\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 17.10.2010


\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   17.10.2010}

\begin{document}

\listok{5}{Комплексные многообразия 5:\\ супералгебры Ли
и комплекс де Рама}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 5}

\задача
Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие,
$d$ -- дифференциал де Рама, а $d=\bigoplus_{p+q=1}d^{p,q}$
его разложение Ходжа. Докажите, что $d^{p,q}=0$ для
$p>2$. Докажите, что оператор $d^{2,-1}$ -- 
$C^\infty M$-линейный.
\ез

\задача
Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие.
Докажите, что $(d^{1,0})^2=0$ $\Leftrightarrow$ 
$I$ интегрируемо.
\ез

\задача
Постройте бесконечномерное, неприводимое представление
$\goth{sl}(2)$. 
\ез

\задача
Пусть $V$ -- конечномерное
неприводимое вещественное представление
$SU(2)$, снабженное $SU(2)$-инвариантным,
невырожденным скалярным произведением $g$.
Докажите, что $g$ знакоопределено. Верно ли 
то же самое для группы $SL(2, \R)$?
\ез

\задача[*]
Пусть $\eta$ есть параллельная форма
на римановом многообразии, а $\eta'$ -- гармоническая
форма. Докажите, что $\eta\wedge \eta'$ гармонична.
\ез

\задача
Пусть $\eta$ -- гармоническая форма
на компактной группе Ли $G$, снабженной
би-инвариантной метрикой. Докажите, что
$\eta$ би-инвариантна.\footnote{Би-инвариантная
форма есть форма, инвариантная справа и слева.}
\ез




\end{document}