\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 11 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm] \small лекция 11} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва \\[2mm] 28 fevralya 2011 } \end{center} \newpage {\бф \блуе Комплексные структуры} \определение {\бф \блуе Комплексной структурой} на вещественном векторном пространстве $V$ называется эндоморфизм $I\in \End(V)$, удовлетворяющий $I^2=-\Id_V$. \замечание Продолжим $I$ на тензоры формулой $I(\alpha\otimes \beta \otimes \gamma ...)= I(\alpha)\otimes I(\beta) \otimes I(\gamma) ...$ {\бф \пурпле Группа, порожденная $I$, изоморфна $\Z/4\Z$.} Поэтому, для любого тензора $t$, сумма $t+ I(t) + I^2(t) + I^3(t)$ инвариантна относительно $I$. \следствие Если $g$ -- положительно определенное скалярное произведение на $V$, то $g_I:=g+I(g)+ I^2(G) + I^3(g)$ тоже положительно определено и $I$-инвариантно: $I(g_I)=I$. Другими словами, {\бф \ред $I$ -- ортогональный оператор относительно $g_I$.} \определение Положительно определенное скалярное произведение, в котором $I$ ортогонально, называется {\бф \блуе эрмитовой метрикой} на $(V,I)$. Мы только что доказали, что она всегда существует. \упражнение Докажите, что $g+I(g)$ $I$-инвариантно для любого четного тензора. \newpage {\бф \блуе Комплексные структуры (продолжение)} \следствие Все собственные значения $I$ простые (то есть $I$ {\бф \ред полупрост}, другими словами, диагонализуется). В самом деле, {\бф \блуе любой ортогональный оператор полупрост.} \замечание Пусть $\alpha$ -- собственное значение $I$. Поскольку $\alpha^2=-1$, имеем $\alpha=\pm \1$. \определение Собственное пространство $I$, соответствующее $\1$, обозначается $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$, а соответствующее $-\1$ обозначается $V^{0,1}$. Очевидно, $V\otimes_\R \C=V^{1,0}\oplus V^{0,1}$. \замечание Поскольку, к тому же, $I$ вещественный, получаем, что $\overline{V^{1,0}} = V^{0,1}$. В частности, это пространства одинаковой размерности. \упражнение Докажите, что естественная проекция $V^{1,0}$ на $V$ вдоль $V^{0,1}$ задает изоморфизм вещественных пространств $V^{0,1}\arrow V$. \упражнение Докажите, что оператор комплексной структуры {\бф \ред однозначно задается подпространством $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$ половинной размерности,} которое не пересекается с $V\subset V\otimes_\R \C$. \newpage {\бф \блуе Эрмитовы формы} \определение {\бф \блуе Эрмитово пространство} $(V,I,g)$ есть пространство, снабженное комплексной структурой $I$ и эрмитовой метрикой $g$. \замечание Пусть $I$ -- оператор комплексной структуры на вещественном пространстве $V$, а $g$ -- эрмитова метрика. Рассмотрим билинейную форму $\omega(x,y) = g(x, Iy)$. Тогда $\omega(x,y) = g(x, Iy) = g(Ix, I^2y) = -g(Ix, y) = -\omega(y, x)$. Поэтому {\бф \blue $\omega$ кососимметрична}. \определение Форма $\omega$ называется {\бф \блуе эрмитовой формой} на эрмитовом пространстве $(V,I, g)$ \упражнение Докажите, что в тройке $I, g, \omega$, {\бф \пурпле каждый тензор выражается через остальные два.} \невпаге {\bf \blue Разложение Ходжа} Обозначим за $\Lambda^* V$ грассманову алгебру, порожденную $V$. \упражнение Проверьте, что $\Lambda^*(V \oplus W)$ изоморфно как векторное пространство $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W$. Изоморфизм $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W \arrow \Lambda^*(V \oplus W)$ задается отображением $x\otimes y \arrow x\wedge y$. \определение Пусть $(V,I)$ -- пространство, снабженное комплексной структурой, а $V_\C:= V\otimes_\R \C$ его комплексификация. Тогда $\Lambda^* V_\C \cong (\Lambda^*V^{1,0})\otimes (\Lambda^*V^{0,1})$. Рассмотрим разложение $\Lambda^* V_\C \cong \bigoplus_{p,q}\Lambda^{p,q} V_\C $, где $\Lambda^{p,q} V_\C = \Lambda^pV^{1,0}\bigwedge \Lambda^qV^{0,1}$ Оно называется {\бф \блуе разложением Ходжа}. \замечание Комплексная структура на $V$ {\bf \blue однозначно задает комплексную структуру на $V^*$ (и наоборот). } %\замечание %Пусть $\omega\in \Lambda^2 V^*$ -- эрмитова форма %на пространстве $(V,I, g)$. {\бф \ред Тогда %$\omega \in \Lambda^{1,1} V_\C^*$.} %В самом деле, для $x, y \in V^{1,0}$, %имеем \[\omega(x,y)=\omega(Ix, Iy)= \1^2 \omega(x,y)=-\omega(x,y),\] %значит, $\omega(x,y)=0$, и по той же причине %$\omega(x,y)=0$ для $x, y \in V^{0,1}$. %Поэтому {\бф \пурпле $\omega$ спаривает $(0,1)$-вектора %с $(1,0)$-векторами}, а значит, лежит в %$\Lambda^1{V^*}^{1,0}\bigwedge \Lambda^1{V^*}^{0,1}=\Lambda^{1,1} V_\C^*$. \упражнение Верно ли, что любая $(p,p)$-форма $I$-инвариантна? Верно ли, что любая $I$-инвариантная форма имеет тип $(p,p)$? \невпаге {\bf \blue Почти комплексные многообразия} \определение {\бф \блуе Почти комплексная структура} на многообразии $М$ есть оператор $I\in \End TM$ в эндоморфизмах касательного расслоения, удовлетворяющий $I^2=-\Id_{TM}$. \пример Возьмем $\C^n$, с комплексными координатами $z_i = x_i + \1 y_i$. Тогда $I(x_i) = y_i$, $I(y_i) = - x_i$ -- почти комплексная структура. \определение {\бф \blue Разложение Ходжа} на дифференциальных формах записывается $\Lambda^*(M) = \bigoplus_{p,q} \Lambda^{p,q}(M)$, причем $\Lambda^{p,q}(M) = \Lambda^{p,0}(M) \bigwedge \Lambda^{0,q}(M)$. \определение Функция $f:\; M \arrow \C$ на почти комплексном многообразии называется {\бф\блуе голоморфной}, если $df \in \Lambda^{1,0}(M)$. \определение Пусть $(M, I_M)$ и $(N, I_N)$ -- почти комплексные многообразия, а $f:\; M \arrow N$ -- гладкое отображение. Оно называется {\бф\блуе голоморфным}, если $f^*(\Lambda^{1,0}(N))\subset \Lambda^{1,0}(M)$. \упражнение {\бф \пурпле Докажите, что это эквивалентно тому, что $df:\; T_x M \arrow T_{f(x)}N$ комплексно-линейно}. \невпаге {\bf \blue Почти комплексные многообразия (упражнения)} \упражнение Докажите, что {\бф \ред любая голоморфная функция на $\C^n$ бесконечно дифференцируема.} \упражнение Пусть заданы открытые подмножества $M\subset \C^m, N \subset \C^n$, а $f:\; M \arrow N$ -- гладкое отображение. Предположим, что для любой голоморфной функции на $N$, соответствующая функция $f^* \phi$ голоморфна на $M$. {\бф \пурпле Докажите, что $f$ -- голоморфное отображение.} \невпаге {\bf \blue Пучки} \определение Обозначим за $C(U)$ кольцо всех функций (со значениями в $\C$ или $\R$) на $U$. {\бф\блуе Пучок функций} ${\cal F}$ на топологическом пространстве $M$ -- это набор векторных пространств ${\cal F}(U)\subset C(U)$ ("{\бф \блуе пространств сечений ${\cal F}$ над $U$}"), заданных для каждого открытого подмножества $U\subset M$, таких, что естественные отображения ограничения переводят сечения ${\cal F}$ в сечения, задавая гомоморфизм ${\cal F}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal F}(U')$ для каждого $U'\subset U$, причем верно следующее {\бф \блуе условие склейки}: (*) Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$ набор сечений, заданных для каждого элемента покрытия, и удовлетворяющих условию\\ $f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j},$ для любой пары элементов покрытия. {\бф\пурпле Тогда существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения $f$ на $U_i$ дает $f_i$.} \задача Пусть $M$ -- гладкое многообразие, а $C^\infty_c U$ -- пространство сечений $M$ над $U$ с компактным носителем. {\bf \purple Докажите, что ${\cal F}(U) := (C^\infty_c U)^*$ -- пучок.} \невпаге {\bf \blue Комплексные многообразия} \определение {\бф \блуе Пучок колец функций} есть пучок $U \arrow {\cal F}(U)$ такой, что каждое ${\cal F}(U)\subset C(U)$ замкнуто относительно умножение. \определение {\бф \блуе Окольцованное функциями пространство} есть топологическое пространство с заданным на нем пучком колец функций. \пример {\бф \пурпле Открытый шар $B\subset \C^n$ с пучком $\calo_B$ голоморфных функций является окольцованным пространством.} \определение {\бф \блуе Комплексное многообразие} $(M, \calo_M)$ есть окольцованное пространство с кольцом функций $\calo_M$, которое {\бф \пурпле локально изоморфно (как окольцованное функциями пространство)} открытому шару $(B, \calo_B)$. \определение {\бф \блуе Морфизмы комплексных многообразий} суть непрерывные отображения многообразий, которые переводят голоморфные функции в голоморфные. Такие отображения называются {\бф \блуе голоморфными} или {\бф \блуе комплексно-аналитическими}. \упражнение Докажите, что комплексное многообразие имеет атлас из открытых подмножеств, которые гомеоморфны открытым шарам в $\C^n$, а {\бф \ред функции перехода голоморфны. } \невпаге {\bf \blue Интегрируемость почти комплексных многообразий} \определение Пусть $(M, I)$ -- почти комплексное многообразие, а $\calo_M$ пучок голоморфных функций на нем. Оно называется {\бф \блуе интегрируемым}, если $(M, \calo_M)$ -- комплексное многообразие. \замечание {\бф \ред Почти комплексная структура восстанавливается из комплексной структуры на $M$ следующим образом.} (1) Рассмотрим {\бф \пурпле расслоение $\Lambda^{1,0}(M)\subset \Lambda^1(M, \C)$, порожденное дифференциалами голоморфных функций, } и пусть $\Lambda^{0,1}(M) := \overline{\Lambda^{1,0}(M)}$. (2) Определим $I\in \End(\Lambda^1 M\otimes \C)$ таким образом, что $I\restrict \Lambda^{1,0}(M)=\1$ и $I\restrict \Lambda^{0,1}(M)=-\1$. {\бф \пурпле Очевидно, $I^2 = -\Id$.} (3) Этот эндоморфизм вещественный, поскольку $\bar I=I$ в силу его определения. Поэтому {\бф \пурпле он переводит $\Lambda^1 (M, \R)$ в себя.} Мы получили функтор из категории комплексных многообразий в категорию почти комплексных. \задача Докажите, что этот функтор {\бф \блуе строгий} (инъективен на множестве морфизмов из объекта в объект). Докажите, что он {\бф \блуе полный} (сюрьективен на множестве морфизмов). \невпаге {\bf \blue Теорема Ньюлендера-Ниренберга} \упражнение Докажите, что на комплексном многообразии, {\бф \пурпле коммутатор векторных полей типа $(1,0)$ имеет тип $(1,0)$: \[ [T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M.\]} \определение Почти комплексное многообразие называется {\бф \блуе формально интегрируемым}, если $[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$ \теорема (Newlander-Nirenberg) {\бф \ред Формально интегрируемое почти комплексное многообразие гладкости $C^2$ интегрируемо.} \newpage {\бф \блуе Связность} \замечание {\бф \пурпле Пространство сечений векторного расслоения $B$ на гладком многообразии обозначается $B$.} \определение {\бф \блуе Связность} на векторном расслоении $B$ есть отображение $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$ удовлетворяющее $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$ для любых $b\in B$, $f\in C^\infty M$. \замечание Если $X\in TM$ -- векторное поле, $b\in B$, то {\бф \пурпле $\nabla_X b$ -- сечение $B$, полученное как $\langle\nabla b, X\rangle$.} \замечание Для любого тензорного расслоения ${\cal B}_1:= B^*\otimes B^* \otimes ... \otimes B^* \otimes B\otimes B \otimes ... \otimes B$ {\bf \пурпле связность на $B$ определяет связность на ${\cal B}_1$} по {\бф \блуе формуле Лейбница:} \[ \nabla(b_1 \otimes b_2) = \nabla(b_1) \otimes b_2 + b_1 \otimes \nabla(b_2). \] \невпаге {\бф \блуе Кручение} \определение Пусть $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1M$, \[ \Lambda^1 \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\] {\бф\блуе Кручение $\nabla$} задается формулой $T_\nabla:=\Alt \circ \nabla - d$, где \[ \Alt:\; \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M\] -- внешнее умножение. Кручение есть отображение $T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$. \упражнение Докажите, что {\бф \ред кручение это тензор} (то есть $C^\infty$-линейное отображение). \упражнение Докажите, что оператор $\Lambda^2 TM \arrow TM$, заданный как \[ \nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]\] -- {\бф \ред тоже тензор, причем задает отображение, двойственное к $T_\nabla$.} \newpage {\bf \blue Связность Леви-Чивита} \определение Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется {\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$, и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она ортогональна и без кручения. \упражнение Пусть $B$ -- расслоение с метрикой. {\бф \ред Докажите, что на $B$ всегда существует ортогональная связность.} \теорема ("основная теорема дифференциальной геометрии") Каждое риманово многообразие {\бф \ред допускает связность Леви-Чивита, и она единственна. } \упражнение Докажите единственность. \newpage {\bf \blue Связность Леви-Чивита на кэлеровом многообразии} \теорема Пусть $(M,I,g)$ -- почти комплексное эрмитово многообразие. {\бф \пурпле Тогда следующие условия эквививалентны:} (i) {\bf \red Комплексная структура $I$ интегрируема, а эрмитова форма $\omega$ замкнута.} (ii) {\bf \red $\nabla(I)=0$,} где $\nabla$ есть связность Леви-Чивита. \упражнение Выведите (i) из (ii). \определение Почти комплексное эрмитово многообразие, удовлетворяющее условиям (i) или (ii), называется {\бф\блуе кэлеровым}. \упражнение Докажите, что комплексное подмногообразие кэлерова многообразия -- {\бф \пурпле снова кэлерово.} \newpage {\bf \blue Симметрические эрмитовы многообразии} \определение {\бф \блуе Симметрическое многообразие} есть риманово многообразие $M$, снабженное набором изометрий $i_x$, для любой точки $x\in M$. При этом $i_x$ сохраняет $x$, в квадрате дает тождественное преобразование, а на $T_xM$ действует как $-1$. \определение Эрмитово комплексное многообразие называется {\бф\блуе симметрическим эрмитовым}, если оно симметрическое как риманово многообразие, и изометрии $i_x$ голоморфны. \упражнение {\бф \пурпле Докажите, что $\C P^n$ является симметрическим эрмитовым многообразием.} \упражнение Докажите, что {\бф \ред любое симметрическое эрмитово многообразие -- кэлерово.} \невпаге {\bf \blue Кривизна связности} \определение Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ связность на гладком расслоении. Продолжим $\nabla$ до оператора на формах \[ B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow ... \] по формуле $\nabla(\eta \otimes b) = d\eta\otimes b + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$. Тогда оператор $\nabla^2:\; B \arrow B\otimes \Lambda^{2}(M)$ называется {\бф\блуе кривизной} $\nabla$. \упражнение Докажите, что это отображение $C^\infty$-линейно. \замечание {\бф \ред Мы будем рассматривать кривизну $B$ как 2-форму со значениями в $\End B$.} Тогда $\nabla^2 := \Theta_B \in \Lambda^2 M \otimes \End B$, где $\nabla^2(\eta \otimes b) = \Theta_B \wedge \eta \otimes b$, причем $\End B$-компонента $\Theta_B$ действует на $b$ как указано выше. \упражнение Если $B$ -- линейное (одномерное) расслоение, то $\End B$ тривиально, и $\Theta_B$ есть 2-форма. {\бф \ред Докажите, что эта форма замкнута.} \упражнение Пусть $X,Y$ -- векторные поля. Докажите, что оператор \[ \nabla_X \nabla_Y - \nabla_Y\nabla_X - \nabla_{[X,Y]}:\; B \arrow B\] -- $C^\infty$-линейный. {\bf \red Докажите, что \[ \Theta_B(X,Y)(v) = \nabla_X \nabla_Y(v) - \nabla_Y\nabla_X(v) - \nabla_{[X,Y]}(v). \]} \невпаге {\bf \blue Группа голономий} \определение (Эли Картан, 1923) Пусть $(M, \nabla)$ -- расслоение со связностью над $M$. Для каждой петли $\gamma$, идущей из $x$ в $x\in M$, обозначим за $V_{\gamma, \nabla}:\; B\restrict x \arrow B\restrict x$ соответствующее отображение параллельного переноса вдоль связности. {\бф \блуе Группа голономий} $(B,\nabla)$ есть подгруппа $GL(T_xM)$, порожденная $V_{\gamma, \nabla}$, для всех петель $\gamma$. Группа {\бф \блуе локальных голономий} есть подгруппа $GL(T_xM)$, порожденная $V_{\gamma, \nabla}$ для стягиваемых петель. \замечание Расслоение {\бф \блуе плоско} (имееет нулевую кривизну) тогда и только тогда, когда его локальная голономия тривиальна. \замечание Если $\nabla(\phi)=0$ для тензора $\phi\in B^{\otimes i}\otimes (B^*)^{\otimes j}$, то {\bf \red группа голономий $\nabla$ сохраняет $\phi$.} \определение {\bf \blue Голономия риманова многообразия} есть голономия его связности Леви-Чивита. \пример Голономия кэлерова многообразия лежит в\\ $U(T_x M, g\restrict x, I \restrict x)=U(n)$. \упражнение Докажите, что {\bf \red группа голономий не зависит от выбора точки $x\in M$.} \newpage {\bf \blue Лемма о лассо} \определение {\bf \blue Лассо} есть петля следующего вида: {\begin{center} \epsfig{file=Lasso.png,width=0.12\linewidth} \end{center}} Круглая часть называется {\bf \blue рабочей частью} лассо. \замечание {\bf \blue (``Лемма о лассо'')} Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие многообразия, а $\gamma$ -- стягиваемая петля. Тогда {\bf \purple $\gamma$ можно разложить в произведение нескольких лассо, с рабочей частью каждого из лассо в $U_i$.} \begin{center} \epsfig{file=lasso-lemma.png,width=0.30\linewidth} \end{center} \newpage {\bf \blue Теорема Аброза-Сингера} \определение Пусть $(B, \nabla)$ -- расслоение со связностью, $\Theta\in \Lambda^2(M)\otimes \End(B)$ -- его кривизна, а $a,b\in T_x M$ -- касательные векторы. Эндоморфизм $\Theta(a,b)\in \End(B)\restrict x$ называется {\bf \blue элементом кривизны}. \теорема {\bf \blue (Аброз-Сингер)} Локальная группа голономий $B, \nabla$ в $z\in M$ есть группа Ли, {\bf \red с алгеброй Ли, порожденной всеми элементами кривизны $\Theta(a,b)\in \End(B)\restrict x$ перенесенными в $z$ параллельным переносом вдоль всех путей.} \замечание Доказательство этой теоремы следует из леммы о лассо. \определение Пусть $(M,g)$ - риманово многообразие, а $G$ его группа голономий. {\bf\blue Представление голономии} в $x\in M$ есть действие $G$ на $T_xM$. \newpage {\bf \blue Представлении голономии} \теорема (де Рама) Предположим, что представление голономий приводимо: $T_xM=V_1 \oplus V_2$. Тогда риманово многообразие $M$ локально расщепляется в произведение $M=M_1 \times M_2$, где $V_1= T_xM_1$, $V_2=T_xM_2$. {\bf\green Доказательство. Шаг 1:} Используя параллельный перенос относительно связности, продолжим разложение $V_1 \oplus V_2$ до {\bf \purple расщепления касательного расслоения в ортогональную прямую сумму $TM = B_1 \oplus B_2$, совместимую с голономией и связностью.} {\bf\green Шаг 2:} Подрасслоения $B_1$, $B_2 \subset TM$ {\bf \purple инволютивны:} $[B_1, B_1] \subset B_i$ (связность Леви-Чивита не имеет кручения). {\bf\green Step 3:} Применяя теорему Фробениуса, получим, что эти расслоения -- касательные к листам дополнительных слоений на $M$. Это дает {\bf \purple локальное разложеное $M=M_1 \times M_2$, с $V_1= TM_1$, $V_2=TM_2$. } {\bf\green Step 4:} Поскольку разложение $TM = B_1 \oplus B_2$ совместимо со связностью, {\bf \purple все листы $M_1, M_2$ вполне геодезические.} {\bf\green Step 5:} Следовательно, {\bf \red локально $M$ расщепляется (как метрическое пространство)}: $M=M_1\times M_2$, где $M_1, M_2$ -- какие-то листы этих слоений. \endproof \newpage {\bf \blue Теорема де Рама о разложении} \следствие Пусть $M$ -- риманово многообразие, а \[ \Hol_0(M)\stackrel \rho \arrow \End(T_xM)\] -- локальное представление голономий. Предположим, что $\rho$ приводимо: $T_xM = V_1\oplus V_2 \oplus ...\oplus V_k$. {\bf \red Тогда группа $G=\Hol_0(M)$ тоже расщепляется в произведение: $G= G_1\times G_2 \times ...\times G_k$,} где каждая из $G_i$ тривиально действует на всех $V_j$ с $j\neq i$. {\bf \green Доказательство:} Локально, эта теорема следует из локального разложения $M$, доказанного выше. Чтобы получить его глобально по $M$, используем лемму о лассо. \endproof \теорема (де Рама) Полное, односвязное риманово многообразие с приводимой голономией {\bf \red расщепляется в произведение римановых многообразий}. \упражнение Найдите неполные и неодносвязные контрпримеры к утверждению этой теоремы. \теорема (Саймонс, 1962) Пусть $M$ -- многообразие с неприводимой голономией. Тогда {\бф \ред либо $M$ локально симметрично, либо $\Hol(M)$ действует транзитивно на единичной сфере в $T_xM$.} \newpage {\bf \blue Теорема Берже} \теорема (теорема Берже, 1955) Пусть $G$ -- неприводимая группа голономий риманова многообразия, которое не локально симметрично. Тогда $G$ принадлежит списку Берже: { \begin{tabular}{|l|l|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf \color[rgb]{0,0,0.6}Список Берже}\\[1mm] \hline \it Голономия & \it Геометрия\\[1mm] \hline $SO(n)$ действующее на $\R^n$ & риманово многообразие\\[1mm] \hline $U(n)$ действующее на $\R^{2n}$ & кэлерово многообразие\\[1mm] \hline $SU(n)$ действующее на $\R^{2n}$, $n>2$ & многообразие Калаби-Яу\\[1mm] \hline $Sp(n)$ действующее на $\R^{4n}$ & гиперкэлерово многообразие\\[1mm] \hline $Sp(n)\times Sp(1)/\{\pm 1\}$ & кватернионно-кэлерово \\[1mm] действующее на $\R^{4n}$, $n>1$ & многообразие \\[1mm] \hline $G_2$ действующее на $\R^7$ & $G_2$-многообразие \\[1mm] \hline $Spin(7)$ действующее на $\R^8$ & $Spin(7)$-многообразие\\[1mm] \hline \end{tabular} } \замечание Существует еще одна группа, транзитивно действующая не сфере: $Spin(9)$, действующая на $\R^{16}$. В 1968, Д. В. Алексеевский доказал, что {\bf \purple любое многообразие с голономией $\Spin(9)$ локально симметрично.} \newpage {\bf \blue Сюжеты для дальнейших занятий:} {\бф \греен 1. Кэлерова геометрия}\\ (алгебраической версии большинства утверждений нет) а. {\бф \пурпле Теорема Калаби-Яу} с наброском доказательства. б. {\бф \пурпле Теория деформаций} (Кодаиры-Спенсера) в. {\бф \пурпле теория деформаций многообразий Калаби-Яу} (теорема Богомолова-Тиана-Тодорова) г. Разложение тензора кривизны, спиноры, формула Вайценбека, теорема Чигера-Громолла о бесконечной геодезической на риччи-плоском многообразии, теорема Богомолова о разложении многообразий Калаби-Яу {\бф \греен 2. Комплексная геометрия} \\ (алгебраическая версия большинства утверждений проще): а. {\бф \пурпле локальное устройство комплексно-аналитических подмножеств} $\C^n$ (теорема о локальной параметризации). Теорема Гильберта о нулях. б. {\бф \пурпле Когерентные пучки} в. {\бф \пурпле теорема Реммерта-Штейна} о замыкании и теорема Реммерта о собственном отображении г. {\бф \пурпле теорема Чжоу }об алгебраичности подмногообразий $\C P^n$, {\бф \греен 3. Множества Лелона и потоки} \\ (алгебраическая версия большинства утверждений сложнее) а. {\бф \пурпле Потоки, плюрисубгармонические функции,} теорема Лелона об интегрировании формы по циклу, теорема Лелона-Пуанкаре б. {\бф \пурпле Теорема Наделя и теорема Каваматы-Фивега} о занулении когомологий в. {\бф \пурпле $L^2$-оценки Хермандера,} псевдовыпуклость и голоморфная выпуклость, штейновы многообразия. г. {\бф \пурпле Теорема Скоды-Эль Мира} о продолжении потока. Доказательство теоремы Реммерта, Реммерта-Штейна и теоремы Чжоу через потоки. \end{document}