\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 21.11.2010

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   21.11.2010}

\begin{document}


\listok{9}{Комплексные многообразия 9:\\ голоморфные расслоения}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 9}

\определение
Связность называется {\бф совместимой с голоморфной структурой}, 
если $\nabla^{0,1}=\bar\6$.
\ео

\задача
Пусть $B$ -- голоморфное расслоение,
а $\nabla$ -- связность, совместимая с голоморфной
структурой, причем $\nabla(b)$ голоморфно для любого
голоморфного $b$. Докажите, что кривизна $\nabla$ -- (2,0)-форма.
\ез


\замечание
В терминологии Атьи, такая связность называется
{\бф голоморфной}.\footnote{Иногда люди называют "голоморфной"
связность, совместимую с голоморфной структурой.}
\еза

\задача
Пусть $\nabla$ -- связность на голоморфном расслоении,
совместимая с голоморфной структурой, причем
ее кривизна -- (2,0)-форма.
Докажите, что это голоморфная связность.
\ез

\задача
Пусть $L$ - линейное расслоение
на компактном кэлеровом многообразии, допускающее
голоморфную связность с кривизной $\Theta$.
Докажите, что $\Theta=0$.
\ез

\задача
Пусть $L$ -- линейное расслоение на компактном
комплексном многообразии $M$, причем $c_1(L)=0$.
Всегда ли найдется плоская эрмитова
связность на $L$? А плоская связность,
согласованная с голоморфной структурой?
А если $M$ кэлерово?
\ез


\задача
Пусть $(L,h)$ - голоморфное линейное эрмитово
расслоение, причем соответствующая связность Черна
плоская.  Докажите, что $h$ однозначно с точностью до
константы задается 
голоморфной структурой на $L$.
\ез

\задача
Пусть $L$ -- нетривиальное
голоморфное линейное эрмитово расслоение на
компактном комплексном многообразии
а $-\1\Theta$ -- кривизна связности Черна. Предположим, что $\Theta \leq 0$,
то есть все собственные значения $\Theta$ неположительны.
Докажите, что у $L$ нет голоморфных сечений.
\ез

\end{document}