
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\��������{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small ����������� ���������, ������ 11 \hfil
  \tiny ���� ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ����������� ������������, \\[15mm]
\small ������ 11}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ��������� } 
\\[20mm]

{\tiny\bf ���/���, ������
\\[2mm] 28 fevralya 2011
}
\end{center}


\newpage

{\�� \���� ����������� ���������}

\����������� 
{\�� \���� ����������� ����������} �� ������������ ���������
������������ $V$ ���������� �����������
$I\in \End(V)$, ��������������� $I^2=-\Id_V$. 


\���������
��������� $I$ �� ������� �������� 
$I(\alpha\otimes \beta \otimes \gamma ...)= I(\alpha)\otimes 
I(\beta) \otimes I(\gamma) ...$
{\�� \������ ������, ����������� $I$, ��������� $\Z/4\Z$.}
�������, ��� ������ ������� $t$, �����
$t+ I(t) + I^2(t) + I^3(t)$ �����������
������������ $I$.

\��������� 
���� $g$ -- ������������ ������������ ���������
������������ �� $V$, �� $g_I:=g+I(g)+ I^2(G) + I^3(g)$ 
���� ������������ ���������� � $I$-�����������:
$I(g_I)=I$. ������� �������, {\�� \��� $I$ -- �������������
�������� ������������ $g_I$.}

\�����������
������������ ������������ ��������� ������������,
� ������� $I$ ������������, ���������� {\�� \���� ���������
��������} �� $(V,I)$. �� ������  ��� ��������,
��� ��� ������ ����������.

\����������
��������, ��� $g+I(g)$ $I$-����������� ��� ������
������� �������.

\newpage

{\�� \���� ����������� ��������� (�����������)}


\���������
��� ����������� �������� $I$ ������� (�� ����
$I$ {\�� \��� ���������}, ������� �������, ���������������). � ����� ����,
{\�� \���� ����� ������������� �������� ���������.}

\��������� ����� $\alpha$ -- ����������� �������� $I$.
��������� $\alpha^2=-1$, ����� $\alpha=\pm \1$.

\�����������
����������� ������������ $I$, ��������������� $\1$,
������������ $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$, � ��������������� $-\1$
������������ $V^{0,1}$. ��������, $V\otimes_\R \C=V^{1,0}\oplus V^{0,1}$.

\��������� 
���������, � ���� ��, $I$ ������������, ��������,
��� $\overline{V^{1,0}} = V^{0,1}$. 
� ���������, ��� ������������ ���������� �����������.

\����������
��������, ��� ������������ �������� $V^{1,0}$ �� $V$ ����� $V^{0,1}$
������ ���������� ������������ ����������� $V^{0,1}\arrow V$.

\����������
��������, ��� �������� ����������� ���������
{\�� \��� ���������� �������� ����������������
$V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$
���������� �����������,} ������� ��
������������ � $V\subset V\otimes_\R \C$.

\newpage

{\�� \���� �������� �����}

\�����������
{\�� \���� �������� ������������} $(V,I,g)$
���� ������������, ���������� ����������� ���������� $I$
� ��������� �������� $g$.

\���������
����� $I$ -- �������� ����������� ���������
�� ������������ ������������ $V$, � $g$ -- �������� �������.
���������� ���������� ����� $\omega(x,y) = g(x, Iy)$.
����� $\omega(x,y) = g(x, Iy) = g(Ix, I^2y) = -g(Ix, y) = -\omega(y, x)$.
������� {\�� \blue $\omega$  ���������������}.

\�����������
����� $\omega$ ���������� {\�� \���� ��������� ������} �� 
��������� ������������ $(V,I, g)$

\����������
��������, ��� � ������ $I, g, \omega$, {\�� \������ ������ ������
���������� ����� ��������� ���.}

\�������

{\bf \blue ���������� �����}

��������� �� $\Lambda^* V$ ����������� �������,
����������� $V$. 

\���������� 
���������, ��� $\Lambda^*(V \oplus W)$ ���������
��� ��������� ������������ $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W$.
���������� $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W \arrow \Lambda^*(V \oplus W)$ 
�������� ������������ $x\otimes y \arrow x\wedge y$.

\�����������
����� $(V,I)$ -- ������������, ���������� ����������� ����������,
� $V_\C:= V\otimes_\R \C$ ��� ����������������. �����
$\Lambda^* V_\C \cong (\Lambda^*V^{1,0})\otimes (\Lambda^*V^{0,1})$.
���������� ����������
$\Lambda^* V_\C \cong \bigoplus_{p,q}\Lambda^{p,q} V_\C $,
��� $\Lambda^{p,q} V_\C = \Lambda^pV^{1,0}\bigwedge \Lambda^qV^{0,1}$
��� ���������� {\�� \���� ����������� �����}.

\���������
����������� ��������� �� $V$ {\bf \blue ���������� ������ �����������
��������� �� $V^*$ (� ��������). }

%\���������
%����� $\omega\in \Lambda^2 V^*$ -- �������� �����
%�� ������������ $(V,I, g)$. {\�� \��� ����� 
%$\omega \in \Lambda^{1,1} V_\C^*$.}
%� ����� ����, ��� $x, y \in V^{1,0}$,
%����� \[\omega(x,y)=\omega(Ix, Iy)= \1^2 \omega(x,y)=-\omega(x,y),\]
%������, $\omega(x,y)=0$, � �� ��� �� �������
%$\omega(x,y)=0$ ��� $x, y \in V^{0,1}$.
%������� {\�� \������ $\omega$ ��������� $(0,1)$-�������
%� $(1,0)$-���������}, � ������, ����� � 
%$\Lambda^1{V^*}^{1,0}\bigwedge \Lambda^1{V^*}^{0,1}=\Lambda^{1,1} V_\C^*$.

\����������
����� ��, ��� ����� $(p,p)$-����� $I$-�����������?
����� ��, ��� ����� $I$-������������
����� ����� ��� $(p,p)$?


\�������

{\bf \blue ����� ����������� ������������}

\�����������
{\�� \���� ����� ����������� ���������} �� ������������ $�$
���� �������� $I\in \End TM$ � ������������� ������������
����������, ��������������� $I^2=-\Id_{TM}$. 

\������
������� $\C^n$, � ������������ ������������ $z_i = x_i + \1 y_i$.
����� $I(x_i) = y_i$, $I(y_i) = - x_i$ -- �����
����������� ���������.

\�����������
{\�� \blue ���������� �����} �� ����������������
������ ������������ $\Lambda^*(M) = \bigoplus_{p,q} \Lambda^{p,q}(M)$,
������ $\Lambda^{p,q}(M) = \Lambda^{p,0}(M) \bigwedge
\Lambda^{0,q}(M)$.

\�����������
������� $f:\; M \arrow \C$ ��
����� ����������� ������������ ����������
{\��\���� �����������}, ���� $df \in \Lambda^{1,0}(M)$.

\�����������
����� $(M, I_M)$ � $(N, I_N)$ -- ����� �����������
������������, � $f:\; M \arrow N$ -- �������
�����������. ��� ���������� {\��\���� �����������},
���� $f^*(\Lambda^{1,0}(N))\subset \Lambda^{1,0}(M)$.

\����������
{\�� \������ 
��������, ��� ��� ������������ ����, ��� $df:\; T_x M \arrow T_{f(x)}N$ 
����������-�������}.


\�������

{\bf \blue ����� ����������� ������������ (����������)}


\���������� 
��������, ��� {\�� \��� ����� ����������� ������� �� $\C^n$ ����������
���������������.}

\����������
����� ������ �������� ������������
$M\subset \C^m, N \subset \C^n$, � $f:\; M \arrow N$ --
������� �����������. �����������, ��� ��� �����
����������� ������� �� $N$, ���������������
������� $f^* \phi$ ���������� �� $M$.
{\�� \������ ��������, ��� $f$ -- ����������� �����������.}


\�������

{\bf \blue �����}

\����������� 
��������� �� $C(U)$ ������ ���� ������� (�� ����������
� $\C$ ��� $\R$) �� $U$.
{\��\���� ����� �������} ${\cal F}$ �� �������������� 
������������ $M$ -- ��� ����� ���������
����������� ${\cal F}(U)\subset C(U)$ ("{\�� \���� ����������� �������
${\cal F}$ ��� $U$}"), �������� ��� ������� ���������
������������ $U\subset M$, �����, ��� ������������
����������� ����������� ��������� ������� ${\cal F}$ �  
�������, ������� �����������
${\cal F}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal F}(U')$
��� ������� $U'\subset U$, ������ ����� ���������
{\�� \���� ������� �������}:

(*)  ����� $\{U_i\}$ -- �������� 
��������� $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$
����� �������, �������� ��� ������� ��������
��������, � ��������������� �������\\ 
$f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j},$
��� ����� ���� ��������� ��������. {\��\������  �����
���������� $f\in {\cal F}(U)$ �����, ��� �����������
$f$ �� $U_i$ ���� $f_i$.}

\������
����� $M$ -- ������� ������������, �
$C^\infty_c U$ -- ������������ ������� 
$M$ ��� $U$ � ���������� ���������. 
{\bf \purple ��������, ��� ${\cal F}(U) := (C^\infty_c U)^*$ -- �����.}

\�������

{\bf \blue ����������� ������������}

\�����������
{\�� \���� ����� ����� �������} ���� ����� 
$U \arrow {\cal F}(U)$ �����, ��� ������ ${\cal F}(U)\subset C(U)$ 
�������� ������������ ���������.

\�����������
{\�� \���� ������������� ��������� ������������} ���� 
�������������� ������������ � �������� �� ��� ������ ����� �������.

\������ 
{\�� \������ �������� ��� $B\subset \C^n$ � ������ $\calo_B$
����������� ������� �������� ������������� �������������.}


\�����������
{\�� \���� ����������� ������������} $(M, \calo_M)$ ���� �������������
������������ � ������� ������� $\calo_M$, ������� {\�� \������ 
�������� ��������� (���
������������� ��������� ������������)} ��������� ���� 
$(B, \calo_B)$.

\�����������
{\�� \���� �������� ����������� ������������} ���� �����������
����������� ������������, ������� ��������� �����������
������� � �����������. ����� ����������� ����������
{\�� \���� ������������} ��� {\�� \���� ����������-��������������}.


\����������
��������, ��� ����������� ������������
����� ����� �� �������� �����������, �������
����������� �������� ����� � $\C^n$, � {\�� \��� �������
�������� ����������. }

\�������

{\bf \blue ��������������� ����� ����������� ������������}


\�����������
����� $(M, I)$ --  
����� ����������� ������������,
� $\calo_M$ ����� ����������� ������� �� ���. 
��� ���������� {\�� \���� �������������},
���� $(M, \calo_M)$ -- ����������� ������������.

\���������
{\�� \��� ����� ����������� ��������� �����������������
�� ����������� ��������� �� $M$ ��������� �������.}

(1) ���������� {\�� \������
���������� $\Lambda^{1,0}(M)\subset \Lambda^1(M, \C)$, 
����������� ��������������� ����������� �������, }
� ����� $\Lambda^{0,1}(M) := \overline{\Lambda^{1,0}(M)}$.

(2) ��������� $I\in \End(\Lambda^1 M\otimes \C)$
����� �������, ��� $I\restrict \Lambda^{1,0}(M)=\1$ � 
$I\restrict \Lambda^{0,1}(M)=-\1$. {\�� \������ ��������, $I^2 = -\Id$.}

(3) ���� ����������� ������������, ��������� $\bar I=I$
� ���� ��� �����������. ������� {\�� \������ �� ��������� $\Lambda^1 (M, \R)$
� ����.}

�� �������� ������� �� ���������
����������� ������������ � ��������� ����� �����������.

\������
��������, ��� ���� ������� {\�� \���� �������} (���������� ��
��������� ��������� �� ������� � ������). ��������, ��� �� {\�� \���� ������}
(����������� �� ��������� ���������).

\�������

{\bf \blue ������� ����������-����������}

\���������� ��������, ���
�� ����������� ������������,
{\�� \������ ���������� ��������� ����� ���� $(1,0)$ �����
��� $(1,0)$: \[ [T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M.\]}

\�����������
����� ����������� ������������ ����������
{\�� \���� ��������� �������������}, ����
$[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$

\�������
(Newlander-Nirenberg) {\�� \��� ��������� �������������
����� ����������� ������������ ��������� $C^2$
������������.}


\newpage

{\�� \���� ���������} 

\���������
{\�� \������ ������������ ������� ����������
���������� $B$ �� ������� ������������ ������������ $B$.}

\�����������
{\�� \���� ���������} �� ��������� ���������� $B$
���� ����������� $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$
��������������� $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$
��� �����  $b\in B$, $f\in C^\infty M$.

\���������
���� $X\in TM$ -- ��������� ����, $b\in B$, �� 
{\�� \������ $\nabla_X b$ -- ������� $B$, ���������� 
��� $\langle\nabla b, X\rangle$.}

\���������
��� ������ ���������� ����������
${\cal B}_1:=
B^*\otimes B^* \otimes ... \otimes B^* \otimes B\otimes B \otimes ... \otimes B$
{\bf \������ ��������� �� $B$ ���������� ��������� �� ${\cal B}_1$}
�� {\�� \���� ������� ��������:}
\[
\nabla(b_1 \otimes b_2) = \nabla(b_1) \otimes b_2 + b_1 \otimes \nabla(b_2).
\]

\�������

{\�� \���� ��������}

\����������� 
����� $\nabla$ -- ��������� �� $\Lambda^1M$, 
\[ \Lambda^1 \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\]
 {\��\���� �������� $\nabla$} 
�������� �������� $T_\nabla:=\Alt \circ \nabla - d$,
��� \[ \Alt:\;  \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M\]
-- ������� ���������. �������� ���� �����������
$T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$.

\����������
��������, ��� {\�� \��� �������� ��� ������} 
(�� ���� $C^\infty$-�������� �����������). 

\����������
��������, ��� �������� $\Lambda^2 TM \arrow TM$, �������� ���
\[ \nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]\] -- {\�� \��� ���� ������, ������ 
������ �����������, ������������ � $T_\nabla$.}


\newpage

{\bf \blue ��������� ����-������}

\�����������
��������� �� ��������� ������������ $(M,g)$ ����������
{\�� \���� �������������}, ���� $\nabla(g)=0$,
� {\�� \���� ���������� ����-������}, ���� ��� 
������������ � ��� ��������.

\����������
����� $B$ -- ���������� � ��������. {\�� \��� ��������, ���
�� $B$ ������ ���������� ������������� ���������.}

\�������
("�������� ������� ���������������� ���������")
������ �������� ������������ {\�� \��� 
��������� ��������� ����-������, � ��� �����������.
}

\���������� �������� ��������������.

\newpage

{\bf \blue ��������� ����-������ �� ��������� ������������}



\�������
����� $(M,I,g)$ -- ����� ����������� ��������
������������. {\�� \������ ����� ��������� ������� ��������������:}

(i) {\bf \red ����������� ��������� $I$ ������������, � 
�������� ����� $\omega$ ��������.}

(ii) {\bf \red $\nabla(I)=0$,} ��� $\nabla$ ���� ���������
����-������.

\���������� �������� (i) �� (ii).

\�����������
����� ����������� �������� ������������,
��������������� �������� (i) ��� (ii),
���������� {\��\���� ���������}.


\���������� ��������, ��� ����������� ��������������� ��������
������������ -- {\�� \������ ����� ��������.}

\newpage

{\bf \blue �������������� �������� ������������}


\�����������
{\�� \���� �������������� ������������} ���� �������� ������������ $M$,
���������� ������� ��������� $i_x$, ��� ����� �����
 $x\in M$. ��� ���� $i_x$ ��������� $x$, � �������� ����
������������� ��������������, � �� $T_xM$
��������� ��� $-1$. 

\�����������
�������� ����������� ������������ ����������
{\��\���� �������������� ���������}, ���� ��� �������������� ��� ��������
������������, � ��������� $i_x$ ����������.

\���������� {\�� \������ ��������, ��� $\C P^n$ ��������
�������������� ��������� �������������.}

\����������
��������, ��� {\�� \��� ����� �������������� ��������
������������ -- ��������.} 

\�������

{\bf \blue �������� ���������}

\�����������
����� $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ ���������
�� ������� ����������. ��������� $\nabla$ �� ��������� ��
������
\[
B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes B
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes B 
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow ...
\]
�� ������� 
$\nabla(\eta \otimes b) = 
d\eta\otimes b + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$.
����� �������� $\nabla^2:\; B \arrow B\otimes \Lambda^{2}(M)$
���������� {\��\���� ���������} $\nabla$.

\���������� ��������, ��� ��� �����������
$C^\infty$-�������.

\��������� {\�� \��� �� ����� �������������
�������� $B$ ��� 2-����� �� ���������� � $\End B$.} �����
$\nabla^2 := \Theta_B \in \Lambda^2 M \otimes \End B$,
��� $\nabla^2(\eta \otimes b) = \Theta_B \wedge \eta
\otimes b$, ������ $\End B$-���������� $\Theta_B$
��������� �� $b$ ��� ������� ����.


\����������
���� $B$ -- �������� (����������) ����������, �� $\End B$ ����������,
� $\Theta_B$ ���� 2-�����.  {\�� \��� ��������, ��� ��� ����� ��������.}


\����������
����� $X,Y$ -- ��������� ����. ��������, ���
�������� 
\[ \nabla_X \nabla_Y - \nabla_Y\nabla_X - \nabla_{[X,Y]}:\; B \arrow B\] 
-- 
$C^\infty$-��������. {\bf \red ��������, ��� 
\[ \Theta_B(X,Y)(v) = \nabla_X \nabla_Y(v) - \nabla_Y\nabla_X(v) - 
   \nabla_{[X,Y]}(v).
\]}


\�������

{\bf \blue ������ ���������}

\�����������
(��� ������, 1923)
����� $(M, \nabla)$ -- ���������� �� ����������
��� $M$. ��� ������ ����� $\gamma$, ������ ��
$x$ � $x\in M$, ��������� �� 
$V_{\gamma, \nabla}:\; B\restrict x \arrow B\restrict x$
��������������� ����������� ������������� ��������
����� ���������. {\�� \���� ������ ���������}
 $(B,\nabla)$ ���� ��������� $GL(T_xM)$, 
����������� $V_{\gamma, \nabla}$, ��� ���� ������ $\gamma$.
������ {\�� \���� ��������� ���������} ���� ��������� $GL(T_xM)$,
����������� $V_{\gamma, \nabla}$ ��� ����������� ������.

\���������
���������� {\�� \���� ������} (������ ������� 
��������) ����� � ������ �����, ����� ��� ���������
��������� ����������.

\��������� 
����  $\nabla(\phi)=0$ ��� �������
$\phi\in B^{\otimes i}\otimes (B^*)^{\otimes j}$,
�� {\bf \red ������ ��������� $\nabla$ ���������  $\phi$.}

\����������� {\bf \blue ��������� �������� ������������}
���� ��������� ��� ��������� ����-������.


\������  ��������� �������� ������������ ����� �\\
$U(T_x M, g\restrict x, I \restrict x)=U(n)$.

\���������� ��������, ��� {\bf \red ������ ���������
�� ������� �� ������ ����� $x\in M$.}


\newpage

{\bf \blue ����� � �����}

\����������� 
{\bf \blue �����} ���� ����� ���������� ����:

{\begin{center}
\epsfig{file=Lasso.png,width=0.12\linewidth}
\end{center}}

������� ����� ���������� {\bf \blue ������� ������}
�����.

\��������� {\bf \blue (``����� � �����'')} 
����� $\{U_i\}$ -- �������� ������������, 
� $\gamma$ -- ����������� �����. ����� {\bf \purple
$\gamma$ ����� ��������� � ������������ ����������
�����, � ������� ������ ������� �� ����� � $U_i$.}

\begin{center}
\epsfig{file=lasso-lemma.png,width=0.30\linewidth}
\end{center}

\newpage


{\bf \blue ������� ������-�������}


\�����������
����� $(B, \nabla)$ -- ���������� �� ����������,
$\Theta\in \Lambda^2(M)\otimes \End(B)$  -- ��� ��������,
� $a,b\in T_x M$ -- ����������� �������. �����������
$\Theta(a,b)\in \End(B)\restrict x$ ����������
{\bf \blue ��������� ��������}.

\������� {\bf \blue (�����-������)}
��������� ������ ��������� $B, \nabla$ � $z\in M$ 
���� ������ ��, {\bf \red � �������� ��, �����������
����� ���������� �������� $\Theta(a,b)\in \End(B)\restrict x$
������������� � $z$ ������������ ��������� ����� ���� �����.}

\��������� �������������� ���� ������� ������� �� 
����� � �����.


\�����������
����� $(M,g)$ - �������� ������������, �
$G$ ��� ������ ���������. {\bf\blue ������������� ���������}
� $x\in M$ ���� �������� $G$ �� $T_xM$.


\newpage

{\bf \blue ������������� ���������}

\������� (�� ����)
�����������, ��� ������������� ��������� ���������:
$T_xM=V_1 \oplus V_2$. ����� �������� ������������
$M$ �������� ������������  � ������������ $M=M_1 \times M_2$,
��� $V_1= T_xM_1$, $V_2=T_xM_2$.

{\bf\green ��������������. ��� 1:}
��������� ������������ ������� ������������ ���������,
��������� ����������  $V_1 \oplus V_2$ ��
{\bf \purple ����������� ������������ ����������
� ������������� ������ ����� $TM = B_1 \oplus B_2$,
����������� � ���������� � ����������.}

{\bf\green ��� 2:} ������������� $B_1$, $B_2 \subset TM$
{\bf \purple �����������:} $[B_1, B_1] \subset B_i$ 
(��������� ����-������ �� ����� ��������).

{\bf\green Step 3:} �������� ������� ����������,
�������, ��� ��� ���������� -- ����������� � 
������ �������������� ������� �� $M$. ��� ����
 {\bf \purple ��������� ����������
$M=M_1 \times M_2$, � $V_1= TM_1$, $V_2=TM_2$. }


{\bf\green Step 4:} ��������� ���������� $TM = B_1 \oplus B_2$
���������� �� ����������, {\bf \purple ��� ����� $M_1, M_2$
������ �������������.} 

{\bf\green Step 5:} �������������, {\bf \red �������� $M$
������������ (��� ����������� ������������)}: 
$M=M_1\times M_2$, ��� $M_1, M_2$ -- �����-�� �����
���� �������. \endproof


\newpage


{\bf \blue ������� �� ���� � ����������}

\���������
����� $M$ -- �������� ������������, � 
\[ \Hol_0(M)\stackrel \rho \arrow \End(T_xM)\] --
��������� ������������� ���������. �����������, ��� 
 $\rho$ ���������:
$T_xM = V_1\oplus V_2 \oplus ...\oplus V_k$. {\bf \red �����
������ $G=\Hol_0(M)$ ���� ������������ � ������������: 
$G= G_1\times G_2 \times ...\times G_k$,}
��� ������ �� $G_i$ ���������� ��������� �� ���� $V_j$ � 
$j\neq i$.

{\bf \green ��������������:} ��������, ��� �������
������� �� ���������� ���������� $M$, ����������� ����. 
����� �������� ��� ��������� �� 
$M$, ���������� ����� � �����. \endproof

\������� (�� ����) ������, ����������� ��������
������������ � ���������� ����������
{\bf \red ������������ � ������������ ���������
������������}.

\����������
������� �������� � ������������� ������������
� ����������� ���� �������.



\������� (�������, 1962)
����� $M$ -- ������������ � ������������ ����������.
����� {\�� \��� ���� $M$ �������� �����������, ����  $\Hol(M)$
��������� ����������� �� ��������� ����� � $T_xM$.}


\newpage

{\bf \blue ������� �����}

\������� (������� �����, 1955)
����� $G$ -- ������������ ������ ���������
�������� ������������, ������� �� �������� �����������.
����� $G$ ����������� ������ �����:

{
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{\bf \color[rgb]{0,0,0.6}������ �����}\\[1mm]
\hline
\it ���������  & \it ���������\\[1mm]
\hline
$SO(n)$ ����������� �� $\R^n$ & �������� ������������\\[1mm]
\hline
$U(n)$ ����������� �� $\R^{2n}$ & �������� ������������\\[1mm]
\hline
$SU(n)$ ����������� �� $\R^{2n}$, $n>2$ & ������������ ������-��\\[1mm]
\hline
$Sp(n)$ ����������� �� $\R^{4n}$ & ������������� ������������\\[1mm]
\hline
$Sp(n)\times Sp(1)/\{\pm 1\}$ & 
������������-�������� \\[1mm] ����������� �� $\R^{4n}$, $n>1$ &  ������������ \\[1mm]
\hline
$G_2$ ����������� �� $\R^7$ & $G_2$-������������ \\[1mm]
\hline
$Spin(7)$ ����������� �� $\R^8$ & $Spin(7)$-������������\\[1mm]
\hline
\end{tabular}
}


\��������� ���������� ��� ���� ������, ����������� �����������
�� �����:  $Spin(9)$, ����������� �� $\R^{16}$. 
� 1968, �. �. ������������ �������, ��� 
 {\bf \purple ����� ������������ � ���������� $\Spin(9)$
�������� �����������.}



\newpage

{\bf \blue ������ ��� ���������� �������:}

{\�� \�����
1. �������� ���������}\\  (�������������� ������ 
����������� ����������� ���)

�. {\�� \������ ������� ������-��} � ��������� ��������������.

�. {\�� \������ ������ ����������} (�������-��������)

�. {\�� \������ ������ ���������� ������������ ������-��} (�������
����������-�����-��������)

�.  ���������� ������� ��������,
�������, ������� ����������, ������� ������-��������
� ����������� ������������� �� �����-������� ������������,
������� ���������� � ���������� ������������ ������-��

{\�� \����� 
2. ����������� ���������} \\ (�������������� ������
����������� ����������� �����):

�. {\�� \������ ��������� ���������� ����������-������������� �����������}
$\C^n$ (������� � ��������� ��������������). ������� ��������� � �����.

�. {\�� \������ ����������� �����}

�. {\�� \������ ������� ��������-������} � ��������� � ������� ��������
� ����������� �����������

�. {\�� \������ ������� ���� }�� �������������� ��������������� $\C P^n$, 

{\�� \����� 
3. ��������� ������ � ������} \\ (��������������
������ ����������� ����������� �������)

�. {\�� \������ ������,  ��������������������� �������,}
������� ������ �� �������������� ����� �� �����, 
������� ������-��������

�. {\�� \������ ������� ������ � ������� ��������-������} � ���������
�����������

�. {\�� \������ $L^2$-������ ����������,} 
���������������� � ����������� ����������,
�������� ������������. 

�. {\�� \������ ������� �����-��� ����} � ����������� ������.
�������������� ������� ��������, ��������-������ �
������� ���� ����� ������.

\end{document}

