\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 11.04.2011

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   11.04.2011}

\begin{document}


\listok{16}{Комплексные многообразия 16: многообразия Калаби-Яу}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 16: многообразия Калаби-Яу}

\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{grad}}
\newcommand{\Cl}{\operatorname{{\cal C}\!\ell}}

\задача
Пусть $M$ -- $2n+1$-мерное кэлерово 
многообразие с группой локальных голономий
$SU(2n+1)$. Докажите, что
каноническое расслоение $K(M)$ тривиально.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- $2n$-мерное кэлерово 
многообразие с группой локальных голономий
$SU(2n)$. Докажите, что либо $K(M)$
тривиально, либо $\pi_1(M)=\Z/2\Z$. 
\ез




\указание
Используйте конечность $\pi_1(M)$
для многообразий Калаби-Яу, разложение
Богомолова которых не содержит комплексных 
торов.
\еу


\задача
Пусть $\Omega$ -- ненулевая (3,0)-форма
на трехмерном комплексном пространстве $V$,
а $\Re\Omega$ -- ее вещественная часть.
Докажите, что стабилизатор $Re\Omega$
в $GL(6,\R)$ изоморфен $GL(3, \C)$.
\ез

\задача
Докажите, что комплексная структура
на трехмерном многообразии Калаби-Яу
однозначно задается формой $Re\Omega$,
где $\Omega$ -- форма голоморфного объема.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- гладкое шестимерное многообразие,
а $\rho$ -- замкнутая вещественная 3-форма,
такая, что $St_{GL(6)}(\rho\restrict m) \cong GL(3, \C)$
в каждой точке $m\in M$. Всегда ли
$\rho$ получается как вещественная
часть голоморфной формы объема на
многообразии Калаби-Яу?
\ез

\задача
Пусть $g$ -- кэлерова метрика с нулевой
скалярной кривизной на компактном многообразии с тривиальным
каноническим расслоением. Докажите, что
$g$ риччи-плоская.
\ез

\задача
Приведите пример компактного кэлерова многообразия
с нулевой скалярной кривизной и нетрициальной
кривизной Риччи.
\ез

\задача
Пусть $T$ -- двумерный комплексный компактный
тор, $\Sym^2 T$ -- симметрический квадрат $T$, а $T^{[2n]}$ --
раздутие диагонали в $\Sym^2 T$. Докажите, что
$T^{[2n]}$ гладко и голоморфно симплектично.
\ез

\задача
Рассмотрим естественное действие $T$ на $T^{[2n]}$,
и пусть $M$ есть фактор $T^{[2n]}$ по $T$. Докажите, что
$M$ -- гладкое 2-мерное многообразие Калаби-Яу.
\ез

\замечание
Оно называется {\бф куммеровой поверхностью К3}.
\еза

\end{document}
