
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 12 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm]
\small лекция 12}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва
\\[2mm] 14 марта 2011
}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Скрученный дифференциал $d^c$  (повторение)}

\определение
{\бф \blue скрученный дифференциал} $d^c$ определяется
формулой $d^c:=I^{-1} d I$.

\утверждение
Пусть $(M,I)$ - комплексное многообразие.
Тогда  {\bf \blue  
$\6:= \frac{d + \1 d^c}2$, $\bar \6:= \frac{d - \1 d^c}2$
-- компоненты в разложении Ходжа $d$}: 
$\6= d^{1,0}$, $\bar\6= d^{0,1}$. 

\теорема 
Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие.
{\бф \ред Тогда следующие утверждения равносильны:}

1. $I$ интегрируемо.\ \ 2. $\6^2=0$.\ \ 
3. $\bar\6^2=0$.\ \ 
4. $dd^c =- d^c d$\ \ 
5. $dd^c= 2 \1 \6\bar\6$.

\невпаге

{\bf \blue Лемма Пуанкаре-Дольбо-Гротендика (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Полидиск} $D^n$ есть произведение дисков $D\subset \C$.

\теорема
{\бф \блуе (Лемма Пуанкаре-Дольбо-Гротендика)}\\
Пусть $\eta \in \Lambda^{q,p}(D^n)$ -- $\bar\6$-замкнутая
форма на полидиске, и $p>0$. Тогда $\eta$  $\bar\6$-точна.

\определение
Оператор $dd^c:\; \Lambda^{p,q}(M)\arrow \Lambda^{p+1,q+1}(M)$
называется {\бф \блуе плюрилапласиан}.

\определение
Форма $\eta\in \Lambda^{p,0}(M)$ называется
{\бф \блуе голоморфной}, если $\bar\6\eta=0$.

\newpage

{\bf \blue $dd^c$-лемма}

\теорема
Пусть $\eta$ - форма на компактном кэлеровом
многообразии, которая удовлетворяет какому-то из условий\\
1. $\eta$ -- точная (p,q)-форма. 2.  $\eta$ -- $d^c$-точная, $d$-замкнутая.
\\ 3. $\eta$ -- $\6$-точная, $\bar\6$-замкнутая.\\
{\бф \ред Тогда $\eta \in \im dd^c=\im \6\bar \6$.}

\определение
{\бф\блуе  Кэлеров класс} $[\omega]\in H^2(M)$ 
есть класс когомологий кэлеровой формы

\следствие
Если $\omega, \omega'$ -- две формы с одинаковым
кэлеровым классом, то $\omega' = \omega +dd^c \phi$
для какой-то функции $\phi$.

\замечание
Если $\phi$ такая функция, что $|dd^c\phi|_g <1$ везде на $M$,
то {\бф \пурпле $\omega +dd^c \phi$ -- тоже кэлерова форма.}

\следствие
$\ker dd^c=\const$ на компактном многообразии, значит,
многообразие кэлеровых метрик с заданным кэлеровым 
классом {\бф \ред отождествляется с открытым подмножеством в
$C^\infty M/\const$. }

\newpage

{\bf \blue Локальная $dd^c$-лемма}

\теорема
(локальная $dd^c$-лемма для (1,1)-форм)
Пусть $\eta$ - замкнутая (1,1)-форма на комплексном многообразии 
$(M,I)$, для которого верна лемма Пуанкаре и лемма
Пуанкаре-Дольбо-Гротендика. {\бф \ред Тогда $\eta$ (1,1)-точна:
$\eta=dd^c\phi$ для какой-то функции $\phi$.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
{\бф \пурпле В силу леммы Пуанкаре-Дольбо-Гротендика,
$\eta = \bar\6 \alpha$,} для какой-то формы $\alpha \in
\Lambda^{1,0}(M)$.

{\бф \греен Шаг 2:} В силу леммы Пуанкаре,
{\бф \пурпле любая замкнутая голоморфная (1,0)-форма точна.}

{\бф \греен Шаг 3:} Форма $\6\alpha$ голоморфна
в силу $\bar\6 \6\alpha = - \6\bar\6\alpha = \6 \eta$.

{\бф \греен Шаг 4:} В силу шагов 2-3, {\бф \пурпле $\6\alpha = \6\alpha'$
для какой-то голоморфной формы} $\alpha'\in\Lambda^{1,0}(M)$.

{\бф \греен Шаг 5:} Пусть $\alpha_1 = \alpha-\alpha'$.
Тогда $\bar\6\alpha_1 =\eta$, а $\6\alpha_1 =0$

{\бф \греен Шаг 6:} Снова применяя
Пуанкаре-Дольбо-Гротендика, получаем \\ $\6\psi=\alpha_1$.
{\бф \блуе Значит, $\eta=\bar\6\6\psi =dd^c\psi$,} где $\psi = \frac \1 2 \phi$
\endproof

\следствие {\бф \ред Локально, каждая кэлерова форма
имеет вид $dd^c\phi$.} 



\newpage



{\bf \blue Векторные расслоения (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Векторное расслоение} на гладком многообразии $М$
есть локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей.

\определение
{\бф \блуе Голоморфное векторное расслоение} на гладком многообразии $М$
есть локально тривиальный пучок $\calo_M$-модулей.

\определение
$B_{C^\infty}:=B \otimes_{\calo_M} C^\infty M$ 
называется {\бф\блуе гладкое векторное расслоение,
ассоциированное с голоморфным расслоением $B$.}

\замечание
Пусть $M$ -- комплексное многообразие. Тогда
{\бф \пурпле оператор $\bar\6:\; C^\infty M \arrow \Lambda^{0,1}(M)$
$\calo_M$-линейный}.

\определение
Пусть $B$ -- голоморфное расслоение.
Рассмотрим оператор 
$\bar\6:\; B_{C^\infty}\arrow B_{C^\infty}\otimes \Lambda^{0,1}(M)$,
переводящий $b\otimes f$ в $b\otimes \bar\6 f$, где
$b\in B$ голоморфное сечение, а $f$ гладкая функция.
Этот оператор зовется {\бф\блуе оператор голоморфной структуры}
на голоморфном расслоении.
{\бф \ред Он определен корректно в силу $\calo_M$-линейности $\bar\6$.}

\замечание
Ядро $\bar\6:\; B_{C^\infty}\arrow B_{C^\infty}\otimes \Lambda^{0,1}(M)$
{\bf \red совпадает с образом $B$} при естественном вложении
$B\hookrightarrow B_{C^\infty}$, $b \arrow b \otimes 1$.

\newpage

{\bf \blue Оператор голоморфной структуры (повторение)}

\определение
{\бф \блуе $\bar\6$-оператор} 
на гладком комплексном векторном расслоении $V$ над 
есть оператор $V \stackrel {\bar\6}\arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$,
удовлетворяющий $\bar\6(fb) = \bar\6(f)\otimes b + f\bar\6(b)$
для любых $f\in C^\infty M, b\in V$.

\замечание 
$\bar\6$-оператор {\бф \пурпле можно продолжить до 
\[ \bar\6:\; \Lambda^{0,i}(M)\otimes V \arrow \Lambda^{0,i+1}(M)\otimes V,\]
}
по формуле $\bar\6 (\eta \otimes b) = \bar\6(\eta)\otimes b + 
(-1)^{\tilde \eta}\eta\wedge\bar\6(b)$, 
где $b\in V$ и $\eta \in \Lambda^{0,i}(M)$.

\замечание
{\bf \purple Легко видеть, что $\bar\6^2=0$,} если $\bar\6$ -- оператор
голоморфной структуры на голоморфном расслоении $B$.

\теорема (Атья-Ботт)
Пусть $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$
-- $\bar\6$-оператор на комплексном векторном расслоении,
причем $\bar\6^2=0$. {\бф \ред Тогда $B:=\ker \bar\6\subset V$
есть голоморфное расслоение того же ранга, и $V=B_{\C^\infty}$.}

\замечание
Это нетривиальное утверждение
выводится из теоремы Ньюлендера-Ниренберга.

\замечание
Мы получили {\bf \purple эквивалентность категории голоморфных расслоений,
и категории гладких комплексных расслоений, снабженных
$\bar\6$-оператором $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$
таким, что $\bar\6^2=0$.}


\newpage

{\bf \blue Связность и голоморфная структура (повторение)}

\определение
Пусть $B$ -- гладкое комплексное расслоение 
со связностью $\nabla:\; V \arrow \Lambda^1(M)\otimes V$
и голоморфной структурой $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$.
Рассмотрим разложение $\nabla$ по типам,
$\nabla= \nabla^{0,1} + \nabla^{1,0}$, где
\[
\nabla^{0,1}:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V, \ \ \ 
\nabla^{1,0}:\; V \arrow \Lambda^{1,0}(M)\otimes V.
\]
Говорят что $\nabla$ {\бф \блуе совместима с голоморфной структурой},
если $\nabla^{0,1}=\bar\6$.

\определение
{\бф \блуе Эрмитово голоморфное расслоение}
есть гладкое комплексное расслоение, снабженное
эрмитовой метрикой и голоморфной структурой.

\определение
{\бф \блуе Связность Черна} на эрмитовом голоморфном
расслоении есть связность, совместимая с 
голоморфной структурой и сохраняющая метрику.

\теорема
На каждом голоморфном эрмитовом расслоении
{\бф \ред связность Черна существует и единственна.}

\newpage

{\bf \blue Кривизна связности (повторение)}

\определение
Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ -- связность
на гладком расслоении. Продолжим $\nabla$ до оператора на
формах
\[
V \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes V
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes V 
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes V \stackrel{\nabla}\arrow ...
\]
по формуле 
$\nabla(\eta \otimes b) = d\eta\otimes b + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$.
Тогда оператор $\nabla^2:\; B \arrow B\otimes \Lambda^{2}(M)$
называется {\бф\блуе кривизной} $\nabla$.

\замечание 
Из соотношения $\nabla \circ \nabla^2 = \nabla^2\circ \nabla$
следует  {\бф \блуе тождество Бианки}:
$\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$.

Если $B$ -- линейное расслоение, то $\End B$ тривиально,
и $\Theta_B$ есть 2-форма. 

\утверждение
{\бф \ред Кривизна линейного расслоения -- замкнутая 2-форма.}

\доказательство Для любой $2i$-формы $\theta$ имеем 
$\nabla(\theta \wedge \eta) = d\theta \wedge \eta +
\theta \wedge \nabla(\eta)$ (правило Лейбница). Тождество
Бьянки дает $\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$.
Следовательно, $d\Theta_B=0$. \ендпрооф

\определение
Класс когомологий $\frac{\1}{2\pi}[\Theta_B]$
называется {\бф \блуе первым классом Черна} линейного расслоения.

\newpage

{\bf \blue Кривизна связности Черна (повторение)}

\утверждение
{\бф \ред Кривизна $\Theta_B$ связности Черна есть (1,1)-форма.}

\следствие
Для связности Черна $\nabla$, имеем
$\Theta_B= \{\nabla^{1,0}, \bar\6\}$.

\следствие
{\бф \ред Кривизна линейного голоморфного расслоения - 
замкнутая (1,1)-форма.}

\замечание
Пусть $L$ -- линейное расслоение, $b \in L$ -- 
нигде не зануляющееся голоморфное сечение.
{\бф \пурпле Тогда существует $(1,0)$-форма $\eta$ такая, что
$\nabla^{1,0} b=\eta\otimes b$.} Это дает
$d|b|^2= \Re g(\nabla^{1,0} b, b) = \Re\eta|b|^2$.
{\бф \ред Мы получили $\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b=
2\6\log|b| b.$}

\замечание 
Пусть $B$ -- линейное эрмитово расслоение, а 
$b$ - незануляющееся голоморфное сечение. Тогда 
$\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b=
2\6\log|b| b$, что дает $\Theta_B(b)= 2\bar\6\6\log|b| b$,
{\бф \пурпле то есть $\Theta_B = -2 \6\bar\6\log|b|$}.

\следствие
Если $g' = e^{2f} g$ -- две метрики на голоморфном  линейном 
расслоении, а $\Theta, \Theta'$ -- соответствующая
кривизна, то {\бф \пурпле $\Theta' - \Theta = -2 \6\bar\6
f=\1 dd^c f$.}


\невпаге

{\бф \блуе Первый класс Черна}

\замечание
Пусть $B$ -- линейное расслоение на многообразии,
$U_\alpha$ -- его покрытие, на котором $B$ тривиализовано,
а $\phi_{\alpha\beta}$ -- функции перехода, определенные
на $U_\alpha \cap U_\beta$. На пересечении
$U_\alpha \cap U_\beta\cap U_\gamma$ имеем
$\phi_{\alpha\beta}\phi_{\beta\gamma}=
\phi_{\alpha\gamma}$
то есть {\бф \пурпле $B$ задает $(C^\infty M)^*$-значный
1-коцикл.}

\утверждение {\bf \red Классы изоморфизма расслоений
взаимно однозначно соответствуют  $H^1(M, (C^\infty
M)^*)$.}

\замечание
Из экспоненциальной точной последовательности
\[ 
0 \arrow \Z_M \arrow C^\infty M \arrow (C^\infty M)^* \arrow 0,
\] 
{\бф \пурпле получаем 
$0 \arrow H^1(M, (C^\infty M)^*) \stackrel {c_1^\Z}\arrow H^2(M, \Z) \arrow 0$.}

\замечание Из определения ясно, что
{\bf \purple комплексное линейное расслоение топологически тривиально
$\Leftrightarrow$ $c_1^\Z(B)=0$.}


\невпаге

{\бф \блуе Первый класс Черна (продолжение)}

\теорема
(Гаусс-Бонне)\\
При естественном отображении \[ H^2(M, \Z)\arrow H^2(M, \R)\]
класс $c_1^\Z(B)\in H^2(M, \Z)$
{\бф \ред переходит в класса Черна $c_1(B)\in H^2(M,\R)$,
выраженный через кривизну.}


\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\определение
Пусть $(M,I, \omega)$ -- $n$-мерное  кэлерово многообразие,
а $K(M):= \Lambda^{n,0}(M)$ -- его {\бф \блуе каноническое
расслоение}, с естественной голоморфной структурой, заданной
оператором $\bar\6:\; \Lambda^{n,0}(M)\arrow
\Lambda^{n,1}(M)=\Lambda^{n,0}(M)\otimes \Lambda^{0,1}(M)$.


\определение
{\бф \блуе Первый класс Черна комплексного $n$-мерного
многообразия} есть $c_1(M):= c_1(\Lambda^{n,0}(M))$.

\определение
{\бф \блуе Многообразие Калаби-Яу} есть компактное
кэлерово многообразие с $c_1^\Z(M)=0$.

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Калаби-Яу}

\замечание
Если задана вещественная $(1,1)$-форма
$\eta$, ей соответствует симметрическая 
2-форма $g_\eta (x,y)= \eta(x, Iy)$.
{\bf \purple Это задает биекцию между
вещественными $(1,1)$-формами и 
$I$-инвариантными симметрическими 
2-формами}.

\определение
Зададим на каноническом расслоении эрмитову метрику
по формуле 
\[ (\alpha, \alpha') \arrow \frac{\alpha\wedge \bar
\alpha'}{\omega^n}.
\]
и пусть  $\Theta_K$ -- кривизна соответствующей
связности Черна. {\бф \блуе Кривизна Риччи $M$}
есть симметрическая 2-форма $\Ric(x,y)= \Theta_K(x, Iy)$.

\определение
Метрика называется {\бф \блуе риччи-плоской}, если
ее кривизна Риччи равна нулю.

\теорема
(Калаби-Яу) 
Пусть $(M,I)$ -- многообразие Калаби-Яу. {\bf \red Тогда
существует единственная риччи-плоская кэлерова метрика
в каждом кэлеровом классе.}


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Калаби-Яу и уравнение Монжа-Ампера}


\определение
\[
(\omega+ dd^c \phi)^n = A e^f \omega^n,
\]
(вещественная функция 
$f$ дана, $\phi$ неизвестная вещественная функция, $A$ константа)
называется {\бф \блуе комплексное 
уравнение Монжа-Ампера}.

\теорема
(Калаби-Яу) Пусть $(M, \omega)$ -- компактное
$n$-мерное кэлерово многообразие, а $f$ -- гладкая
функция.  Тогда {\бф \ред существует единственная
с точностью до константы $\phi$} такая, что
$(\omega+ dd^c \phi)^n = A e^f \omega^n,$
где $A$ -- положительная константа,
полученная из формулы 
 $\int_M A e^f \omega^n= \int_M \omega^n$.

\замечание
Это {\бф \ред чрезвычайно трудная} теорема.

\утверждение
Теорема Калаби-Яу про риччи-плоские метрики
{\бф \пурпле легко вытекает} из существование и единственности
решений комплексного Монжа-Ампера.

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Калаби-Яу и уравнение Монжа-Ампера
(продолжение)}


\замечание
Пусть $(M, \omega)$ -- $n$-мерное кэлерово многообразие, а
$\Omega$ нигде не зануляющеся сечение $K(M)$. Тогда
 $|\Omega|^2 = \frac{\Omega\wedge \bar \Omega}{\omega^n}$.
Если $\omega_1$ -- другая кэлерова метрика на$(M,I)$, 
а $h, h_1$ соответствующие метрики на $K(M)$, то
$\frac {h} {h_1}= \frac {\omega_1^n}{\omega^n}$.

\утверждение
Метрика 
$\omega_1= \omega+dd^c\phi$ {\bf \red риччи-плоская
тогда и только тогда, когда
$(\omega+dd^c\phi)^n = \omega^n e^f$,} 
где $dd^c f= -\1\Theta_{K,\omega}$.

\доказательство
Поскольку $|\Omega|^2_{\omega}=
\frac{\Omega\wedge\bar\Omega}{\omega^n}$,
имеем $\frac{h} {h_1}=
\frac{(\omega+dd^c\phi)^n}{\omega^n}$. 
По формуле для кривизны
связности Черна, получаем
\[
 \Theta_{K,\omega_1}= \Theta_{K,\omega}+ \1dd^c\log\frac {h} {h_1}.
\]
Значит, $\Theta_{K,\omega_1}=0$ тогда и только тогда,
когда $dd^c \log\frac {h} {h_1}= \1\Theta_{K,\omega}$.
\endproof

\невпаге

{\бф \блуе Положительные формы}


\определение Пусть $M$ - $n$-мерное эрмитово многообразие.
$(k,k)$-форма $\eta$ называется {\бф \блуе  положительной},
если $\eta(\zeta_1, I(\zeta_1), ..., \zeta_{k}, I(\zeta_{k}))\geq 0$
для любого набора $k$ векторов $\zeta_i \in TM$. Если 
это неравенство строгое, $\eta$ называется 
{\бф \блуе строго положительной}.

\замечание Оператор $*$ {\бф \пурпле переводит положительные
$(1,1)$-формы в положительные $(n-1,n-1)$-формы}
(и наоборот). 

\теорема
{\бф \ред Каждая строго положительная форма является
$n-1$-й степенью эрмитовой.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} 
Пусть $\eta$ есть положительная $(n-1,n-1)$-форма,
причем собственные значения эрмитовой формы $*\eta$ 
равны $\alpha_1, ..., \alpha_n$ в ортонормированном
базисе $\zeta_1, ..., \zeta_n\in \Lambda^{1,0}M$. Тогда
\[ \eta = (-\1)^{n-1}\sum_{i=1}^n \alpha_i 
\zeta_1\wedge \bar \zeta_1\wedge \zeta_2\wedge \bar \zeta_2\wedge
...\wedge \check \zeta_i\wedge \check{\bar \zeta}_i \wedge ... \wedge
\zeta_n\wedge \bar \zeta_n,\]
где галочка обозначает выкидывание вектора. 

\невпаге

{\бф \блуе Положительные формы (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 2:} Имеем
$\eta = \omega^{n-1}$, если
$\omega= \sum_{i=1}^n\beta_i \zeta_i\wedge {\bar
\zeta}_i$, а $\frac{\prod_j\beta_j}{\beta_i} =
\alpha_i$. Осталось найти $\beta_i$, которые
будут удовлетворять этому соотношению.

{\бф \греен Шаг 3:} Логарифмируя, получаем
систему линейных уравнений
\[
\log \alpha_i = \sum_j \log\beta_j - \log\beta_i
\]
соответствующая матрица имеет вид
\[ \begin{pmatrix}
0 &1&1 &\hdotsfor{1} &1&1&1\\
1&0 &1 &\hdotsfor{1} &1&1&1\\
1&1&1 &\hdotsfor{1} &1&1&1\\
\vdots&\vdots&\vdots&
\ddots
&\vdots&\vdots&\vdots\\
1&1&1 &\hdotsfor{1} &0&1&1\\
1&1&1 &\hdotsfor{1} &1&0&1\\
1&1&1 &\hdotsfor{1} &1&1&0
\end{pmatrix}.
\]
и очевидно невырождена.
\endproof


\замечание Сумма положительных форм положительна.
Произведение кэлеровых форм тоже положительно.


\невпаге

{\бф \блуе Единственность решений комплексного
уравнения Монжа-Ампера}

\предложение (Калаби)
На компактном кэлеровом многообразии
{\bf \red комплексное уравнение Монжа-Ампера имеет
не более одного решения,} с точностью до константы.

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
Пусть $\omega_1, \omega_2$ -- решения
Монжа-Ампера, $\omega_2= \omega_1 + dd^c \phi$.
Тогда
\[
0 = \omega_2^n - \omega_1^n= 
dd^c \phi\wedge \sum_{i=0}^{n-1}\omega_1^i \wedge\omega_2^{n-1-i}.
\]

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть 
$P:=\sum_{i=0}^{n-1}\omega_1^i \wedge\omega_2^{n-1-i}$.
Это положительная $(n-1, n-1)$-форма, значит, 
$P= \omega_3^{n-1}$.


{\бф \греен Шаг 3:} Простое вычисление дает
$\6\psi \wedge\bar\6\psi\wedge \omega_3^{n-1} = n^{-1}|d\psi|^2\omega_3^n$,
для любой вещественной функции $\psi$ на $M$.


{\бф \греен Шаг 4:} Формула Стокса:
\[
0 = \int_M \phi \wedge\6 \bar\6\phi\wedge P=
- \int_M \6\phi \wedge\bar\6 \phi\wedge P = - \int_M  |\6\phi|_3^2\omega_3^n.
\]
Значит, $|\6\phi|=0$ всюду.
\endproof



\end{document}

