\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 28.02.2011

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   28.02.2011}

\begin{document}


\listok{11}{Комплексные многообразия 11:\\ кэлеровы многообразия и голономия}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 11}

\задача
Придумайте пример ориентированного 
риманова многообразия, у которого локальная
голономия не равна глобальной.
\ез

\задача
Найдите все двумерные, компактные римановы
многообразия с тривиальной голономией.
\ез

\задача
Найдите двумерное, компактное многообразие,
группа голономий которого конечна.
\ез

\задача
Найдите двумерное, компактное риманово
многообразие с несвязной, бесконечной группой голономий.
\ез

\определение
Симметрическое многообразие есть риманово многообразие $M$,
снабженное набором изометрий $i_x$, для любой точки
 $x\in M$. При этом $i_x$ сохраняет $x$, является инволюцией,
а на $T_xM$ действует как $-1$.
\ео

\задача
Докажите, что группа изометрий симметрического многообразия
действует на нем транзитивно.
\ез


\определение
Кососимметричная 2-форма на векторном пространстве 
$V$ называется {\бф невырожденной}, если она
симплектична. Для $i>2$, $i$-форма $\rho$ называется
{\бф невырожденной}, если для каждого
нигде не зануляющегося векторного поля $X$,
контракция $\rho$ с $X$\footnote{{\bf Контракцией} формы
$\rho$ с векторным полем $X$ называется форма  
$\rho(X, \cdot, \cdot, ..., \cdot)$.}
невырождена на факторе $V/\langle X\rangle$.
\ео

\задача
Найдите все $i$, $n$, для которых
на $n$-мерном пространстве есть невырожденные $i$-формы.
\ез

\задача
Пусть на $\R^7$ задана невырожденная кососимметричная
3-форма. Найдите размерность ее стабилизатора в $GL(7)$.
\ез

\задача
Пусть на векторном пространстве $\R^n$ заданы три
2-формы $\Omega_1$, $\Omega_2$, $\Omega_3$,
причем любая ненулевая линейная комбинация
$\Omega_i$ невырождена. Докажите, что $n$ 
делится на 4, а стабилизатор этих трех форм
в $GL(n)$ изоморфен $Sp(n)= SU({\Bbb H}, n)$.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- псевдориманово многообразие сигнатуры $(p,q)$ 
(многообразие с невырожденной билинейной симметрической
формой $g$ сигнатуры $(p,q)$). Докажите, что на $M$ существует
и единственна связность без кручения, сохраняющая $g$
(такая связность называется {\бф связность Леви-Чивита}).
\ез

\задача
Пусть $M$ -- псевдориманово многообразие сигнатуры $(p,q)$,
$p\neq q$, а голономия связности Леви-Чивита приводима.
Докажите, что $M$ локально разлагается в произведение
псевдоримановых многообразий меньшей размерности.
\ез

\end{document}