\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.1, 01.11.2010


\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   01.11.2010}

\begin{document}


\listok{6}{Комплексные многообразия 6:\\ когомологии Дольбо}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 6}


\задача 
Пусть $M$ -- компактная кэлерова поверхность
(многообразие комплексной размерности 2). {\бф Сигнатура}
четырехмерного многообразия $\sigma(M)$ есть сигнатура формы
пересечения на $H^2(M)$. Докажите, что
$\sigma(M)= 2 h^{2,0}(M) - h^{1,1} +2$,
где $h^{p,q}(M):=\dim H^{p,q}(M)$.
\ез


\задача
Пусть $F$ -- точная, голоморфная $p$-форма
на $p$-мерном компактном комплексном многообразии.
Докажите, что $F=0$.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- компактная комплексная поверхность
(не обязательно кэлерова).
Докажите, что все голоморфные формы 
на $M$ замкнуты.
\ез

\задача
Пусть $(M,I, \omega)$ -- почти комплексное $n$-мерное эрмитово
многообразие, а \\ $D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$
-- дифференциальный оператор 
второго порядка на функциях, заданный
формулой \[ D(f)= \frac{dd^c (f\wedge \omega^{n-1})}{\omega^n}.\]
Докажите, что $D$ пропорционален оператору Лапласа.
\ез

\задача
Пусть $\eta$ -- $k$-форма на вещественном многообразии,
$L_\eta(t):= \eta \wedge t$, а $\Lambda_\eta:= (-1)^{\deg\eta}*L_\eta*$
-- сопряженный оператор. Докажите, что $\Lambda_\eta$
имеет порядок $k$ как дифференциальный оператор на 
алгебре де Рама.
\ез




\end{document}