\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.1, 01.11.2010


\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   08.11.2010}

\begin{document}


\listok{7}{Комплексные многообразия 7:\\ когомологии Дольбо}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 7}

\задача
Пусть $\eta$ -- замкнутый поток на шаре в $\R^n$. Докажите,
что $\eta$ точен.
\ез

\задача

Пусть $Х$ есть $\R^n$, с плоской метрикой. Определим
обобщенную функцию $N$ на $X$ формулой 
\[ N(x):=\begin{cases}\frac 1 {2\pi} \log |x|, & \text{\ если\ $n=2$}\\
- \frac 1 {(n-2) \sigma_{n-1}}|x|^{2-n}, & \text{\ если\
$n\neq 2$}
\end{cases}
\]
где $\sigma_{n-1}$ -- объем $n$-мерной сферы.
Докажите, что $\Delta(N) = \delta_0$, где $\Delta$ есть
стандартный оператор Лапласа.
\ез

\задача
(локальная $dd^c$-лемма).
Пусть $\eta$ есть $(p,q)$-форма он $\C^n$, которая
замкнута, причем $p, q \geq 1$. Докажите, что
$\eta = dd^c \alpha$.
\ез

\задача
Пусть $dd^cf=0$, где $f$ -- функция на комплексном многообразии.
Докажите, что $f$ есть сумма голоморфной и антиголоморфной функции.
\ез

\задача
Пусть $\eta$ -- замкнутая (1,1)-форма с компактным носителем на 
$\C^n$, $n>1$. Докажите, что $\eta= dd^c f$, где $f$ -- функция 
с компактным носителем.
\ез

\задача
Пусть $f$ -- непрерывная функция на комплексном
многообразии $M$, голоморфная в открытом, плотном
подмножестве $U\subset M$. Докажите, что $f$
голоморфна.
\ез

\задача
Постройте голоморфную функцию $f$ на открытом шаре $B \subset \C^n$,
такую, что $f$ не продолжается голоморфно ни на какое
открытое подмножество $B' \supset B$.
\ез


\задача
Определим {\бф когомологии Ботта-Черна}
$H^{1,1}_{BC}(M)$ как группу замкнутых $(1,1)$-форм по модулю
образа $dd^c$. На произвольном комплексном
многообразии постройте точную последовательность
\[
H^0(\Omega^1(M)) \oplus \overline{H^0(\Omega^1(M))} \arrow
H^1({\cal O}_M) \oplus \overline{H^1({\cal O}_M)} \arrow
H^{1,1}_{BC}(M) \arrow H^2(M)
\]
Здесь $H^0(\Omega^1(M))$ -- глобальные 1-формы,
$H^1({\cal O}_M)$ -- когомологии пучка голоморфных функций, а
$\overline{\cdots}$ обозначает комплексно-сопряженное
векторное пространство.
\ез

\end{document}
