
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексная геометрия, лекция 10 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные многообразия, \\[15mm]
\small лекция 10}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/НОЦ, Москва
\\[2mm] 29 ноября 2010
}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue Векторные расслоения}

\определение
{\бф \блуе Векторное расслоение} на гладком многообразии $М$
есть локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей.

\определение
{\бф \блуе Голоморфное векторное расслоение} на гладком многообразии $М$
есть локально тривиальный пучок $\calo_M$-модулей.

\определение
$B_{C^\infty}:=B \otimes_{\calo_M} C^\infty M$ называется {\бф\блуе гладкое векторное расслоение,
ассоциированное с голоморфным расслоением $B$.}

\замечание
Пусть $M$ -- комплексное многообразие. Тогда
{\бф \пурпле оператор $\bar\6:\; C^\infty M \arrow \Lambda^{0,1}(M)$
$\calo_M$-линейный}.

\определение
Пусть $B$ -- голоморфное расслоение.
Рассмотрим оператор 
$\bar\6:\; B_{C^\infty}\arrow B_{C^\infty}\otimes \Lambda^{0,1}(M)$,
переводящий $b\otimes f$ в $b\otimes \bar\6 f$, где
$b\in B$ голоморфное сечение, а $f$ гладкая функция.
Этот оператор зовется {\бф\блуе оператор голоморфной структуры}
на голоморфном расслоении.
{\бф \ред Он определен корректно в силу $\calo_M$-линейности $\bar\6$.}

\замечание
Ядро $\bar\6:\; B_{C^\infty}\arrow B_{C^\infty}\otimes \Lambda^{0,1}(M)$
{\bf \red совпадает с образом $B$} при естественном вложении
$B\hookrightarrow B_{C^\infty}$, $b \arrow b \otimes 1$.


\newpage

{\bf \blue Оператор голоморфной структуры}

\определение
{\бф \блуе $\bar\6$-оператор} 
на гладком комплексном векторном расслоении $V$ над 
есть оператор $V \stackrel {\bar\6}\arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$,
удовлетворяющий $\bar\6(fb) = \bar\6(f)\otimes b + f\bar\6(b)$
для любых $f\in C^\infty M, b\in V$.

\замечание 
$\bar\6$-оператор {\бф \пурпле можно продолжить до 
\[ \bar\6:\; \Lambda^{0,i}(M)\otimes V \arrow \Lambda^{0,i+1}(M)\otimes V,\]
}
по формуле $\bar\6 (\eta \otimes b) = \bar\6(\eta)\otimes b + 
(-1)^{\tilde \eta}\eta\wedge\bar\6(b)$, 
где $b\in V$ и $\eta \in \Lambda^{0,i}(M)$.

\замечание
{\bf \purple Легко видеть, что $\bar\6^2=0$,} если $\bar\6$ -- оператор
голоморфной структуры на голоморфном расслоении $B$.

\теорема (Атья-Ботт)
Пусть $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$
-- $\bar\6$-оператор на комплексном векторном расслоении,
причем $\bar\6^2=0$. {\бф \ред Тогда $B:=\ker \bar\6\subset V$
есть голоморфное расслоение того же ранга, и $V=B_{\C^\infty}$.}

\замечание
Это нетривиальное утверждение
выводится из теоремы Ньюлендера-Ниренберга.

\замечание
Мы получили {\bf \purple эквивалентность категории голоморфных расслоений,
и категории гладких комплексных расслоений, снабженных
$\bar\6$-оператором $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$
таким, что $\bar\6^2=0$.}


\newpage

{\bf \blue Связность и голоморфная структура}

\определение
Пусть $B$ -- гладкое комплексное расслоение 
со связностью $\nabla:\; V \arrow \Lambda^1(M)\otimes V$
и голоморфной структурой $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$.
Рассмотрим разложение $\nabla$ по типам,
$\nabla= \nabla^{0,1} + \nabla^{1,0}$, где
\[
\nabla^{0,1}:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V, \ \ \ 
\nabla^{1,0}:\; V \arrow \Lambda^{1,0}(M)\otimes V.
\]
Говорят что $\nabla$ {\бф \блуе совместима с голоморфной структурой},
если $\nabla^{0,1}=\bar\6$.

\определение
{\бф \блуе Эрмитово голоморфное расслоение}
есть гладкое комплексное расслоение, снабженное
эрмитовой метрикой и голоморфной структурой.

\определение
{\бф \блуе Связность Черна} на эрмитовом голоморфном
расслоении есть связность, совместимая с 
голоморфной структурой и сохраняющая метрику.

\теорема
На каждом голоморфном эрмитовом расслоении
{\бф \ред связность Черна существует и единственна.}



\newpage

{\bf \blue Кривизна связности}

\определение
Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ связность
на гладком расслоении. Продолжим $\nabla$ до оператора на
формах
\[
V \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes V
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes V 
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes V \stackrel{\nabla}\arrow ...
\]
по формуле 
$\nabla(\eta \otimes b) = d\eta\otimes b + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$.
Тогда оператор $\nabla^2:\; B \arrow B\otimes \Lambda^{2}(M)$
называется {\бф\блуе кривизной} $\nabla$.

\замечание 
$[\nabla, \{\nabla, \nabla\}]=[\{\nabla, \nabla\},\nabla]+
[\nabla, \{\nabla, \nabla\}]=0$ по супер-тождеству Якоби.
Мы получили {\бф \блуе тождество Бианки}:
$\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$.

Если $B$ -- линейное расслоение, то $\End B$ тривиально,
и $\Theta_B$ есть 2-форма. 

\утверждение
{\бф \ред Кривизна линейного расслоения -- замкнутая 2-форма.}

\доказательство Для любой $2i$-формы $\theta$ имеем 
$\nabla(\theta \wedge \eta) = d\theta \wedge \eta +
\theta \wedge \nabla(\eta)$ (правило Лейбница). Тождество
Бьянки дает $\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$.
Следовательно, $d\Theta_B=0$. \ендпрооф

\определение
Класс когомологий $\frac{\1}{2\pi}[\Theta_B]$
называется {\бф \блуе первым классом Черна} линейного расслоения.


\newpage

{\bf \blue Кривизна связности Черна}

\утверждение
{\бф \ред Кривизна $\Theta_B$ связности Черна есть (1,1)-форма.}

\следствие
Для связности Черна $\nabla$, имеем
$\Theta_B= \{\nabla^{1,0}, \bar\6\}$.

\следствие
{\бф \ред Кривизна линейного голоморфного расслоения - 
замкнутая (1,1)-форма.}

\замечание
Пусть $L$ -- линейное расслоение, $b \in L$ -- 
нигде не зануляющееся голоморфное сечение.
{\бф \пурпле Тогда существует $(1,0)$-форма $\eta$ такая, что
$\nabla^{1,0} b=\eta\otimes b$.} Это дает
$d|b|^2= \Re g(\nabla^{1,0} b, b) = \Re\eta|b|^2$.
{\бф \ред Мы получили $\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b=
2\6\log|b| b.$}

\замечание 
Пусть $B$ -- линейное эрмитово расслоение, а 
$b$ - незануляющееся голоморфное сечение. Тогда 
$\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b=
2\6\log|b| b$, что дает $\Theta_B(b)= 2\bar\6\6\log|b| b$,
{\бф \пурпле то есть $\Theta_B = -2 \6\bar\6\log|b|$}.

\следствие
Если $g' = e^{2f} g$ -- две метрики на голоморфном  линейном 
расслоении, а $\Theta, \Theta'$ -- соответствующая
кривизна, то {\бф \пурпле $\Theta' - \Theta = -2 \6\bar\6 f$.}


\newpage

{\bf \blue Когомологии векторных расслоений и
двойственность Серра}

\замечание
Пусть $B$ -- голоморфное векторное расслоение на
$M$, а $\Omega^pM$ -- расслоение голоморфных
$(p,0)$-форм.  Тогда
\[
0 \arrow B \otimes_{\calo_M} \Omega^p M \stackrel
{\bar\6}\arrow \Lambda^{p,1}(M)\otimes_{\calo_M} B\stackrel
{\bar\6}\arrow \Lambda^{p,2}(M)\otimes_{\calo_M} B\stackrel
{\bar\6}\arrow ...
\]
есть тонкая резольвента $B \otimes_{\calo_M} \Omega^p M$

\следствие $H^i(\Omega^p M\otimes B)$ отождествляется
с ядром $\Delta_{\bar\6}:=\bar\6^* \bar\6 + \bar\6 \bar\6^*$
в $\Lambda^{p,i}(M)\otimes B$

\замечание
Оператор $*:\;\Lambda^{p,i}(M)\otimes_{\calo_M} B\arrow
\Lambda^{n-p,n-i}(M)\otimes_{\calo_M} B^*$ переставляет $\bar\6$ и $\bar\6^*$,
{\бф \ред следовательно, сохраняет $\ker \Delta_{\bar\6}$.}

\следствие
{\бф \блуе (двойственность Серра)}
Пусть $M$ -- $n$-мерное, компактное, кэлерово, а $B$ --
эрмитово расслоение. Тогда 
{\бф \пурпле умножение 
\[ H^i(\Omega^p M\otimes B) \times H^{n-i}(\Omega^{n-p} M\otimes B^*)\arrow
H^n(\Omega^n M) = \C\]
задает невырожденное спаривание. }

\следствие 
{\бф \блуе (двойственность Серра для $p=n$)}
\[ H^i(B)\cong H^{n-i}(B^*\otimes K)^*,\] где $K=\Omega^n M$ --
каноническое расслоение.

\невпаге

{\bf \blue Когерентные пучки}

\определение
Пучок $F$ $\calo_M$-модулей называется {\бф \блуе конечно-по\-рож\-денным},
если у каждой точки есть окрестность $U$ такая, что $F\restrict U$
изоморфен фактору $\calo_U^n$ по подпучку $F_1$, и 
{\бф\блуе конечно-представимым}, если $F_1$ 
тоже конечно-порожден.
{\бф\блуе Когерентный пучок} на комплексном многообразии $M$
есть конечно-порожденный и конечно-представимый пучок
$\calo_M$-модулей.

\определение
{\бф \блуе Пучок-небоскреб} есть когерентный
пучок с носителем в точке.

\определение
{\бф \блуе Пучок идеалов} есть когерентный подпучок в $\calo_M$.
Обозначим за ${\goth m}_x^n$ {\бф \пурпле пучок идеалов вида $({\goth m}_x)^n$,}
где $\goth m\subset \calo_M$ есть идеал функций,
зануляющихся в $x$.

\замечание
На $n$-мерном проективном многообразии, любой когерентный
пучок $F$ {\бф \ред допускает}
{\бф \блуе локально свободную резольвенту длины $n+1$}, то есть
точную последовательность вида
\[ 
  0\arrow B_n \arrow B_{n-1} \arrow ... \arrow B_0 \arrow F \arrow 0
\]

\невпаге

{\bf \blue Обильные расслоения}

\определение
Голоморфное линейное расслоение $L$ 
на проективном многообразии называется {\бф \блуе обильным},
если для любого голоморфного расслоения
$B$ найдется $N$ такое, что $H^i(B\otimes L^N)=0$ для любого $i>0$.

\newcommand{\fd}{\operatorname{fd}}

\утверждение
Пусть $L$ -- обильное расслоение на проективном
многообразии, а $F$ -- когерентный пучок.
Тогда {\бф \ред 
 найдется $N$ такое, что $H^i(F\otimes L^N)=0$ для любого $i>0$.}

{\bf \греен Доказательство. Шаг 1:}
Обозначим за $\fd(F)$ минимальную длину
локально свободной резольвенты пучка $F$.
{\бф \пурпле Локально свободная резольвента дает
точную последовательность
\[ 0\arrow F_1 \arrow B \arrow F \arrow 0,\]}
где  $\fd(F_1) = \fd(F)-1$. Индукцией по $\fd(F)$, 
можно считать, что $H^i(F_1\otimes L^N)=H^i(B\otimes L^N)=0$ 
для любого $i>0$.

{\бф \греен Шаг 2:}  Из длинной точной последовательности
\[
... \arrow H^{i}(B\otimes L^N) \arrow H^{i}(F\otimes L^N) \arrow H^{i+1}(F_1\otimes L^N)\arrow ...
\]
получаем, что $H^{i}(F\otimes L^N)=0$. \ендпрооф

\newpage
{\бф \blue Проективные вложения}

\определение
Сечение $f$ расслоения $B$ {\бф\блуе равно нулю в $x$}
если $f\in {\goth m}_x B$

\определение
Линейное расслоение {\бф \блуе очень обильно},
если $H^1(L\otimes I)=0$ для пучков идеалов $I$ вида
${\goth m}_x\cap{\goth m}_y$ и ${\goth m}_x^2$.

\определение
Линейное расслоение $L$ на $M$ 
называется {\бф \blue разделяет точки} 
если для любых точек $x\neq y$ найдется сечение
$f\in \Gamma_M(L)$, которое не равно нулю в $x$
и не равно в $y$.

\замечание
{\бф \red Очень обильное расслоение на проективном
многообразии разделяет точки}.
Это ясно из длинной точной последовательности
\[
 0 \arrow H^{0}(L\otimes I) \arrow H^{0}(L) \arrow H^{0}(L\otimes (\calo_M/I))
 \arrow H^{1}(L\otimes I)\arrow ...
\]
где $I$ есть ${\goth m}_x\cap {\goth m}_y$.

\определение
Пусть $L$ -- линейное расслоение на $M$, разделяющее
точки, а $V$ -- пространство его сечений.
Для $x\in M$, рассмотрим спаривание $\langle (L/{\goth
m}_x L)^*, V\rangle$, которое берет $f\in V$ и вычисляет
$\lambda \in (L/{\goth m}_x L)^*$ на его представителе
в $L/{\goth m}_x L$. Мы получили функционал на $V$.
Соответствующее отображение $x \stackrel {\phi_L}\arrow {\Bbb P} V^*$,
называется {\бф\блуе проективным вложением,
связанным с $L$}.

\newpage
{\бф \blue Очень обильные расслоения}

\определение
Линейное расслоение {\бф \блуе очень обильно},
если $H^1(L\otimes I)=0$ для пучков идеалов $I$ вида
${\goth m}_x\cap {\goth m}_y$ и ${\goth m}_x^2$.

\замечание
Для каждого обильного расслоения $L$ на проективном многообразии
$M$, {\бф \ред найдется $N$ такое, что $L^N$ очень обильно.}
Доказательство этого факта см. Хартсхорн. 

\утверждение
{\бф \пурпле Пусть $L$ разделяет точки. 
Тогда $\phi_L:\; M \arrow {\Bbb P}V^*$ 
инъективно}.

\доказательство Пусть $f\in V$ -- сечение, разделяющее
$x$ и $y$. Тогда $f$ задает плоскость $H_f\subset V^*$,
причем $\phi_L(x)$ не лежит в этой плоскости, а $\phi_L(y)$
лежит в ней. \ендпрооф

\newpage
{\бф \blue Очень обильные расслоения (2)}

\утверждение
{\bf \пурпле Пусть $L$ очень обильно. 
Тогда $\phi_L:\; M \arrow {\Bbb P}V^*$ -- замкнутое вложение}.

\доказательство
По теореме об обратной функции, {\бф \пурпле достаточно
доказать, что дифференциал $\phi_L$ инъективен}. По определению,
$d\phi_L$ переводит $\lambda \in TxM= ({\goth m}_x/{\goth m}_x^2)^*$
в точку $T_{\phi_L(x)} {\Bbb P}V^*= \Hom(W^*, V^*/W^*)$,
где $W^*:=(L/{\goth m}_x L)^*$ есть прямая в $V^*$,
соответствующая $\phi_L(x)$:
\[
({\goth m}_x/{\goth m}_x^2)^* \stackrel {d\phi_L}\arrow \Hom(W^*, V^*/W^*).
\]
Дуализируя обе части, получаем $
V_x \stackrel {d\phi_L^*}\arrow {\goth m}_x/{\goth m}_x^2\otimes_\C 
(L/{\goth m}_x L)$,
где $V_x=\ker W^*$ есть пространство всех сечений $L$,
зануляющихся в $x$.

Рассмотрим естественное отображение 
$V=H^{0}(L) \arrow H^{0}(L\otimes (\calo_M/I))$,
где $I= {\goth m}_x^2$. Оно дает
\[
V_x =  H^{0}({\goth m}_xL)
\arrow H^{0}({\goth m}_xL \otimes (\calo_M/I))=
{\goth m}_x/{\goth m}_x^2\otimes_\C 
(L/{\goth m}_x L).
\]
{\бф \ред Это и есть ${d\phi_L^*}$.}

Мы получили, что 
{\bf \purple инъективность $d\phi_L$ следует из сюрьективности
$H^{0}(L) \arrow H^{0}(L\otimes (\calo_M/I))$.} \endproof

\невпаге

{\бф \блуе Суперсимметрия в кэлеровой геометрии}

Пусть $(M, I, \omega)$ -- кэлерово многообразие.
Рассмотрим операторы, действующие на $\Lambda^*(M)$:

1. $d$, $d^*$, $\Delta$

2. {\бф\блуе  Оператор Ходжа} $L(\alpha):= \omega\wedge \alpha$
и его сопряженный $\Lambda(\alpha) := * L * \alpha$.

3. {\бф\блуе Оператор Вейля:} ${\cal W}\restrict{\Lambda^{p,q}(M)}=\1(p-q)$

\теорема
Эти операторы порождают 9-мерную супералгебру Ли
$\goth a$, действующую на $\Lambda^*(M)$. Лапласиан
$\Delta$ лежит в центре $\goth a$, значит, 
{\бф \пурпле $\goth a$ действует на когомологиях $M$.}

\утверждение
{\бф \ред $H:=[L, \Lambda]$ есть 
скалярный оператор, действующий на $k$-формах умножением
на $n-k$.}


\утверждение 
Операторы $L, \Lambda, H$ образуют алгебру Ли,
изоморфную ${\goth sl}(2)$, с соотношениями
$[L, \Lambda] =H, \ \ [H, L]= 2 L, \ \ [H, \Lambda] = -2 \Lambda.$

\определение
$L, \Lambda, H$ называется {\бф \блуе 
$\goth{sl}(2)$-тройкой Лефшеца}.

\newpage

{\bf \blue Положительные линейные расслоения}

\утверждение
Пусть $\omega$ -- (1,1)-форма с целочисленным
классом когомологий на компактном кэлеровом многообразии. 
{\бф\ред Тогда $\omega$ есть кривизна
голоморфного линейного расслоения.}

\определение
Голоморфное линейное расслоение называется {\бф\блуе положительным},
если его первый класс Черна когомологичен кэлеровой форме.

{\бф \греен Теорема 1:}
(теорема Кодаиры-Накано) 
{\бф \ред Положительное линейное расслоение 
на компактном кэлеровом многообразии обильно.}

{\бф \греен Теорема 2:} (теорема Кодаиры-Накано) 
Пусть $B$ -- голоморфное эрмитово расслоение
на $n$-мерном кэлеровом многообразии,
$\Theta_B$ -- кривизна связности Черна, $L_{\Theta_B}$ --
оператор умножения на $\Theta_B$. Предположим, что
самосопряженный оператор $H_B:=-\1[L_{\Theta_B}, \Lambda]$
удовлетворяет $(H_B(x), x)<0$ для любой ненулевой $k$-формы $x$, $k<n$.
{\bf \red Тогда $H^p(B\otimes \Omega^q M)=0$ для любых $p+q <n$.}

\newpage

{\bf \blue Отрицательные расслоения и когомологии}

\замечание
Если $E,F$ векторные расслоения, то 
$\Theta_{E\otimes F} = \Theta_E + \Theta_F$.
Если $L$ линейное расслоение, то $\Theta_{L^*}=- \Theta_L$.

\определение
Если $L^*$ положительно, 
то расслоение $L$ называется {\бф \блуе отрицательным.}

\замечание Если $L$ есть отрицательное расслоение
на $(M,\omega)$, причем $-\1\omega$ есть кривизна $L^*$, 
то  $H_L:=-\1[L_{\Theta_L}, \Lambda]= -H$.
{\бф \ред На $p$-формах это 
умножение на $p-n$}. {\bf \purple Поэтому $L$ удовлетворяет
условиям теоремы 2. Значит, $H^p(L\otimes \Omega^q M)=0$ 
для любых $p+q <n$.}

\newpage

{\bf \blue Теорема Кодаиры-Накано: доказательство}

\замечание
Оператор $H_{E\otimes F}$ выражается как 
$H_{E\otimes F}= H_E + H_F$. Поэтому
$H_{B\otimes L^N} = H_B- N H$. Для $N > \alpha$,
где $\alpha$ есть самое большое собственное значение
$H_B$, имеем 
\[ (H_{B\otimes L^N}x, x)= (H_B x, x)- N(n-k)|x|^2< 0.
\] 
{\bf \purple Теорема 2 дает $H^p(L^N\otimes B \otimes \Omega^q M)=0$ 
для любых $p+q <n$.}

\следствие 
Пусть $L$ -- отрицательное расслоение. Тогда
{\бф \ред для каждого $B$ надется $N$ такой, что
$H^i(L^{-N} \otimes B)=0$ для $i >0$. }

\доказательство Применяем предыдущее
замечание к $B^* \otimes K$ и пользуемся двойственностью
Серра 
\[ 0 = H^{n-i} (L^N\otimes B^* \otimes K)= H^i(B \otimes
       L^{-N})^*.
\]
\ендпрооф 

\замечание
Мы доказали, что теорема 1 следует из теоремы 2.


\newpage

{\bf \blue Соотношения Кодаиры}

\утверждение
Пусть $B$ -- голоморфное эрмитово расслоение,
снабженное связностью Черна $\nabla = \bar\6 + \6$, где
$\6= \nabla^{1,0}$. Тогда на $B$-значных формах имеем
\[
 [\Lambda, \6] = \1 \bar\6^*,  \ \ \ 
 [\Lambda, \bar\6] = - \1 \6^*,  \ \ \ 
  [L, \bar\6^*] = - \1 \6, \ \ \ 
 [L, \6^*] = \1 \bar\6.
\]
\доказательство Тот же самый аргумент, что
и для форм.

\замечание Кривизна связности Черна: 
$\Theta_B=\{\6, \bar\6\}$ 

\следствие
Из супер-тождества Якоби следует
\begin{multline*} 
 [\Lambda, \Theta_B]= [\Lambda, \{\6, \bar\6\}] =
 \{[\Lambda, \6], \bar\6\} + \{\6,  [\Lambda, \bar\6]\}\\
 = \1 \{\bar\6^*, \bar\6\} - \1\{\6^*, \6\}= 
 \1 \Delta_{\bar\6} - \1 \Delta_{\6}.
\end{multline*}
{\бф \ред Это дает $\Delta_{\bar\6} =  \Delta_{\6} - H_B$.}
 
\замечание
Операторы $\Delta_{\bar\6}$ и $\Delta_{\6}$ {\бф \blue положительные},
то есть удовлетворяют $(\Delta_{\bar\6}x, x) \geq 0$ и
$(\Delta_{\6}x, x)\geq 0$.

{\бф \пурпле Если $(H_Bx, x) <0$, то $(\Delta_{\bar\6}x,x)>0$,
значит, $\Delta_{\bar\6}$ не может иметь ядра.}

{\бф \ред Это доказывает Теорему 2.}




\end{document}

