\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 04.04.2011

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   04.04.2011}

\begin{document}


\listok{15}{Комплексные многообразия 15: спиноры и оператор Дирака}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 15: оператор Дирака}

\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{grad}}
\newcommand{\Cl}{\operatorname{{\cal C}\!\ell}}

\задача
Докажите, что произведение спин-многообразий - снова спин-многообразие.
\ез

\задача
Пусть $s\in S$ -- спинор, а $f\in C^\infty M$ -- функция.
Докажите, что $D(fs)= f D(s) + \sigma(\grad f, s)$,
где $D$ есть оператор Дирака, а $\sigma$ -- клиффордово
умножение.
\ез

\задача
Пусть $s\in S$ -- спинор, а $x\in TM$ -- векторное поле.
Докажите, что $D(\sigma(x,s))= -\sigma(X, D(s))-2 \nabla_x s
- \sigma(\nabla(x),s)$,
где последняя $\sigma$ есть клиффордово умножение 
$\nabla(x) \in TM\otimes \Lambda^1 M =TM\otimes TM$ 
на спиноры.
\ез

%\определение
%Определим {\бф \блуе кривизну Риччи} риманова многообразия
%как след кривизны, $\Ric:= \Tr_{13} R_{ijkl}$.
%\ео
%
%\задача
%Докажите, что кривизна Риччи -- симметрическая 2-форма.
%\ез
%
%\задача
%Пусть $\Theta\in \Lambda^2 M \otimes \End S$ -- кривизна
%связности Леви-Чивита на спинорах, а $x\in TM$. Рассмотрим 
%$\Theta(x, \cdot)$ как сечение $T^*M \otimes \Cl(TM)$.
%Докажите, что его образ при клиффордовом умножении
%равен $\Ric(x, \cdot)\in T^*M =TM \subset \Cl(TM)$.
%\ез
%
%\задача


\определение
Спинор $s$ называется {\бф  киллинговым} с константой Киллинга $c$,
если $\nabla_X s = c \sigma(X, s)$.
\ео

\задача
Пусть $s$ -- киллингов спинор, который зануляется
в $m\in M$. Докажите, что $s=0$.
\ез

\задача
Пусть $s$ -- ненулевой киллингов спинор на
римановом многообразии $M$. Докажите, что
\[
[\nabla_X \nabla_Y] s = \nabla_{[X,Y]} s + c^2 \sigma(XY, s). 
\]
Выведите из этого, что
скалярная кривизна $M$ постоянна.
\ез

\задача
Пусть многообразие $M$ допускает ненулевой
киллингов спинор с $c\neq 0$. Докажите, что 
группа голономий $M$ максимальна, то есть 
содержит $SO(n)$.
\ез

\end{document}
