\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 02.12.2010

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   02.12.2010}

\begin{document}

\listok{10}{����������� ������������: ������ ��� ��������}
\lhead{\small ����������� ������������, �������}

��������� �������� �� 1-2 ������ �� ������� �������,
�� �������� �� 2 ����� �� ������. ��� ���������
������ 3, ����� ������� 3 �����, ��� ������ 4 - 5 ������,
��� ������ 5 -- 6 ������.

\subsection{����� ����������� ������������}

\������
����� $(M,I)$ -- ����� ����������� ������������,
������ $I$ ������������ � �������, �������� ������������.
��������, ��� $I$ ������������.
\��

\������
����� $f$ -- ����������� �������
�� ����� ����������� ��������� ������������ $(M,I, \omega)$
����������� $n$. 
��������, ��� $\frac{-\1\6\bar\6 (|f|^2) \wedge \omega^{n-1}}{\omega^n}\geq 0$,
������ ��������� ����������� ����� � ������ �����, �����
$f$ -- ���������.
\��

\������
����� �� ����� ����������� 
 ������������ $(M,I)$  ������ �����������
������� $f$, �����, ��� $|f|=const$. ��������, ���
$f$ ���������. 
\��

\������[2 �����]
����� $I$ -- ��-������������ �����������
��������� �� ������ ��. ��������, ��� ��� ������������.
\��

\������
����� $f$ -- ����������� ������� �� �����������
������������, ����������� � ��������, �������
������������. ��������, ��� $f$ ����������.
\��


\������
����� $G(p,n)$ ���� ������������
���������� $p$-������ ����������� �������������� � $\C^n$,
���������� ������������ ��������� ������ $U(n)$,
� $I$ -- $U(n)$-������������ ����� ����������� ���������.
��������, ��� ��� ������������. 
\��

\������[2 �����]
������ ���������� ������. ��������, ���
����������� ��������� $I$ �����������.
\��


\������
����� $Q$ ���� ������������������ $O(2n)/U(n)$,
���������� ������������ ��������� $O(2n)$ �����, � 
 $I$ -- $O(2n)$-������������ ����� ����������� ���������.
��������, ��� ��� ������������. 
\��

\������
����� $X$ -- ����������� ������������.
��������, ��� ��������� ����������� ����� $X_\iota$
��������������� ��������� --  ������� ������������,
������ $\dim_\R X_\iota = \dim_\C X$.
\��


\������[2 �����]
����� $(M,I)$ -- ����������� ������������, $\dim_\C M=n$,
$U\subset M$ -- �������, �������� ������������, 
� $\Omega \in \Lambda^{n,0}(U)$ -- 
������������� $(n,0)$-�����. �����������, ��� $\Omega$
��������. ��������, ��� ����� ����������� ���������
$I$ ������������.
\��


\subsection{�������� ������������, ��������� � ��������}

\������[2 �����]
\label{_torsion_free_partition_Zadacha_}
����� $\Xi$ -- ������ �� ������������ $M$,
������ � ������ ����� �������� �����������
� �� ��� ��������� ��� ��������, �����, ��� 
$\nabla(\Xi)=0$. ��������, ��� 
�� $M$ �������� ��������� ��� ��������, �����, ��� 
$\nabla(\Xi)=0$. 
\��


\������[2 �����]
����� $�$ -- ������������, � $X\subset TM$ --
����� �� ������������ ��������� ����. �������
��������� ��� �������� �����, ��� $\nabla(X) =0$.
\��

\������[2 �����]
����� $�$ -- ����������� ������������.
��������� ��������� ��� ��������, �����������
����������� ��������� (�� ���� $\nabla I =0$).
��������, ��� ��� ������ ����� ������������
������������ ������������� ����� ���������
������ ��������������� $I$. 
\��

\������[2 �����]
����� $B\subset TM$ -- ������������� �������������
� $TM$. ��������� ��������� ��� ��������, �����,
��� $\nabla(B) \subset \Lambda^1M \otimes B$.
��������, ��� ��� ������ ���������� $B\subset TM$,
������������� ����� ���������
������ ��������������� $B$.
\��


\������
����� $V$ ���� $n+1$-������ ����������� ������������
� ������������� ��������� �������� � ���������� $(n,1)$,
� $B\subset {\Bbb P}V$ �������������� ��������� ����
�������� � ������������� ���������. ��������, ���
$B$ ����������� ����, � �������� ������������, �����������
��������� ������ $G=U(n,1)$ ��������� �������������
������������ $V$.  ��������� �� $(B,I)$ $U(n,1)$-������������ 
�������� �������.
\��

\������[2 �����]
������ ���������� ������. ��������, ���
����� ������� ����������� � ��������� �� ���������.
\��

\������
��������� $U(n)$-������������ �������� �������
��  ������������ ��������� $p$-������ ����������� 
�������������� � $\C^n$.
\��


\������[2 �����]
������ ���������� ������. ��������, ���
����� ������� ����������� � ��������� �� ���������.
\��

\������
����� $M$ -- ����������� ������������,
$\nabla$ -- ��������� ��� ��������, ����������� $I$, 
� $\phi$ -- ������������ �������, �����,
��� �������������� 2-����� $\operatorname{Hess}(\phi)$,
���������� �������������� $\nabla^2(\phi)$,
������������ ����������.\footnote{����� ������� ����������
{\�� ��������}.} ��������, ���
$dd^c \phi$ -- �������� �����.
\��


\�����������
������������ ��������� ���� �� ������������ ���������� {\�� �����������},
���� ��������������� ������������������� ������ ���������������
������� �� ����������� ��������������
\��

\������
����� $(M,I)$ ����������� ������������, ����������
���������� ��� �������� $\nabla$, ������ $\nabla I=0$,
� $X\in TM$ -- ��������� ����. ��������, ��� $X$ ����������
����� � ������ �����, ����� $\nabla X\in \Lambda^1(M) \otimes TM$,
������������� ��� ����������� $TM$, ���������� �������.
\��


\subsection{������ �����}


\������[2 �����] 
����� $\theta$ -- ���������, �� ������ 1-�����
�� ����������, $n$-������ ������������ ������������.
��������, ��� $d_\theta(\eta):= d\eta + \theta \wedge\eta$
������������� $d^2_\theta=0$. ��������, ���
$d_\theta:\; \Lambda^{n-1}(M) \arrow \Lambda^n (M)$ �����������.
\��

\������
����� $H$ -- ������ 3-����� �� ������������ $M$,
� $d_H(\eta):= d\eta + H \wedge\eta$.
��������, ��� $d_H^2=0$. ��������, ��� 
$\frac{\ker d_H}{\im d_H}\cong H^*(M)$
\�� 


\������
����� $\eta$ -- (1,1)-����� � ���������� ��������� �� $M \cong \C$.
������ �� �������� $f\in C^\infty M$ � ���������� ���������, �����, ���
$\eta = dd^c f$?
\��  

� ��������� �������, $M$ ���� ����� �����������
������������, � $d= \oplus_p d^{p,1-p}$ ����
���������� ������������� �� ���� �� ����� �����.

\������
��������, ��� $(d^{0,1})^3=0$. 
\��

\������
��������, ��� $[d^{2,-1}, \{d^{1,0}, d^{1,0}\}]=0$.
\��

\������
��������, ��� $[d^{2,-1}, \{d^{1,0}, d^{0,1}\}]=0$.
\��

\������
����� $W$ -- �������� �����, �����������
�� $(p,q)$-������ ��� $W(\eta) = \1(p-q)\eta$.
��������, ��� $I^{-1} d I - [W,d]=0$
����� � ������ �����, ����� $I$ ������������.
\��

\������
����� $\eta$ -- ��������� $(1,1)$-����� �� ����
� $\C^n$, ������ �������������� �� �������. ��������,
��� $\eta = dd^c f$, ��� �����-�� ������� $f$. 
\��


\������
����� $(M, I, \omega)$ -- ����� ����������� ��������
������������, ������ $d\omega=0$. ������� ����������� 
������������ ��, ����������� $L, \Lambda, d$, ���
$L(\eta) = \omega\wedge \eta$, � $\Lambda = *L*$.
\��

\������
����� $(M, I, \omega)$ -- $n$-������ 
����� ����������� ��������
������������. {\bf ������ ��} $M$ ����������
1-����� $\theta:= \Lambda(d\omega)$. ��������,
��� 
\[ [L, d^*](f) =I d f+ (n-1) I(\theta)
\]
��� ����� ������� $f$ �� $M$.
\��

%\������[2 �����]
%����� ����� �� ������������ ������������ �� ��������.
%��������, ��� $[L, d^*](\eta) \neq I d \eta+ (n-1) I(\theta)$
%��� �����-�� 1-����� $\eta$. ��������� ������ ������������
%�������� ������������ � ����������� ������ ��. 
%\��

\subsection{��������� ���������� � �����}

\������
��������, ��� ����� ������� ����������� ����������
����� 1 �� ����� $S^n$, $n \geq 3$, ����������.
\��

\�����������
����� $F$ -- ����� �� �������������� ������������.
� $f$ -- ������� $F$.
{\�� ��������} $f$ ���� ���������
���� �����, � ������� ��� �����������
$U$ �����, ��� $f \restrict U=0$.
��������� �� $F_c(U)$ ������ ������� $F$
� ���������� ���������.
\�� 
\������
����� $F$ -- ������ ����� �� ������������.
��������, ��� ������������ $U \arrow F_c(U)^*$,
�������� ��������� ��������� $U$ � ������������
������������ ������������ � $ F_c(U)$, ������
����� $F^*_c$.
\��

\������[2 �����]
������ ���������� ������.
�����������, ��� $0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$
������ ������������������ ������ $C^\infty(M)$-�������.
��������, ��� $0 \rightarrow C^*_c \rightarrow B^*_c \rightarrow A^*_c\rightarrow 0$
-- ������ ������������������ ������.
\��




\������[2 �����]
����� $M$ -- ���������� �������� ������������, � 
${\cal H}^i$ -- ����� ������������� $i$-����.
��������, ��� ���� ������ ������������������ ������
\[
0 \arrow {\cal H}^i \arrow \Lambda^i(M) \stackrel \Delta \arrow \Lambda^i(M)
\arrow 0
\]
\��

\������
��������, ��� �� ����������� ������ $M$ ��������� ������������������
������ �����.
\[
\calo_M \oplus \bar\calo_M \arrow C^\infty_\C(M) \stackrel{dd^c}
\arrow\Lambda^2(M,\C)\arrow 0.
\]
\��

\������
�����������, ��� �� ���������� ����������� ������������ $M$
������� ������������ ���������� $B$ ����� $k$ ���������
�����. ����������� � ���� ��, ��� ������������ �����������
$\Gamma_M(B) \arrow \Gamma_M(B/{\goth m}_x B)$
����������� ��� ������� $x\in M$, ��� $B/{\goth m}_x B$
���� �����-��������� ����� $k$, ���������� �� $B$
����������� �� $\calo/{\goth m}_x =\C_x$. 
��������� ����������� �������� �� $M$ � ������������
���������� $G(k,N)$ $k$-������ ���������� � $\C^N$,
��� ������-�� $N$.
\��

\������ [2 �����]
����� $M$ -- ����������� ����������� ������������,
������� ������������� $H^2(M, \Z)=0$. ��������, ���
����� �������� ���������� ��� $M$ ���������
������� ���������, ����������� � �����������
����������.
\�� 

\�����������
{\�� ��������������������� �������}
��� ������������������ ������� �� 
����������� ������������, �����, ���
$dd^c f$ ���� �������� �����.
\��

\������ 
����� $L$ -- ������������� �������� ����������
�� ���������� ��������� ������������ $M$, � $f$ --
����������� ������� $L$, ������������ � $Z$. 
��������, ���  $|f|^{-1}$ ������������������ 
�� $M \backslash Z$.
\��

\������
����� $f$ -- ��������������������� �������
�� ����������� ������������.
��������, ��� � $f$ ���
��������� ����������.
\��

\������
����� $L$ -- ����������� �������� ����������
�� ���������� ��������� ������������ $M$, ����������
��������� ��������, $X$ -- ������������ � ���������
������������ $\Tot L$, ��������� �� ���������
��������, � $\phi:\; X \arrow \R$ -- �������,
����������� ������ $l\in \Tot L$ � $|l|^2$.
��������, ��� $dd^c\log \phi= -\pi^*\Theta_L$,
��� $\pi:\; X \arrow M$ ���� ��������, �
$\Theta_L$ -- �������� $L$. 
\��

\end{document}
