\documentclass[12pt]{article} \input{listki.tex} % version 1.0, 18.04.2011 \newcommand{\version}{version 1.0,\ \ 18.04.2011} \begin{document} \listok{17}{Комплексные многообразия 17: кольцо ростков голоморфных функций} \lhead{\small Комплексные многообразия, листок 17: кольцо ростков} \задача Докажите, что кольцо $\C[[t_1, ... t_k]]$ степенных рядов нетерово. \ез \задача Докажите, что кольцо $\calo_n$ ростков голоморфных функций целозамкнуто. \ез \задача Пусть $f:\; \C^n \arrow \C^n$ -- голоморфное отображение. Докажите, что множество, где дифференциал $df$ не изоморфизм, задается одним голоморфным уравнением (это множество называется {\бф дивизором ветвления} $f$). \ез \задача Назовем точку $z\in Z$ комплексно-аналитического подмножества $Z\subset M$ {\бф гладкой}, если в какой-то окрестности $z$, $Z$ биголоморфно шару. Докажите, что у любого комплексно-аналитического подмножества есть гладкие точки. \ез \задача Пусть $Z\subset M$ -- комплексно-аналитическое подмножество, а $Z_{sing}\subset Z$ -- множество особых точек $Z$. Докажите, что $Z_{sing}$ -- тоже комплексно-аналитическое подмножество. \ез \задача Предположим, что $Z\subset M$ -- неприводимое комплексно-аналитическое подмножество. Докажите, что $Z \backslash Z_{sing}$ линейно связно. \ез \задача Пусть $Z\subset M$ -- неприводимое комплексно-аналитическое подмножество, а $x,y$ -- гладкие точки. Докажите, что размерность $Z$ в окрестности $x$ такая же, как размерность $y$. \ез \задача Пусть $Z\ni x$ -- росток неприводимого комплексно-аналитического подмножества в точке $x$, а $k$ -- коразмерность $Z$ в гладких точках. Докажите, что $Z$ -- одна из неприводимых компонента ростка комплексно-аналитического подмножества, заданного $k$ уравнениями. \ез \задача Пусть $V\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое подмножество, заданное $k