


\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\usepackage[table]{xcolor}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\��������{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small ����������� ���������, ������ 13 \hfil
  \tiny ���� ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ����������� ������������, \\[15mm]
\small ������ 13: �������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ��������� } 
\\[20mm]

{\tiny\bf ���/���, ������
\\[2mm] 21 ����� 2011
}
\end{center}

\newpage

\newcommand{\Cl}{\operatorname{{\cal C}\!\ell}}
{\�� \���� ������� ���������}


\�����������
����� $V, g$ -- ��������� ������������ ��� $k:= \C, \R$
� ����������, ������������ 2-������, � $\Cl(V,g)$ --
������� � ��������, ���������� ��� ������ {\�� \���� ���������
�������} $T^{\otimes} V:= k \oplus V \oplus
V\otimes V \oplus ... \oplus T^{\otimes i} V$ �� ������,
������������ $xy+ yx= g(x,y)$, ��� $x,y\in V$.
������� $\Cl(V, g)$ ���������� {\�� \blue �������� ���������}.

\������
���� $g=0$, $\Cl(V,g)$ ���� ������� ����������.

\����������
���������� ���������� 
$F_0\subset F_1 \subset F_2 \subset ... \subset T^{\otimes} V$,
$F_i:=k \oplus V \oplus
V\otimes V \oplus ... \oplus T^{\otimes i} V$,
� ����� $C_0\subset C_1 \subset C_2 \subset ... \subset \Cl(V,g)$ --
��������������� ���������� �� $\Cl(V,g)$.
��������, ��� {\�� \������ �������������� ��������������
������� $\bigoplus_i C_i/C_{i-1}$ ��������� 
������� ����������.}

\���������
$\dim \Cl(V,g)= 2^{\dim V}$.

\��������� 
������� ��������� {\�� \���� $\Z/2\Z$-��������������}:
$\Cl(V,g)= \Cl_\even(V,g)\oplus \Cl_\odd(V,g)$.


\�������

{\�� \���� �������������� ��������� ������������}

\�����������
����� $A:=A_\even\oplus A_\odd$,
 $B:=B_\even\oplus B_\odd$ -- ��������������
������������� �������. ��������� {\�� \���� ��������������
��������� ������������} $A\tilde\otimes B$ ��� $A\otimes B$
� ����������, �������� �� �������
$a\otimes b \cdot a' \otimes b' = (-1)^{\tilde b\tilde{a'}} aa' \otimes bb'$,
��� $\tilde x$ ���������� {\bf \blue ��������} $x$.

\������
{\�� \������ �������������� ��������� ������������ ������ ����������
������������� ������ �����} ��������� �����������:
\[ \Lambda^* V \tilde \otimes \Lambda^* W \cong \Lambda^*(V \oplus W)\]

\������
{\�� \��� �� �� � � ��������� ���������: }\\
\[ \Cl(V,g) \tilde\otimes \Cl(V',g') =\Cl(V\oplus V',g+ g'). \]

\�������

{\�� \���� �������������� ��������� ������������ � ������������}

{\�� \����� ����� (*):}
����� $A:=A_\even\oplus A_\odd$,
 $B:=B_\even\oplus B_\odd$ ��������������
������������� �������, ������ � $B$ ����������
������ ������� {\�� \���� 
("������������")} $\epsilon$ �� ���������� ����������:
$\epsilon^2=1$, $\epsilon b \epsilon = (-1)^{\tilde b} b$.
{\bf \red ����� $A\tilde\otimes B\cong A\otimes B$.}

\��������������
���������� ���������� $A' \subset A\tilde\otimes B$, �����������
���������� ���� $a \tilde\otimes \epsilon^{\tilde a}$,
� $B' = 1\otimes B\subset A\tilde\otimes B$.

����� 

1. {\bf \purple $A'\cong A$ ����������� � $B' \cong B$.}

2. {\bf \purple $A'\otimes B'= A\tilde\otimes B$ ��� ��������� ������������.}
\��������


\�����������
����� $A=A_\even\oplus A_\odd$ -- ��������������
�������. ���������� ����� ��������� $\bullet$ �� $A$,
$a \bullet a':= (-1)^{\tilde a \tilde a'} aa'$.
��������� ������������ ������� �� $A^\bot$.

\����������
{\bf \purple ��������, ��� $\Cl(V,g)^\bot= \Cl(V,-g)$.}


{\�� \����� ��������� (*):}
{\bf \red ���� � �������� ����� (*) �������� $\epsilon^2=1$
�� $\epsilon^2=-1$, �������, ��� 
 $A\tilde\otimes B\cong A^\bot \otimes B$.}

\newpage

{\�� \���� ���������� ������� ��������� ��� ����������� 1,2}

\�����������
��������� $\Cl(V,g)$ �� $\Cl(p,q)$, ����
$V$ -- ��������� ������������ ��� $\R$, � $g$ --
������������� ����� ��������� $(p,q)$.

\����������
��������, ���
$\Cl(1,0)=\R\oplus \R$, $\Cl(0,1)=\C$, $\Cl(0,2)={\Bbb H}$,
 
\�����������
 $\Cl(1,1)=\Mat(2, \R)$.

\��������������
����� $A$ -- ������� ������������� $\C:=\R^2$, �����������
$I:=\sqrt 1$ � ����������� ��������������� ���������� $H$.
{\�� \������ ����� $IH=-HI$, $I^2=-1$, $H^2=1$.} \��������

\�����������
$\Cl(2,0)=\Mat(2, \R)$,

\��������������
����� ������, ��� {\�� \������ $\Mat(2, \R)$ ��������� ���������
\[ \begin{pmatrix}
0 &1\\
1& 0
\end{pmatrix}, \ \ \begin{pmatrix}
1 &0\\
0& -1
\end{pmatrix}
\]
������� ��������������� � � �������� ����� 1.}

\newpage

{\�� \���� ��������� ������������}

\�����������
����� $V,g$ -- ��������������� ������������ ������������
� ������������� ������� $e_1, ..., e_n$, ��� $g(e_i, e_i) =\pm 1$.
{\�� \���� ��������� ������������} � $\Cl(V,g)$
���� $\epsilon:= e_1e_2e_3 ... e_n$.

\����������
��������, ��� $\epsilon e_i = (-1)^{n-1} e_i \epsilon$.

\����������
��������, ��� $\epsilon^2= (-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}2}(-1)^q$,
���� $g$ ����� ��������� $(p,q)$. 

\��������� 
\[
 \epsilon^2 = (-1)^{n(n-1)/2}(-1)^q = (-1)^{(p-q)(p-q-1)/2} =
\begin{cases}+1 & p-q \equiv 0,1 \mod{4}\\ -1 & p-q \equiv 2,3 \mod{4}.\end{cases}
\]

\newpage

{\�� \���� ������������� ����� ��� $\C$}

\��������� 
{\�� \������ $\Cl(p+m,q+m')\cong \Cl(p,q) \otimes \Cl(m,m')$
���� $m+m'$ �����, � $m-m' \equiv 0 \mod{4}$.}

\��������������
� $\Cl(m,m')$ ������������ $\epsilon$
������������� $\epsilon^2=1$ � ��������������� � ���������
����������, ��� ��������� ��������� ����� (*). ��������
���������� $\Cl(p,q) \otimes \Cl(m,m')\cong \Cl(p,q) \tilde\otimes \Cl(m,m')$.
������ ��������� $\Cl(V,g) \tilde\otimes \Cl(V',g') =\Cl(V\oplus V',g+ g')$.
\��������

\���������
��������� �� $A[i]$ ��������� ������������ $A \otimes \Mat(i,\R)\cong \Mat(i, A)$.
{\�� \������ ����� $\Cl(p+1,q+1) \cong \Cl(p,q)[2]$.}

\�������������� 
��������� ���������� ��������� � ����������
$\Cl(1,1)=\Mat(2, \R)$.
\��������

\�������
{\�� \���� (������������� ����� ��� $\C$)} \\
\[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\] ��� $V=\C^{2n}$
� \[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\oplus \Mat(2^n, \C)\] ��� 
$V=\C^{2n+1}$ ($g$ �������������).
\��������

\newpage

{\�� \���� ������������� ����� ��� $\R$}


\��������� 
$\Cl(p+m,q+m') \cong \Cl(q,p) \otimes \Cl(m,m')$
���� $m+m'$ �����, � $m-m' \equiv 2 \mod{4}$.

\��������������
1. � $\Cl(m,m')$ ������������ $\epsilon$
������������� $\epsilon^2=-1$ � ��������������� � ���������
����������, ��� ��������� ��������� ��������� (*), ������� ����������
$\Cl(p,q)^\bot  \otimes \Cl(m,m')\cong \Cl(p,q)\tilde\otimes \Cl(m,m')
\cong\Cl(p+m,q+m')$. ����� ���������� ������������ $\Cl(p,q)^\bot=\Cl(p,q)$.
\��������

\���������  
$\Cl(p+2,q)\cong \Cl(q,p)[2]$ � $\Cl(p,q+2)\cong \Cl(q,p)\otimes {\Bbb H}$

\�������������� 
��������� ���������� ��������� � ����������
$\Cl(2,0)=\Mat(2, \R)$, $\Cl(0,2)={\Bbb H}$  
\��������


\��������� 
������������� �� ������ 4:
� ���� ����������� ���������, ��������
$\Cl(p+4,q)\cong \Cl(q,p+2)[2]=\Cl(p,q) \otimes \Mat(2, {\Bbb H})$ 
� $\Cl(p,q+4)\cong \Cl(q+2,p)\otimes {\Bbb H}= 
\Cl(p,q) \otimes \Mat(2, {\Bbb H})$.

\newpage

{\�� \���� ������������� ����� ��� $\R$ (�����������)}

\���������
������������� �� ������ 8:
�� ����������� ${\Bbb H} \otimes_\R {\Bbb H} = \Mat(4, \R)$
� ����������� ��������� �������� $\Cl(p+8,q) = \Cl(p,q)[16]$,
$\Cl(p,q+8) = \Cl(p,q)[16]$.
\[
\rowcolors{1}{red!10}{blue!10} 
\begin{array}{||c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline\noalign{\smallskip}\hiderowcolors
& 1 & 2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 \\ \showrowcolors \noalign{\smallskip} \hline\noalign{\smallskip}
\Cl(i,0) &\R^2 & \R[2] & \C[2] & {\Bbb H}[2] & {\Bbb H}[2]\oplus {\Bbb H}[2]& 
{\Bbb H}[4] & \C[8] & \R[16]\\\noalign{\smallskip} \hline\noalign{\smallskip}
\Cl(0,i) &\C & {\Bbb H} & {\Bbb H}\oplus {\Bbb H} & {\Bbb H}[2] & 
\C[4]& \R[8] & \R[8]\oplus\R[8] &\R[16]\\ \hline
\end{array}
\]

\newpage

{\�� \���� ������������ $\Mat(V)$}

\�������
������ ������������� ������� $\Mat(V)$ ��������� 
$PGL(V)$ (������� ������ $GL(V)$ �� ������).

{\�� \����� ��������������. ��� 1:}
������ $PGL(V)$ ��������� �� $\Mat(V)$
�� ������� $g, A \arrow gA g^{-1}$.
{\bf \purple ��� ������ �������� $PGL(V) \stackrel \Psi \hookrightarrow\Aut(\Mat(V))$.}

{\�� \����� ��� 2:}
����� $\Pi_1, ..., \Pi_n\in \Mat(V)$ -- ����� ������� �������������,
������� ����������� ���������� ����� 1, ��� $n=\dim V$.
��������� {\�� \������ ������ $\Pi_i$ ������� ���������� � ��������� $V$,} 
����� ������� �����
$e_i \in \im \Pi_i$. �� $\{e_i\}$ �������� ������������
$\{\Pi_i\}$, � ���� ����� $GL(V)$ ��������� �����������
�� ��������� ���� �������, {\�� \��� 
$PGL(V)$ ��������� �����������
�� ��������� ������� $\{\Pi_i\}$.}

{\�� \����� ��� 3:}
��������, ��� 
��� �������������� $PGL(V) \stackrel \Psi \hookrightarrow\Aut(\Mat(V))$
{\bf \purple ���������� ��������, ��� ������ ����������� 
$\gamma\in \Aut(\Mat(V))$,
����������� ����� ���������� $\{\Pi_i\}$, �������� �����������} � 
������������ � ������ $\{e_i\}$ ��������.

\newpage

{\�� \���� ������������ $\Mat(V)$ (�����������)}

{\�� \����� ��� 4:}
$A\Pi_i =A$ ����� � ������ �����, ����� $\im A \subset \im P_i$,
� $\Pi_iA =A$ ����� � ������ �����, ����� $\ker A \supset \ker P_i$.
��� ������, ��� {\bf \purple $\gamma$ ��������� ������� $e_{ij}$ � ����������������
��, ��� ������ $i,j$.}\footnote{� $e_{ij}$ ����� 
������� �� ������ $(i,j)$, � ��������� ������� ����}

{\�� \����� ��� 5:} ������,
$\gamma$ ��������� ���������� $\Mat(n-1) \subset \Mat(n)$
��������� �� ������ $n-1$ ��������� ������.
���������������� ��������� �� $n$, ���������, 
��� {\�� \������ $\gamma$ ��������� �� $\Mat(n-1)$ 
����������� � ������������ ��������} $R$ 
�� $GL(\langle e_1, ..., e_{n-1}\rangle)\subset GL(V)$.


{\�� \����� ��� 6:}
����� $a_{ij}\in \C^*$ ������������ ��
����������� $a_{ij} e_{ij}:= \gamma(e_{ij})$.
������� $\gamma$ �� $R\gamma R^{-1}$, ����� ������������, ���
��� $a_{ij}=1$ ��� $i, j < n$. 
�� $a_{nj}a_{jk}=a_{nk}$ �������, ���
��� ������������ $a_{nk}$, $k<n$ ����� $\lambda$,
� �� $a_{nn}=1$ $a_{nk}a_{kn}=a_{nn}$, �������, ��� $a_{kn}=\lambda^{-1}$.
�������������, {\bf \red $\gamma$ ���������� �����������
� ������������ ��������} ����
{\small
\[ \begin{pmatrix}
1 &0&0 &\hdotsfor{0} &0&0&0\\
0&1 &0 &\hdotsfor{0} &0&0&0\\
0&0&0 &\hdotsfor{0} &0&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&
\ddots
&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&0 &\hdotsfor{0} &1&0&0\\
0&0&0 &\hdotsfor{0} &0&1&0\\
0&0&0 &\hdotsfor{0} &0&0&\lambda
\end{pmatrix}.
\]
}


\newpage

{\�� \���� ������������ 
�� ������������� ������������}


\�����������
��� �������������� ������������ $V$
������������ $\epsilon= e_1e_2 ... e_{2n+1}$ ����������� �
���������� �� ���������� $\Cl(V)$, ������, ����������
����������� $\Cl(V)$. ���� $V$ �����������,
������ ����� ������� ����� $\{e_i\}$ �����
�������, ��� $\epsilon^2=0$. ��� ������ ����������
� ����� ������ $\Cl(V)= \Cl^+(V) \oplus \Cl^-(V)$.

\�����������
{\�� \������ ������ �� ������ $\Cl^+(V)$, $\Cl^-(V)$
��������� ���������.}

\��������������
����������� �������� $\epsilon$, ������������
�� $\Cl(V)$, ����� $\pm1$, ��� ��� $\epsilon^2=1$.
� ������ �������, ����������� $V$, ��������������
��� �������� ������� �� ������, ��������� $\epsilon$ � $-\epsilon$,
������, ������ ����������� ������������, ���������������
$+1$ � $-1$. ������ �� ���� ����������� ���� ����������
� $\Cl(V)$. �� ��������, ��� {\�� \���
���������� $\Cl(V)=\Mat(2^n, \C) \oplus \Mat(2^n, \C)$
�������� ��������� $\epsilon$.}
\��������

\���������
����� $Z$ ������� $\Cl(V)$ ��������� � ���������
$\C \oplus \C$. ������ $O(V)$ ���������
�� $\Cl(V)$ � �� $Z$ ��������������; ��������� 
$\Aut(\C \oplus \C) = \Z/2\Z$, ��������, ���
{\�� \������ $O(V)$ ��������� $\epsilon$ � $\pm\epsilon$,
������ ������� ���������� $SO(V)$
��������� $\epsilon$.}

\��������� 
{\�� \��� $SO(V)$ ��������� �� $\Cl^+(V)$, $\Cl^-(V)$
��������������.}


\newpage

{\�� \���� ��������� ������ (����������� ������������)}

\�����������
����� $V=\C^{2n}$, - ��������� ������������ ���
$\C$ � ������������� ��������� �������������.
������ �� $SO(V)$ ��������� �� $\Cl(V)$ ��������������,
��� ������ �����������
\[ SO(V) \hookrightarrow \Aut(\Mat(2^n, \C))= PGL(2^n, \C)\]
� ���� �������, ���������� ����.

\�����������
(��� ������, 1913)
{\�� \���� ��������� �������������} ������� ��
$\goth{so}(V)$ ���� �� ������������� � $\C^{2^n}$
�������� ������������ $\goth{pgl}(2^n)= \goth{sl}(2^n)$.

\�����������
{\�� \���� ��������� ������} $\Spin(2n)$
���� �������� $SO(2n)$, ���������� ���������������
���������� �������������.

\newpage

{\�� \���� ��������� ������ (������������� ������������)}

\�����������
��� �������������� $V=\C^{2n+1}$, {\bf \blue $+$-��������� �������������
$\goth{so}(V)$ } ���� �������� $\goth{so}(V)$ � $\C^{2^n}$,
���������� �� ����������� $\Cl^+(V) = \Mat(2^n, \C)$
� $\Aut(\Mat(2^n, \C))= PGL(2^n,\C)$, $\goth{pgl}(2^n)= \goth{sl}(2^n)$.

\�����������
{\bf \blue $-$-��������� �������������
$\goth{so}(V)$ } ������������ ����������.

\����������� ��� �������������
{\�� \������ ����������� ���� � ������ ����������� �
����� ��������� $O(V) \backslash SO(V)$.}

\��������������
����� ������� ��������� $\epsilon$ � $-\epsilon$,
������, ������ ������� $\Cl^+(V)$ � $\Cl^-(V)$. \��������

\�����������
{\�� \���� ��������� ������} $\Spin(2n+1)$
���� �������� ������ $SO(2n+1)$, ���������� ���������������
$+$- ��� $-$-���������� �������������.

\��������� � ���� ����������� �����������,
��� ������������� ���������.


\end{document}

