\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 18.04.2011

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   18.04.2011}

\begin{document}


\listok{17}{Комплексные многообразия 17: кольцо ростков голоморфных функций}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 17: кольцо ростков}


\задача
Докажите, что кольцо $\C[[t_1, ... t_k]]$
степенных рядов нетерово.
\ез

\задача
Докажите, что кольцо $\calo_n$ ростков голоморфных функций
целозамкнуто.
\ез

\задача
Пусть $f:\; \C^n \arrow \C^n$ -- голоморфное отображение.
Докажите, что множество, где дифференциал $df$ не изоморфизм, задается
одним голоморфным уравнением (это множество
называется {\бф дивизором ветвления} $f$).
\ез


\задача
Назовем точку $z\in Z$ комплексно-аналитического
подмножества $Z\subset M$ {\бф гладкой}, если
в какой-то окрестности $z$, $Z$ биголоморфно шару.
Докажите, что у любого комплексно-аналитического
подмножества есть гладкие точки.
\ез

\задача
Пусть $Z\subset M$ -- 
комплексно-аналитическое подмножество,
а $Z_{sing}\subset Z$ -- множество особых
точек $Z$. Докажите, что $Z_{sing}$ -- тоже
комплексно-аналитическое подмножество.
\ез

\задача
Предположим, что $Z\subset M$ -- неприводимое
комплексно-аналитическое подмножество. Докажите, что
$Z \backslash Z_{sing}$ линейно связно.
\ез

\задача
Пусть $Z\subset M$ -- неприводимое
комплексно-аналитическое подмножество,
а $x,y$ -- гладкие точки. Докажите, что
размерность $Z$ в окрестности $x$ такая
же, как размерность $y$.
\ез


\задача
Пусть $Z\ni x$ -- росток неприводимого комплексно-аналитического
подмножества в точке $x$, а $k$ -- коразмерность
$Z$ в гладких точках. Докажите, что $Z$ -- одна из неприводимых
компонента ростка комплексно-аналитического
подмножества, заданного $k$ уравнениями.
\ез


\задача
Пусть $V\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое
подмножество, заданное $k <n$ уравнениями. Докажите, что
при есть голоморфное отображение $\C^n \arrow \C^k$,
которое сюрьективно отображает $V$ на $\C^k$.
\ез

\задача
Пусть $Z\subset \C^n$ -- компактное
комплексно-аналитическое
подмножество. Докажите, что $Z$ конечно.
\ез




\end{document}
