\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 10 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm] \small лекция 10} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва \\[2mm] 29 ноября 2010 } \end{center} \newpage {\bf \blue Векторные расслоения} \определение {\бф \блуе Векторное расслоение} на гладком многообразии $М$ есть локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей. \определение {\бф \блуе Голоморфное векторное расслоение} на гладком многообразии $М$ есть локально тривиальный пучок $\calo_M$-модулей. \определение $B_{C^\infty}:=B \otimes_{\calo_M} C^\infty M$ называется {\бф\блуе гладкое векторное расслоение, ассоциированное с голоморфным расслоением $B$.} \замечание Пусть $M$ -- комплексное многообразие. Тогда {\бф \пурпле оператор $\bar\6:\; C^\infty M \arrow \Lambda^{0,1}(M)$ $\calo_M$-линейный}. \определение Пусть $B$ -- голоморфное расслоение. Рассмотрим оператор $\bar\6:\; B_{C^\infty}\arrow B_{C^\infty}\otimes \Lambda^{0,1}(M)$, переводящий $b\otimes f$ в $b\otimes \bar\6 f$, где $b\in B$ голоморфное сечение, а $f$ гладкая функция. Этот оператор зовется {\бф\блуе оператор голоморфной структуры} на голоморфном расслоении. {\бф \ред Он определен корректно в силу $\calo_M$-линейности $\bar\6$.} \замечание Ядро $\bar\6:\; B_{C^\infty}\arrow B_{C^\infty}\otimes \Lambda^{0,1}(M)$ {\bf \red совпадает с образом $B$} при естественном вложении $B\hookrightarrow B_{C^\infty}$, $b \arrow b \otimes 1$. \newpage {\bf \blue Оператор голоморфной структуры} \определение {\бф \блуе $\bar\6$-оператор} на гладком комплексном векторном расслоении $V$ над есть оператор $V \stackrel {\bar\6}\arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$, удовлетворяющий $\bar\6(fb) = \bar\6(f)\otimes b + f\bar\6(b)$ для любых $f\in C^\infty M, b\in V$. \замечание $\bar\6$-оператор {\бф \пурпле можно продолжить до \[ \bar\6:\; \Lambda^{0,i}(M)\otimes V \arrow \Lambda^{0,i+1}(M)\otimes V,\] } по формуле $\bar\6 (\eta \otimes b) = \bar\6(\eta)\otimes b + (-1)^{\tilde \eta}\eta\wedge\bar\6(b)$, где $b\in V$ и $\eta \in \Lambda^{0,i}(M)$. \замечание {\bf \purple Легко видеть, что $\bar\6^2=0$,} если $\bar\6$ -- оператор голоморфной структуры на голоморфном расслоении $B$. \теорема (Атья-Ботт) Пусть $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$ -- $\bar\6$-оператор на комплексном векторном расслоении, причем $\bar\6^2=0$. {\бф \ред Тогда $B:=\ker \bar\6\subset V$ есть голоморфное расслоение того же ранга, и $V=B_{\C^\infty}$.} \замечание Это нетривиальное утверждение выводится из теоремы Ньюлендера-Ниренберга. \замечание Мы получили {\bf \purple эквивалентность категории голоморфных расслоений, и категории гладких комплексных расслоений, снабженных $\bar\6$-оператором $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$ таким, что $\bar\6^2=0$.} \newpage {\bf \blue Связность и голоморфная структура} \определение Пусть $B$ -- гладкое комплексное расслоение со связностью $\nabla:\; V \arrow \Lambda^1(M)\otimes V$ и голоморфной структурой $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$. Рассмотрим разложение $\nabla$ по типам, $\nabla= \nabla^{0,1} + \nabla^{1,0}$, где \[ \nabla^{0,1}:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V, \ \ \ \nabla^{1,0}:\; V \arrow \Lambda^{1,0}(M)\otimes V. \] Говорят что $\nabla$ {\бф \блуе совместима с голоморфной структурой}, если $\nabla^{0,1}=\bar\6$. \определение {\бф \блуе Эрмитово голоморфное расслоение} есть гладкое комплексное расслоение, снабженное эрмитовой метрикой и голоморфной структурой. \определение {\бф \блуе Связность Черна} на эрмитовом голоморфном расслоении есть связность, совместимая с голоморфной структурой и сохраняющая метрику. \теорема На каждом голоморфном эрмитовом расслоении {\бф \ред связность Черна существует и единственна.} \newpage {\bf \blue Кривизна связности} \определение Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ связность на гладком расслоении. Продолжим $\nabla$ до оператора на формах \[ V \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes V \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes V \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes V \stackrel{\nabla}\arrow ... \] по формуле $\nabla(\eta \otimes b) = d\eta\otimes b + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$. Тогда оператор $\nabla^2:\; B \arrow B\otimes \Lambda^{2}(M)$ называется {\бф\блуе кривизной} $\nabla$. \замечание $[\nabla, \{\nabla, \nabla\}]=[\{\nabla, \nabla\},\nabla]+ [\nabla, \{\nabla, \nabla\}]=0$ по супер-тождеству Якоби. Мы получили {\бф \блуе тождество Бианки}: $\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$. Если $B$ -- линейное расслоение, то $\End B$ тривиально, и $\Theta_B$ есть 2-форма. \утверждение {\бф \ред Кривизна линейного расслоения -- замкнутая 2-форма.} \доказательство Для любой $2i$-формы $\theta$ имеем $\nabla(\theta \wedge \eta) = d\theta \wedge \eta + \theta \wedge \nabla(\eta)$ (правило Лейбница). Тождество Бьянки дает $\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$. Следовательно, $d\Theta_B=0$. \ендпрооф \определение Класс когомологий $\frac{\1}{2\pi}[\Theta_B]$ называется {\бф \блуе первым классом Черна} линейного расслоения. \newpage {\bf \blue Кривизна связности Черна} \утверждение {\бф \ред Кривизна $\Theta_B$ связности Черна есть (1,1)-форма.} \следствие Для связности Черна $\nabla$, имеем $\Theta_B= \{\nabla^{1,0}, \bar\6\}$. \следствие {\бф \ред Кривизна линейного голоморфного расслоения - замкнутая (1,1)-форма.} \замечание Пусть $L$ -- линейное расслоение, $b \in L$ -- нигде не зануляющееся голоморфное сечение. {\бф \пурпле Тогда существует $(1,0)$-форма $\eta$ такая, что $\nabla^{1,0} b=\eta\otimes b$.} Это дает $d|b|^2= \Re g(\nabla^{1,0} b, b) = \Re\eta|b|^2$. {\бф \ред Мы получили $\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b= 2\6\log|b| b.$} \замечание Пусть $B$ -- линейное эрмитово расслоение, а $b$ - незануляющееся голоморфное сечение. Тогда $\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b= 2\6\log|b| b$, что дает $\Theta_B(b)= 2\bar\6\6\log|b| b$, {\бф \пурпле то есть $\Theta_B = -2 \6\bar\6\log|b|$}. \следствие Если $g' = e^{2f} g$ -- две метрики на голоморфном линейном расслоении, а $\Theta, \Theta'$ -- соответствующая кривизна, то {\бф \пурпле $\Theta' - \Theta = -2 \6\bar\6 f$.} \newpage {\bf \blue Когомологии векторных расслоений и двойственность Серра} \замечание Пусть $B$ -- голоморфное векторное расслоение на $M$, а $\Omega^pM$ -- расслоение голоморфных $(p,0)$-форм. Тогда \[ 0 \arrow B \otimes_{\calo_M} \Omega^p M \stackrel {\bar\6}\arrow \Lambda^{p,1}(M)\otimes_{\calo_M} B\stackrel {\bar\6}\arrow \Lambda^{p,2}(M)\otimes_{\calo_M} B\stackrel {\bar\6}\arrow ... \] есть тонкая резольвента $B \otimes_{\calo_M} \Omega^p M$ \следствие $H^i(\Omega^p M\otimes B)$ отождествляется с ядром $\Delta_{\bar\6}:=\bar\6^* \bar\6 + \bar\6 \bar\6^*$ в $\Lambda^{p,i}(M)\otimes B$ \замечание Оператор $*:\;\Lambda^{p,i}(M)\otimes_{\calo_M} B\arrow \Lambda^{n-p,n-i}(M)\otimes_{\calo_M} B^*$ переставляет $\bar\6$ и $\bar\6^*$, {\бф \ред следовательно, сохраняет $\ker \Delta_{\bar\6}$.} \следствие {\бф \блуе (двойственность Серра)} Пусть $M$ -- $n$-мерное, компактное, кэлерово, а $B$ -- эрмитово расслоение. Тогда {\бф \пурпле умножение \[ H^i(\Omega^p M\otimes B) \times H^{n-i}(\Omega^{n-p} M\otimes B^*)\arrow H^n(\Omega^n M) = \C\] задает невырожденное спаривание. } \следствие {\бф \блуе (двойственность Серра для $p=n$)} \[ H^i(B)\cong H^{n-i}(B^*\otimes K)^*,\] где $K=\Omega^n M$ -- каноническое расслоение. \невпаге {\bf \blue Когерентные пучки} \определение Пучок $F$ $\calo_M$-модулей называется {\бф \блуе конечно-по\-рож\-денным}, если у каждой точки есть окрестность $U$ такая, что $F\restrict U$ изоморфен фактору $\calo_U^n$ по подпучку $F_1$, и {\бф\блуе конечно-представимым}, если $F_1$ тоже конечно-порожден. {\бф\блуе Когерентный пучок} на комплексном многообразии $M$ есть конечно-порожденный и конечно-представимый пучок $\calo_M$-модулей. \определение {\бф \блуе Пучок-небоскреб} есть когерентный пучок с носителем в точке. \определение {\бф \блуе Пучок идеалов} есть когерентный подпучок в $\calo_M$. Обозначим за ${\goth m}_x^n$ {\бф \пурпле пучок идеалов вида $({\goth m}_x)^n$,} где $\goth m\subset \calo_M$ есть идеал функций, зануляющихся в $x$. \замечание На $n$-мерном проективном многообразии, любой когерентный пучок $F$ {\бф \ред допускает} {\бф \блуе локально свободную резольвенту длины $n+1$}, то есть точную последовательность вида \[ 0\arrow B_n \arrow B_{n-1} \arrow ... \arrow B_0 \arrow F \arrow 0 \] \невпаге {\bf \blue Обильные расслоения} \определение Голоморфное линейное расслоение $L$ на проективном многообразии называется {\бф \блуе обильным}, если для любого голоморфного расслоения $B$ найдется $N$ такое, что $H^i(B\otimes L^N)=0$ для любого $i>0$. \newcommand{\fd}{\operatorname{fd}} \утверждение Пусть $L$ -- обильное расслоение на проективном многообразии, а $F$ -- когерентный пучок. Тогда {\бф \ред найдется $N$ такое, что $H^i(F\otimes L^N)=0$ для любого $i>0$.} {\bf \греен Доказательство. Шаг 1:} Обозначим за $\fd(F)$ минимальную длину локально свободной резольвенты пучка $F$. {\бф \пурпле Локально свободная резольвента дает точную последовательность \[ 0\arrow F_1 \arrow B \arrow F \arrow 0,\]} где $\fd(F_1) = \fd(F)-1$. Индукцией по $\fd(F)$, можно считать, что $H^i(F_1\otimes L^N)=H^i(B\otimes L^N)=0$ для любого $i>0$. {\бф \греен Шаг 2:} Из длинной точной последовательности \[ ... \arrow H^{i}(B\otimes L^N) \arrow H^{i}(F\otimes L^N) \arrow H^{i+1}(F_1\otimes L^N)\arrow ... \] получаем, что $H^{i}(F\otimes L^N)=0$. \ендпрооф \newpage {\бф \blue Проективные вложения} \определение Сечение $f$ расслоения $B$ {\бф\блуе равно нулю в $x$} если $f\in {\goth m}_x B$ \определение Линейное расслоение {\бф \блуе очень обильно}, если $H^1(L\otimes I)=0$ для пучков идеалов $I$ вида ${\goth m}_x\cap{\goth m}_y$ и ${\goth m}_x^2$. \определение Линейное расслоение $L$ на $M$ называется {\бф \blue разделяет точки} если для любых точек $x\neq y$ найдется сечение $f\in \Gamma_M(L)$, которое не равно нулю в $x$ и не равно в $y$. \замечание {\бф \red Очень обильное расслоение на проективном многообразии разделяет точки}. Это ясно из длинной точной последовательности \[ 0 \arrow H^{0}(L\otimes I) \arrow H^{0}(L) \arrow H^{0}(L\otimes (\calo_M/I)) \arrow H^{1}(L\otimes I)\arrow ... \] где $I$ есть ${\goth m}_x\cap {\goth m}_y$. \определение Пусть $L$ -- линейное расслоение на $M$, разделяющее точки, а $V$ -- пространство его сечений. Для $x\in M$, рассмотрим спаривание $\langle (L/{\goth m}_x L)^*, V\rangle$, которое берет $f\in V$ и вычисляет $\lambda \in (L/{\goth m}_x L)^*$ на его представителе в $L/{\goth m}_x L$. Мы получили функционал на $V$. Соответствующее отображение $x \stackrel {\phi_L}\arrow {\Bbb P} V^*$, называется {\бф\блуе проективным вложением, связанным с $L$}. \newpage {\бф \blue Очень обильные расслоения} \определение Линейное расслоение {\бф \блуе очень обильно}, если $H^1(L\otimes I)=0$ для пучков идеалов $I$ вида ${\goth m}_x\cap {\goth m}_y$ и ${\goth m}_x^2$. \замечание Для каждого обильного расслоения $L$ на проективном многообразии $M$, {\бф \ред найдется $N$ такое, что $L^N$ очень обильно.} Доказательство этого факта см. Хартсхорн. \утверждение {\бф \пурпле Пусть $L$ разделяет точки. Тогда $\phi_L:\; M \arrow {\Bbb P}V^*$ инъективно}. \доказательство Пусть $f\in V$ -- сечение, разделяющее $x$ и $y$. Тогда $f$ задает плоскость $H_f\subset V^*$, причем $\phi_L(x)$ не лежит в этой плоскости, а $\phi_L(y)$ лежит в ней. \ендпрооф \newpage {\бф \blue Очень обильные расслоения (2)} \утверждение {\bf \пурпле Пусть $L$ очень обильно. Тогда $\phi_L:\; M \arrow {\Bbb P}V^*$ -- замкнутое вложение}. \доказательство По теореме об обратной функции, {\бф \пурпле достаточно доказать, что дифференциал $\phi_L$ инъективен}. По определению, $d\phi_L$ переводит $\lambda \in TxM= ({\goth m}_x/{\goth m}_x^2)^*$ в точку $T_{\phi_L(x)} {\Bbb P}V^*= \Hom(W^*, V^*/W^*)$, где $W^*:=(L/{\goth m}_x L)^*$ есть прямая в $V^*$, соответствующая $\phi_L(x)$: \[ ({\goth m}_x/{\goth m}_x^2)^* \stackrel {d\phi_L}\arrow \Hom(W^*, V^*/W^*). \] Дуализируя обе части, получаем $ V_x \stackrel {d\phi_L^*}\arrow {\goth m}_x/{\goth m}_x^2\otimes_\C (L/{\goth m}_x L)$, где $V_x=\ker W^*$ есть пространство всех сечений $L$, зануляющихся в $x$. Рассмотрим естественное отображение $V=H^{0}(L) \arrow H^{0}(L\otimes (\calo_M/I))$, где $I= {\goth m}_x^2$. Оно дает \[ V_x = H^{0}({\goth m}_xL) \arrow H^{0}({\goth m}_xL \otimes (\calo_M/I))= {\goth m}_x/{\goth m}_x^2\otimes_\C (L/{\goth m}_x L). \] {\бф \ред Это и есть ${d\phi_L^*}$.} Мы получили, что {\bf \purple инъективность $d\phi_L$ следует из сюрьективности $H^{0}(L) \arrow H^{0}(L\otimes (\calo_M/I))$.} \endproof \невпаге {\бф \блуе Суперсимметрия в кэлеровой геометрии} Пусть $(M, I, \omega)$ -- кэлерово многообразие. Рассмотрим операторы, действующие на $\Lambda^*(M)$: 1. $d$, $d^*$, $\Delta$ 2. {\бф\блуе Оператор Ходжа} $L(\alpha):= \omega\wedge \alpha$ и его сопряженный $\Lambda(\alpha) := * L * \alpha$. 3. {\бф\блуе Оператор Вейля:} ${\cal W}\restrict{\Lambda^{p,q}(M)}=\1(p-q)$ \теорема Эти операторы порождают 9-мерную супералгебру Ли $\goth a$, действующую на $\Lambda^*(M)$. Лапласиан $\Delta$ лежит в центре $\goth a$, значит, {\бф \пурпле $\goth a$ действует на когомологиях $M$.} \утверждение {\бф \ред $H:=[L, \Lambda]$ есть скалярный оператор, действующий на $k$-формах умножением на $n-k$.} \утверждение Операторы $L, \Lambda, H$ образуют алгебру Ли, изоморфную ${\goth sl}(2)$, с соотношениями $[L, \Lambda] =H, \ \ [H, L]= 2 L, \ \ [H, \Lambda] = -2 \Lambda.$ \определение $L, \Lambda, H$ называется {\бф \блуе $\goth{sl}(2)$-тройкой Лефшеца}. \newpage {\bf \blue Положительные линейные расслоения} \утверждение Пусть $\omega$ -- (1,1)-форма с целочисленным классом когомологий на компактном кэлеровом многообразии. {\бф\ред Тогда $\omega$ есть кривизна голоморфного линейного расслоения.} \определение Голоморфное линейное расслоение называется {\бф\блуе положительным}, если его первый класс Черна когомологичен кэлеровой форме. {\бф \греен Теорема 1:} (теорема Кодаиры-Накано) {\бф \ред Положительное линейное расслоение на компактном кэлеровом многообразии обильно.} {\бф \греен Теорема 2:} (теорема Кодаиры-Накано) Пусть $B$ -- голоморфное эрмитово расслоение на $n$-мерном кэлеровом многообразии, $\Theta_B$ -- кривизна связности Черна, $L_{\Theta_B}$ -- оператор умножения на $\Theta_B$. Предположим, что самосопряженный оператор $H_B:=-\1[L_{\Theta_B}, \Lambda]$ удовлетворяет $(H_B(x), x)<0$ для любой ненулевой $k$-формы $x$, $k \alpha$, где $\alpha$ есть самое большое собственное значение $H_B$, имеем \[ (H_{B\otimes L^N}x, x)= (H_B x, x)- N(n-k)|x|^2< 0. \] {\bf \purple Теорема 2 дает $H^p(L^N\otimes B \otimes \Omega^q M)=0$ для любых $p+q 0$. } \доказательство Применяем предыдущее замечание к $B^* \otimes K$ и пользуемся двойственностью Серра \[ 0 = H^{n-i} (L^N\otimes B^* \otimes K)= H^i(B \otimes L^{-N})^*. \] \ендпрооф \замечание Мы доказали, что теорема 1 следует из теоремы 2. \newpage {\bf \blue Соотношения Кодаиры} \утверждение Пусть $B$ -- голоморфное эрмитово расслоение, снабженное связностью Черна $\nabla = \bar\6 + \6$, где $\6= \nabla^{1,0}$. Тогда на $B$-значных формах имеем \[ [\Lambda, \6] = \1 \bar\6^*, \ \ \ [\Lambda, \bar\6] = - \1 \6^*, \ \ \ [L, \bar\6^*] = - \1 \6, \ \ \ [L, \6^*] = \1 \bar\6. \] \доказательство Тот же самый аргумент, что и для форм. \замечание Кривизна связности Черна: $\Theta_B=\{\6, \bar\6\}$ \следствие Из супер-тождества Якоби следует \begin{multline*} [\Lambda, \Theta_B]= [\Lambda, \{\6, \bar\6\}] = \{[\Lambda, \6], \bar\6\} + \{\6, [\Lambda, \bar\6]\}\\ = \1 \{\bar\6^*, \bar\6\} - \1\{\6^*, \6\}= \1 \Delta_{\bar\6} - \1 \Delta_{\6}. \end{multline*} {\бф \ред Это дает $\Delta_{\bar\6} = \Delta_{\6} - H_B$.} \замечание Операторы $\Delta_{\bar\6}$ и $\Delta_{\6}$ {\бф \blue положительные}, то есть удовлетворяют $(\Delta_{\bar\6}x, x) \geq 0$ и $(\Delta_{\6}x, x)\geq 0$. {\бф \пурпле Если $(H_Bx, x) <0$, то $(\Delta_{\bar\6}x,x)>0$, значит, $\Delta_{\bar\6}$ не может иметь ядра.} {\бф \ред Это доказывает Теорему 2.} \end{document}