\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 28.03.2011

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   28.03.2011}

\begin{document}


\listok{14}{Комплексные многообразия 14:\\ спиноры}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 14: спиноры}

\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\Cl}{\operatorname{{\cal C}\!\ell}}

\задача
Пусть $\psi\in S$ -- спинор над $V$, 
а $S \otimes V \stackrel \sigma \arrow S$ --
клиффордово умножение. Обозначим за $K(\psi)$
множество всех $v\in V$ таких, что $\sigma (\psi, v)=0$.
Докажите, что $\dim K(\psi) \leq \frac 1 2 \dim V$ для ненулевых $\psi$.
\ез

\определение \ \\
{\бф Чистый спинор} есть спинор $\psi$, для которого
выполнено $\dim K(\psi) = \frac 1 2 \dim V$.
\ео

\задача
Докажите, что для $\dim_\C V = 2n \leq 6$, все спиноры чистые.
\ез

\задача
Найдите размерность пространства чистых спиноров.
\ез


\задача
Найдите центр $\Spin(n)$.
\ез

\задача
Докажите, что группа $\Spin(n)$ односвязна для $n \geq 3$.
\ез

\задача
Постройте изоморфизм $\Spin(5) \cong Sp(2)$.
\ез

\задача
Постройте изоморфизм $\Spin(6) \cong SU(4)$.
\ез

\задача
Докажите, что каждое  
многообразие допускает $\Spin^c$-структуру.
\ез

\задача
Постройте  $\Spin$-структуру на $\R P^2$,
или докажите, что ее не бывает.
\ез


\задача
Постройте  $\Spin$-структуру на $\C P^2$,
или докажите, что ее не бывает.
\ез


\end{document}
