\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 19.09.2010

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   19.09.2010}

\begin{document}

\listok{2}{Комплексные многообразия 2:\\ почти комплексные многообразия}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 2}

\задача
Пусть $(М, I)$ -- однородное почти комплексное многообразие,
то есть снабженное транзитивным действием группы Ли $G$, 
сохраняющей почти комплексную структуру.
Предположим, что у точки $x\in M$
задан стабилизатор $g\in G$.

а. Пусть $g\restrict{T_xM}=-1$ (в таком случае
$M$ называется {\бф симметрическое многообразие}).
Всегда ли $(M,I)$ интегрируемо?

б.  Пусть $g\restrict{T_xM}=2$.
Всегда ли $(M,I)$ интегрируемо?

в. Пусть все собственные
значения $g\restrict{T_xM}$ не равны 1.
Всегда ли $(M,I)$ интегрируемо?
\ез

\задача
Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное
многообразие, снабженное связностью $\nabla$ без кручения,
причем $\nabla(I)=0$. Докажите, что оно интегрируемо.
\ез

\задача
Приведите пример почти комплексного многообразия $(M,I)$, $\dim_\R M=6$,
на котором росток любой голоморфной функции -- нулевой.
\ез

\задача
Может ли такое быть, если $\dim_\R M=4$?
\ез

\задача
Пусть $(M, I, \Omega)$ -- почти комплексное
многообразие вещественной размерности $2n$, 
снабженное невырожденной комплекснозначной
формой $\Omega\in \Lambda^{n,0}(M)$. Предположим, что
$d\Omega=0$. Докажите, что $(M,I)$ интегрируемо.
\ез

\задача
Многообразие, снабженное распределением $B\subset TM$ коразмерности 1,
таким, что форма Фробениуса $[B,B] \arrow TM/B$ невырождена, называется
{\бф контактным}.

а. Постройте контактную структуру на нечетномерной сфере.

б. Постройте однородное компактное контактное
многообразие, не диффеоморфное сфере.
\ез

\задача
Пусть $(M,B)$ -- контактное многообразие.
Докажите, что любые две точки можно соединить
кусочно гладким путем, касательным к $B$
в каждой точке.
\ез

\задача
Пусть $M$ --  многобразие, снабженное транзитивным
действием группы $G$, а $B\subset TM$ -- 
$G$-инвариантное распределение. Предположим, что у точки $x\in M$
задан стабилизатор $g\in G$, причем $g\restrict{T_xM}=-1$.
Всегда ли $B$ интегрируемо?
\ез




\end{document}