\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \usepackage[table]{xcolor} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 13 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm] \small лекция 13: спиноры} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва \\[2mm] 21 марта 2011 } \end{center} \newpage \newcommand{\Cl}{\operatorname{{\cal C}\!\ell}} {\бф \блуе Алгебры Клиффорда} \определение Пусть $V, g$ -- векторное пространство над $k:= \C, \R$ с билинейной, симметричной 2-формой, а $\Cl(V,g)$ -- алгебра с единицей, полученная как фактор {\бф \блуе тензорной алгебры} $T^{\otimes} V:= k \oplus V \oplus V\otimes V \oplus ... \oplus T^{\otimes i} V$ по идеалу, порожденному $xy+ yx= g(x,y)$, где $x,y\in V$. Алгебра $\Cl(V, g)$ называется {\бф \blue алгеброй Клиффорда}. \пример Если $g=0$, $\Cl(V,g)$ есть алгебра Грассманна. \упражнение Рассмотрим фильтрацию $F_0\subset F_1 \subset F_2 \subset ... \subset T^{\otimes} V$, $F_i:=k \oplus V \oplus V\otimes V \oplus ... \oplus T^{\otimes i} V$, и пусть $C_0\subset C_1 \subset C_2 \subset ... \subset \Cl(V,g)$ -- соответствующая фильтрация на $\Cl(V,g)$. Докажите, что {\бф \пурпле присоединенная градуированная алгебра $\bigoplus_i C_i/C_{i-1}$ изоморфна алгебре Грассманна.} \следствие $\dim \Cl(V,g)= 2^{\dim V}$. \замечание Алгебра Клиффорда {\бф \блуе $\Z/2\Z$-градуированная}: $\Cl(V,g)= \Cl_\even(V,g)\oplus \Cl_\odd(V,g)$. \невпаге {\бф \блуе Градуированное тензорное произведение} \определение Пусть $A:=A_\even\oplus A_\odd$, $B:=B_\even\oplus B_\odd$ -- градуированные ассоциативные алгебры. Определим {\бф \блуе градуированное тензорное произведение} $A\tilde\otimes B$ как $A\otimes B$ с умножением, заданным по формуле $a\otimes b \cdot a' \otimes b' = (-1)^{\tilde b\tilde{a'}} aa' \otimes bb'$, где $\tilde x$ обозначает {\bf \blue четность} $x$. \пример {\бф \пурпле Градуированное тензорное произведение алгебр Грассманна соответствует прямой сумме} векторных пространств: \[ \Lambda^* V \tilde \otimes \Lambda^* W \cong \Lambda^*(V \oplus W)\] \пример {\бф \ред То же и с алгебрами Клиффорда: }\\ \[ \Cl(V,g) \tilde\otimes \Cl(V',g') =\Cl(V\oplus V',g+ g'). \] \невпаге {\бф \блуе Градуированное тензорное произведение и псевдоскаляр} {\бф \греен ЛЕММА (*):} Пусть $A:=A_\even\oplus A_\odd$, $B:=B_\even\oplus B_\odd$ градуированные ассоциативные алгебры, причем в $B$ содержится четный элемент {\бф \блуе ("псевдоскаляр")} $\epsilon$ со следующими свойствами: $\epsilon^2=1$, $\epsilon b \epsilon = (-1)^{\tilde b} b$. {\bf \red Тогда $A\tilde\otimes B\cong A\otimes B$.} \доказательство Рассмотрим подалгебру $A' \subset A\tilde\otimes B$, порожденную элементами вида $a \tilde\otimes \epsilon^{\tilde a}$, и $B' = 1\otimes B\subset A\tilde\otimes B$. Тогда 1. {\bf \purple $A'\cong A$ коммутирует с $B' \cong B$.} 2. {\bf \purple $A'\otimes B'= A\tilde\otimes B$ как векторное пространство.} \ендпрооф \определение Пусть $A=A_\even\oplus A_\odd$ -- градуированная алгебра. Рассмотрим новое умножение $\bullet$ на $A$, $a \bullet a':= (-1)^{\tilde a \tilde a'} aa'$. Обозначим получившуюся алгебру за $A^\bot$. \упражнение {\bf \purple Докажите, что $\Cl(V,g)^\bot= \Cl(V,-g)$.} {\бф \греен ЗАМЕЧАНИЕ (*):} {\bf \red Если в условиях Леммы (*) заменить $\epsilon^2=1$ на $\epsilon^2=-1$, получим, что $A\tilde\otimes B\cong A^\bot \otimes B$.} \newpage {\бф \блуе Вычисление алгебры Клиффорда для размерности 1,2} \определение Обозначим $\Cl(V,g)$ за $\Cl(p,q)$, если $V$ -- векторное пространство над $\R$, а $g$ -- невырожденная форма сигнатуры $(p,q)$. \упражнение Докажите, что $\Cl(1,0)=\R\oplus \R$, $\Cl(0,1)=\C$, $\Cl(0,2)={\Bbb H}$, \утверждение $\Cl(1,1)=\Mat(2, \R)$. \доказательство Пусть $A$ -- алгебра автоморфизмов $\C:=\R^2$, порожденная $I:=\sqrt 1$ и стандартной антикомплексной инволюцией $H$. {\бф \пурпле Тогда $IH=-HI$, $I^2=-1$, $H^2=1$.} \ендпрооф \утверждение $\Cl(2,0)=\Mat(2, \R)$, \доказательство Легко видеть, что {\бф \пурпле $\Mat(2, \R)$ порождена матрицами \[ \begin{pmatrix} 0 &1\\ 1& 0 \end{pmatrix}, \ \ \begin{pmatrix} 1 &0\\ 0& -1 \end{pmatrix} \] которые антикоммутируют и в квадрате равны 1.} \newpage {\бф \блуе Единичный псевдоскаляр} \определение Пусть $V,g$ -- ориентированное вещественное пространство с ортогональным базисом $e_1, ..., e_n$, где $g(e_i, e_i) =\pm 1$. {\бф \блуе Единичный псевдоскаляр} в $\Cl(V,g)$ есть $\epsilon:= e_1e_2e_3 ... e_n$. \упражнение Докажите, что $\epsilon e_i = (-1)^{n-1} e_i \epsilon$. \упражнение Докажите, что $\epsilon^2= (-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}2}(-1)^q$, если $g$ имеет сигнатуру $(p,q)$. \замечание \[ \epsilon^2 = (-1)^{n(n-1)/2}(-1)^q = (-1)^{(p-q)(p-q-1)/2} = \begin{cases}+1 & p-q \equiv 0,1 \mod{4}\\ -1 & p-q \equiv 2,3 \mod{4}.\end{cases} \] \newpage {\бф \блуе Периодичность Ботта над $\C$} \следствие {\бф \пурпле $\Cl(p+m,q+m')\cong \Cl(p,q) \otimes \Cl(m,m')$ если $m+m'$ четно, а $m-m' \equiv 0 \mod{4}$.} \доказательство В $\Cl(m,m')$ псевдоскаляр $\epsilon$ удовлетворяет $\epsilon^2=1$ и антикоммутирует с нечетными элементами, что позволяет применить Лемму (*). Получаем изоморфизм $\Cl(p,q) \otimes \Cl(m,m')\cong \Cl(p,q) \tilde\otimes \Cl(m,m')$. Дальше применяем $\Cl(V,g) \tilde\otimes \Cl(V',g') =\Cl(V\oplus V',g+ g')$. \ендпрооф \следствие Обозначим за $A[i]$ тензорное произведение $A \otimes \Mat(i,\R)\cong \Mat(i, A)$. {\бф \пурпле Тогда $\Cl(p+1,q+1) \cong \Cl(p,q)[2]$.} \доказательство Применяем предыдущее следствие и изоморфизм $\Cl(1,1)=\Mat(2, \R)$. \ендпрооф \теорема {\бф \блуе (периодичность Ботта над $\C$)} \\ \[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\] для $V=\C^{2n}$ и \[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\oplus \Mat(2^n, \C)\] для $V=\C^{2n+1}$ ($g$ невырожденная). \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Периодичность Ботта над $\R$} \следствие $\Cl(p+m,q+m') \cong \Cl(q,p) \otimes \Cl(m,m')$ если $m+m'$ четно, а $m-m' \equiv 2 \mod{4}$. \доказательство 1. В $\Cl(m,m')$ псевдоскаляр $\epsilon$ удовлетворяет $\epsilon^2=-1$ и антикоммутирует с нечетными элементами, что позволяет применить Замечание (*), получая изоморфизм $\Cl(p,q)^\bot \otimes \Cl(m,m')\cong \Cl(p,q)\tilde\otimes \Cl(m,m') \cong\Cl(p+m,q+m')$. Затем пользуемся изоморфизмом $\Cl(p,q)^\bot=\Cl(p,q)$. \ендпрооф \следствие $\Cl(p+2,q)\cong \Cl(q,p)[2]$ и $\Cl(p,q+2)\cong \Cl(q,p)\otimes {\Bbb H}$ \доказательство Применяем предыдущее следствие и изоморфизм $\Cl(2,0)=\Mat(2, \R)$, $\Cl(0,2)={\Bbb H}$ \ендпрооф \следствие Периодичность по модулю 4: в силу предыдущего следствия, получаем $\Cl(p+4,q)\cong \Cl(q,p+2)[2]=\Cl(p,q) \otimes \Mat(2, {\Bbb H})$ и $\Cl(p,q+4)\cong \Cl(q+2,p)\otimes {\Bbb H}= \Cl(p,q) \otimes \Mat(2, {\Bbb H})$. \newpage {\бф \блуе Периодичность Ботта над $\R$ (продолжение)} \следствие Периодичность по модулю 8: из изоморфизма ${\Bbb H} \otimes_\R {\Bbb H} = \Mat(4, \R)$ и предыдущего следствия обретаем $\Cl(p+8,q) = \Cl(p,q)[16]$, $\Cl(p,q+8) = \Cl(p,q)[16]$. \[ \rowcolors{1}{red!10}{blue!10} \begin{array}{||c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline\noalign{\smallskip}\hiderowcolors & 1 & 2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 \\ \showrowcolors \noalign{\smallskip} \hline\noalign{\smallskip} \Cl(i,0) &\R^2 & \R[2] & \C[2] & {\Bbb H}[2] & {\Bbb H}[2]\oplus {\Bbb H}[2]& {\Bbb H}[4] & \C[8] & \R[16]\\\noalign{\smallskip} \hline\noalign{\smallskip} \Cl(0,i) &\C & {\Bbb H} & {\Bbb H}\oplus {\Bbb H} & {\Bbb H}[2] & \C[4]& \R[8] & \R[8]\oplus\R[8] &\R[16]\\ \hline \end{array} \] \newpage {\бф \блуе Автоморфизмы $\Mat(V)$} \теорема Группа автоморфизмов алгебры $\Mat(V)$ изоморфна $PGL(V)$ (фактора группы $GL(V)$ по центру). {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Группа $PGL(V)$ действует на $\Mat(V)$ по формуле $g, A \arrow gA g^{-1}$. {\bf \purple Это задает вложение $PGL(V) \stackrel \Psi \hookrightarrow\Aut(\Mat(V))$.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $\Pi_1, ..., \Pi_n\in \Mat(V)$ -- набор попарно коммутирующих, линейно независимых проекторов ранга 1, где $n=\dim V$. Поскольку {\бф \пурпле образы $\Pi_i$ линейно независимы и порождают $V$,} можно выбрать базис $e_i \in \im \Pi_i$. По $\{e_i\}$ нетрудно восстановить $\{\Pi_i\}$, а коль скоро $GL(V)$ действует транзитивно на множестве всех базисов, {\бф \ред $PGL(V)$ действует транзитивно на множестве наборов $\{\Pi_i\}$.} {\бф \греен Шаг 3:} Получаем, что для сюрьективности $PGL(V) \stackrel \Psi \hookrightarrow\Aut(\Mat(V))$ {\bf \purple достаточно доказать, что каждый автоморфизм $\gamma\in \Aut(\Mat(V))$, сохраняющий набор проекторов $\{\Pi_i\}$, задается сопряжением} с диагональной в базисе $\{e_i\}$ матрицей. \newpage {\бф \блуе Автоморфизмы $\Mat(V)$ (продолжение)} {\бф \греен Шаг 4:} $A\Pi_i =A$ тогда и только тогда, когда $\im A \subset \im P_i$, а $\Pi_iA =A$ тогда и только тогда, когда $\ker A \supset \ker P_i$. Это значит, что {\bf \purple $\gamma$ переводит матрицу $e_{ij}$ в пропорциональную ей, для любого $i,j$.}\footnote{У $e_{ij}$ стоит единица на клетке $(i,j)$, в остальных клетках нули} {\бф \греен Шаг 5:} Значит, $\gamma$ сохраняет подалгебру $\Mat(n-1) \subset \Mat(n)$ натянутую на первые $n-1$ элементов базиса. Воспользовавшись индукцией по $n$, заключаем, что {\бф \пурпле $\gamma$ действует на $\Mat(n-1)$ сопряжением с диагональной матрицей} $R$ из $GL(\langle e_1, ..., e_{n-1}\rangle)\subset GL(V)$. {\бф \греен Шаг 6:} Пусть $a_{ij}\in \C^*$ определяется из соотношения $a_{ij} e_{ij}:= \gamma(e_{ij})$. Заменив $\gamma$ на $R\gamma R^{-1}$, можно предполагать, что что $a_{ij}=1$ для $i, j < n$. Из $a_{nj}a_{jk}=a_{nk}$ выводим, что все коэффициенты $a_{nk}$, $k