\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 14.03.2011

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   14.03.2011}

\begin{document}


\listok{12}{Комплексные многообразия 12:\\ теорема Калаби-Яу}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 12}


\задача
Пусть $\frac{(\omega+ dd^c \phi)^n}{\omega^n}= A e^f$
решение уравнения Монжа-Ампера, с ненулевой константой $A$.
Докажите, что форма $\omega+ dd^c \phi$ кэлерова.
\ез


\задача
Обозначим за 
$MA(\phi)$ функционал
$MA(\phi):= \log\frac{(\omega+ dd^c \phi)^n}{\omega^n}$.
Докажите, что на компактном кэлеровом многообразии $M$ любое решение
уравнения $MA(\phi) = f+\phi$ ограничено константой,
которая зависит от $f\in C^\infty M$ и геометрии $M$.
\ез


\определение
{\бф Сильно положительная форма} есть вещественная $(p,p)$-форма,
полученная как линейная комбинация произведений неотрицательно
определенных эрмитовых форм с положительными коэффициентами,
{\бф слабо положительная форма} есть вещественная $(p,p)$-форма, 
удовлетворяющая
$\eta(\zeta_1, I(\zeta_1), ..., \zeta_{k}, I(\zeta_{k}))\geq 0$
для любого набора из $k$ векторов $\zeta_i \in TM$.
\ео

\задача
Докажите, что любая
сильно положительная форма слабо положительна.
\ез

\определение
Пусть $V$ -- векторное пространство, а $K\subset V$ выпуклый конус,
т.е. выпуклое подмножество, которое сохраняется гомотетиями
с положительным коэффициентом, а $g:\; V\times V'\arrow \R$ --
невырожденное спаривание. Конус $K'\subset V'$ называется
{\бф двойственным} к $K$, если 
\[ x\in K \Leftrightarrow \forall y \in K',\ \  g(x,y) \geq 0
\]
\ео

\задача
Пусть $K$ -- открытый конус. Всегда ли двойственный к нему конус открыт?
\ез


\задача
Пусть $M$ -- компактное комплексное многообразие
Рассмотрим спаривание $\Lambda^{p,p}M \times \Lambda^{n-p,n-p}M$,
$\alpha, \beta \arrow \int_M\alpha\wedge\beta$.
Докажите, что конус слабо положительных форм двойственный к 
конусу сильно положительных.
\ез

\задача
Пусть $\dim_\C M=3$. Докажите, что любая
слабо положительная форма на $M$ сильно
положительна.
\ез

\задача
Найдите слабо положительную (2,2)-форму на 4-мерном
комплексном многообразии, которая не сильно положительна.
\ез

\задача
Пусть $P$ -- строго сильно положительная
форма (то есть форма, лежащая во внутренности конуса сильно
положительных форм) на компактном кэлеровом многообразии, 
а $f$ -- функция, такая, что $dd^c f\wedge P=0$. Докажите, что 
$f$ -- константа.
\ез



\end{document}
