\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 11.10.2010
% version 1.1, 12.10.2010, опечатка в третьей задаче

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   12.10.2010}

\begin{document}

\listok{4}{Комплексные многообразия 4:\\ почти комплексные структуры и кручение}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 4}

\задача
Пусть $\Psi:\; A \arrow A'$ -- отображение
аффинных пространств, причем $\dim A >1$.
Предположим, что $\Psi$ переводит прямые в
прямые. Следует ли из этого что $\Psi$ аффинно?
\ез

\задача
Пусть $М$ -- симплектическое многообразие.
Постройте связность без кручения, сохраняющую
симплектическую структуру (то есть
 удовлетворяющую $\nabla \omega=0$).
\ез

\задача
Пусть $М$ -- комплексное многообразие.
Постройте связность без кручения, сохраняющую
комплексную структуру (то есть $\nabla I =0$).
\ез

\задача
Пусть $(M,I, \omega)$ -- почти комплексное
эрмитово многообразие, $\dim_\C M =2$. Всегда
ли найдется связность $\nabla$ с тотально антисимметричным
кручением, такая, что $\nabla(I)=\nabla(\omega)=0$?
\ез

\задача
Пусть $(M, x, \Omega)$ -- вещественное многообразие
с заданной на нем формой объема $\Omega$ и нигде
не зануляющимся векторным полем $x$, причем
$\Lie_x \Omega=0$. Всегда
ли найдется связность $\nabla$ без кручения, такая,
что $\nabla(x)=\nabla(\Omega)=0$?\footnote{Такая связность
называется связностью Бисмута.}
\ез

\задача
Пусть $\omega$ -- невырожденная 2-форма на четномерном
римановом многообразии $М$, причем $\nabla(\omega)=0$,
где $\nabla$ -- связность Леви-Чивита. Докажите, что
$M$ допускает комплексную структуру $I$, такую, что
$\nabla(I)=0$.
\ез

\задача
Пусть $I, g$ -- левоинвариантная комплексная
эрмитова структура на группе Ли, причем 
метрика $g$ инвариантна как справа, так 
и слева. Обозначим за $T$ кручение соответствующей
связности Бисмута. Докажите, что $T(x,y)= [x,y]$
для любой пары левоинвариантных векторных полей $x,y$.
\ез


\задача
Пусть $G$ -- компактная группа Ли с левоинвариантной
комплексной структурой и левоинвариантной 
кэлеровой метрикой. Докажите, что $G$ коммутативна.
\ез




\end{document}