\documentclass[12pt]{article}




\input{listki.tex}

% version 1.1, 17.05.2011

\pagestyle{fancy} 
\lhead{\tiny НМУ, весна 2011, спецкурс} 
\lfoot{\tiny Комплексные многообразия, спецкурс НОЦ } 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny Весна 2011, задачи к экзамену}
\rhead{{\tiny  Миша Вербицкий}}


\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   17.05.2011}

\begin{document}


\renewcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{Hol}}
\newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}}
\newcommand{\St}{\operatorname{St}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{\sf Re}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Cl}{\operatorname{{\cal C}\!\ell}}

\listok{18}{Комплексные многообразия, весна 2011: \\ задачи для экзамена}
\lhead{\small Весна 2011: задачи для экзамена}

Чтобы получить зачет по разделу, надо решить
не меньше половины задач (по сумме баллов). Оценка экзамена
вычисляется по формуле $5-k$, где $k$ -- число несданных
разделов. Сдавать задачи устно, но иметь с собой
все решения (по всем подлежащим сдаче 
разделам) в записанном виде, быть готовым отвечать
на вопросы. 



\subsection{Группы голономий (8 баллов)}

\задача 
Пусть $M$ -- трехмерное ориентированное риманово многообразие,
а $x, y \arrow x\times y$ -- векторное произведение в $TM$.
Предположим, что на $M$ задан нигде не зануляющееся векторное поле
$\zeta$, такое, что $\nabla_x \zeta = x\times \zeta$.
Найдите группу голономий $M$. Найдите компактное
многообразие с таким векторным полем.
\ез

\задача
Предположим, что на римановом многообразии $(M, g)$
задано векторное поле $\zeta \in TM$ такое, что 
$\nabla \zeta = \Id \in \End TM = TM \otimes\Lambda^1 M$.
Докажите, что $\Lie_\zeta g =\lambda g$, для
какой-то константы $\lambda$. Найдите $\lambda$.
\ез

\задача[2 балла]
Докажите, что $\Hol({\Bbb H} P^n)\subset Sp(1) \cdot Sp(n)$.
\ез

\задача[2 балла]
Докажите, что $\Hol({\Bbb C} P^n)= U(n)$
(и не меньше)
\ез

\задача
Докажите, что $\Hol(S^n)= SO(n)$
(и не меньше), для $n\geq 2$.
\ез



\задача
Пусть $\eta\in \Lambda^3 (\R^7)$.
Получите оценку на размерность стабилизатора $\eta$:
\[ \dim\St_{GL(7)}(\eta)\geq 14.\]  Назовем 3-форму {\бф невырожденной},
если $\dim\St_{GL(7)}(\eta)=14$. Докажите, что 
невырожденные 3-формы лежат на открытых орбитах
$GL(7)$ в $\Lambda^3 (\R^7)$. Докажите, что есть
по крайней мере 2 такие орбиты.
\ез


\subsection{Уравнение Монжа-Ампера (6 баллов)}


\определение
{\бф Сильно положительная форма} есть вещественная $(p,p)$-форма,
полученная как линейная комбинация произведений неотрицательно
определенных эрмитовых форм с положительными коэффициентами,
{\бф слабо положительная форма} есть вещественная $(p,p)$-форма, 
удовлетворяющая
$\eta(\zeta_1, I(\zeta_1), ..., \zeta_{k}, I(\zeta_{k}))\geq 0$
для любого набора из $k$ векторов $\zeta_i \in TM$.
\ео


\определение
Пусть $V$ -- векторное пространство, а $K\subset V$ выпуклый конус,
т.е. выпуклое подмножество, которое сохраняется гомотетиями
с положительным коэффициентом, а $g:\; V\times V'\arrow \R$ --
невырожденное спаривание. Конус $K'\subset V'$ называется
{\бф двойственным} к $K$, если 
\[ x\in K \Leftrightarrow \forall y \in K',\ \  g(x,y) \geq 0
\]
\ео

\задача
Пусть $M$ -- компактное комплексное многообразие
Рассмотрим спаривание $\Lambda^{p,p}M \times \Lambda^{n-p,n-p}M$,
$\alpha, \beta \arrow \int_M\alpha\wedge\beta$.
Докажите, что конус слабо положительных форм двойственный к 
конусу сильно положительных.
\ез


\задача[2 балла]
Найдите слабо положительную (2,2)-форму на 4-мерном
комплексном многообразии, которая не сильно положительна.
\ез

\задача
Пусть $(M,I,\omega)$ -- компактное $n$-мерное эрмитово многообразие,
а $\phi$ -- гладкая функция, такая, что $\omega_1:=\omega+ dd^c \phi$ --
тоже эрмитова форма, причем $\omega_1^n=C \omega^n$, для какой-то
константы $C\in \R$. Докажите, что $C=1$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $T^n$ -- компактный тор, с плоской связностью и плоской
метрикой $g$, $f$ -- гладкая функция, а $\Hess f$ -- ее гессиан,
который мы рассматриваем как 2-форму на $T$. Предположим,
что $g_1:= g+ \Hess f$ тоже риманова метрика, причем
соответствующие формы риманова объема равны: $\Vol(g)=\Vol(g')$. 
Докажите, что $f=const$.
\ез

\subsection{Алгебры Клиффорда и спинорное представление
(7 баллов)}



\определение
{\бф Простая алгебра}
есть алгебра, не имеющая нетривиальных двусторонних идеалов.
\ео

\задача
Пусть $k$ -- поле, $\Char k \neq 2$, а $V$ -- векторное
пространство над $k$ с невырожденной билинейной симметрической
формой. Докажите, что $\Cl(V)$ есть простая
алгебра, либо сумма двух таких алгебр.
\ез



\задача
Постройте изоморфизм $\Spin(5) \cong Sp(2)$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь изоморфизмом
$\Cl(5) = \Mat(2, {\Bbb H}) \oplus \Mat(2, {\Bbb H})$.
\еу


\задача
Постройте изоморфизм $\Spin(6) \cong SU(4)$.
\ез
\указание
Постройте вещественную структуру и метрику на шестимерном
пространстве $\Lambda^2 (\C^4)$, и докажите, что $SU(4)$
накрывает соответствующую группу автоморфизмов
$\Lambda^2 (\C^4)$.
\еу


\определение
$G_2$ (компактная форма) есть 
группа автоморфизмов октавной алгебры.
\ео

\задача
Пусть $V$ -- фундаментальное
(семимерное) представление $G_2$, а $v\in V$ --
ненулевой вектор. Докажите, что
$\St_{G_2}(v)=SU(3)$.
\ез

\задача[3 балла]
Пусть $S$ -- спинорное представление
$\Spin(7)$, a $\psi\in S$ -- ненулевой вектор.
Докажите, что стабилизатор $\St_{\Spin(7)}(\psi)$
изоморфен $G_2$
\ез




\subsection{Оператор Дирака (8 баллов)}



\определение
Пусть $S$ -- {\бф расслоение Дирака}, то есть
расслоение клиффордовых модулей над римановым многообразием, 
снабженное метрикой $h$
и ортогональной связностью, которые удовлетворяют следующим условиям:
$h(e\cdot x, e\cdot y) =|e|^2 h(x,y)$, и
\[
\nabla_z(v \cdot x) = v \cdot \nabla_z x + \nabla_z v \cdot x,
\]
где $TM \cdot S \arrow S$ - клиффордово умножение.
В такой ситуации на $S$ определен оператор Дирака $D$, обычным
образом. {\бф Твисторный спинор} есть спинор $\psi\in S$, 
который удовлетворяет 
$\nabla_X \psi + \frac 1 n X\cdot D(\psi) =0$, для
любого векторного поля $X\in TM$.\ео

\задача
Рассмотрим операцию коумножения
$S\stackrel \mu \arrow S \otimes TM$, двойственную
клиффордову умножению. Докажите, что 
$\psi$ -- твисторный спинор тогда и только
тогда, когда $\mu(D\psi) = -n\nabla\psi$.
\ез

\задача
Докажите, что для любого твисторного спинора $\psi$,
и вектора $X\in TM$ единичной длины, спинор
$X \cdot \nabla_X \psi$ не зависит от выбора $X$.
\ез

\задача[2 балла]
Докажите, что любой твисторный спинор удовлетворяет
уравнению $D^2 \psi= \frac 1 4 R \frac n {n+1}\psi$,
где $R$ есть гауссова кривизна $M$.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- риманово многообразие, $\dim M =4$.
Докажите, что голономия $M$ лежит в $SU(2)$ тогда и только тогда,
когда на $M$ существует ненулевой параллельный спинор.
\ез

\задача[3 балла]
Пусть $M$ -- риманово 7-мерное многообразие.
Докажите, что голономия $M$ лежит в $G_2$
тогда и только тогда, когда на $M$ существует
ненулевой параллельный спинор.
\ез


\subsection{Многообразия Калаби-Яу (5 баллов)}

\задача
Пусть $\Omega$ -- ненулевая (3,0)-форма
на трехмерном комплексном пространстве $V$,
а $\Re\Omega$ -- ее вещественная часть.
Докажите, что связная компонента
стабилизатора $Re\Omega$
в $GL(6,\R)$ изоморфен $SL(3, \C)$.
\ез


\задача
Приведите пример компактного кэлерова многообразия
с нулевой скалярной кривизной и нетривиальной
кривизной Риччи.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- (компактное) многообразие Калаби-Яу 
с $H^{{\text{\sf odd}},0}(M)=0$, 
$M_1$ -- комплексное
многообразие, а $M\arrow M_1$ -- нетривиальное неразветвленное накрытие,
причем эйлерова характеристика $M$ -- простое число.
Докажите, что $M$ проективно.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $M$ -- компактное, неалгебраическое
голоморфно симплектическое кэлерово многообразие, $H^{2,0}(M)$
одномерно, а $\phi$ -- его автоморфизм
конечного порядка. Докажите, что $\phi$ -- симплектоморфизм,
то есть сохраняет голоморфную симплектическую структуру.
\ез


\end{document}
