$-���������
$E \cong \Lambda^{*,0}(M)\otimes L$.}


\newpage

{\�� \���� ������� $G$-����������}

\�����������
{\�� \���� ������� $G$-����������}
���� ������� ����������  \\ $X \arrow M$
�� ��������� ��������� ������ �� $G$,
������������ �� �����.

\������ 
����� $B$ -- $n$-������ ��������� ����������.
{\�� \���� ����������  �������} � $B$
���� ������� $GL(n)$-����������, ���� ��������
� $m\in M$ ���� ������������ ������� � $B_m M$.

\������
���� �� $B$ ������ �������,
{\�� \���� ���������� ������������������� �������}
���� ������� $O(n)$-����������.

\�����������
{\�� \���� ����������� ������������}
����������� $M_1, M_2$ � ��������� $G$ ���� ������ 
$M_1 \times_G M_2:= (M_1 \times M_2)/G$
�� ������������� ��������.

\�����������
����� $P$ ���� $G$-����������,
� $V$ -- ������������� $G$. {\�� \����
��������������� ��������� ����������}
���� $P\times_G V$.

\���������
$TM = RM \times_{GL(n)} \R^n$,
��� $RM$ ���� ���������� �������, � 
$\R^n$ -- ��������������� �������������
$GL(n)$. {\�� \������ ��� ��������� ������������
$TM$ �� ���������������� �������� $G$-����������.}


\newpage

{\�� \���� �������� ������� $G$-����������}

\�����������
����� $G_1 \arrow G$ -- ����������� �����.
{\�� \���� ��������} $G$-���������� $P$ � $G_1$
���� ������� $G_1$-���������� $P_1$ �����,
��� $P_1 \times_{G_1} G= P$.

\������
{\�� \������ ���������� ������������������� �������
������ �������� �������� $GL(n)$-���������� �
$O(n)$-����������.}

\�����������
{\�� \���� $G$-��������� �� ������� ������������ $M$}
���� �������� �������� $GL(n)$-���������� �������
�� $M$ � $G$.


\�����������
{\�� \���� ����������� ������� �������� ������������}
���������� ������� $O(n)$-����������, ���������
� ��������� ����������.

\newpage

{\�� \���� ������� ���������� � $\Spin^c$-���������}

\�����������
{\�� \���� ����������� ��������� ������ $\Spin^c(n)$} ���� ������ ���� 
$\big[\Spin(n) \times U(n)\big] /\pm 1$, ��� $-1$ ������������
� $-1$ � $U(1)$ � � ����� � $\Spin(n)$.

\�����������
���� �������-����������� ������������ �����
{\�� \������ ���������� ����������� ������ $SO(n)$ ����������������
�������� ������������ $M$ � $\Spin^c(n)$,} � 
{\�� \������ $\Spin^c$-����������� �� $M$.}

\��������������
���������� ������� $\Spin^c(n)$-����������,
���������� ��� �������� ������������ $O(n)$-����������
��� ����������� $\Spin^c(TM) \arrow O(TM)$,
����������� ������� ��������� ������ � ���������������
����������� $TM$. {\�� \������ ��� ���� �������� � $\Spin^c(n)$
�� $\Spin^c$-���������.} 

�������� ������������
������� � �������� ����������.
\��������

\�����������
{\�� \��� ���� �������-����������� ������������ �����
���������� ����������� ������ $SO(n)$ ����������������
�������� ������������ $M$ � $\Spin(n)$, � 
$\Spin$-����������� �� $M$.}

�������������� ����������.

\newpage

{\�� \���� ��������� � $G$-���������}

\�����������
����� $P$ -- ������� $G$-����������,
$V$ -- ������ ������������� $G$, � $B$ -- ���������������
��������� ����������. ��������� $\nabla$ �� $B$ ����������
{\��\���� $G$-������������}, ���� ��� ������ 
$g \in G$ � ������ ������ $\xi_1, ... \xi_n$ � 
$B\restrict m$, ����� ������������ ������� ������������ 
$\nabla$ ��������� $\xi_1, ... \xi_n$ � 
$g(\xi_1), ..., g(\xi_n)$, ��� ������-�� $g\in G$.

\���������
������� �������, {\�� \������ $\nabla$ ����������� � $G$,
���� ��������� $\nabla$ ����� � $G$.}

\���������
{\�� \��� ��� ���������, ������������� � $G$, ����������
�� 1-����� ���� $A \in \Lambda^1(M) \otimes {\goth g}$,}
��� ${\goth g}=\Lie(G)$ -- ������� �� �����������������
�������������� $B$, �������������� $G$.

\newpage

{\�� \���� ��������� �� $G$-�����������}

\�����������
��������� $\nabla$ �� ������� $G$-���������� $P$ ���� 
$G$-������������ ����������� ������������ $TP$ � ������
�����
$TP = T_\nabla P \oplus T_\ver P$,
��� $T_\ver P$ -- ����������� ������� � ����� $P\arrow M$.

\�����������
��������� �� ������� $G$-���������� $P$
{\�� \��� ������� ���������� ������������� $G$-������������
���������� �� ��������������� ��������� ����������}, ���
������ ������� ������������� $G$.

\�������������� �������� ��������������. \��������

\���������
����� $M$ -- �������� ������������ � �������������
����������. {\�� \��� ����� �� ���������� �������� ������
������������ ���������,} ������� ���������� {\�� \���� 
��������� ����������}.

\��������������
��������������� $G$-��������� ���������� �� �����������
$SO(n)$-��������� ���������, ������, {\�� \������ ���������� � ���
������� ��.} \��������

\newpage

{\�� \���� �������� ������}

\�����������
����� $M$ -- �������� ������������ � �������� �� ���
$\Spin$-����������, � $\nabla:\; S \arrow S \otimes \Lambda^1 M$ --
��������������� ��������� �� ��������. ����������� $\Lambda^1 M$
� $TM$, ����� �������, ��� $\nabla:\; S \arrow S \otimes TM$.
���������� �������� {\�� \���� ���������� ���������}
$S \otimes TM\stackrel \sigma \arrow S$. {\�� \���� �������� ������}
$D$ ���� ���������� $\nabla:\; S \arrow S \otimes TM$ � $\sigma$.

\�����������
{\�� \���� ������������� ������} ���� ������ $\psi$ �����,
��� $D(\psi)=0$.

\�����������
{\��\���� ��������� ��������} �������� ������������
���� ���� ������� ��������, $Sc:=\Tr_{13}\Tr_{24} R_{1234}$.

\�������
(������) ����� $M$ -- ����������
������������ � ������������� ��������� ���������.
{\�� \������ ����� ��� ������������� ������� �� $M$ ����� ����.}
���� � $M$ ������� ��������� ��������,
{\�� \��� ��� ������������� ������� �� $M$ �����������.}

\�������
�� ������������ ������-��, {\�� \��� ������������� $(p,0)$-�����
��������������� � �������������� ���������.}


\end{document}

