\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 21.03.2011

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   21.03.2011}

\begin{document}


\listok{13}{Комплексные многообразия 13:\\ спиноры}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 13: спиноры}

\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\Cl}{\operatorname{{\cal C}\!\ell}}
\задача
Докажите, что естественное отображение 
$V \arrow \Cl(V)$ инъективно.
\ез

Пусть $V$ -- векторное пространство над $\C$ с невырожденным
скалярным произведением,
а $S$ -- спиноры на нем.

\задача
Докажите, что естественное клиффордово
умножение на $v\in V\subset\Cl(V)$ 
задает сюрьективное отображение
$V \otimes S \arrow S$.
\ез

\задача
Докажите, что клиффордово умножение на $v\in V\subset\Cl(V)$
переводит $\Cl^+(V)$ в $\Cl^-(V)$ и наоборот.
\ез

\задача
Докажите, что $\Spin(3, \C)\cong SL(2, \C)$.
\ез

\определение
Определим $\Spin(n, \R)$ как подгруппу
накрытия $\Spin(n, \C)\arrow SO(n, \C)$,
которая остается на месте при антикомплексной
инволюции, полученной поднятием из стандартной инволюции
на $SO(n, \C)$.
\ео

\задача
Докажите, что эта инволюция всегда поднимается
до инволюции $\Spin(n, \C)$.
\ез

\задача
Докажите, что $\Spin(3, \R) \cong SU(2)$.
\ез

\задача
Докажите, что $\Spin(n,\R)$ -- нетривиальное накрытие
$SO(n)$ для любого $n\geq 3$.
\ез

\end{document}
