\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 14.11.2010
% version 2.0, 18.11.2010, ужасные ошибки

\newcommand{\version}{version 2.0,\ \   18.11.2010}

\begin{document}


\listok{8}{Комплексные многообразия 8:\\ когомологии Дольбо}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 8}

\задача
Докажите, что группа $i$-х когомологий, $i>0$, пучка замкнутых $(1,1)$-форм
изоморфна $H^{i-1}(\calo_M) \oplus \overline{H^{i-1}(\calo_M)}$,
где $\overline{H^{i-1}(\calo_M)}$ обозначает комплексное сопряжение.
\ез

\задача
Докажите, что на римановом многообразии
лапласиан $C^\infty M \stackrel \Delta \arrow C^\infty M$
задает сюрьективное отображение пучков. Вычислите
группу $i$-х когомологий, $i>0$, пучка гармоничных
функций.
\ез


\задача
Пучок ${\cal F}$ на $M$ называется {\бф мягким}, если для каждого 
замкнутого подмножества $Z \subset M$, и каждого ростка
$v\in{\cal F}\restrict Z$ над $Z$, $v$ продолжается до
глобального сечения. Докажите, что на компактном
многообразии, любой мягкий пучок -- тонкий, и наоборот.
\ез

\def\Ham{\operatorname{Ham}}

\задача
Векторное поле $v$ на симплектическом многообразии
$(M,\omega)$ называется {\бф гамильтоновым}, если
$\Lie_v\omega=0$. Докажите, что для $i\geq 1$, 
имеет место изоморфизм $H^i(\Ham М)\cong H^{i+1}(M)$
где $\Ham M$ обозначает пучок гамильтоновых векторных
полей. 
\ез

\задача
Докажите, что на одномерном комплексном многообразии
вторые когомологии пучка мероморфных функций (по сложению) равны нулю.
\ез

\задача
Пучок ${\cal F}$ на $M$ называется {\бф вялым}, если
отображение ограничения \[ \Gamma_M({\cal F})\arrow \Gamma_U({\cal F})\]
сюрьективно для каждого открытого $U$. Докажите, что любой
пучок вкладывается в вялый пучок.
\ез

%\задача
%(теорема Кодаиры о стабильности)
%Пусть $(M,I,\omega)$ -- компактное кэлерово многообразие.
%Обозначим за $d_{C^1}$ $C^1$-метрику на пространстве
%тензоров $\nu \in \End(TM)$.
%Докажите, что существует $\epsilon >0$ такой, что
%для любой комплексной структуры $I'$ с $d_{C^1}(I,I') < \epsilon$, 
%$(M,I')$ тоже допускает кэлерову структуру.
%\ез





\end{document}