\documentclass[12pt]{article} \input{listki.tex} % version 1.0, 02.12.2010 \newcommand{\version}{version 1.0,\ \ 02.12.2010} \begin{document} \listok{10}{Комплексные многообразия: задачи для экзамена} \lhead{\small Комплексные многообразия, экзамен} Студентам выдается по 1-2 задачи из каждого раздела, из рассчета по 2 балла за раздел. Для получения оценки 3, нужно набрать 3 балла, для оценки 4 - 5 баллов, для оценки 5 -- 6 баллов. \subsection{Почти комплексные многообразия} \задача Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие, причем $I$ интегрируема в плотном, открытом подмножестве. Докажите, что $I$ интегрируема. \ез \задача Пусть $f$ -- голоморфная функция на почти комплексном эрмитовом многообразии $(M,I, \omega)$ размерности $n$. Докажите, что $\frac{-\1\6\bar\6 (|f|^2) \wedge \omega^{n-1}}{\omega^n}\geq 0$, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $f$ -- константа. \ез \задача Пусть на почти комплексном многообразии $(M,I)$ задана голоморфная функция $f$, такая, что $|f|=const$. Докажите, что $f$ постоянна. \ез \задача[2 балла] Пусть $I$ -- би-инвариантная комплексная структура на группе Ли. Докажите, что она интегрируема. \ез \задача Пусть $f$ -- непрерывная функция на комплексном многообразии, голоморфная в открытом, плотном подмножестве. Докажите, что $f$ голоморфна. \ез \задача Пусть $G(p,n)$ есть многообразие Грассманна $p$-мерных комплексных подпространств в $\C^n$, снабженное естественным действием группы $U(n)$, а $I$ -- $U(n)$-инвариантная почти комплексная структура. Докажите, что она интегрируема. \ез \задача[2 балла] Решите предыдущую задачу. Докажите, что комплексная структура $I$ единственна. \ез \задача Пусть $Q$ есть факторпространство $O(2n)/U(n)$, снабженное естественным действием $O(2n)$ слева, а $I$ -- $O(2n)$-инвариантная почти комплексная структура. Докажите, что она интегрируема. \ез \задача Пусть $X$ -- комплексное многообразие. Докажите, что множество неподвижных точек $X_\iota$ антикомплексной инволюции -- гладкое многообразие, причем $\dim_\R X_\iota = \dim_\C X$. \ез \задача[2 балла] Пусть $(M,I)$ -- комплексное многообразие, $\dim_\C M=n$, $U\subset M$ -- плотное, открытое подмножество, а $\Omega \in \Lambda^{n,0}(U)$ -- невырожденная $(n,0)$-форма. Предположим, что $\Omega$ замкнута. Докажите, что почти комплексная структура $I$ интегрируема. \ез \subsection{Кэлеровы многообразия, связности и кручение} \задача[2 балла] \label{_torsion_free_partition_Zadacha_} Пусть $\Xi$ -- тензор на многообразии $M$, причем у каждой точки найдется окрестность и на ней связность без кручения, такая, что $\nabla(\Xi)=0$. Докажите, что на $M$ найдется связность без кручения, такая, что $\nabla(\Xi)=0$. \ез \задача[2 балла] Пусть $М$ -- многообразие, а $X\subset TM$ -- нигде не зануляющееся векторное поле. Найдите связность без кручения такую, что $\nabla(X) =0$. \ез \задача[2 балла] Пусть $М$ -- комплексное многообразие. Постройте связность без кручения, сохраняющую комплексную структуру (то есть $\nabla I =0$). Докажите, что для любого почти комплексного многообразия существование такой связности влечет интегрируемость $I$. \ез \задача[2 балла] Пусть $B\subset TM$ -- интегрируемое подрасслоение в $TM$. Постройте связность без кручения, такую, что $\nabla(B) \subset \Lambda^1M \otimes B$. Докажите, что для любого расслоения $B\subset TM$, существование такой связности влечет интегрируемость $B$. \ез \задача Пусть $V$ есть $n+1$-мерное комплексное пространство с невырожденной эрмитовой метрикой с сигнатурой $(n,1)$, а $B\subset {\Bbb P}V$ проективизация множества всех векторов с отрицательным квадратом. Докажите, что $B$ гомеоморфно шару, и снабжено транзитивным, голоморфным действием группы $G=U(n,1)$ унитарных эндоморфизмов пространства $V$. Постройте на $(B,I)$ $U(n,1)$-инвариантную кэлерову метрику. \ез \задача[2 балла] Решите предыдущую задачу. Докажите, что такая метрика единственна с точностью до константы. \ез \задача Постройте $U(n)$-инвариантную кэлерову метрику на многообразии Грассмана $p$-мерных комплексных подпространств в $\C^n$. \ез \задача[2 балла] Решите предыдущую задачу. Докажите, что такая метрика единственна с точностью до константы. \ез \задача Пусть $M$ -- комплексное многообразие, $\nabla$ -- связность без кручения, сохраняющая $I$, а $\phi$ -- вещественная функция, такая, что симметрическая 2-форма $\operatorname{Hess}(\phi)$, полученная симметризацией $\nabla^2(\phi)$, положительно определена.\footnote{Такая функция называется {\бф выпуклой}.} Докажите, что $dd^c \phi$ -- кэлерова форма. \ез \определение Вещественное векторное поле на многообразии называется {\бф голоморфным}, если соответствующая однопараметрическая группа диффеоморфизмов состоит из голоморфных преобразований \ео \задача Пусть $(M,I)$ комплексное многообразие, снабженное связностью без кручения $\nabla$, причем $\nabla I=0$, а $X\in TM$ -- векторное поле. Докажите, что $X$ голоморфно тогда и только тогда, когда $\nabla X\in \Lambda^1(M) \otimes TM$, рассмотренное как эндоморфизм $TM$, комплексно линейно. \ез \subsection{Теория Ходжа} \задача[2 балла] Пусть $\theta$ -- замкнутая, не точная 1-форма на компактном, $n$-мерном вещественном многообразии. Докажите, что $d_\theta(\eta):= d\eta + \theta \wedge\eta$ удовлетворяет $d^2_\theta=0$. Докажите, что $d_\theta:\; \Lambda^{n-1}(M) \arrow \Lambda^n (M)$ сюрьективно. \ез \задача Пусть $H$ -- точная 3-форма на многообразии $M$, а $d_H(\eta):= d\eta + H \wedge\eta$. Докажите, что $d_H^2=0$. Докажите, что $\frac{\ker d_H}{\im d_H}\cong H^*(M)$ \ез \задача Пусть $\eta$ -- (1,1)-форма с компактным носителем на $M \cong \C$. Всегда ли найдется $f\in C^\infty M$ с компактным носителем, такая, что $\eta = dd^c f$? \ез В следующих задачах, $M$ есть почти комплексное многообразие, а $d= \oplus_p d^{p,1-p}$ есть разложение дифференциала де Рама по типам Ходжа. \задача Докажите, что $(d^{0,1})^3=0$. \ез \задача Докажите, что $[d^{2,-1}, \{d^{1,0}, d^{1,0}\}]=0$. \ез \задача Докажите, что $[d^{2,-1}, \{d^{1,0}, d^{0,1}\}]=0$. \ез \задача Пусть $W$ -- оператор Вейля, действующий на $(p,q)$-формах как $W(\eta) = \1(p-q)\eta$. Докажите, что $I^{-1} d I - [W,d]=0$ тогда и только тогда, когда $I$ интегрируема. \ез \задача Пусть $\eta$ -- замкнутая $(1,1)$-форма на шаре в $\C^n$, гладко продолжающаяся на границу. Докажите, что $\eta = dd^c f$, для какой-то функции $f$. \ез \задача Пусть $(M, I, \omega)$ -- почти комплексное эрмитово многообразие, причем $d\omega=0$. Найдите размерность супералгебры Ли, порожденной $L, \Lambda, d$, где $L(\eta) = \omega\wedge \eta$, а $\Lambda = *L*$. \ез \задача Пусть $(M, I, \omega)$ -- $n$-мерное почти комплексное эрмитово многообразие. {\bf Формой Ли} $M$ называется 1-форма $\theta:= \Lambda(d\omega)$. Докажите, что \[ [L, d^*](f) =I d f+ (n-1) I(\theta) \] для любой функции $f$ на $M$. \ез %\задача[2 балла] %Пусть форма Ли комплексного многообразия не замкнута. %Докажите, что $[L, d^*](\eta) \neq I d \eta+ (n-1) I(\theta)$ %для какой-то 1-формы $\eta$. Приведите пример комплексного %эрмитова многообразия с незамкнутой формой Ли. %\ез \subsection{Векторные расслоения и пучки} \задача Докажите, что любое гладкое комплексное расслоение ранга 1 на сфере $S^n$, $n \geq 3$, тривиально. \ез \определение Пусть $F$ -- пучок на топологическом пространстве. а $f$ -- сечение $F$. {\бф Носитель} $f$ есть множество всех точек, у которых нет окрестности $U$ такой, что $f \restrict U=0$. Обозначим за $F_c(U)$ группу сечений $F$ с компактным носителем. \ео \задача Пусть $F$ -- тонкий пучок на многообразии. Докажите, что соответствие $U \arrow F_c(U)^*$, ставящее открытому множеству $U$ в соответствие двойственное пространство к $ F_c(U)$, задает пучок $F^*_c$. \ез \задача[2 балла] Решите предыдущую задачу. Предположим, что $0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$ точная последовательность пучков $C^\infty(M)$-модулей. Докажите, что $0 \rightarrow C^*_c \rightarrow B^*_c \rightarrow A^*_c\rightarrow 0$ -- точная последовательность пучков. \ез \задача[2 балла] Пусть $M$ -- компактное риманово многообразие, а ${\cal H}^i$ -- пучок гармонических $i$-форм. Докажите, что есть точная последовательность пучков \[ 0 \arrow {\cal H}^i \arrow \Lambda^i(M) \stackrel \Delta \arrow \Lambda^i(M) \arrow 0 \] \ез \задача Докажите, что на комплексной кривой $M$ следующая последовательность пучков точна. \[ \calo_M \oplus \bar\calo_M \arrow C^\infty_\C(M) \stackrel{dd^c} \arrow\Lambda^2(M,\C)\arrow 0. \] \ез \задача Предположим, что на компактном комплексном многообразии $M$ сечения голоморфного расслоения $B$ ранга $k$ разделяют точки. Предположим к тому же, что естественное отображение $\Gamma_M(B) \arrow \Gamma_M(B/{\goth m}_x B)$ сюрьективно для каждого $x\in M$, где $B/{\goth m}_x B$ есть пучок-небоскреб ранга $k$, полученный из $B$ домножением на $\calo/{\goth m}_x =\C_x$. Постройте голоморфное вложение из $M$ в многообразие Грассманна $G(k,N)$ $k$-мерных плоскостей в $\C^N$, для какого-то $N$. \ез \задача [2 балла] Пусть $M$ -- односвязное комплексное многообразие, которое удовлетворяет $H^2(M, \Z)=0$. Докажите, что любое линейное расслоение над $M$ допускает плоскую связность, совместимую с голоморфной структурой. \ез \определение {\бф Плюрисубгармоническая функция} это вещественнозначная функция на комплексном многообразии, такая, что $dd^c f$ есть кэлерова форма. \ео \задача Пусть $L$ -- положительное линейное расслоение на компактном кэлеровом многообразии $M$, а $f$ -- голоморфное сечение $L$, зануляющееся в $Z$. Докажите, что $|f|^{-1}$ плюрисубгармонична на $M \backslash Z$. \ез \задача Пусть $f$ -- плюрисубгармоническая функция на комплексном многообразии. Докажите, что у $f$ нет локальных максимумов. \ез \задача Пусть $L$ -- голоморфное линейное расслоение на компактном кэлеровом многообразии $M$, снабженное эрмитовой метрикой, $X$ -- подмножество в тотальном пространстве $\Tot L$, состоящее из ненулевых векторов, а $\phi:\; X \arrow \R$ -- функция, переводящая вектор $l\in \Tot L$ в $|l|^2$. Докажите, что $dd^c\log \phi= -\pi^*\Theta_L$, где $\pi:\; X \arrow M$ есть проекция, а $\Theta_L$ -- кривизна $L$. \ез \end{document}